2023年吉林省松原市中考數(shù)學(xué)一模試卷含答案

2023年吉林省松原市中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（每小題2分，共12分）1．如圖是由5個大小相同的小正方體組成的幾何體，則它的左視圖是（）A． B． C． D．2．若兩個相似三角形的相似比是4：9，則其面積之比是（）A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：813．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．4．將拋物線y＝x2﹣1向右平移3個單位長度，所得拋物線的解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣4 C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣15．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠ABD＝60°，則∠BCD等于（）A．54° B．56° C．30° D．46°6．如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosαm B．m C．5sinαm D．m二、填空題（每小題3分，共24分）7．sin260°＝．8．若一元二次方程x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是．9．如圖，a∥b∥c，若，DF＝12，則BD的長為．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA＝．11．如圖，點A在雙曲線y＝上，AB⊥y軸于B，S△ABO＝3，則k＝．12．如圖①，西周數(shù)學(xué)家商高用“矩”測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖②的位置，從矩的一端A（人眼）望點E，使視線通過點C，記人站立的位置為點B，量出BG的長，即可算得物高EG．經(jīng)測量，得CD＝60cm，AD＝120cm，AB＝1.5m．設(shè)BG＝x（m），EG＝y(tǒng)（m），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．13．如圖，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，分別以A，B，C，D為圓心，邊長為半徑畫弧，得到一個眼狀圖形，則陰影部分的面積為（結(jié)果保留π）．14．如圖，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，連接CC′，使點B′落在CC′上，AB′交CD于點H．若AB＝4，AD＝3，則AH的長為．三、解答題（每小題5分，共20分）15．計算：．16．拋擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結(jié)果：“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”，正面朝上記2分，反面朝上記1分，小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次分?jǐn)?shù)之和等于3的概率．17．把一定體積的鋼錠拉成鋼絲，鋼絲的總長度y（m）是其橫截面積x（mm2）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)鋼絲總長度不少于80m時，鋼絲的橫截面積最多是多少mm2？18．如圖，在一塊矩形空地的相鄰兩邊修寬度相等的小路（陰影部分），其余部分綠化，若矩形的長為30米，寬為20米，綠化部分的面積為504平方米，求小路的寬度．四、解答題（每小題7分，共28分）19．圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點．△ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中畫△ABC的中位線DE，使點D、E分別在邊AB、BC上；（2）在圖②中畫△ABC的高線BF．20．如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，DF⊥AE于點F．（1）求證：△ADF∽△EAB．（2）已知AB＝4，BC＝6，求EF的長．21．如圖，AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，連接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于點C，過點C作CD⊥BE交BE的延長線于點D，連接CE．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的長（結(jié)果保留π）．22．安裝了軟件“SmartMeasure”的智能手機可以測量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過測量手機離地面的高度、物體底端的俯角和頂端的仰角即可知道物體高度．如圖2小明測得大樹底端C點的俯角α為20°，D點的仰角β為60°，點A離地面的高度AB＝1.5m．求大樹CD的高．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73，≈2.24．）五、解答題（每小題8分，共16分）23．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，其中點A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，若點P在拋物線上，且S△POC＝4SBOC，求點P的坐標(biāo)．24．【題目】如圖①，在矩形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AB延長線上一點，且BF＝AB，連接DF，交BC于點E，連接AE．試判斷線段AE與DF的位置關(guān)系．【探究展示】小明發(fā)現(xiàn)，AE垂直平分DF，并展示了如下的證明方法：證明：∵BF＝AB，∴AF＝2AB．∵AD＝2AB，∴AD＝AF．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴（依據(jù)1）∵BF＝AB，∴＝1，∴DE＝EF，∵AD＝AF，∴AE⊥DF（依據(jù)2），∴AE垂直平分DF．【反思交流】（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”是；“依據(jù)2”是；（2）小穎受到小明的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖②，連接圖①中的CF，將CF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接EG，求證：點G在線段BC的垂直平分線上；【拓展應(yīng)用】如圖③，將圖②中的CF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得到FH．分別以點B、C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點M，連接MH，若MH＝AB＝1，直接寫出m的值．六、解答題（每小題10分，共20分）25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，點D為邊AB上的點，且BD＝1．