廣東中考仿真模擬考試《數(shù)學(xué)試題》含答案解析

廣東數(shù)學(xué)中考綜合模擬檢測(cè)試題

學(xué)校班級(jí)姓名成績(jī)

第I卷

一、選擇題：

I.一元二次方程4/+二=0的根的情況是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

2.不透明的袋子中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的6個(gè)球，其中4個(gè)黑球、2個(gè)白球，從袋子中一次摸出

3個(gè)球，下列事件是不可能事件的是（）

A.摸出的是3個(gè)白球B.摸出的是3個(gè)黑球

C.摸出的是2個(gè)白球、1個(gè)黑球D.摸出的是2個(gè)黑球、1個(gè)白球

3.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）

4.若二次函數(shù)y=ax?的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(—2,4),

A.(2,4)B.(-2,-4)

5.將一圖形繞著點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)70。后，再繞著點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。，這時(shí)如果要使圖形回到原

來的位置，需要將圖形繞著點(diǎn)。什么方向旋轉(zhuǎn)多少度？（）

A.逆時(shí)針方向，50°B.順時(shí)針方向，50°

C.順時(shí)針方向，190°D.逆時(shí)針方向，190°

6.平面直角坐標(biāo)系，OP的圓心坐標(biāo)為（4,8）,半徑為5,那么X軸與OP的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相離C.相切D.以上都不是

7.如圖，己處ABHCDHEF,那么下列結(jié)論正確的是（)

'B

ADBCBCDFCDBCCDAD

A.--------B.---=----C.---=----D.---=----

DFCECEADEFBEEFAF

8.己知反比例函數(shù)y=-2,下列說法不正確的是（

)

X

A.圖像必經(jīng)過點(diǎn)（一1,2）B.y隨著％的增大而增大

C.圖像分布第二，四象限內(nèi)D.若X>1,則一2<y<0

9.已知銳角A滿足關(guān)系式2sin2A_7sinA+3=0，貝UsinA的值為（）

A.工或3B.3C.-D.4

22

10.如圖，在半徑為5的。。中，AB,CO是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且AB=CD=8,則OP的長(zhǎng)為

()

B.4C30D.4及

第n卷

二、填空題

11.二次函數(shù)y=—（x+l）—4的最大值為.

12.已知aABCsaA'B'C且SAABC：SAABc-1：2,則AB：A'B'=.

13.若關(guān)于x的一元二次方程如+2〃=。有一個(gè)根是2,則m+n—.

14.在一個(gè)不透明的布袋中裝有3個(gè)藍(lán)球和機(jī)個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機(jī)摸出一

個(gè)球，摸到黃球的概率是則〃?=

6

15.在RfAABC中，24。5=90°,4。=5,3。=12,現(xiàn)以3。所在的直線為軸將兒48。旋轉(zhuǎn)一周，所得幾

何體的側(cè)面積為.

k

16.如圖，AOAC和ABAD都是等腰直角三角形，ZACO=ZADB=90°,反比例函數(shù)y=—在第一象限的圖象

x

經(jīng)過點(diǎn)B,若OA2-AB?=8,貝ijk的值為.

三、解答題

17.計(jì)算：|-2|+2sin3O°-(-V3)2+(tan450)-1

18.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，A4BC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在所給直角坐標(biāo)系中解答下列問題;

(2)分別寫出點(diǎn)A，4兩點(diǎn)坐標(biāo)；

19.“灰鴿子”是一種危害性很強(qiáng)的病毒，如果一臺(tái)電腦不慎被感染“灰鴿子”病毒，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)

289臺(tái)電腦被感染，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？

四、解答題

20.請(qǐng)你依據(jù)下面圖框中的尋寶游戲規(guī)則，探究“尋寶游戲”的奧秘：

尋寶游戲

，有三間房，每間房?jī)?nèi)放

有兩個(gè)柜子,僅有一件寶物藏在某

個(gè)柜子中.尋寶游戲規(guī)則:只允許

進(jìn)入三個(gè)房間中的一個(gè)房間并打

(開其中一個(gè)柜子.

