課改后全國數(shù)學(xué)高考試題4

2.以拋物線y2=4x的焦點為圓心，且過坐標(biāo)原點的圓的方程為

A.x+y2+2x=0B.x2+y2+x=0C.x2+y-x=0D.x2+y-2x=0

3.設(shè)等差數(shù)列｛an｝前n項和為S”.若ai=-11,a.i+a6=-6，則當(dāng)S：取最小值時，n等于

A.6B.7C.8D.9

幺+23—3,才二0

4.函數(shù)f(x)=[-2+lnx,x>0的零點個數(shù)為

A.0B.1C.2D.3

5.閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出的i值等于

A.2B.3C.4D.5

/利4/

經(jīng)束

6.如圖，若Q是長方體ABCD-ABCD被平面EFGH截去幾何體EFGHBC后得

到的幾何體，其中E為線段AB上異于今的點，F(xiàn)為線段BBi上異于R的點,

且EH〃AiD,,則下列結(jié)論中不正確的是

A.EH〃FGB.四邊形EFGII是矩形

C.Q是棱柱D.Q是棱臺

Y(第6白圖)

7.若點0和點F(-2,0)分別為雙曲線七->2=1(a〉0)的中心和左焦點，

a-

點P為雙曲線右支上的任意一點，則近而的取值范圍為

A.[3-26，+8)B.[3+2^3,)C.[—,+8)D.[―,+8)

44

1,

<x-2y+3之0,

8.設(shè)不等式組歹之天所表示的平面區(qū)域是園,平面區(qū)域A與旦關(guān)于直線3x-4y-9

對稱.對于R中的任意點A與鼻中的任意點B,|AB|的最小值等于

2812

A.—B.4C.—D.2

55

9.對于復(fù)數(shù)a,b,c,d,若集合S=｛a,b,c,d｝具有性質(zhì)”對任意x,y€S,必有xywS”，則

a=L

<1=1,

當(dāng)卜*=a時，b+c+d等于

A.1B.-1C.0D.i

10.對于具有相同定義域I)的函數(shù)f(x)和g(x),若存在函數(shù)h(x)=kx+b(k,b為常數(shù)),

0</(%)-A(x)<m',

<

對任給的正數(shù)m,存在相應(yīng)的x°wD,使得當(dāng)xeD且x>x。時，總有l(wèi)℃(x)-g⑶〈丸則

稱直線1：y=kx+b為曲線y=f(x)與y=g(x)的“分漸近線”.給出定義域均為D={x|x>1}

的四組函數(shù)如下：

/-2犬一3

①f(x)=x?,晨x)=4x;②f(x)=10'+2,g(x)=------;

x

2

③f(x)二^r-i4-,1g(x)=rlnr+1;@f(x)=/(幻=三，g(x)=2(x-l-ex).

xInxx+1

其中，曲線尸f(x)與尸g(x)存在“分漸近線”的是

A.①④B.②③C.②④D.③④

第n卷(非選擇題共io。分)

二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.

11.在等比數(shù)列{aj中，若公比q=4,且前3項之和等于21,則該數(shù)列的通項公式a“()

12.若一個底面是正三角形的三棱柱的正視圖如圖所示，則其表面積等于().

13.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問

題，即停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8,且每個問題

的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率等于().

JT

14.已知函數(shù)f(x)=3sin(0x—-)(6y>0)和g(x)=2cos(2x+P)+l的圖像的對稱軸完全相

6

同.若XW0,色，則f(x)的取值范圍是().

_2_

15.已知定義域為(0,+oo)的函數(shù)f(定滿足:(1)對任意xw(0,+8),恒有f(2x)=2f(x)

成立；(2)當(dāng)xe(1,2］時,f(x)=2-x.給出結(jié)論如下：

①對任意meZ,有f(2*)=0；②函數(shù)f(x)的值域為［0,+8)；③存在neZ,使得f(2"+l)=9;

④''函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在keZ,使得(a,b)C(2k,2k")

其中所有正確結(jié)論的序號是().

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分13分)設(shè)S是不等式x2-x-6W0的解集，整數(shù)m,n€S.

