2022年高考數(shù)學(xué)真題試卷（新高考卷Ⅰ）答案解析版

2022年高考數(shù)學(xué)真題試卷（新高考卷Ⅰ）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合則=（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得，，則=，

故選：D

【分析】先由不等式的解法求得集合A，B，再根據(jù)交集的運(yùn)算求得答案.2．若則（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【解析】【解答】解：由題意得，，則，則2，

故選：D

【分析】先由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，求得z，，再求z+即可.3．在中，點(diǎn)D在邊AB上，記則（）A．3-2 B．-2+3 C．3+2 D．2+3【答案】B【解析】【解答】解：由題意得，，

故選：B

【分析】由向量的加法、減法、以及數(shù)乘運(yùn)算求解即可.4．南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù)。知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：由題意知，S1=140km2，S2=180km2，h=(157.5-148.5)km=9km，

代入棱臺(tái)的體積公式，得，

故選：C

【分析】由棱臺(tái)的體積公式直接求解即可.5．從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【解答】解：由題意得，從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有個(gè)不同的結(jié)果，其中不是互質(zhì)的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7個(gè)結(jié)果，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為.

故選：D

【分析】由題意先求得結(jié)果總數(shù)，再由古典概型概率計(jì)算公式，結(jié)合對(duì)立事件的概率關(guān)系求得答案.6．記函數(shù)的最小正周期為T，若則的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則（）A．1 B． C． D．3【答案】A【解析】【解答】解：由題意得，，

又的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，

則b=2，且，

所以，

則，

解得，

又，

則k=2，，

故，

故選：A

【分析】由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，先求得b，，再求得即可.7．設(shè)則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【解答】解：令a=xex，，c=-ln(1-x)，

則lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)，

令y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

則，

所以y≤0，

所以lna≤lnb，

所以b>a，

a-c=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

令y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，

，

令k(x)=，

所以k'(x)=(1-2x-x2)ex>0，

所以k(x)>k(0)>0，

所以y'>0，

所以a-c>0，

所以a>c，

綜上可得，c<a<b，

故選：C

【分析】分別構(gòu)造函數(shù)y=x+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，y=xex+ln(1-x)，x∈(0，0.1]，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再運(yùn)用作差法比較大小即可得解.8．已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為36，且則該正四棱錐體積的取值范圍是（）A． B． C． D．[18，27]【答案】C【解析】【解答】解：記正四棱錐高與側(cè)棱夾角為θ，高為h，底面中心到各頂點(diǎn)的距離為m，

則，

則l=6cosθ，m=l·sinθ=6sinθcosθ，，

則正四棱錐的體積，

令y=sinθcos2θ=sinθ(1-sin2θ)=x(1-x2)=-x3+x，x=sinθ，

則y'=-3x2+1，故當(dāng)，y'<0，當(dāng)，y'>0，

則，

，

故該正四棱錐體積的取值范圍是.

故選：C

【分析】由題意正四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合余弦定理得，進(jìn)而求得正四棱錐的體積，令x=sinθ，構(gòu)造函數(shù)y=sinθcos2θ=-x3+x，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，求得y的最值，從而求得V的最值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知正方體則（）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為【答案】A,B,D【解析】【解答】解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)锽C1⊥B1C，BC1⊥A1B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，

所以BC1⊥DA1，BC1⊥CA1，故選項(xiàng)A，B均正確；

設(shè)A1C1∩B1D1=O，因?yàn)锳1C1⊥平面BB1D1D，所以直線BC1與平面BB1D1D所成的角為∠C1BO，

在直角△C1BO中，sin∠C1BO=，故∠C1BO=30°，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

直線BC1與平面ABCD所成的角為∠C1BC=45°，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD

【分析】由直線與平面垂直的判定可得BC1⊥平面A1B1CD，進(jìn)而再由直線與平面垂直的性質(zhì)，從而可判斷AB，根據(jù)直線與平面所成角的定義可判斷CD.10．已知函數(shù)則（）A．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)B．f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)(0，1)是曲線的對(duì)稱中心D．直線是曲線的切線【答案】A,C【解析】【解答】解：令f'(x)=3x2-1=0，得或，