□□□口囤口

柜1柜2柜3柜4柜5柜6

房間A房間B房間C

(1)用樹狀圖(或表格)表示出所有可能尋寶情況;

(2)求在尋寶游戲中勝出的概率.

21.如圖，在A4BC中，AB=AC,AO為BC邊上的中線，至于點(diǎn)E.

(1)求證：

(2)若AB=13,BC=10,求線段OE的長(zhǎng).

22.如圖，某小區(qū)①號(hào)樓與11號(hào)樓隔河相望，李明家住在①號(hào)樓，他很想知道11號(hào)樓高度，于是他做了

一些測(cè)量.他先在越點(diǎn)測(cè)得。點(diǎn)的仰角為60。，然后到42米高的樓頂?shù)靥?，測(cè)得。點(diǎn)的仰角為30。，請(qǐng)你幫

李明計(jì)算11號(hào)樓的高度儂.

五、解答題

23.如圖，BD為ZkABC外接圓。0的直徑，且NBAE=/C

(1)求證：AE與。O相切于點(diǎn)A；

(2)若AE〃BC,BC=2幣,AC=2也，求AD的長(zhǎng).

D

￡

k

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OALOB,AB，x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A(1)在反比例函數(shù)y=一圖象

上.

X

(2)在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P,使得SAAOP=!SAAOB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2

(3)若將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△BDE,直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在該反

比例函數(shù)的圖象上，說明理由.

25.如圖，AAEF中，ZEAF=45°,AGLEF于點(diǎn)G,現(xiàn)將AAEG沿AE折疊得到^AEB,將AAFG沿AF折疊

得到AAFD,延長(zhǎng)BE和DF相交于點(diǎn)C.

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N,將ZiABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到ZkADH,

試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)若EG=4,GF=6,BM=30,求AG、MN的長(zhǎng).

答案與解析

第I卷

一、選擇題：

1.一元二次方程4丁+!=0的根的情況是()

4

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出△<(),由此即可得出原方程沒有實(shí)數(shù)根.

【詳解】在方程4X2+Lo中，A=O2_4X4X(-)=-4<0,

44

...一元二次方程4x2+1=0有沒有實(shí)數(shù)根.

4

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握“當(dāng)△<()時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.

2.不透明的袋子中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的6個(gè)球，其中4個(gè)黑球、2個(gè)白球，從袋子中一次摸出

3個(gè)球，下列事件是不可能事件的是()

A.摸出是3個(gè)白球B.摸出的是3個(gè)黑球

C.摸出的是2個(gè)白球、1個(gè)黑球D.摸出的是2個(gè)黑球、1個(gè)白球

【答案】A

【解析】

由題意可知，不透明袋子中總共有2個(gè)白球，從袋子中一次摸出3個(gè)球都是白球是不可能事件，故選B.

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案.

【詳解】從上邊看的俯視圖的是三個(gè)并排放著的小正方形，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從上邊看得到的圖形是俯視圖.

4.若二次函數(shù)y=ax2的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(―2,4),則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)【】

A.(2,4)B.(—2,—4)C.(一4,2)D.(4,—2)

【答案】A

【解析】

根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將P(-2,4)代入y=ax2,得4=a(—2)2=a=l,

二次函數(shù)解析式為y=x2.

所給四點(diǎn)中，只有(2,4)滿足y=x2.故選A.

5.將一圖形繞著點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)70。后，再繞著點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。，這時(shí)如果要使圖形回到原

來的位置，需要將圖形繞著點(diǎn)。什么方向旋轉(zhuǎn)多少度？()

A.逆時(shí)針方向，50°B.順時(shí)針方向，50°

C.順時(shí)針方向，190°D.逆時(shí)針方向，190°

【答案】B

【解析】

【分析】

將一圖形繞著點(diǎn)。順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)70。后，再繞著點(diǎn)。逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。，如果要使圖形回到原來的位

置，則相當(dāng)于將圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。，據(jù)此即可解答.

