0405高等數(shù)學(xué)II解答

西南交通大學(xué)2004～2005學(xué)年（2）高等數(shù)學(xué)II期末試題題三總一二四五六七八目12分得分一、單項選擇題（每題3分，共15分）。1．極限lim3xy（C）。(x,y)(0,0)xy（A）等于0；（B）等于1；2（C）不存在；（D）存在但不等于1也不等于022．設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點(x0,y0)獲得極值，則以下結(jié)論正確的選項是（A）。A）f(x0,y)在yy0處的導(dǎo)數(shù)等于零；B）f(x0,y)在yy0處的導(dǎo)數(shù)大于零；C）f(x0,y)在yy0處的導(dǎo)數(shù)小于零；（D）f(x0,y)在yy0處的導(dǎo)數(shù)不存在3．以下級數(shù)中發(fā)散的級數(shù)是（C）。（A）1；（B）(1)n；（C）1；（D）1n1n(n1)n1nn1nn12n4．微分方程y5y6yxe2x的特解形式是（D）。（A）ae2x(bxc)；（B）(axb)e2x；（C）x2(axb)e2x；（D）x(axb)e2x5．為平面z42xy被柱面x2y22所截的部分，則曲面積分I2xyzdS的值為（C）。（A）8；（B）16；（C）86；（D）166二、填空題（每題4分，共20分）。．二重積分9及yx所圍成的閉區(qū)（此中D是由直線y1,x21xydxdy＝8D域）。2．曲面2zez2xy3在點（1，2，0）處的切平面方程為4(x2)2(y1)z0。3．周期為2的函數(shù)f(x)2x(x)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)為s(x)，則其在x5處的值s(5)等于2。．曲線積分I?Lx22ds（此中L是圓周：x2y29）的值為4y54。5．冪級數(shù)1nxn的收斂域（要觀察端點）為[3,3)。n13n三、解答以下各題（每題8分，共24分）。1．函數(shù)zz(x,y)由方程F(xy,z2x)0確立，F(xiàn)(u,v)可微，且Fv0。求xzyz。xy解：zFxFuy2Fv，zFyFuxzz。xy，所以xy2xFzFvFzFvxy1x222x22．互換積分序次dxf(x,y)dydxf(x,y)dy。00101x222x2f(x,y)dy02y2解：dxf(x,y)dy1dxdyf(x,y)dy0000y3．設(shè)一矩形的周長為a，現(xiàn)讓它繞其一邊旋轉(zhuǎn)，問矩形的長和寬分別為多少時所得圓柱體的體積最大。解：如圖設(shè)長為x，寬為y，則xya。繞ABx2旋轉(zhuǎn)，獲得圓柱體的體積Vy2x，所以yVy2xy2(ay)。令Vy0，解得ya。于是23當(dāng)xa，ya時圓柱體的體積最大。63

AB四、（9分）計算I2dydzzdxdy，此中為曲面zx22介于z0及z4xy之間部分的下側(cè)。解法一：增補z4的上側(cè)1。于是Ix2dydzzdxdyx2dydzzdxdyx2dydzzdxdy11(2x1)dxdydzzdxdy1dxdydz4dxdyDxy2240d0rdrr2dz168解法二：I1x2dydz0，I2zdxdy(x2y2)dxdy223dr8drx2y2400Ix2dydzzdxdy8解法三：曲面zx2y2的法向量為(2x,2y,1)/14x24y2，dydz2xdxdy，所以Ix2dydzzdxdy(2x3z)dxdy8。五、（9分）設(shè)(0)1，(x)可微，且曲線積分[ex(x)]ydx(x)dy與積分路2L徑L沒關(guān)。（1）求函數(shù)(x)；（2）求積分(1,1)(x)]ydx(x)dy的值。[ex(0,0)解：（1）令P[ex(x)]y，Q(x)。由曲線積分[ex(x)]ydx(x)dy與積L分路徑L沒關(guān)，QxPy，即(x)(x)ex。解此一階線性非齊次微分方程，得通解：(x)1exCex。又(0)1，得(x)1ex。222（2）(1,1)x(x)]ydx(x)dy1(1,1)xxe[e2eydxedy2(0,0)(0,0)六、（9分）設(shè)f(t)為連續(xù)函數(shù)且f(0)0，知足f(t)[z3f(x2y2)]dxdydz，此中由0z1,x2y2t2(t0)確立。（1）將此三重積分化為柱面坐標(biāo)系下的三次積分。（2）利用（1）的結(jié)果求limf(2t)。t0t解：（1）f(t)[z3f(x2y2)]dxdydz2t1f(r))dz0drdr(z300（2）由（1）f(t)2drdr(z3f(r))dz2r(1f(r))drt1t000042r(1f(r))dr2t(1f(t))f(t)t440于是limlimlimf(0)。22t0tt0tt02t44七、（9分）將函數(shù)f(x)1x睜開為x的冪級數(shù)，并求級數(shù)(1)narctanx的和。1n12n1解：（1）f(x)(arctan1x)11(1)n1x2n，于是1xx2n0f(x)f(0)(1)n1x2ndx(n1x2n1(1x1)x1)0n02n1n0所以f(x)4(1)n1x2n1(1x1)n02n1（2）令x1，f(1)(1)n0，(1)n。4n02n14n12n1八、（5分）已知平面地區(qū)D(x,y)|0x,0y，L為D的正向界限。證明：?xesinydyyesinxdx22。L證明一：?xesinydyyesinxdxD(esinyesinx)dxdy，L而esinydxdyesinxdxdy，DD所以?xesinydyyesinxdx(esinxesinx)dxdy。又esinxesinx2