當(dāng)或時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)時(shí)，f'(x)<0，

所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為或，故A正確；

又所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

由f(x)+f(-x)=2可知，點(diǎn)(0，1)是曲線y=f(x)的對(duì)稱中心，故C正確；

曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，1)處的切線的斜率為k=f'(1)=2，則切線方程為y=2x-1，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，零點(diǎn)，以及函數(shù)的對(duì)稱中心，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，逐項(xiàng)判斷即可.11．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)在拋物線C：上，過(guò)點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（）A．C的準(zhǔn)線為 B．直線AB與C相切C． D．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由題意可知：1=2p，所以拋物線C：x2=y，故C的準(zhǔn)線為，故A錯(cuò)誤；

由y'=2x得曲線C在點(diǎn)A(1，1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y=2x-1，又直線AB為：，即y=2x-1，故直線AB與C相切，故B正確；

過(guò)點(diǎn)B(0，-1)的直線設(shè)為y=kx-1，交C于P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別設(shè)為P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

聯(lián)立直線與C方程可得x2-kx+1=0，

則x1+x2=k，x1x2=1，且，

即k2>4，則y1+y2=k2-2，y1y2=1，

此時(shí)

，又|OA|2=2，則，故C正確；

，

又|BA|2=5，則，故D正確.

故選：BCD

【分析】由拋物線的定義與幾何性質(zhì)可判斷A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程可判斷B，根據(jù)直線與拋物線的位置，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可判斷C，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷D.12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記若均為偶函數(shù)，則（）A． B．C． D．【答案】B,C【解析】【解答】解：由為偶函數(shù)可知函數(shù)f(x)關(guān)于直線對(duì)稱，

由g(2+x)為偶函數(shù)可知：：g(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱，

結(jié)合g(x)=f'(x)，根據(jù)g(x)關(guān)于直線x=2對(duì)稱可知f(x)關(guān)于點(diǎn)(2，t)對(duì)稱，

根據(jù)f(x)關(guān)于直線對(duì)稱可知：：g(x)關(guān)于點(diǎn)(，0)對(duì)稱，

綜上，函數(shù)f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數(shù)，

所以有f(0)=f(2)=t，所以A不正確；

f(-1)=f(1)，f(4)=f(2)，f(1)=f(2)，故f(-1)=f(4)，所以C正確，

，g(-1)=g(1)，故B正確；

又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性，可判定f(x)與g(x)均是周期為2的周期函數(shù)，再由函數(shù)的值，逐項(xiàng)判斷即可.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中的系數(shù)為(用數(shù)字作答).【答案】-28【解析】【解答】解：(x+y)8的通項(xiàng)公式為，

①當(dāng)8-r=2，即r=6時(shí)，展開(kāi)式中項(xiàng)為，

②當(dāng)8-r=3，即r=5時(shí)，展開(kāi)式中項(xiàng)為，

則展開(kāi)式中項(xiàng)為，

故答案為：-28

【分析】由二項(xiàng)式定理，分類討論求解即可.14．寫(xiě)出與圓和都相切的一條直線的方程．【答案】x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0【解析】【解答】解：記圓的圓心為O(0，0)，半徑為r1=1，

圓的圓心為A(3，4)，半徑為r2=4，

則|OA|=5=r1+r2，

則兩圓外切，作出圖象，如圖所示，

易得直線l1：x=-1為兩圓的切線，

易得直線OA為：，

可得直線l1與直線OA為，

易知兩圓的另一公切線l2必過(guò)點(diǎn)P，可設(shè)l2：，即，

則有，解得，即l2：，即7x-24y-25=0，

另由于兩圓外切，所以在公切點(diǎn)處存在公切線l3，由，解得切線l3：6x+8y-10=0.

故答案為：x=-1或7x-24y-25=0或6x+8y-10=0

【分析】先判斷可得兩圓外切，數(shù)形結(jié)合易得其中一切線為：x=-1，再由直線垂直的斜率關(guān)系求得切線l2，最后聯(lián)立兩圓的方程組可得切線l3，得解.15．若曲線有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是.【答案】a＞0或a＜-4【解析】【解答】解：易得曲線不過(guò)原點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，(x0+a)ex0)，則切線斜率為f(x0)=(x0+a+1)ex0，

可得切線方程為y-(x0+a)ex0=(x0+a+1)ex0(x-x0)，又切線過(guò)原點(diǎn)，

可得-(x0+a)ex0=-x0(x0+a+1)ex0，化簡(jiǎn)得(※)，

又切線有兩條，即方程※有兩不等實(shí)根，由判別式△=a2+4a>0，得a<-4或a>0.

故答案為：a<-4或a>0.