【詳解】將一圖形繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)70。后，再繞著點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120。，則相當(dāng)于將圖形逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°,則要回到原來的位置可以再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，理解將一圖形繞著點(diǎn)O順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)70。后，再繞著點(diǎn)。逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)120。，則相當(dāng)于將圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。是關(guān)鍵.

6.平面直角坐標(biāo)系，OP的圓心坐標(biāo)為(4,8),半徑為5,那么X軸與。P的位置關(guān)系是()

A.相交B.相離C.相切D.以上都不是

【答案】B

【解析】

試題分析：先計(jì)算出尸到x軸的距離，再與圓的半徑比較，即可得出結(jié)論.

解：；。尸的圓心坐標(biāo)為（4,8）,

??.P到x軸的距離8,

；OP的半徑為5且5<8,

???X軸與。P的位置關(guān)系是相離.

故選B.

7.如圖，已知ABHCDHEF,那么下列結(jié)論正確的是（）

ADBCBCDFCDBCCDAD

\--------B--------C--------D.---二

DFCE'CEADEFBEEFAF

【答案】A

【解析】

【分析】

已知AB〃CD〃EF,根據(jù)平行線分線段成比例定理，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可.

【詳解】；AB〃CD〃EF,

.ADBC

''~DF~~CE'

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，避免錯(cuò)選其他答案.

8.已知反比例函數(shù)y=-2,下列說法不正確的是（）

X

A.圖像必經(jīng)過點(diǎn)（-1,2）B.）’隨著X的增大而增大

C.圖像分布在第二，四象限內(nèi)D.若x>l,則-2<y<0

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)丫='的性質(zhì)，當(dāng)k>0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小；當(dāng)kVO

X

時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，即可作出判斷.

【詳解】A、(-1,2)滿足函數(shù)的解析式，則圖象必經(jīng)過點(diǎn)(-1,2)；

B、在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，在自變量取值范圍內(nèi)不成立，則命題錯(cuò)誤；

C、命題正確；

D、命題正確.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)于反比例函數(shù)y=&(k/0),(1)k>0,反比例函數(shù)圖象在一、

x

三象限；(2)k<0,反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi).

9.已知銳角A滿足關(guān)系式2sin2A_7sinA+3=0，則sinA的值為()

A.一或3B.3C.—D.4

22

【答案】C

【解析】

【分析】

將sinA看做一個(gè)整體，采用換元思想解方程即可解答.

【詳解】設(shè)sinA=y,則上式可化2y2-7y+3=0.

2y2-7y+3=(2y-1)(y-3)=0,

所以yi=3,y2=；.

：A為銳角，.*.0<sinA<l,

1

sinA=-.

2

故選c.

【點(diǎn)睛】此題要注意換元思想與銳角正弦值的求法，提高了學(xué)生的靈活應(yīng)用能力.

10.如圖，在半徑為5的。。中，A&C。是互相垂直的兩條弦，垂足為P,且"=CD=8,則0P的長(zhǎng)為

()

B.4C372D.472

【答案】C

【解析】

【分析】

作OM_LAB于M,ONJ_CD于N,連接OB,0D,首先利用勾股定理求得OM的長(zhǎng)，然后判定四邊形OMPN

是正方形，求得正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)即可求得OM的長(zhǎng).

【詳解】作OM_LAB于M,ON_LCD于N,連接OB,0D,

由垂徑定理、勾股定理得：OM=ON=,52-42=3,

?.?弦AB、CD互相垂直，

.,.ZDPB=90°,

?；OM_LAB于M,ON_LCD于N,

，NOMP=NONP=90°

四邊形MONP是矩形，

VOM=ON,

...四邊形MONP是正方形，

.?.OP=3&

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線.

第n卷

二、填空題

11.二次函數(shù)y=—(x+1)—4的最大值為.

【答案】-4

【解析】

【分析】

所給形式是二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，易知其頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-4),也就是當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)有最大值-4.

【詳解】：y=-(x+1)2-4,

.,.此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-1,-4),

即當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)有最大值-4.