(I)記”使得m+n=0成立的有序數(shù)組(m,n)”為事件A,試列舉A包含的基本事件；

(II)設(shè)求？的分布列及其數(shù)學(xué)期望Ej.

17.(本小題滿分13分)己知中心在坐標(biāo)原點0的橢圓C經(jīng)過點A(2,3),且點F(2.0)

為其右焦點.(I)求橢圓C的方程；

(II)是否存在平行于0A的直線L,使得直線L與橢圓C有公共點，且直線0A與L的距離

等于4?若存在，求出直線L的方程；若不存在，說明理由.

18.(本小題滿分13分)如圖，圓柱00i內(nèi)有一個三棱柱ABC-AB一一....-

三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓0的直徑.

(I)證明：平面AMC」平面RBC3；

(II)設(shè)AB=AAi.在圓柱00i內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自于

三棱柱ABC-A3G內(nèi)的概率為P.

(i)當(dāng)點C在圓周上運動時，求P的最大值；

(ii)記平面AiACG與平面BQC所成的角為6(0°<6<90°).當(dāng)P取最大

值時，求cos6的值.

19.(本小題滿分13分)某港口0要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在

小艇出發(fā)時，輪船位于港口0北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/

小時的航行速度沿正東方向勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.

(I)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

(II)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向

和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.

20.(本小題滿分14分)(I)已知函數(shù)f(x)=xCx，其圖像記為曲線C.(1)求函數(shù)f(x)

的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：若對于任意非零實數(shù)Xj曲線C與其在點R(xi,f(x。),處的切線

交于另一點P2(X2,f(X2)),曲線C與其在點P2處的切線交于另一點P3(X3,f(X3)),線段PtP2.

P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為Sl,S2,則立為定值；

(II)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax、bx2+cx+d(a。0),請給出類似于(I)(ii)的正確命

題，并予以證明.

21.本題設(shè)有(1)(2)(3)三個選考題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分.如

果多做，則按所做的前兩題記分.作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號

涂黑，并將所選題號填入括號中.

(1)(本小題滿分7分)選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣M=(61),N=(°"1且MN=(-2o).(J)求實數(shù)a,b,c,d的值：(II)求

直線y=3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程.

(2)(本小題滿分7分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線L的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy

取相同的長度單位，且以原點0為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為P=2j^sin6.

(I)求圓C的直角坐標(biāo)方程；

(II)設(shè)圓C與直線L交于點A,B.若點P的坐標(biāo)為(3,V5),求IPA|+|PB|.

(3)(本小題滿分7分)選修4-5：不等式選講

己知函數(shù)f(x)=|x-a|(I)若不等式f(x)W3的解集為{尤卜13<5},求實數(shù)a的

值：(H)在(I)的條件下，若f(x)+f(x+5)2m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范

圍.參考答案

一'選擇題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題5分，滿分50分.

1.A2.D3.A4.C5.C6.D7.B8.B9.B10.C

二'填空題：本大題考查基礎(chǔ)知識和基本運算.每小題4分，滿分20分.

11.4"T12.6+2V313.0.12814.--,315.?(2)(4)

_2_

三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

16.本小題主要考查概率與統(tǒng)計、不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、應(yīng)用意識，考查

分類與整合思想、必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分13分.

解：(I)由*2一x—6W0得—2即5=卜|一24》43}

由于北〃wZ,S且加+〃=0,所以A包含的基本事件為：

(-2,2),(2-2),(-1,1),(1,-1),(0,0)

(II)由于m的所有不同取值為-2,-1,0,1,2,3,所以J=m2的所有不同取值為0,1,4,9,

i9iQii

且有PC=O)=N，P^=\)=-=-,^=4)=-=-.=9)=-

oo563o

故4的分布列為：

J。149

p2￡2

6336

所以EJ=0XL+1X!+4X』+9X1=^

63366

17.本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)

與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.滿分13分.

