《材料力學(xué)》壓桿穩(wěn)定習(xí)題解

#/16第九章壓桿穩(wěn)定習(xí)題解[習(xí)題9-1]在§9-2中已對(duì)兩端球形鉸口的等截面細(xì)長壓桿， 按圖a所示坐標(biāo)系及撓度曲線形狀，導(dǎo)出了臨界應(yīng)力公式 P=±E_。試分析當(dāng)分別取圖 b,c,d所示坐標(biāo)系及撓曲線形cr l2狀時(shí)，壓桿在F狀時(shí)，壓桿在F作用下的撓曲線微分方程是否與圖cra情況下的相同，由此所得F公式又cr是否相同。解：撓曲線微分方程與坐標(biāo)系的y解：撓曲線微分方程與坐標(biāo)系的y軸正向規(guī)定有關(guān)，與撓曲線的位置無關(guān)。因?yàn)? b)圖與口 aW具有相同的坐標(biāo)系，所以它們的撓曲線微分方程相同，都是EIw"=—M(x)。(c)、 (d)的坐標(biāo)系相同，它們具有相同的撓曲線微分方程：EIw"=M(x)，顯然，這微分方程與( a)的微分方程不同。臨界力只與壓桿的抗彎剛度、 長度與兩端的支承情況有關(guān)，位置等因素?zé)o關(guān)。因此，以上四種情形的臨界力具有相同的公式，即：與坐標(biāo)系的選取、 撓曲線的Pcr兀2EI12［習(xí)題9-2］圖示各桿材料和截面均相同，試問桿能承受的壓力哪根最大，哪根最小(圖所示桿在中間支承處不能轉(zhuǎn)動(dòng))？解：壓桿能承受的臨界壓力為：Pcr兀2EI由這公式可知，它們能承受的壓力與度系數(shù)。原壓相的相當(dāng)長度(W.l)2Wl的平方成反比，對(duì)于材料和截面相同的壓桿，其中，N為與約束情況有關(guān)的長a)b)R=0.7x7=4.9mc)W=0.5x9=4.5md)e)f)0.7x5=3.5m（下段）；W=0.5x5=2.5m（上段）故圖e所示桿F最小，圖

crf所示桿F最大。cr［習(xí)題9-3]a,b所示的兩口長桿均與基礎(chǔ)剛性連接，但第一根桿(圖地基上，第二根桿叫b)的基礎(chǔ)放在剛性地基上。試問兩桿的臨界力是否均為a)的基礎(chǔ)放在彈性八 兀2EIP= minc (2.l)2？為什么？并由此判斷壓桿長因數(shù)W是否可能大于2。l的壓桿是否偏于安全？l的壓桿是否偏于安全？螺旋千斤頂（圖 C）的底座對(duì)絲桿（起頂桿）的穩(wěn)定性有無影響？口核絲桿穩(wěn)定性時(shí)，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、長度為解：臨界力與壓桿兩端的支承情況有關(guān)。 因?yàn)椋╝）的下支座不同于 （b）的下支座，所以它們的臨界力計(jì)算公式不同。 （b）為一端固定，一端自由的情況，口的長度因素 日=2，其臨界兀2EI力為：P= min。但是，（a）為一端彈簧支座，一端自由的情況，口的長度因素cr （2.1）2C 兀2EI”2，因此，不能用 P= min來計(jì)算臨界力。c （2.1）2為了考察(a)情況下的臨界力，我們不妨設(shè)下支座(B)的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度MEI——=20—,且無側(cè)向位移，則：EIw"二—M(%)=F(5—w)cr令Fr=k2，得:EI微分方程的通解為：w=Asinkx+Bcoskx+5微分方程的通解為：w'=Akcoskx一Bksinkx由邊界條件：Mx=0,w=0由邊界條件：Mx=0,w=0,w'=3=——CLT；x=l，w=5解得：F5A=-cr—,B=-5,5=sinkl_5coskl+5整理后得到穩(wěn)定方程：Ckltan整理后得到穩(wěn)定方程：Ckltankl=——=20

