單項選擇題高考剖析及2022年高考數(shù)學(xué)備考指南（解析版）

“單項選擇題”高考剖析及備考指南

目錄

一、揄出知蹭...............................................................................1

二、基本技能型................................................................................4

三、基本思想型................................................................................7

四、思維開放型...............................................................................10

五、前瞻預(yù)測.................................................................................14

“單項選擇題”高考剖析及備考指南

2021年全國高考試題，呈現(xiàn)了不同風(fēng)貌的精彩背景，解題思維的障礙點在于閱讀、深

度理解，獲取知識之間的聯(lián)系，關(guān)鍵在于“抽象、推理、模型”的數(shù)學(xué)化過程.這也告訴人

們，高考復(fù)習(xí)不在于刷題多少，關(guān)鍵是對知識的梳理、方法的總結(jié)、以及思維的升華，逐步

形成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，以及分析問題和解決問題的能力.教學(xué)學(xué)習(xí)，要在“數(shù)學(xué)抽象、

邏輯推理、模型建立”的過程中，不斷獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累，感悟數(shù)學(xué)的味道，逐漸形成一

些解決新穎問題的解題智慧.

2021年高考已為過去時態(tài)，在各種卷型的數(shù)學(xué)真題中，設(shè)計了許多精彩的、富有新意

的既考知識，又考能力的好題目.本文選取部分選擇題，給出筆者的思考，供讀者在高考備

考時參考.

一、基礎(chǔ)知識型

立足教材，考查基本概念的理解，基本數(shù)學(xué)公式、法則、定理的運用.

1.已知集合A={x卜2<%<4},8={2,3,4,5},則403=

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.{2,3,4}

【答案】B

【解析】由2eA,3eA4史A,5史A，可得Ap|B={2,3},故選B.

【評析】本題所給兩個集合，一個是不等式的解集，但無需化簡，一個是離散的數(shù)集，足見

命題者有意降低試題難度，突出對交集概念的考查，該題難度與往年老教材全國卷ILIII

的文科集合試題難度相當。

規(guī)律總結(jié)：

【命題意圖】本題考查集合的交集運算，考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容易.

【考情分析】集合是高考每年必考知識點，一般以容易題面目呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的

位置上，考查熱點一是集合的并集、交集、補集運算,二是集合之間的關(guān)系，這種考查方式多年

來保持穩(wěn)定.

【得分秘籍】

1.求解集合的運算問題的三個步驟：

(1)看元素構(gòu)成,集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的

關(guān)鍵,即辨清是數(shù)集、點集還是圖形集等，如{x|y=/(x)},{)，|y=/(x)},{(x,y)|y=/(x)}三者是不同

的.；

(2)對集合化簡，有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了、

易于解決；

(3)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進行交、并、補等運算，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和韋恩圖(Venn).

2.求解集合關(guān)系問題應(yīng)注意的幾個問題

(1)判斷集合中元素的個數(shù)，或利用元素與集合之間的關(guān)系、集合與集合之間的關(guān)系求參數(shù)

取值,要注意元素的互異性,一般地，在解集合中的未知元素時,要將所得值回歸集合中,檢驗集

合是否滿足互異性，若不滿足互異性，則應(yīng)舍去.

(2)AQB,AHB=A,A'JB=B,[VBQ[UA以及An((uB)=0是兩兩等價的.對這五個式子的等價

轉(zhuǎn)換,常使較復(fù)雜的集合運算變得簡單.

(3)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系,進而轉(zhuǎn)

化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

【易錯警示】

1.化簡集合時運算失誤，如當所給集合為不等式解集時,解不等式運算錯誤；

2.對集合概念理解不準確，錯把數(shù)集當作點集，如已知集合

4={丫,=——2},3={引>=6,求AflB得出403={(—1,一1),(2,2)}的錯誤結(jié)果；

3.忽略集合中元素的互異性，如根據(jù)集合A={〃-3,24—1/2—4},且一3GA,求實數(shù)a的值，忽

略檢驗〃=一1時不滿足元素的互異性.

4.利用B^A,AC\B=0求參數(shù)取值，忽略判斷B是否可以為0.如根據(jù)集合4={X*-X-

12$0},8={衛(wèi)2〃?-14<〃?+1},且4”=8,求實數(shù)m的取值范圍,忽略，"+1及〃?-1即m>2時

3=0,也滿足題意.

2.已知z=2-i，則z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2ic.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

解法一：因為z=2-i,所以z=2+i,所以

z(z+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2i2=6+2i

故選C.