解法一：

22

(I)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為0+5=1(a>b〉0),且可知左焦點為b'(-2,0)

ab

從而有<「c=2解得Y「c=2

I2a=\AF\+\AF'|=3+5=8,1a=4

又1+/=。2,所以/=12,故橢圓C的方程為—+^=1

1612

3

(II)假設(shè)存在符合題意的直線/,其方程為y九+/

3

由廠y=-x+t得3/+3次+產(chǎn)-12=0

2

72

xy1

—+—=1

L1612

因為直線/與橢圓C有公共點，所以八二?！?—4x3(產(chǎn)一12)20,

解得一

另一方面，由直線0A與/的距離d=4可得=4,從而r=±2屈.

由于±2任［-46,4月］,所以符合題意的直線/不存在.

解法二:

(I)依題意，可設(shè)橢圓C的方程為——+=1(a>b>0),且有:

a2h2

49.

7+F=1解得從=12或從=-3(舍去).從而/=16

a2-b2-4

(II)同解法一

18.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積

幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)

合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想.滿分13分.

解法一：

(I)平面ABC,BCu平面ABC,/.A,AIBC

???A8是圓0的直徑，/.BC±AC

又ACr)AA=A,平面

而BCu平面B{BCCX,

所以平面4ACG-L平面區(qū)BCC[.

(II)(i)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則A8=A4=2r

故三棱柱ABC_AB,C,的體積

V.=-ACBC-2r=ACBCr

12

又???+=AB2=4r2

ACBC<A，*次-=2r2

2

當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=V2r時等號成立.

從而，匕W2,，而圓柱的體積

V2r31

V=勿"2-2r=2勿尸，故p=—<=—，當(dāng)

V22m3兀

且僅當(dāng)AC=8C=后廠，即OC_LA8時等號成立.所以，p的最大值等于,

71

(ii)由(i)可知，p取最大值時，0CJ_A8

于是，以0為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z(如圖)，

則C(r,O,O),B(0,r,0),⑸(0,r,2r)BC_L平面4ACG?.元=(/，-「，°)是平

面AtACCt的一個法向量,設(shè)平面B、OC的法向量n=(x,y,z),

由｛塌得厚匕。故｛/A

取z=l,得平面與0C的一個法向量為

n=(0-2,1),0°<"90°,

解法二：

(I)同解法一(11)(i)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則4?==2r,故三棱柱/用弓

的體積匕=」ACBC-2r=ACBCr,設(shè)N8AC=a(0°<a<90°),則

2

AC=ABcosa=2rcos6Z,8C=ABsina=2rsina，由于

AC-BC=4r2sinacosa=2r2sin2a<2r2,當(dāng)且僅當(dāng)sin2a=1即a=45°時等號成

y2r31

立，故XW2r3,而圓柱的體積v="2.2r=2"3,故J.=_L,當(dāng)且僅當(dāng)

V22亦7t

sin2a=1即a=45°時等號成立.所以，p的最大值等于'(ii)同解法一

71

解法三：

(I)同解法一(ID(i)設(shè)圓柱的底面半徑r,則A8=AA=2r,故圓柱的體積

丫=加2.2r=2加3,因為〃=2.,所以當(dāng)乂取得最大值時，p取得最大值.又因為點C在

圓周上運動，所以當(dāng)0C_LA3時，A4BC的面積最大.進(jìn)而，三棱柱耳G的體

積最大，且其最大值為2廣>2r=2/，故〃的最大值等于'(ii)同解法一

27t

19.本小題主要考查解三角形、二次函數(shù)等基礎(chǔ)知識，綠茶推理論證能力、抽象概括能力、

運算求解能力、英語意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分

類與整合思想.滿分13分.