EI/l用試算法得：kl=1.496故得到壓桿的臨界力：EIF=(1.496)2一=

故得到壓桿的臨界力：EIF=(1.496)2一=

cr l兀2EI(2.1l)2因此，長度因素當(dāng)Cf0時(shí)，2。這與彈性支座的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度C有關(guān)，C越小，則看作是固定端。看作是固定端。彈性支座較合適。這種情況，螺旋千斤頂?shù)牡鬃c地面不是剛性連接，即不是固定的。它們之間是靠摩擦力來維持相對(duì)的靜止。當(dāng)軸向壓力不是很大，或地面較滑時(shí)，底座與地面之間有相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)，不能看作固定端；當(dāng)軸向壓力很大，或地面很粗糙時(shí)，底座與地面之間無相對(duì)滑動(dòng)，此時(shí)，可以因此，校核絲桿穩(wěn)定性時(shí)，把它看作上端自由，下端為具有一定轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的上)、上端自由、長度為l的壓桿”算出來的臨界力要小。譬如， 設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度MEI——=20—,則：P—cn端PcT1簧212=1.1025,P上)、上端自由、長度為l的壓桿”算出來的臨界力要小。譬如， 設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度MEI——=20—,則：P—cn端PcT1簧212=1.1025,P22cr1端1.1025Pcr，彈簧。因此，校核絲桿穩(wěn)定性時(shí)，把它看作下端固定(固定于底座上)、上端自由、長度為l的壓桿不是偏于安全，而是偏于危險(xiǎn)。[習(xí)題9-4]P的歐拉公式。

cr試推導(dǎo)兩端固定、彎曲剛度為EI，長度為l的等截面中心受壓直桿的臨界應(yīng)力［解］：設(shè)壓桿向右彎曲。壓桿處于臨界狀態(tài)時(shí)，兩端的豎向反力為P，水平反力為0，約束反力偶矩兩端相等，用cr下標(biāo)e表示端部end的意思。若取下口離體為研究對(duì)象，轉(zhuǎn)向?yàn)槟孓D(zhuǎn)。M(x)=Pv(x)—Mcr eEIv"=-M(x)=M—Pv(x)ecrM表示，e則M的eEIvM表示，e則M的ecr ev”+Prv(x)=M，令

EIEIk2P—cr,則EIk2PcrEIMv"+k2v=k2—ePcr上述微分方程的通解為：v=Asinkx+Bcoskx+e……………Pcr.(a)v'=Akcoskx-Bksinkx邊界條件：①x=0；v=0：MM0=Asin0+Bcos0+—e~;B=--eP Pcr crx=0v'=0：0=Akcos0-Bksin0；A=0。把A、B的值代入口a)得：邊界條件：③ ePcr(1-coskx)v'=M...—e,ksinkxPcrMx=L;v=0：0=口e(1—coskL),cr1-coskL=0Mx=0v'=0：0=——e-ksinkLPcrsinkL=0以上兩式均要求：kL=2nn,(n=0,1,3,……)其最小解是：kL=2兀，或k= 。故有：L, 兀2k2二 (0.5L)2-crEI，因此：Pcr兀2EI

(0.5L)2［習(xí)題9-5］長5m的10號(hào)工字鋼，在溫度為 0oC時(shí)安裝在兩個(gè)固定支座之間， 這時(shí)口不受力。已知鋼的線膨脹系數(shù) a=125x10-7(0C)-1,E=210GPa。試問當(dāng)溫度升高至多少l度時(shí)，桿將喪失穩(wěn)定性？解：e=俳AT樂鼠33解：e=俳AT樂鼠33父10v125xW7X14.3XW4x5=29.2C［習(xí)題9-6］兩根直徑為試根據(jù)桿端的約束條件，形狀，分別寫出對(duì)應(yīng)的總壓力算式。［習(xí)題9-6］兩根直徑為試根據(jù)桿端的約束條件，形狀，分別寫出對(duì)應(yīng)的總壓力算式。d的立柱，上、下端分別與強(qiáng)勁的頂、底塊剛性連接，如圖所示。分析在總壓力 F作用下， 立柱可能產(chǎn)生的幾種失穩(wěn)形態(tài)下的撓曲線F之臨界值的算式(按細(xì)長桿考慮叫確定最小臨界力P的cr解：在總壓力F作用下，立柱微彎時(shí)可能有下列三種情況：(a)每根立柱作為兩端固定的壓桿分別失穩(wěn)：

=0.5?51)0.125Z(b)兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在自身平面內(nèi)失穩(wěn)失穩(wěn)時(shí)整體在面內(nèi)彎曲，則1，2兩桿組成一組合截面?？赾W根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在面外失穩(wěn)⑵了YE黯12靖故面外失穩(wěn)時(shí)P最?。?/p>

cr=0.5?51)0.125Z(b)兩根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在自身平面內(nèi)失穩(wěn)失穩(wěn)時(shí)整體在面內(nèi)彎曲，則1，2兩桿組成一組合截面?？赾W根立柱一起作為下端固定而上端自由的體系在面外失穩(wěn)⑵了YE黯12靖故面外失穩(wěn)時(shí)P最?。?/p>