解法二：因為z=2-i，z(z+i)=|z|2+zi=5+2i+l=6+2i,故選C.

解法三：排除法

【評析】去年新高考試卷復(fù)數(shù)考查的是復(fù)數(shù)的除法運算，考查內(nèi)容單一,今年把共規(guī)復(fù)數(shù)與復(fù)

數(shù)的運算結(jié)合在一起考查,背景有所創(chuàng)新，為降低難度，把除法運算改為乘法運算，可見新高考

試卷入手依然比較容易.

規(guī)律總結(jié)：

【命題意圖】本題考查共規(guī)復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法運算，考查數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難

度：容易.

【考情分析】復(fù)數(shù)是高考每年必考知識點，一般以容易題面目呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的位

置上，考查熱點一是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的兒何意義,如復(fù)數(shù)的模、共較復(fù)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)的

幾何意義等,二是復(fù)數(shù)的加減乘除運算.

【得分秘籍】

1.解決復(fù)數(shù)概念問題及復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)注意的問題

(1)復(fù)數(shù)的分類，復(fù)數(shù)的相等，復(fù)數(shù)的模，共朝復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實部與虛部有關(guān)，所以解答

與復(fù)數(shù)概念有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式和a+bi(a/CR)的形式，再根據(jù)題意

求解.

…一次一/(”

(2)?礪方一?和(其中WR),|z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點與原點的距離.|zi-Z2|表示兩點

的距離，即表示復(fù)數(shù)Z|與Z2對應(yīng)的點的距離.

2.求解復(fù)數(shù)運算問題的常見類型及解題策略

(1)復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類

項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.

(2)復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共相復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成

最簡形式.

(3)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為。+加(a,，eR)的

形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.

(4)復(fù)數(shù)的運算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡，一般化為a+

與伍力GR)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.

(5)復(fù)數(shù)的綜合運算.分別運用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進行運算，要注意運算順序,要先算乘除,

后算加減,有括號要先算括號里面的.

【易錯警示】

(1)對于復(fù)數(shù)。+歷，如果〃力GC(或沒有明確界定a/GR)廁不可想當然地判定a/GR.

(2)易誤認為y軸上的點與純虛數(shù)一一對應(yīng)(注意原點除外).

⑶對于。十歷(。力WR)為純虛數(shù)的充要條件，只注意了。=0而漏掉了原0.

(4)進行復(fù)數(shù)的乘法與除法運算，誤認為i?=1,導(dǎo)致運算錯誤.

⑸設(shè)z=a+bi(a,bGR)，注意z=a-hi,zz=a2+b2，不要出現(xiàn)

z=—a+bi,zz=>Ja2+b2的錯誤.

二、基本技能型

立足課程內(nèi)容，考查數(shù)學(xué)思維中的通性、通法的直接應(yīng)用.

3.已知圓錐的底面半徑為加，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()

A.2B.2V2c，4D.4V2

【答案】B

【解析】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則兀/=2兀x五，解得

1=26.

故選B.

【評析】本題考查圓錐的側(cè)面展開圖，求解時只用到一個關(guān)系式，考查知識點單一、運算簡單,

依然屬于送分題，這提醒我們在復(fù)習(xí)時要注重基礎(chǔ)知識，基礎(chǔ)題失分過多是考生高考數(shù)學(xué)考不

好的主要原因.

規(guī)律總結(jié)：

【命題意圖】本題考查圓錐及圓錐的側(cè)面展開圖，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).難度:

容易.

【考情分析】立體幾何在高考中一般有2道客觀題,一般有一道是多面體，一道是旋轉(zhuǎn)體；一

道是容易題，一道是較難的題.考查熱點是幾何體中元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系、幾何體的表

面積與體積、球與幾何體的切接等.另外，單選題中考查空間幾何體元素數(shù)量關(guān)系的題,常與數(shù)

學(xué)文化及生產(chǎn)生活相聯(lián)系.

【得分秘籍】

1.在研究圓柱、圓錐、圓臺的相關(guān)問題時，主要方法就是研究它們的軸截面，這是因為在軸截

面中容易找到這些幾何體的有關(guān)元素之間的位置關(guān)系以及數(shù)量關(guān)系.

2.幾何體的展開與折疊

(1)幾何體的表面積，除球以外，一般都是利用展開圖求得的，利用空間問題平面化的思想,把一

個平面圖形折疊成一個幾何體，再研究其性質(zhì),是考查空間想象能力的常用方法.

(2)多面體的展開圖

①直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形；

②正棱錐的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多邊形；

③正棱臺的側(cè)面展開圖是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多邊形.