故答案為-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式，并會(huì)根據(jù)頂點(diǎn)式求最值.

12.已知△ABCs^A'B'C'且SAABC：SAABC'=1：2>貝汁AB：A'B'=一

【答案】1：72.

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可.

【詳解】VAABC^AA'BV,

'=-

?*'SAABC：SAA'B,CAB：A'B'~=1：2,

AAB：AB=1：血，

故答案為1：y[2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握“相似三角形的面積比等于相似比的平方”是解本題的關(guān)鍵.

13.若關(guān)于》的一元二次方程，+〃a+2〃=0有一個(gè)根是2,則”?+”=.

【答案】-2

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次方程的解的定義把x=2代入x2+mx+2n=0得至lj4+2m+2n=0得n+m=-2,然后利用整體

代入的方法進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】V2（n#））是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一個(gè)根，

，4+2m+2n=0,

n+m=-2,

故答案為-2.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方

程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元

二次方程的根.

14.在一個(gè)不透明的布袋中裝有3個(gè)藍(lán)球和帆個(gè)黃球，它們除顏色不同外，其余均相同，若從中隨機(jī)摸出一

個(gè)球，摸到黃球的概率是!■，則〃2=

6

【答案】15

【解析】

【分析】

根據(jù)摸到黃球的概率是|■列出關(guān)于m的方程，求出m的值即可解答.

6

【詳解】根據(jù)概率公式，P(摸到黃球)=一冬

加+3

又知摸到紅球的概率為

6

……M5

所以-

m+36

解得m=15.

故答案為：15.

【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)

m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A).

n

15.在RfAABC中，/4。3=90°,4。=5,8。=12,現(xiàn)以3。所在的直線為軸將入48。旋轉(zhuǎn)一周，所得幾

何體的側(cè)面積為.

【答案】65萬

【解析】

【分析】

易利用勾股定理求得母線長(zhǎng)，那么圓錐的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)x母線長(zhǎng)+2.

【詳解】如圖，

?.,在RSABC中，AC=5cm,BC=12cm,ZACB=90°,

由勾股定理得AB=13,

...圓錐的底面周長(zhǎng)=10兀，

，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積=,xi07txi3=65兀，

2

故答案為657r.

【點(diǎn)睛】本題利用了勾股定理，圓的周長(zhǎng)公式和扇形面積公式求解.

k

16.如圖，ZkOAC和^BAD都是等腰直角三角形，ZACO=ZADB=90°,反比例函數(shù)y=一在第一象限的圖象

x

經(jīng)過點(diǎn)B,若OA2-AB?=8,則k的值為一.

【答案】4.

【解析】

試題解析：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),

?/AOAC和^BAD都是等腰直角三角形，

；.OA=0AC,AB=&AD,OC=AC,AD=BD,

VOA2-AB2=8,

2AC2-2AD2=8,即AC2-AD2=4,

(AC+AD)(AC-AD)=4,

(OC+BD)?CD=4,

a*b=4,

Ak=4.

考點(diǎn)：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

三、解答題

17.計(jì)算：|-2|+2sin30°-卜百丫+(tan45°尸

【答案】1

【解析】

試題分析：先計(jì)算絕對(duì)值，三角函數(shù)，零指數(shù)，負(fù)指數(shù)，平方再按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算即可.

2-，

試題解析:|-2|+2sin3O°-(-V3)+(tan45°)

=2+2x1-3+1

2

-2+73-3+1

=6

考點(diǎn)：三角函數(shù)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算.

18.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，在所給直角坐標(biāo)系中解答下列問題;

(1)作出AABC關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱的AA?旦G；

(2)分別寫出點(diǎn)A，4兩點(diǎn)的坐標(biāo);

【答案】(1)見解析(2)4(1,0),4(2,2)

【解析】

【分析】

(1)分別作出點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)Ai、Bi、G順次連接各點(diǎn)即可得到圖形;

(2)直接根據(jù)圖形寫出點(diǎn)A，4的坐標(biāo).