cr兀3Ed4P二 c 128l2[習(xí)題9-7]圖示結(jié)構(gòu)C點(diǎn)固定，D為鉸接點(diǎn)，ABCD由三根直徑均為 d的圓截面鋼桿組成，4=10^。若結(jié)構(gòu)由于桿件在平面d在B0D0,而在A點(diǎn)和ABCD內(nèi)彈性失穩(wěn)而喪失承載能解：桿DB為兩端鉸支“"A桿DA及DC為一端鉸支一端固定，選取"="??？诮Y(jié)構(gòu)為超靜定結(jié)構(gòu)，當(dāng)桿DB失穩(wěn)時(shí)結(jié)構(gòu)仍能繼續(xù)承載，直到桿 AD及也失穩(wěn)時(shí)整個(gè)結(jié)構(gòu)才喪失承載能力，故尺x=^i)+2^2)cos30a_MEI_y.53EIn2EI=36.024——12［習(xí)題9-8］圖示鉸接桿系 ABC由兩根具有相同截面和同樣材料的細(xì)長桿所組成。若由于桿兀件在平面ABC內(nèi)失穩(wěn)而引起毀壞，口確定荷載 F為最大時(shí)的0角（假設(shè)0<0<—DD2解：要使設(shè)計(jì)合理，必使AB桿與BC桿同時(shí)失穩(wěn)，即：Pcr,AB兀2EI解：要使設(shè)計(jì)合理，必使AB桿與BC桿同時(shí)失穩(wěn)，即：Pcr,AB兀2EI12AB=Fcos0Pcr,BC兀2EI12BC=Fsin0Fsin0Fcos0=tan0=(-^ab)21BC=cot2P0=arctan(cot2P)［習(xí)題9-9］下端固定、上端鉸支、長 1=4m的壓桿，由兩根 10號(hào)槽口焊接而成，如圖所示，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中口腹式 b類截面中心受壓桿的要求。 已知桿的材料為 Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力 ［o］=170MPa，試求壓桿的許可荷載。解：查型鋼表得：4=2X198.3XW8=396.6xl0-8m4Iy=2x(25.6xl0-8+12.74xl0^x32.82xlO-6)=325.3xIO-8m4"=7=^^=15^=0301

kit=M仃]=0.301x170=51.2MPa[F]=A[a]^=2x12.74x10^x51.2x106=130乂11N=130kN[習(xí)題9-10]如果桿分別由下列材料制成：(1)比例極限 o=220MPa，彈性模量 E=190GPa的鋼;P(2)o=490MPa,E=215GPa，含鎳3.5%的鎳鋼；P(3)o=20MPa,E=11GPa的松木。P試求可用歐拉公式計(jì)算臨界力的壓桿的最小柔度。解：（1）（2）（2）（3）TC13的木柱，截面為[o]=10（3）TC13的木柱，截面為[o]=10MPa。試求木柱的許可荷載。[習(xí)題9-11]兩端鉸支、強(qiáng)度等級(jí)為l=3.5m，強(qiáng)度許用應(yīng)力150mm□150mm的正方形，長度解：由公式（9-12a）：80.8=0.39380.8=0.39365[^]=^[^].4=0.393xl0xl06xl502xl0-6=88.4xl03N=88.4kN

[習(xí)題9-12]圖示結(jié)構(gòu)由鋼曲桿 AB和強(qiáng)度等級(jí)為 TC13的木桿BC組成。已知結(jié)構(gòu)所有的連接均為鉸連接，在 B點(diǎn)處承受豎直荷載 F=1.3kN，木材的強(qiáng)度許用應(yīng)力 [習(xí)題9-12]圖示結(jié)構(gòu)由鋼曲桿 AB和強(qiáng)度等級(jí)為 TC13的木桿BC組成。已知結(jié)構(gòu)所有的連接均為鉸連接，在 B點(diǎn)處承受豎直荷載 F=1.3kN，木材的強(qiáng)度許用應(yīng)力 [o]=10MPa試校核BC桿的穩(wěn)定性。解：把BC桿切斷，代之以軸力 N,則ZM=0A1.3x1-NcosCx1—NsinCx1=01.3sinC+cosCsinC= =0.8?2+1.521.5cosC= =0.6,?'22+1.52N=—13—0.8+0.6=0.929(kN)bh3I- 121- x40x403-213333(mm4)12,T；213333i-'--1 AV40x40-11.547(mm)Nl_1x2.5x103~i11.547-216.5>91由公式(9—12b)得：2800Q 22^-0.0597[o]—函]-0.0597x10-0.597MPast929N 0.581MPa40x40mm2因?yàn)閛<[o]，所以壓桿bc穩(wěn)定。st