解法一：

(I)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則

S=7900/2+400-2-30/-20-cos(90°-30°)

=，900”―600f+400

=^900(/-1)2+300

故當(dāng)，=；EI寸，5,nin=10A/3,此時丫=邛1=30指，即，小艇以30百海里/小時的

3

速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

(II)設(shè)小艇與輪船在B出相遇，貝IJ/產(chǎn)=400+900f2-2?20?30f?cos(9(r-3(r)

故小900一竿+當(dāng)

?.?0<uW30,.?.900-&+駕W900

tr

232

即F----<0,解得t—

t2t3

2

又，=—時，v=30故u=30時，t取最小值，

3

2

且最小值等于一，此時，在A0A5中，有0A=03=43=20,故可設(shè)計寒星方案如

3

下：航行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇

解法：:

(I)若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北

方向.設(shè)小艇與輪船在C處相遇.在R/AO4C中,

OC=20cos300=10A/3,AC=20sin300=10

又AC=30f,OC=vt此時，輪船航行時間

—丫="8=30百，即，小艇以306

3031

3

海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.

(II)猜想u=30時，小艇能以最短時間與輪船在D出相遇，此時40=00=30，，又

2

/。4。=60°,所以4。=。。=。4=20,解得f=一，據(jù)此可設(shè)計航行方案如下：航

3

行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇

證明如下：如圖，由(I)得OC=106，AC=10,故

OC>AC,且對于線段AC上任意點P,有

OP>OC>AC而小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里

/小時，故小艇與輪船不可能在A,C之間(包含C)的任意

位置相遇.設(shè)ZCOD=8(0°<。<90°),則在RtkCOD

中，CD=10Gtan6,0。=”史，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分

COS。

口310+106tan。由loV3rrrl10+1073tan105/3.八丁和

別為/=--------------和f=------，所以，---------------=-------，由此可得，

30vcos030vcosff

丫=―應(yīng)|_，又vW30,故sin(。+30°)2走，從而，30°W9<90°,由于

sin(e+30°)2

走，于是，當(dāng)e=30°時，

6=30"時，tan6取得最小值，且最小值為

3

10+106tan。

取得最小值，且最小值為士2

303

解法三:

(I)同解法一或解法二

(II)設(shè)小艇與輪船在B處相遇.依據(jù)題意得:

v2t2=400+900產(chǎn)-2,20?30八cos(90°-30°),

((v2-900)/2+600r-400=0

(1)若0<v<30,則由△=360000+1600(/-900)=1600(d—675)20

-300±20&-675

得V215JL從而,ve[15瘋30)

v2-900

①當(dāng)-二3°°更時’令x=J7二布’則，€［。［5)’

t=.-30°-20x=二>士，當(dāng)且僅當(dāng)無=(J即u=15g時等號成立.

%2-225x-153

2

2-300+20VV-675巾皿一田2,4

②當(dāng)t=--------------------時，同理可得一<tW-

v2-90033

由①、②得，當(dāng)ue［15g,30)時，/>2

2

(2)若v=30,貝?。輋=—,綜合(1)、(2)可知，當(dāng)u=30時，t取最小值，且最小

3

2

值等于一，此時，在AOAB中，04=08=48=20,故可設(shè)計航行方案如

3

下：航行方向為北偏東30°,航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與

輪船相遇.

20.本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、推理論證能

力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一

般思想.滿分14分.

解法一：

(I)(i)有f(x)=x：'-x得f'(x)=3x2-1=3(x-)(x+.

33

當(dāng)x€(—8,—也)和(也，+8)時，廣(x)〉0；當(dāng)xw(—也，吏)時，f'(x)<0.

3333

因此,/U)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-苧)和(

(ii)曲線C在點P,處的切線方程為

y=(3xi2-l)(x-xD+x^-Xi,

即y=(3x/-l)x-2x「.

y=(3xi-l)x-2xi，

由=

WX3-X=(3XI2-1)X-2x「即(x-xi)2(X+2XI)=0,

解得x=xi或x=-2xi,故X2=-2XI.

SI=J*+2?；)dx?=|(十J+2小)

進(jìn)而有

用X2代替X>,重復(fù)上述計算過程，可得X3=-2X2和S2=q-x；.

77x16vI

又X2=-2X#0,所以S2=」一H0,因此有立=—.