【詳解】(1)作圖如圖1,

圖1

(2)A\(1,0),Bi(2,2)；

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖的知識(shí)，利用中心對(duì)稱變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位

置是解題的關(guān)鍵.

19.“灰鴿子”是一種危害性很強(qiáng)的病毒，如果一臺(tái)電腦不慎被感染“灰鴿子”病毒，經(jīng)過兩輪感染后就會(huì)

289臺(tái)電腦被感染，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？

【答案】16臺(tái)

【解析】

【分析】

設(shè)每一輪感染中平均每臺(tái)電腦會(huì)感染X臺(tái)電腦.根據(jù)兩輪感染后有289臺(tái)電腦被感染列方程求解即可.

【詳解】設(shè)每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染》臺(tái)電腦，依題意得：

l+x+(l+x)x=289,

(l+x)2=289,

l+x=17或l+x=—17

=16,%=T8（不合題意，舍去）

答：每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染16臺(tái)電腦.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)兩輪感染后有289臺(tái)電腦被感染列出方程是解題的

關(guān)鍵.

四、解答題

20.請(qǐng)你依據(jù)下面圖框中的尋寶游戲規(guī)則，探究“尋寶游戲”的奧秘:

尋寶游戲

如圖，有三間房，每間房?jī)?nèi)放

有兩個(gè)柜子,僅有一件寶物藏在某

個(gè)柜子中.尋寶游戲規(guī)則:只允許

進(jìn)入三個(gè)房間中的一個(gè)房間并打

\開其中一個(gè)柜子.

□□口口囤口

柜］柜2柜3柜4柜6柜6

房間工房間3房間C

（1）用樹狀圖（或表格）表示出所有可能的尋寶情況:

（2）求在尋寶游戲中勝出的概率.

【答案】（D答案見解析；（2））

6

【解析】

【分析】

列舉出所有情況，讓尋寶游戲中勝出的情況數(shù)除以總情況數(shù)即為所求的概率.

【詳解】（1）樹狀圖如下:

開始

ABC

/\/\z\

123456

則共有6種等可能的結(jié)果；

(2)由(1)中的樹狀圖可知：P(勝出).=1.

哪

【點(diǎn)睛】本題考查的是用畫樹狀圖法求概率，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之

比.同時(shí)熟記用樹狀圖或表格表達(dá)事件出現(xiàn)的可能性是求解概率的常用方法

21.如圖，在A4BC中，AB=AC,AO為邊上的中線，于點(diǎn)E.

(1)求證：ABDEs^CAD；

(2)若43=13,8。=10,求線段OE的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析；(2)DE=—.

13

【解析】

【分析】

對(duì)于(1),由已知條件可以得到NB=NC,AABC是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)易得ADLBC,

ZADC=90°；接下來不難得到/ADC=NBED,至此問題不難證明；

對(duì)于(2),利用勾股定理求出AD,利用相似比，即可求出DE.

【詳解】解：(1)證明：：4?=AC,

NB=NC.

又???AD為8C邊上的中線，

AD1BC.

,/DEA.AB，

ABED=ZCDA=90°，

：.ABDEs^CAD.

(2)VBC=10,:.BD=5.

在RtAABO中，根據(jù)勾股定理，得AD=JAB『一BD)=12?

.BDDE

由Q）得

"C4-AD

即』=DE

13~n

60

：.DE

13

【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握判定定理.

22.如圖，某小區(qū)①號(hào)樓與11號(hào)樓隔河相望，李明家住在①號(hào)樓，他很想知道11號(hào)樓的高度，于是他做了

一些測(cè)量.他先在廨點(diǎn)測(cè)得窗點(diǎn)的仰角為60。，然后到42米高的樓頂?shù)靥帲瑴y(cè)得烈點(diǎn)的仰角為30。，請(qǐng)你幫

李明計(jì)算II號(hào)樓的高度蟆T

【答案】63.

【解析】

【分析】

作AELCD,設(shè)AE=BD=x,先求出。e=遮N，CD=￡x，再列方程得x=216,最后CD=Qx=63.