(3)旋轉(zhuǎn)體的展開圖

①圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，矩形的長(或?qū)?是底面圓周長，寬(或長)是圓柱的母線長；

②圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑長是圓錐的母線長，弧長是圓錐的底面周長；

③圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，扇環(huán)的上、下弧長分別為圓臺的上、下底面周長.

注：圓錐和圓臺的側(cè)面積公式Sw<?=cl和Sfs<s?=(c'+c)l與三角形和梯形的面積公式在形

式上相同，可將二者聯(lián)系起來記憶.

3.空間幾何體的表面積的計算方法

有關(guān)空間幾何體的表面積的計算通常是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，這是解決立體

幾何問題常用的基本方法.

(1)計算棱柱、棱錐、棱臺等多面體的表面積,可以分別求各面面積，再求和,對于直棱柱、正棱

錐、正棱臺也可直接利用公式.

(2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算其側(cè)面積時需將曲面展為平面圖形計算，而表面積是

側(cè)面積與底面圓的面積之和.

(3)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

4.空間幾何體的體積的計算方法

(1)計算柱、錐、臺體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,應(yīng)注意充分利用多面

體的截面，特別是軸截面,將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.

(2)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補體法、還臺為錐法、等積變換法(如求三棱錐的

體積可靈活變換頂點與底面)等，它們是計算一些不規(guī)則幾何體體積常用的方法，應(yīng)熟練掌握.

(3)利用三棱錐的“等體積性”可以解決一些點到平面的距離問題，即將點到平面的距離視為一

個三棱錐的高，通過將其頂點和底面進行轉(zhuǎn)化，借助體積的不變性解決問題.

【易錯警示】

(1)求解空間幾何體中元素的數(shù)量關(guān)系問題,不善于借組直觀圖、截面圖，致使求解失誤；

(2)求幾何體的表面積忽略了對重疊部分的處理；

(3)求椎體體積時忽略乘以g；

(4)求幾何體表面上兩點之間的最短距離，不要忘記利用展開圖.

4.下列區(qū)間中，函數(shù)〃x)=7sin(x-g)單調(diào)遞增的區(qū)間是()

【答案】A

【解析】

/兀兀1

解法一：因為函數(shù)丁=5詁%的單調(diào)遞增區(qū)間為2阮一5,2攵兀+5)(攵￡2)，對于函數(shù)

/(工)=7sin(九一看］,由2攵兀一］vx-怖v2%兀+］(攵￡Z),解得

2%兀一§<x<2%r+q-(左eZ),取左=(),可得函數(shù)/(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為

1―i■專)'則(明'(一5號)f①(一今片)'A選項滿足條件，B不滿足條件：

(5兀8兀、

取左=1,可得函數(shù)/(X)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為彳,亍)

/3吟卜712兀且卜孫5兀8兀手,2小5兀8兀

T,TT'T,CD選項均不滿足條

件，故選A.

TT

解法二：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性逐個驗證.設(shè)，=X-2

6

7T7171兀

對于A,當時fe，由y=7sinr在上是增函數(shù)，可得A滿足條件:

6,36!3

對于B,當兀）時fw715兀715兀

，由y=7sinr在上不單調(diào)，可得B不滿足條件;

3,~63'T

（3兀A（557兀r447兀rA（55J兀i44兀n）

對于C,當工q兀，萬卜由y=7sinr在（豆,彳）上是減函數(shù)，可得C不滿足

6363

條件;

對于D,當x42[2兀）時fe4兀I1714兀117T

，由y=7sin/在上不單調(diào)，可得D不滿

3636

足條件;

故選A.

71

解法三：/(x)=7sinX--在區(qū)間（a,b）上單調(diào)遞增，則xe（a力）時

兀

f'(x)=7cosX--20恒成立.

對于A,當xe0,5時一：＜%-F＜匹J'（x）20恒成立,A滿足條件;

k2；663

對于B,當XW股時，由fcosg=-《＜0,可得B不滿足條件;

對于C,當xw（兀，,）時，由

=COS71=-1＜0,可得C不滿足條件;

工十,（3兀177r

對于D,當,2兀時，由/cos五＜0,可得D不滿足條件；故選A.

/偌

【評析】本題以正弦型函數(shù)為載體，考查三角函數(shù)的單調(diào)性，試題簡潔流暢,屬于常規(guī)題型，側(cè)重

對重要基礎(chǔ)知識的考查.三角函數(shù)單調(diào)性是三角函數(shù)的一個重要性質(zhì)，也是高考考查的熱點,

對于求正弦型函數(shù)的單調(diào)性課本有不少類似的題，這說明課本是高考試題的生長點，復(fù)習(xí)時不

要丟掉課本.