45216

(II)記函數(shù)g(x)=ax，bx2+cx+d(aHO)的圖像為曲線C',類似于(I)(ii)的正確命

題為：若對于任意不等于-2的實數(shù)X,,曲線C'與其在點巴(xi,g(x,))處的切線交于另

3a

一點P2(X2,g(X2)),曲線C'與其在點P2處的切線交于另一點P3(X3,g(X3)),線段PR、

P2P3與曲線C'所圍成封閉圖形的面積分別記為S“S2,則立為定值.

證明如下：因為平移變換不改變面積的大小，故可將曲線y=g(x)的對稱中心

標(biāo)原點，因而不妨設(shè)g(x)=<?'+hx,且占#0.

類似(1)(ii)的計算可得5=爭曷，&=%兇竭力0.

(-梟式-5)平移至吟福

解法二：

(I)同解法一.

(II)記函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(aW0)的圖像為曲線為，類似于(I)(ii)的正確命題

b

為：若對于任意不等于-一的實數(shù)XI,曲線C'與其在點Pi(XI,g(x,))處的切線交于另一

3a

點Pz(x2>g(x2))，曲線C'與其在點P2處的切線交于另一點P3(X3,g(X3)),線段PR、P2P3

與曲線C'所圍成封閉圖形的面積分別記為S2,則△為定值.

邑

證明如下：

由g(x)=o?+6+，("。)得/(幻=3ax2+26x+c,所以曲線C在點(.,虱航))處的

切線方程為y=+2k［+c)x-2ax：+4

由p=工+白/得(Mf)'［心+4)+6］=0,

ly=(3M+26父i+c)%-2ax；+d171v17J,

或---2x即均=---2Z故

QlfaM

-I尸i.唾...■I(3ax.+6)4

Si=|「［ax3+Ax2-(3ax：*26x)x+2a”：+屜：］Jx產(chǎn)---rr~5---,

IJ”:I12a

用X2代替X”重復(fù)上述計算過程，可得X3=_2_2逢和5,=(3〃±+初4

a12。

_b?口b

又X2=----2尤［且X］W----,

a3a

(3OX+b)_(-6ax—2/?)4_16(3町+/?)"qi

所以§2=21，o,故'=J_

12/12/

12a3S216

21.(1)選修4-2：矩陣與變換

本小題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.滿分7分.

解法一■：

.c+0=2,a=-1.

12+=0,6=-1,

解得

16c+0=-2c

(I)由題設(shè)得：匕6+。=0.

(II)因為矩陣M為對應(yīng)的線性變換將直線變成直線(或點)，所以可取直線y=3x上的兩點

(0,0),(1,3),

由丁(;)=(-力得:

點(0,0),(1,3)在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像是點(0,0),(-2,2).

從而，直線y=3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程為y=-x.

解法二：

(I)同解法一.

(II)設(shè)直線y=3x上的任意點(x,y)在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像是點(x',y'),

由⑸":一冊)=仁工加(4)得八F即點(―tty…上

由(X,y)的任意性可知，直線y=3x在矩陣M所對應(yīng)的線性變換作用下的像的方程為y=-x.

(2)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

本小題主要考查直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查

運算求解能力.滿分7分.

解法一：

(1)由°=26而6,得；+y*-2用<=0,51x1+(y-Ji)2=5.

(11)將便參數(shù)方程代人圓。的亶角坐標(biāo)方程，得(3-多)'+(爭產(chǎn)=5,

即，-34+4=0.

由于A=(3&V-4x4=2>0,故可設(shè)“，匕是上述方程的兩實根，

所以小+“=產(chǎn)，

U|?G=4.

又直線/過點尸(3,6),

故由上式及t的幾何意義得1以1+加8』IM+Hli+4=3々：

解法二:

(I)同解法一.(II)因為圓C的圓心為(0,加),半徑r=J5,直線1的普通方程為:

x=l卜=2,

工一+(y-j5)、5,得/_3工+2=0.

y=2+而或〔丁=1+6

y=-x+3+V5.由y=-x+3+<5解得:

不妨設(shè)A(1,2+JF),B(2,1+JF),又點P的坐標(biāo)為(3,石),

故|PA|+|28|=點+衣=3立

(3)選修4-5：不等式若講

本小鹿主要考衣絕對值的意義、絕對他不等式等基明知識，老式運算求解能力.滿分7分.