3

【詳解】解：作AELCD,設(shè)AE=BD=x,在直角△AEC中,AE=x,ZCAE=30°

CE

tan30

~AE

CE=AE-tan30

——X

3

???在直角△BDC中

BD=x,ZCAE=60°

CD〈A

——-=tan60

BD

CD=BD-tan60

=gx

"：AB=DE=42

:?瓜—&x=42

3

x=216

.,.CD=V3x=63

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，考查了特殊角的三角函數(shù)值，本題中求得BD的長(zhǎng)是解

題的關(guān)鍵.

五、解答題

23.如圖，BD為ZkABC外接圓00的直徑，且/BAE=/C

（1）求證：AE與。0相切于點(diǎn)A；

（2）若AE〃BC,BC=2幣,AC=2也，求AD的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見解析；（2）AD=2714-

【解析】

【分析】

（1）如圖，連接0A,根據(jù)同圓的半徑相等可得：ZD=ZDA0,由同弧所對(duì)的圓周角相等及已知得：

NBAE=NDA0,再由直徑所對(duì)的圓周角是直角得：ZBAD=90°,可得結(jié)論；

（2）先證明OALBC,由垂徑定理得：舫=池；，F(xiàn)B=；BC,根據(jù)勾股定理計(jì)算AF、OB、AD的長(zhǎng)即

可.

【詳解】（1）如圖，連接0A,交BC于F,

則OA=OB,

.\ZD=ZDAO,

ZD=ZC,

.".ZC=ZDAO,

；NBAE=/C,

ZBAE=ZDAO,

?；BD是。O的直徑，

.\ZBAD=90o,

即/DAO+/BAO=90°,

ZBAE+ZBAO=90°,即ZOAE=90°,

AAEIOA,

AAE與。O相切于點(diǎn)A；

(2)：AE〃BC,AE1OA,

AOA1BC,

二舫=M,FB=；BC,

；.AB=AC,

?：BC=2不，AC=2女，

.*.BF=V7,AB=20，

在RtAABF中，AF=J(20『一(近『=1，

在RlAOFB中，OB\BF^(OB-AF)2,

.?.OB=4,

；.BD=8,

.?.在R3ABD中，AD=^BDr-AB2=764-8=2714-

【點(diǎn)睛】本題考查了圓切線的判定、勾股定理及垂徑定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握切線的判定方

法是關(guān)鍵：有切線時(shí)，常常“遇到切點(diǎn)連圓心得半徑，證垂直”.

k

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OAJ_OB,ABJ_x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A（1）在反比例函數(shù)>=一的圖象

x

（2）在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P,使得SAAOP=《SAAOB,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

2

（3）若將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到^BDE,直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在該反

比例函數(shù)的圖象上，說明理由.

【答案】（1）y=—;（2）P（-273，0）；（3）E7），在.

x

【解析】

【分析】

（1）將點(diǎn)A（6,1）代入y=K,利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；

X

（2）先由射影定理求出BC=3,那么B（G，-3）,計(jì)算求出SAAOB=；XGX4=2JL則

SAAOP=；SAAOB=6.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m,0）,列出方程求解即可；

（3）先解AOAB,得出/ABO=30。，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出E點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，-1），即可求解.

【詳解】（1）???點(diǎn)A在反比例函數(shù)丁=^的圖象上，

X

??k=yfix1=-^3，

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=@；

X

(2)VA(G，1)，AB，x軸于點(diǎn)C,

：.0C=5AC=1,由射影定理得0C2=AC?BC,

可得BC=3,B(6，-3),SAAOB=；xgx4=2G，

SAAOP=-SAAOB=6?

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),

/.yx|m|x1=5/3,

，|m|=2后，

：P是x軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)，

m=-273，

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一，0)；

(3)點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上，理由如下：

VOA1OB,OA=2,OB=2g，AB=4,

OA21

**.sinZABO==—=—,

AB42

???ZABO=30°,

???將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△BDE,

.".△BOA^ABDE,NOBD=60°,...BOBDuzG，OA=DE=2,ZBOA=ZBDE