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西南交通大學(xué)2004~2005學(xué)年(2)高等數(shù)學(xué)II期末試題題三總一二四五六七八目12分得分一、單項(xiàng)選擇題(每題3分,共15分)。1.極限lim3xy(C)。(x,y)(0,0)xy(A)等于0;(B)等于1;2(C)不存在;(D)存在但不等于1也不等于022.設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)獲得極值,則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是(A)。A)f(x0,y)在yy0處的導(dǎo)數(shù)等于零;B)f(x0,y)在yy0處的導(dǎo)數(shù)大于零;C)f(x0,y)在yy0處的導(dǎo)數(shù)小于零;(D)f(x0,y)在yy0處的導(dǎo)數(shù)不存在3.以下級(jí)數(shù)中發(fā)散的級(jí)數(shù)是(C)。(A)1;(B)(1)n;(C)1;(D)1n1n(n1)n1nn1nn12n4.微分方程y5y6yxe2x的特解形式是(D)。(A)ae2x(bxc);(B)(axb)e2x;(C)x2(axb)e2x;(D)x(axb)e2x5.為平面z42xy被柱面x2y22所截的部分,則曲面積分I2xyzdS的值為(C)。(A)8;(B)16;(C)86;(D)166二、填空題(每題4分,共20分)。.二重積分9及yx所圍成的閉區(qū)(此中D是由直線y1,x21xydxdy=8D域)。2.曲面2zez2xy3在點(diǎn)(1,2,0)處的切平面方程為4(x2)2(y1)z0。3.周期為2的函數(shù)f(x)2x(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x),則其在x5處的值s(5)等于2。.曲線積分I?Lx22ds(此中L是圓周:x2y29)的值為4y54。5.冪級(jí)數(shù)1nxn的收斂域(要觀察端點(diǎn))為[3,3)。n13n三、解答以下各題(每題8分,共24分)。1.函數(shù)zz(x,y)由方程F(xy,z2x)0確立,F(xiàn)(u,v)可微,且Fv0。求xzyz。xy解:zFxFuy2Fv,zFyFuxzz。xy,所以xy2xFzFvFzFvxy1x222x22.互換積分序次dxf(x,y)dydxf(x,y)dy。00101x222x2f(x,y)dy02y2解:dxf(x,y)dy1dxdyf(x,y)dy0000y3.設(shè)一矩形的周長為a,現(xiàn)讓它繞其一邊旋轉(zhuǎn),問矩形的長和寬分別為多少時(shí)所得圓柱體的體積最大。解:如圖設(shè)長為x,寬為y,則xya。繞ABx2旋轉(zhuǎn),獲得圓柱體的體積Vy2x,所以yVy2xy2(ay)。令Vy0,解得ya。于是23當(dāng)xa,ya時(shí)圓柱體的體積最大。63
AB四、(9分)計(jì)算I2dydzzdxdy,此中為曲面zx22介于z0及z4xy之間部分的下側(cè)。解法一:增補(bǔ)z4的上側(cè)1。于是Ix2dydzzdxdyx2dydzzdxdyx2dydzzdxdy11(2x1)dxdydzzdxdy1dxdydz4dxdyDxy2240d0rdrr2dz168解法二:I1x2dydz0,I2zdxdy(x2y2)dxdy223dr8drx2y2400Ix2dydzzdxdy8解法三:曲面zx2y2的法向量為(2x,2y,1)/14x24y2,dydz2xdxdy,所以Ix2dydzzdxdy(2x3z)dxdy8。五、(9分)設(shè)(0)1,(x)可微,且曲線積分[ex(x)]ydx(x)dy與積分路2L徑L沒關(guān)。(1)求函數(shù)(x);(2)求積分(1,1)(x)]ydx(x)dy的值。[ex(0,0)解:(1)令P[ex(x)]y,Q(x)。由曲線積分[ex(x)]ydx(x)dy與積L分路徑L沒關(guān),QxPy,即(x)(x)ex。解此一階線性非齊次微分方程,得通解:(x)1exCex。又(0)1,得(x)1ex。222(2)(1,1)x(x)]ydx(x)dy1(1,1)xxe[e2eydxedy2(0,0)(0,0)六、(9分)設(shè)f(t)為連續(xù)函數(shù)且f(0)0,知足f(t)[z3f(x2y2)]dxdydz,此中由0z1,x2y2t2(t0)確立。(1)將此三重積分化為柱面坐標(biāo)系下的三次積分。(2)利用(1)的結(jié)果求limf(2t)。t0t解:(1)f(t)[z3f(x2y2)]dxdydz2t1f(r))dz0drdr(z300(2)由(1)f(t)2drdr(z3f(r))dz2r(1f(r))drt1t000042r(1f(r))dr2t(1f(t))f(t)t440于是limlimlimf(0)。22t0tt0tt02t44七、(9分)將函數(shù)f(x)1x睜開為x的冪級(jí)數(shù),并求級(jí)數(shù)(1)narctanx的和。1n12n1解:(1)f(x)(arctan1x)11(1)n1x2n,于是1xx2n0f(x)f(0)(1)n1x2ndx(n1x2n1(1x1)x1)0n02n1n0所以f(x)4(1)n1x2n1(1x1)n02n1(2)令x1,f(1)(1)n0,(1)n。4n02n14n12n1八、(5分)已知平面地區(qū)D(x,y)|0x,0y,L為D的正向界限。證明:?xesinydyyesinxdx22。L證明一:?xesinydyyesinxdxD(esinyesinx)dxdy,L而esinydxdyesinxdxdy,DD所以?xesinydyyesinxdx(esinxesinx)dxdy。又esinxesinx2
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