規(guī)律總結(jié)：

【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易.

【考情分析】三角函數(shù)與解三角形在新高考全國卷中一般有2道客觀題,1道解答題,解答題

一般考查解三角形,客觀題考查熱點是三角變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【得分秘籍】

(1)求形如y=4sin(cox+9)(其中o＞0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“"x+為一個整體,通過解不等式

求解；

(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解；

TTJT

如已知5＞0,函數(shù)y(x)=cos(5+R在(2,兀)上單調(diào)遞增，求co的取值范圍.可先根據(jù)函數(shù)y=cosx

[con,n?八，

彳+廬一兀+2E,

的單調(diào)遞增區(qū)間為[一兀+2E,2E]#￡Z,列出不等式組《k￡Z,解得4k

Ico兀I,

一也0324一)6Z,

再根據(jù)縱一,一(2%—；)或次CZ且2%-；＞(UGZ,得k=l,求得°的取值范圍是I，..

(3)求函數(shù)產(chǎn)Asin(ftxr+s)在區(qū)間[。,可上的值域或最值，一般根據(jù)y=Asin(s+。)在區(qū)間

可上的單調(diào)性來求；

(4)研究y=6zsinx+/?cosx的單調(diào)性,要先利用輔助角公式把函數(shù)化為構(gòu)造y=y/a2+b2sin(x

+夕)的形式;

(5)研究y=nsin2x+/?sinxcosx+ccos2x+J的單調(diào)性,要先利用

.1-cos2x.1._l+cos2x邊針寸,上至、a1?

sin2-x=--------,sinxcosx=—sin2x,cos-2x=----------降器，再利用輔助角公式把函

222

教化為構(gòu)造)=Asin(2x+9)+B的形式.

【易錯警示】

⑴研究y=Asin(＜”+9)的單調(diào)性時，如果。＜0,一定先借助誘導(dǎo)公式將。化為正數(shù)，防止把單

調(diào)性弄錯；

(2)把y=asinx+〃cosx化為y=W^PPsin(x+°)時忽略＜p所在象限，導(dǎo)致＜p值求錯.

(3)單調(diào)區(qū)間表示不規(guī)范，如沒有用區(qū)間表示，沒有寫％wZ等.

三、基本思想型

立足課程內(nèi)容，考查數(shù)學(xué)思想方法在解題思維過程中的靈活運用.注重分類、畫圖、模型建

立等化歸思想.

5.已知是橢圓C：工+q=1的兩個焦點，點M在。上，貝|」|以訃|叫|的最大值為

()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

解法一：由題，/=9,/=4,則|岫|+|9|=24=6,所以

\MF]-\MF2\<+=9(當且僅當q=3時,等號成立).故選C.

I2J

解法二：設(shè)|町|=「，由橢圓定義可得\MF2\=6-t,則\MF\-\MF^=

16-。=一?-3)2+949,當/=3時取等號,故選C.

解法三：焦半徑公式：M/?.Mf；=(3+—x).(3-^x)=9--x2<9

【評析】本題把橢圓的方程與橢圓的幾何性質(zhì)及基本不等式結(jié)合在一起考查,雖在知識交匯

處命題，但涉及的都是基礎(chǔ)知識，且運算簡單，屬于容易題，注意與橢圓焦點弦長或焦半徑有關(guān)

的計算問題及與焦點有關(guān)的距離最值問題，常利用橢圓的定義求解.

規(guī)律總結(jié)：

【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推

理的核心素養(yǎng).難度：容易.

【考情分析】圓錐曲線是高考中重點與難點,一般情況下有2道客觀題、1道解答題，這3

道題會分別涉及橢圓、雙曲線及拋物線，客觀題中的圓錐曲線題可以是容易題，也可以是難

題.

【得分秘籍】

(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MFi|+|MB|=2a(2G>|FiF2|),則點M的軌跡是橢圓；反之，

橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a

(2)涉及曲線上的點到焦點的距離問題時,應(yīng)先考慮是否能夠利用橢圓的定義求解.

(3)用定義法求橢圓方程的思路是:先觀察、分析已知條件，看所求動點軌跡是否符合橢圓的定

義.若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可.