解法一：

(I)由/(幻G3得|x-a|&3,解得a-3=G"3.

a—3=-1,

<

又已知不等式f(x)W3的解集為{x|—iw九W5},所以1?+3=5,解得a=2.

(II)當(dāng)a==2時,f(x)=|x-2|.設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5),于是

--2x-1,x<-3；

g(%)=|%-2|+|力+3|,5,?3。宅2；

,2x+1,x>2.

所以當(dāng)“<-3時，g(%)>5；

當(dāng)-3W#W2時，g(幻=5；

當(dāng)x>2時，g(“)>5.綜上可得，g(x)的最小值為5.從而，若

f(x)+f(x+5)2m即g(x)2m對一切實數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(-8,5].

解法二：

(I)同解法一.(II)當(dāng)a=2時，f(x)=|x-2|.設(shè)g(x)=f(x)+f(x+5).

由|x-2|+|x+3|2|(x-2)-(x+3)I=5(當(dāng)且僅當(dāng)-3<x<2時等號成立)得，g(x)

的最小值為5.

從而，若f(x)+f(x+5)2m即g(x)2m對一切實數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(-8,

5].

2010年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)

數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)

V=-Sh

參考公式：錐體的體積公式為3,其中S是錐體的底面積，是錐體的高.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合“則

人M=NRNqMcMPIN={2,3}MUN={1,4}

2.下列命題中的假命題是

A.VxeR,2l-,>0B.VxeN*,（1）一〉。

QSxeR,1g〈ID.玉￡R,tanx=2

jx=-1—t,

3.極坐標(biāo)方程夕=c°sO和參數(shù)方程1y=2+3f&為參數(shù)）所表示的圖形分別是

A.圓、直線B.直線、圓

C.圓、圓D.直線、直線

4.在RtAABC中，NC=90°,AC=4,則荏口花等于

A.-16B.一8c.8D.16

5.等于

A.-2In2B.21n2c.-In2D.In2

6.在中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c.若NC=120",c=缶，貝ij

A.a>bB.a<b

C.a=bD.a與b的大小關(guān)系不能確定

7.在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，不同

排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有。和1,則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字

相同的信息個數(shù)為

A.10B.11C.12D.15

8.用min｛。，加表示a,b兩數(shù)中的最小值，若函數(shù)/（*）=min（|x|,|x+'|｝的圖象關(guān)于直

X=—1

線2對稱，則t的值為

A.-2B.2C.-1D.1

二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，共35分.把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫

線上.

9.己知一種材料的最佳加入量在110g到210g之間.若用0.618法安排試驗，則第一次試點

的加入量可以是

10.如圖1所示，過。。外一點P作一直線與。。交于A,B

兩點.已知PA=2,點P到。O的切線長PT=4,則弦AB

的長為

11.在區(qū)間［-1,2］上隨機(jī)取一個數(shù)x,則?尤區(qū)1的概率為

12.圖2是求I2+2?+3?+…+1002的值的程序框圖，則正整數(shù)〃圖1

錯誤!

13.圖3中的三個直角三角形是一個體積為20cm3的幾何體的三視圖，則〃=cm.

14.過拋物線尤2=2py（p>0）的焦點作斜率為1的直線與該拋物線交于A8兩點，4B在

X軸上的正射影分別為RC.若梯形A8CO的面積為12垃，則°=

15.若數(shù)列｛""｝滿足：對任意的〃eN”,只有有限個正整數(shù)機(jī)使得4〈〃成立，記這樣的

機(jī)的個數(shù)為（4）*,則得到一個新數(shù)列｛（%）｝.例如，若數(shù)列｛凡｝是12,3…，〃，…，則

數(shù)列｛（*｝是0，1，2,…，"-1,…已知對任意的〃eN*,%=",則（％）*=,

（（%）*）*=

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)/（x）=6sin2x—2sin".（1）求函數(shù)/（*）的最大

值；（II）求函數(shù)A》）的零點集合.