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線方程，再結(jié)合切線過(guò)原點(diǎn)，易得方程有兩不等實(shí)根，由△>0求解即可.16．已知橢圓C：C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為離心率為，過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則△ADE的周長(zhǎng)是．【答案】13【解析】【解答】解：橢圓離心率為，則a=2c，，可設(shè)C：，

則|AF1|=|AF2|=|F1F2|=2c，

則△AF1F2為正三角形，則直線DE的斜率，

由等腰三角形性質(zhì)可得，|AE|=|EF2|，|AD|=|DF2|，由

橢圓性質(zhì)得△ADE的周長(zhǎng)=|DE|+|DF2|+|EF2|=4a，

設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），直線DE為，

與橢圓方程聯(lián)立，得13x2+8cx-32c2=0，

則，

則，

解得，

即△ADE的周長(zhǎng)=4a=13

故答案為：13

【分析】由橢圓的離心率，得a=2c，，并可判斷△AF1F2為正三角形，從而可得直線DE的方程為，再根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式以及橢圓的定義，易得△ADE的周長(zhǎng).四、解答題：本題共6小題，共70分。17．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為，的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）證明：【答案】（1）因?yàn)槭枪顬榈牡炔顢?shù)列，而，所以①時(shí)，②①-②有：.所以，以上式子相乘，得經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，符合.所以.（2）由（1）知所以所以==因?yàn)?，所以，所以，即．【解析】【分析】?）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，由利用Sn與an的關(guān)系，得，再利用累積法，可得an；（2）由（1）得，利用裂項(xiàng)相消求和求得，再解不等式即可.18．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知（1）若求B；（2）求的最小值.【答案】（1）因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，，所以，?（2）因?yàn)樗运杂捎嘞叶ɡ硭援?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，綜上，的最小值為.【解析】【分析】（1）先由二倍角公式與兩角和的余弦公式，化簡(jiǎn)得，再由誘導(dǎo)公式，結(jié)合三角形的內(nèi)角和性質(zhì)，得，可得B；

（2）由誘導(dǎo)公式求得，，再結(jié)合余弦定理與三角恒等變換，化簡(jiǎn)得，并利用基本不等式求最值即可.19．如圖，直三棱柱的體積為4，'的面積為（1）求A到平面的距離；（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，平面平面求二面角的正弦值.【答案】（1）因?yàn)?，所以，設(shè)A到平面的距離為h；則（2）設(shè)D為的中點(diǎn)，且，由于?BC⊥平面因?yàn)槠矫?，所以，在直角中，，連接，過(guò)A作，則平面，而平面，故.由，所以，由，以B為原點(diǎn)，向量，，分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則所以設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量，，令，則有.設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量，令，則有所以所以二面角的正弦值為.【解析】【分析】（1）由題意易得，再結(jié)合棱錐的體積公式求得h；

（2）根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)可得BC⊥平面ABB1A1，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可得BC⊥AB，BC⊥A1B，再建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求得平面ABD，平面BCD的法向量，，再求得，即可得答案.20．一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在己患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對(duì)照組)，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090附：P(K2≥k)0.0500.0100.001K3.8416.63510.828（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.(i)證明：(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值，并利用(i)的結(jié)果給出R的估計(jì)值.【答案】（1）所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.（2）用局部估計(jì)總體(i)(ii)故R的估計(jì)值為6【解析】【分析】（1）代入數(shù)據(jù)，求得K2，再對(duì)出表格，即可得結(jié)論；（2）(ⅰ)根據(jù)新定義，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可證明；(ⅱ)由條件概率的計(jì)算公式分別求得，再代入R，求解即可.21．已知點(diǎn)A(2，1)在雙曲線C：上，直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.（1）求的斜率；（2）若求的面積.【答案】（1）因?yàn)辄c(diǎn)A(2，1)在雙曲線上，所以有解得，所以雙曲線設(shè)直線，聯(lián)立消去y得到顯然，否則不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，而，由韋達(dá)定理得，因?yàn)橹本€AP，AQ的斜率之和為0，所以所以所以即，所以有，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)得，而當(dāng)，此時(shí)直線為，易知恒過(guò)定點(diǎn)，故舍去，所以，此時(shí)滿足.（2）又由（1）易知，且依題可設(shè)AP斜率為，斜率為-，則由夾角公式知（后面補(bǔ)充證明），由對(duì)稱性易知，只需考慮的情況就行，所以有，解得或（舍）.而，同理，而，另一方面，聯(lián)立，（1）同理，（2）將以上兩式相加，得，解得，所以【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意列式求得雙曲線C的方程，再結(jié)合直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及直線的斜率公式，列式得，再判斷2