(4)解決與橢圓有關(guān)的最值問題,特別是求距離之和的最大值，可利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為距離之

22

差的最大值，再利用三點共線確定差的最大值，如橢圓?+方=1內(nèi)有一點P(L—1),尸為橢

圓右焦點，在橢圓上有一點M,求的最大值，可設(shè)橢圓左焦點為尸，則

MP\+1A/F|=4—|A/F|+|MP|=4+(|MP\—|MF.當M為PF的延長線與和有圓的

交點時,|MP|-1板'|有最大值為石，+|M/|的值最大值為4+JL

(5)橢圓上的點「(項,加)與兩焦點構(gòu)成的△PQ&叫做焦點三角形.，I=|PQ|/2=|P&I,乙

92

=。,/\刊”2的面積為S,則在橢圓，+卓=l(a>QO)中：①當n=，2時，即點P的位置為短

軸端點時，。最大；

n

②S=〃tan]=cly()|,當|找|=6時，即點P的位置為短軸端點時,S取最大值，最大值為be.

2h2

(6)焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中以通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長/min=笠--

【易錯警示】

(1)利用橢圓定義求軌跡方程一定要注意常數(shù)2a>尸正2|這一條件；

(2)利用橢圓定義求軌跡方程，忽略軌跡的純粹性，如在三角形中忽略三點不共線；

(3)忽略橢圓方程中％,》范圍的限制。

,,_cesin，(l+sin2。)

6.若tan0=一2,則——---------2=:()

sin。+cos。

2

B.——

554

【答案】c

【解析】

解法一：sin8(l+sin2e)=sin6(sin°+c°se)2=sine(sine+c°se)

sin0+cos0sin6+cos0

_sine(sin6+cos。)_tan26+tan。_4-2_2十『毋

sin2^4-cos201+tan261+45

sin0

解法二：因為tanOu2-----=-2,所以sin6=-2cos6,

cos夕

所以sin8(1+sin2。)_二sin/sin.+cosef

sin(9+cos6(sin+cos6>)(sin2+cos26>)

_-2cos6(-2cos6+cose)2_-2cos36>_2故選?

(-2cose+cos6)(4cos26+cos?6)-5cos365-'

【評析】本題主要考查利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值，常規(guī)求解思路是把所給式子化為

關(guān)于sinacos。的齊次分數(shù),再進一步轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan。的分式，然后代入求值,本題解法思路

容易,但運算量稍大，也有一定的技巧，難度較前幾題有所增加.

規(guī)律總結(jié)：

【命題意圖】本題考查同角三角函數(shù)關(guān)系式在求值中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的核

心素養(yǎng).難度：中等偏易.

【考情分析】三角函數(shù)與解三角形在新高考全國卷中一般有2道客觀題,1道解答題,解答題

一般考查解三角形，客觀題考查熱點是三角變換及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度一般為容易或

中等偏易.

【得分秘籍】

利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求值主要有以下4種類型：已知一個角的一種三函函數(shù)值,求該角

的其他三角函數(shù)值；關(guān)于sina,cos。的齊次分式求值；利用

(sin?！纁osaf=l±2sinacosa求值；利用方程思想求值.

⑴已知角a的某一種三角函數(shù)值，求角a的其余三角函數(shù)值時，要注意公式的合理選擇.一般

是先選用平方關(guān)系，再用商數(shù)關(guān)系.在應(yīng)用平方關(guān)系求sina或cosa時，其正負號是由角a所

在象限來決定，切不可不加分析，憑想象亂寫公式.已知tan。求sina(cosa)可利用

2sin2a上,

tan-a=--；—來求.

cos-a

(2)關(guān)于since、cosa的齊次式，可以通過分子、分母同除以分式中cosa的最高次繇轉(zhuǎn)化為關(guān)于

tana的式子后再求值.注意有時為了拼湊分子分母齊次，需要靈活地進行“1”的代換，由1=

sirPa+cos%代換后，再構(gòu)造出關(guān)于tana的代數(shù)式.

(3)對于sina+cosa,sinacos?,sina—coscc這三個式子，利用(sina±cosa)2=l±2sinacosa,可以知一

求二.

⑷求某個式子的值，有時可已知條件構(gòu)造關(guān)于該式子的方程，再通過解方程求值，如已知

tan0=cos氏求sin6,可通過切化弦轉(zhuǎn)化為s^n=cos6,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于sin。的一元二次

cos。

方程求值.

【易錯警示】

(1)利用sincr=±Jl-cos2a或cosa=土Jl-sin2a，要注意根號前面的正負號的取舍

⑵如果已知三角函數(shù)值，但沒有指定角在哪個象限，或所給的三角函數(shù)值是由字母給出的，且

沒有確定角在哪個象限，那么就需要進行討論.