17.（本小題滿分12分）圖4是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量（單位：噸）

的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中x的值；

（II）若將頻率視為概率，從這個城市隨機(jī)抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用

水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

18.（本小題滿分12分）如圖5所示，在正方體ABCD-

A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點.-

（I）求直線BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；

（II）在棱C1D1上是否存在一點F,使B1F//平面A1BE?J_

證明你的結(jié)論.:一?一丁??[―?____

月埼制水魚/冷

S4

19.（本小題滿分13分）為了考察冰川的融化狀況，一支科

考隊在某冰川上相距8km的A,B兩點各建一個考察基地.視

冰川面為平面形，以過A,B兩點的直線為x軸，線段AB

的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系（圖6）.在直線

述

光=2的右側(cè)，考察范圍為到點B的距離不超過5km的

區(qū)域；在直線x=2的左側(cè)，考察范圍為到A,B兩點的距

離之和不超過46km的區(qū)域.（I）求考察區(qū)域

邊界曲線的方程；

（II）如圖6所示，設(shè)線段［鳥，鳥A是冰川的

部分邊界線（不考慮其他邊界），當(dāng)冰川融化時，

邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，

第一年移動0.2km,以后每年移動的距離為前一年

的2倍，求冰川邊界線移動到考察區(qū)域所需的最

短時間.

20.（本小題滿分13分）己知函數(shù)/（*）=/+"x+cS，ceA）,對任意xeR,恒有

（D證明：當(dāng)時，/（x）＜（x+c）2;（ID若對滿足題設(shè)條件的任意〉

c,不等式一〃）恒成立，求M的最小值.

21.（本小題滿分13分）數(shù)列｛%｝（〃'"）中，=a,an+｝是函數(shù)

￡,（x）=J（3%+/J）/+3〃%,/.

32的極小值點.（I）當(dāng)a=0時，求通項“”

（II）是否存在a,使數(shù)列伍"是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明

理由.參考答案

一、選擇題：

1—4CBAD5—8DABD

二、填空題：9.171.81或48.210.6

2

T2

11.312.10013.414.215.2,〃

三、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

?TC

16.解：（I）因為八幻二百sin2x_（l_cos2x）=sm（2x+k）_l,

.K.兀兀

2xd--=2k7Td---x=kjr-\——(keZ),

所以，當(dāng)62,即6時，函數(shù)/(刈取得最大值1.

.小萬、1

，/、nsin(2xH—)=—

(II)解法1由⑴及/(X)=°得62,所以

C兀AI兀

2x4—=2攵%H—2.xH—=2k兀H----,x=k兀、=k?！?/p>

66,或66即3

〃、{九I九=或冗=我乃+一,攵￡Z}

故函數(shù)/(X)的零點的集合為3

解法2由/3=°得2gsinxcosx=2sin2x,于是sinx=°,或6cos=sinx

,兀

[T[TX=K7U-\-----.

即tanx=V3.由sinx=0可知x=k兀.由tanx=43可知3

〃、{%|%=左九"，或犬=ZJTH——、keZ\

故函數(shù)/(x)的零點的集合為3

17.解：(I)依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=l,解得x=0.12.

(II)由題意知,X-B(3,0.1).

因此p(x=0)=C(x0.9=0.729,P(X=1)=C；x0.1x0.92=0.243,

P(X=2)=C；x0.12x0.9=0.027,P(X=3)=C；xO.r=0.001.

故隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

P0.7290.2430.0270.001

X的數(shù)學(xué)期望為EX=3X0.1=03

18.解法1設(shè)正方體的棱長為1,如圖所示，以A8，AD,Aa為單位正交基底建立空間直

角坐標(biāo)系.

0，R

(I)依題意，得B(1,0,0),E(2),

A(0,0,0),D(0,1,0),所以

--*1--,

BE=(-1,1,-)MD=(0,1,0).

在正方體ABCD—A1B1C1D1中，因為AD_L平面

ABB1A1,所以AO是平面ABB1A1的一個法向量,

設(shè)直線BE和平面ABB1A1所成的角為6,則

I函I而?3xi32

2即直