熱點(diǎn)-三角函數(shù)求值問(wèn)題的常見題型與解法

三角函數(shù)求值問(wèn)題的常見題型與解法關(guān)于三角函數(shù)求值問(wèn)題，必須明確求值的目標(biāo)．一般來(lái)說(shuō)，題設(shè)中給出的是一個(gè)或某幾個(gè)特定角，即便這些角都不是特殊角，其最終結(jié)果也應(yīng)該是一個(gè)具體的實(shí)數(shù)；題設(shè)中給出的是某種或幾種參變量關(guān)系，其結(jié)果既可能是一個(gè)具體的實(shí)數(shù)，也可能是含參變量的某種代數(shù)式．解題時(shí)應(yīng)在認(rèn)準(zhǔn)目標(biāo)的前提下，從結(jié)構(gòu)式的特點(diǎn)去分析，以尋找到合理、簡(jiǎn)捷的解題方法，切忌不分青紅皂白地盲目運(yùn)用三角公式．由于三角求值問(wèn)題能綜合考查考生三角變換、代數(shù)變形的基本運(yùn)算能力和靈活運(yùn)用公式、合理選用公式、準(zhǔn)確選擇解題方向的思維能力，且題目的答案可以簡(jiǎn)單明了，所以，高考三角求值題倍受命題人的青睞，使得成為一個(gè)命題熱點(diǎn)．三角函數(shù)的求值問(wèn)題的思考程序是：將角化為特殊角、或?qū)⑷呛瘮?shù)化為同角、同名函數(shù)進(jìn)行合并與化簡(jiǎn)，最后求出三角函數(shù)值來(lái)，要注意差異分析法的有效運(yùn)用．給角求值一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角的三角函數(shù)而得解．但應(yīng)注意的是，要重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響，因此要注意角的范圍的討論．例1求tan＋4sin的值．分析：給出非特殊角，怎樣化為特殊角或非特殊角互相抵消、約分求出值．解：tan＋4sin=＋4sin======．評(píng)析：切割化弦，分解配湊等是求值中常用的方法．練習(xí)：①cos－4cos②4sin－tan③cot－sec以上答案均為二、給值求值給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．解題的基本方法是：①將待求之式用已知三角函數(shù)表示；②將已知條件轉(zhuǎn)化而推出結(jié)論．例2已知0＜＜＜＜，cos(＋)=－，sin(＋)=，求sin(＋)的值．分析：如果將sin(＋)按和角公式展開，通過(guò)求出、角的正余弦來(lái)求sin(＋)的值，計(jì)算十分復(fù)雜．若注意到(＋)+(＋)=＋(＋)便可求出＋和＋的正余弦值來(lái)求sin(＋)，則較為簡(jiǎn)捷．解：∵0＜＜＜＜∴＜＋＜∴sin(＋)=．∴＜＋＜，∴cos(＋)=．∴sin(＋)=sin[(＋)+(＋)－]=－sin[(＋)+(＋)]=－[sin(＋)cos(＋)＋cos(＋)sin(＋)]=－[×()＋(－)×=.例3若cos(－x)=－，＜x＜，求．分析：轉(zhuǎn)化為已知一個(gè)角(－x)的三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其余三角函數(shù)值的問(wèn)題．這樣可以將所求式子化簡(jiǎn)，使其出現(xiàn)－x這個(gè)角的三角函數(shù)．解：===sin2x=sin2xtan(－x)=cos(－2x)tan(－x)=[2cos(－x)－1]tan(－x)=·(－)=－．評(píng)析：“湊角法”是解三角題的常用技巧，解題時(shí)首先要分析已知條件和結(jié)論中各種角之間的相互關(guān)系，并根據(jù)這種關(guān)系來(lái)選擇公式．練習(xí)：①已知0＜＜，＜＜，coos(－)=，sin(＋)=，求sin(＋)的值．(答案為)。②已知：＜＋＜2，＜－＜且cos(＋)=,cos(－)=－，求cos2與cos2的值。(答案為和－1)三、給式求值給某些式子的值，求其它式子的值，一般應(yīng)將已知式或所求式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再求之．主要方法有：①消去法；②解方程組法；③應(yīng)用比例的性質(zhì)．已知2sinx－cosx＋sinxcosx－6sinx＋3cosx=0，求的值．解；由2sinx－cosx＋sinxcosx－6sinx＋3cosx=0，分解因式得：(2sinx－cosx)(sinx＋cosx－3)=0，因?yàn)閟inx＋cosx－3=0不成立，所以2sinx－cosx=0，即tanx=．∴=·=·==．評(píng)析：此類問(wèn)題應(yīng)首先將所給式子變形，即將其轉(zhuǎn)化成所求函數(shù)式能使用的條件，或者將所求函數(shù)式經(jīng)過(guò)變形后再用條件．練習(xí)：已知：sin＋sin2cos－cos2=1，∈(0,),求：tan的值。(答案為)四、給值求角給值求角實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，——把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，但不要忽視對(duì)所求角的范圍的討論．亦即解決“給值求角”問(wèn)題是由兩個(gè)關(guān)鍵步驟構(gòu)成．把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角．已知：cos(2－)=－,sin(－2)=,0＜＜＜＜,求＋分析：從角的變換入手，已知條件中的角“2－”，“－2”與需求的角“＋”之間滿足關(guān)系式(2－)－(－2)=＋，因此可用差角公式求＋。解：∵0＜＜＜＜，∴＜2＜，－＜－＜0，＜2－＜，同理得：－＜－2＜?！鄐in(2－)=，cos(－2)=.∴cos(＋)=[(2－)－(－2)]=cos(2－)cos(－2)+sin(2－)sin(－2)=(－)×+×=。∵＜＋＜，∴＋=。評(píng)析：本題通過(guò)變形轉(zhuǎn)化