(3)等式兩邊同時約去一個式子，要判斷該式子的值是否可能為零，若有可能為零，要分2種情

況討論

四、思維開放型

立足課程內(nèi)容，考查數(shù)學(xué)解題思維過程中的敏捷性、深刻性、開放性.

7.若過點(。,〃)可以作曲線y=e’的兩條切線，則()

A.e"vaB.e"<b

C.Ovave"D.0<Z?<

【答案】D

【解析】

解法一：設(shè)過點(a,b)的切線與曲線y=e'切于p(f,e')，對函數(shù)y=ev求導(dǎo)得y=e1所以

曲線y=e'在點P處的切線方程為丁-0'=3(》一，),即曠=9%+(1-/)6',由題意可知,點

(。力)在直線y=e'x+(-f)e’上,所以b=ae'+(-/)e'=(a+l-f)e',過點(。力)可以

作曲線y=e'的兩條切線，則方程8=(a+l-r)e'有兩個不同實根，令/(r)=(a+l—7)e’,

則,尸（。=（a-.當r＜a時，/（。＞0,此時函數(shù)單調(diào)遞增，且

/（。＞0,當r＞a時,/此時函數(shù)/〃）單調(diào)遞減，

所以,了（。111ax=/（a）=e",如圖所示,當直線y=匕與曲線y=/“）的圖

象有兩個交點時，當0＜人＜e"時，直線y=方與曲線y=/（/）的圖象有兩個

交點.故選D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=e*的圖象如圖所示,根據(jù)直觀即可判定點

（a,b）在曲線下方和x軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知

0＜h＜ea.故選D.

【評析】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究確定的切線，注意等價轉(zhuǎn)

化思想的應(yīng)用：切線有兩條,切點?,e'）有2個把斗因期/_＞關(guān)

于r的方程b=（a+l—f）e'有2個不同實根一直線y與/（/）=（a+l—f）e'有2個交

點.另外由解法二可知：點（a,方）在曲線下方且在x軸上方時符合條件的切線有2條；點

（a,b）在曲線上或在x軸上或在x軸下方時符合條件的切線有1條；點（a/）在曲線上方時

符合條件的切線不存在；若把題中的切線換成y=x1點（。力）位置與切線條數(shù)有何關(guān)系，有

興趣的同學(xué)可以探討一下.

規(guī)律總結(jié)：

【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中

等.

【考情分析】導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考的一個高頻考點，考查熱點主要有：求曲線在某點處的

切線；求兩條曲線的公切線；確定滿足條件的曲線的條數(shù).

【得分秘籍】

（1）導(dǎo)數(shù)的幾何意義是研究曲線的切線的基石，函數(shù)y=/U）在點xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是

曲線y=/u）在點POoj/Uo））處的切線的斜率?也就是說，曲線y=y（x）在點P（xo；/（xo））處的切線的

斜率是y'（與）.求以曲線上的點（XO1AM））為切點的切線方程的求解步滕：①求出函數(shù)貝X）的導(dǎo)

數(shù)八X）；

②求切線的斜率了（刈）；③寫出切線方程），一人須））=/（沏）（x—沏），并化簡.

（2）研究曲線的公切線，一般是分別設(shè)出兩切點，寫出兩切線方程,然后再使這兩個方程表示同

一條直線.

（3）求曲線切線的條數(shù)一般是設(shè)出切點（Z,/。））,由已知條件整理出關(guān)于f的方程，把切線條數(shù)

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于f的方程的實根個數(shù)問題.

【易錯警示】

（1）求導(dǎo)出錯，如一下幾個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較容易出錯：

㈣、去?“‘一迎+一

（2）混淆在某點處的切線與過某點的切線，注意求曲線過某點的切線，一般是設(shè)出切點（xo,yo）,解

yo=f（沏）?

方程組§】一兒“/、得切點（孫加）,進而確定切線方程.

:---J=f（Xo）,

Ixi—xoJ

（3）對曲線的切線理解失誤，如誤認為曲線的切線與曲線只有1個公共點，又如誤認為尤=0不

是曲線y=/在％=（）處的切線方程.

8.有6個相同的球,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球,甲表示

事件，，第一次取出的球的數(shù)字是1，，,乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩

次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7",則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

【答案】B

【解析】由題意可得P（甲）=，，尸（乙）=[P（丙）=20（?。?三=3

6636366

p（甲丙）=0,P（甲）P（丙尸工，P（甲丙）二尸（甲）P（丙），

216

P（甲?。?-!_,尸（甲）P（丁）=_1,2（甲?。?尸（甲"（?。?，

3636

尸（乙丙）=',P（乙）P（丙）=工，P（乙丙）*P（乙）尸（兩，

36216

P（丙丁）=0,P（丙）P（丁尸工，P（丙?。㎏P（丙）P（?。?故選B.