[習(xí)題9-13]一支柱由4根80mmx80mmx6mm的角鋼組成（如圖叫 并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范口口腹式 b類截面中心受壓桿的要求。支柱的兩端為鉸支，柱長 l=6m，壓力為450kN。若材料為Q235鋼，強(qiáng)度許用應(yīng)力 [o]=170MPa，試求支柱橫截面邊長 a的尺寸。解：44=450x10 1197xl0解：44=450x10 1197xl06pa=1197MPa4x9.397x10^（查表：4=9.39-『m'4=57.35x10-^)b=司b],中二二=""了=0.704aI林 ，查表得:良=77.5I=Ai2=4&J=4x9,397x10^xO.0774I=Ai2=4&J=4x9,397x10^xO.07742=0.2253x10^m4[習(xí)題9-14]某桁架的受壓弦桿長類截面中心受壓桿的要求，截面形式如圖所示，材料為端鉸支考慮，試求桿所能承受的許可壓力。]2(21.9+9?雙區(qū)1廠’刖[習(xí)題9-14]某桁架的受壓弦桿長類截面中心受壓桿的要求，截面形式如圖所示，材料為端鉸支考慮，試求桿所能承受的許可壓力。]2(21.9+9?雙區(qū)1廠’刖4m,由綴板焊成一體，并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中口腹式 bQ235鋼，[o]=170MPa。若按兩2-L125XK5X10解：由型鋼表查得125Ml25Ml0角鋼:上二24.37Ml0"m前=4.85xl0"2m查表：0.672[昨=0.672x170x2x24.37x10^=557kN［習(xí)題9-15］圖示結(jié)構(gòu)中，形截面桿。已知該結(jié)構(gòu)的約束情況為BC為圓截面桿，其直徑A端固定，彈性模量E=210GPa,可各自獨(dú)立發(fā)生彎曲互不影響。d=80mm；AC邊長B、C為球形鉸。兩桿的材料均為若結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定安全系數(shù)a=70mm的正方Q235鋼，

n—2.5,試求所能承受的許可壓力。解：BC段為兩端鉸支，|LX=1兀d4 1I——————x3.14x804—2009600(mm4)64 64Pcr兀2EI3.142x210x103N/mm2x2009600mm4l220002mm2=1040227N=1040.227kN[F]BCP1040.227——cr―nst2.5=416(kN)stAB桿為一端固定，一端鉸支，日=0.7a4 1I————x704—2000833(mm4)12 12Pcr兀2EI3.142x210x103N/mm2x2000833mm4[F]AC939.4-crnst2.5故[F]=376kN［習(xí)題9-16］圖示一簡單托架，其撐桿為寸=50kN7m的均布荷載作用，試求撐桿所需的直徑 d。21002mm2375.76工376(kN)AB為圓截面木桿，強(qiáng)度等級(jí)為AB兩端為柱形鉸，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力=939400.621N=939.4kNTC15。口架上受集度匕］=1回,￡此=0,有=214kN解：取m-m以上部分為分離體，由q)-0,683,'=0,683x[^]=7.513MPad2=36.267mW-\厘=0」”"遙=5&316<p=l,02-0.55(58.316+20100)2=0,683求出的中與所設(shè)/基本相符，故撐桿直徑選用次=0.19m。[習(xí)題9-17]圖示結(jié)構(gòu)中桿AC與CD均由Q235鋼制成， C,D兩處均為球鉸。已知d=20mm,8=100mm,8=100mm,h=ISOmm;因數(shù)霓=2.0,穩(wěn)定安全因數(shù)豆=200GPa,E=235MPa,%=400MP,度安全沖—弓II叱一■。試確定該結(jié)構(gòu)的許可荷載。口：（甘桿 CD受壓力FCD梁BC中最大彎矩2F2Fx6b-"W3xbh24Fbh235x10^100x1^x10-=95I75N=952kH4x2.0（3）桿CD口Q235鋼的入=100)

Pit2EI_Ti2ETid4_n3x200xl09x204xlO-12尸—1m64- 64xI215.5xlO3N=15.5kN（由梁力矩平衡得）To=15.5x33.0=15.5kN故，由（ （由梁力矩平衡得）To=15.5x33.0=15.5kN故，由（ 2）、（ 3）可知，[F]=15.5kN［習(xí)題9-18］圖示結(jié)構(gòu)中，鋼梁 ABDOOCD分別由16號(hào)工字鋼和連成一體的兩根63mm乂63mmx5mm角鋼組成，桿 CD符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中口腹式 b類截面中心受壓桿的要求。均布荷載集度 q=48kN/m。梁及柱的材料均為 Q235鋼，［o］=170MPa,E=210GPa。試驗(yàn)算梁和立柱是否安全。解：（ 1）求多余約束力F解：（ 1）求多余約束力FCD把CD桿去掉，代之以約束反力攻=AlCCD攻十攻=AlCq cFCD CD5ql4Fl3 Fl AB———CDAB二—CDCD384EI48EIEA5ql4Fl3Fl AB———CDAB二一CDCD3841 481 A查型鋼表得： 16號(hào)工字鋼的I=1130cm4,W=141cm3zz63mmx63mmx5mmL形角鋼的面積： A=6.143cm2,I=23.17cm4,i=1.94cmzz5義48kN/100cm義4004cm4 F義4003cm3