216

【評析】本題涉及相互獨立事件的判斷,同學(xué)們習(xí)慣根據(jù)相互獨立立事件的概率計算公式，求

相互獨立立事件的概率,本題反過來利用概率計算的結(jié)果判斷事件是否相互獨立，高考全國卷

選擇題中首次考查此類問題，故該題背景新穎，但思路不難想到，與第7題相比較，該題難度略

低于第7題.本題得分率僅在6%.

規(guī)律總結(jié)：

【命題意圖】本題考查用概率判斷相互獨立事件，考查數(shù)據(jù)分析與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：

中等.

【考情分析】概率與統(tǒng)計是高考重點，該模塊涉及知識點比較多，高考命題沒有固定的熱點,

一般情況下會有2道客觀題,一道解答題.

【得分秘籍】

⑴“獨立’'與"互斥”的區(qū)別

兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事

件發(fā)生的概率沒有影響(如有放回的抽取模型).兩事件相互獨立通常不互斥，兩事件互斥通常

不獨立.若事件A.B互斥，則尸(A+8)=P(A)+P(S)，若事件A,B不互斥，則

P(A+B)=JP(A)+P(B)-P(AB)，若事件A,B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)

(2)理解事件中常見詞語的含義：

①A,2中至少有一個發(fā)生的事件為AUB;

②A,8都發(fā)生的事件為A3;

③A,8都不發(fā)生的事件為了不；

④A,8恰有一個發(fā)生的事件為ABUAB：

⑤A,8至多一個發(fā)生的事件為ABUABUAB.

(3)條件概率的求法

解決條件概率問題的步驟：第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“在……條件

下''"在……前提下"等字眼，一般為條件^率.題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)

影響所求事件的概率時,也需注意是否為條件概率.若為條件概率，則進行第二步：計算概率,

這里有兩種思路.思路一：縮減樣本空間法計算條件概率.如求P(A|B),可分別求出事件&A8

包含的基本事件的個數(shù)，再利用公式P(A|B)=計算.思路二：直接利用條件概率的計算公式

計算條件概率，即先分別計算出P(4B),P(B),再利用公式P(A|B)=計算.為了求一些復(fù)雜事件

的條件概率,往往可以先把它分解為兩個(或若干個)互斥事件的和，利用公式P(BUC|A)=

P(B|A)+P(C|A)進行計算，其中B,C互斥.

(4)正確理解獨立重復(fù)試臉與相互獨立事件間的關(guān)系

獨立重復(fù)試驗是指在相同條件下可重復(fù)進行的、各次之間相互獨立的一種試驗，在這種試驗

中每一次試臉只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生、要么不發(fā)生，且任何一次試臉中事件發(fā)生的概率都

是一樣的.在相同條件下重復(fù)做的〃次試驗稱為"次獨立重復(fù)試驗，若4(i=12…,〃)是第i次

試驗的結(jié)果，則P(AiA2…4)=P(A)尸(4)…P(A.).

在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生2次的概率為(每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p)G/(l

-p)"~k，事件A發(fā)生的次數(shù)是一個隨機變量X,其分布列為P(X=k)=Cpk-p)"r(&=

0,1,2,此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X?2(”,p).此時有

￡X=〃p,OX=〃p(l-p).獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像

對立事件是互斥事件的特例一樣.一般地，有“恰好”等字眼的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計

算更簡單,就像有“至少”或“至多”等字眼的題目用對立事件的慨率公式計算更簡單一樣.

(5)對于復(fù)雜概率的計算一般要先設(shè)出事件，準確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、

互斥事件、獨立事件、獨立重復(fù)試驗四類事件中的某一種；其次判斷事件是A+B還是AB

事件，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件公式；最后選用相應(yīng)

的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨立事件、“次獨立重復(fù)試驗的榻率公式求解.

【易錯警示】

(1)混淆事件A+B與事件AB

(2)要弄清n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計算公式

(3)處理復(fù)雜事件的概率、分布列問題一般采取“大化小”的解決策略，即將“大”的分布列或

期望問題化為“小'’的隨機變量概率問題；再將“大”的概率問題化為“小''的獨立事件概率問題,

一般是P(A+B)=P(A)+P(B),P(A)=1—P(A),P(AB)=P(4)P(B)這三個公式的聯(lián)用.注意分清

每一個事件是由哪幾個基本事件構(gòu)成的，做到不重不漏.

五、前瞻預(yù)測

一、單選題

1.已知M，N均為R的子集，且(\A/)cN=0,則()

A.NB.Mc.0D.R

【答案】B

【評講建議】因為(\")cN=0,所以N=所以=M.故選B

2.若集合A/={(工,。|3X一曠=0},'={(匕丁)|4+丁2=0},則()

A.McN=MB.MuN=MC.MDN=ND.MCN=0

【答案】B

【解析】集合M={(x,y)13x—y=0},N={(x,y)\x2+y2=()}={(0,0)),

3x-y=0f%=0、■)

因為{2，八=<c，，McN={(0,0)=N,所以=M，故選B.

x+y=0[y=011

3.有一個裝有水且底面直徑為12cm的圓柱形容器，水面與容器口的距離為1cm.現(xiàn)往容器

中放入一個半徑為，-(單位：cm)的小球，該小球放入水中后直接沉入容器底部，若使該容

器內(nèi)的水不溢出，則小球半徑r的最大值為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】小球放入水中后直接沉入容器底部，若使該容器內(nèi)的水不溢出，則球的最大體積與

圓柱上部的體積相等，小球半徑幾可得小/=6?》解得廠=39㈤.故選c.

4.如圖是我國古代米斗，它是稱量糧食的量器,是古代官倉、糧棧、米行等必備的用具.它是

隨著糧食生產(chǎn)而發(fā)展出來的用具，早在先秦時期就有，到秦代統(tǒng)一了度量衡，漢代又進一步制

度化，十升為斗、十斗為石的標準最終確定下來.若將某個米斗近似看作一個四棱臺，上、下

兩個底面都是正方形，側(cè)棱均相等，上底面邊長為25cm,下底面邊長為

15cm，側(cè)棱長為l()cm,則該米斗的容積約為()

附：匕體=1(S±+又+用7)〃

A.2400cm3B.2600cm3C.2900cm3

D.3100cm3

【答案】C

【解析】如圖,設(shè)上、下底面的中心分別為01.0,過C作垂足為乩

由題意易知QG=與旦，0。="書,故€；”=5正,故

。"=1100-50=50,

故該四棱臺的體積V=；(25?+S+25x15)x5及?2887.故選C.

5.已知函數(shù)/(x)=Asin(5+夕)(A,0,0均為正常數(shù))，相鄰兩個零

(2兀、

點的差為」,對任意恒成立，則下列結(jié)論正確的是()

2\3；

A./(2)</(-2)</(0)B./(0)</(2)</(-2)

c./(-2)</(0)<f(2)D./(2)</(0)</(-2)

【答案】A

【解析】函數(shù)〃x)=Asin(0x+。)(A,0,8均為正常數(shù))，相鄰兩個零點的差為-所

以丁=兀,所以。=2,對任意/—恒成立，即Asin2x-^+9=-4,故

<3Jk37

兀

6

/\/\/\

所以/(x)=Asin2x+-.故/(-2)=Asin-4+-Asin——4+2%>0

(6J

l6J<6)7

f(2)=Asin4+4]<0,/(0)=Asin^=Asin2〉O,由于電兀，-5兀

>--4+2Ji>—>一,

、6J66267i2

函數(shù)在上單調(diào)遞減，故"2)</(-2)</(0).故選A.

6.已知函數(shù)/(%)=sin(yx+Geosa)x(a)>0)的零點依次構(gòu)成一個公差為]的等差數(shù)列,

把函數(shù)/(x)的圖象沿x軸向右平移四個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)()

A.是偶函數(shù)B.其圖象關(guān)于直線彳=四對稱

2

7171

C.在上是增函數(shù)D.在區(qū)間—上的值域為[-6,2]

[42J

【答案】D

【解析】Q/(x)=sins+百8$。%=25由[的+(],由于函數(shù)、=/(力的零點構(gòu)成一

冗LTI

個公差為一的等差數(shù)列，則該函數(shù)的最小正周期為萬，?.?口>0,則/='=2,所以

2n

/(x)=2sin(2x+1),

將函數(shù)y=/(x)的圖象沿x軸向右平移季個單位，得到函數(shù)

冗、冗

[X-—l+y=2sin2x的圖象.對于A選項，函數(shù)y=g(x)的定義域為R,

g(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),

函數(shù)y=g(x)為奇函數(shù),A選項錯誤；對于B選項,g1])=2sin乃=0w±2,所以，函數(shù)

>=g(x)的圖象不關(guān)于直線x=3對稱,B選項錯誤；對于C選項，當xe時，

工則函數(shù)y=g(x)在：,三上是減函數(shù),C選項錯誤；對