動點P從點A出發(fā)（點P不與點A、C重合），沿AC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，以相同的速度沿折線CB一BD向終點D運動，以DP、DQ為鄰邊構(gòu)造?PEQD，設(shè)點P運動的時間為t（0＜t＜4）秒．（1）當(dāng)點Q與點B重合時，t的值為；（2）當(dāng)點E落在AC邊上時，求t的值；（3）設(shè)?PEQD的面積為S（S＞0），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）連結(jié)PQ，直接寫出PQ與△ABC的邊平行時t的值．26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）經(jīng)過點（0，﹣4），其對稱軸是直線x＝1．點A在這個拋物線上，其橫坐標(biāo)為m，點B、C的坐標(biāo)分別為（m，2﹣m）、（1﹣m，2﹣m），點D在坐標(biāo)平面內(nèi)，以A、B、C、D為頂點構(gòu)造矩形ABCD．（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點A、B重合時，求m的值；（3）當(dāng)拋物線的最低點在矩形ABCD的邊上時，設(shè)該矩形與拋物線交點的縱坐標(biāo)之差為h（h＞0），求h的值；（4）當(dāng)該拋物線在矩形ABCD內(nèi)部的部分的圖象對應(yīng)的函數(shù)值y隨x增大而減小時，直接寫出m的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題2分，共12分）1．如圖是由5個大小相同的小正方體組成的幾何體，則它的左視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．解：從左面看易得，底層有3個正方形，上層左邊有1個正方形．故選：B．【點評】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．2．若兩個相似三角形的相似比是4：9，則其面積之比是（）A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)分析得出答案．解：∵兩個相似三角形的相似比是4：9，∴其面積之比是16：81，故選：D．【點評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題關(guān)鍵．3．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義逐項分析即可．解：A、C、D選項中的圖形旋轉(zhuǎn)180度不能夠與原圖形重合，故不是中心對稱圖形，而B選項中的圖形旋轉(zhuǎn)180度能夠與原圖形重合，故是中心對稱圖形．故選：B．【點評】本題考查中心對稱圖形的識別，繞某一個點旋轉(zhuǎn)180度能夠與自身重合的圖形，叫做中心對稱圖形．4．將拋物線y＝x2﹣1向右平移3個單位長度，所得拋物線的解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣4 C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1【分析】根據(jù)左加右減，上加下減的平移規(guī)律求解即可．解：將拋物線y＝x2﹣1向右平移3個單位長度，所得拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2﹣1，故選：D．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律，熟練掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．5．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，若∠ABD＝60°，則∠BCD等于（）A．54° B．56° C．30° D．46°【分析】根據(jù)圓周角定理的推論由AB是⊙O的直徑得∠ADB＝90°，根據(jù)∠BAD＝90°﹣∠ABD求得度數(shù)，再利用同弧所對圓周角相等得到∠BCD．解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝60°，∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°．∴∠BCD＝∠BAD＝30°，故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．6．如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosαm B．m C．5sinαm D．m【分析】利用所給的角的余弦值求解即可．解：如圖，過點B作BC⊥AF于點C，在Rt△ABC中，∵BC＝5米，∠CBA＝∠α．∴AB＝＝．故選：B．【點評】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．二、填空題（每小題3分，共24分）7．sin260°＝．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．解：sin260°＝（）2＝．故答案為：．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．8．若一元二次方程x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是m＜．【分析】若一元二次方程有兩不等實數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍．解：∵一元二次方程x2﹣x+m＝0有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝1﹣4m＞0，解得m＜，故答案為：m＜．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式，當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根．9．如圖，a∥b∥c，若，DF＝12，則BD的長為6．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．解：∵a∥b∥c，∴＝，∵，DF＝12，∴＝，解得，BD＝6，故答案為：6．【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanA＝．【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出直角三角形一直角邊與斜邊的長，再根據(jù)勾股定理求出另一直角邊的長，運用三角函數(shù)的定義解答．解：由sinA＝知，可設(shè)a＝4x，則c＝5x，b＝3x．∴tanA＝．故答案為：．【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系．求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)值，或者利用同角（或余角）的三角函數(shù)關(guān)系式求三角函數(shù)值．11．如圖，點A在雙曲線y＝上，AB⊥y軸于B，S△ABO＝3，則k＝6．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S△ABO＝|k|，即可求出表達(dá)式．解：∵△OAB的面積為3，∴k＝2S△ABO＝6，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式是y＝，即k＝6．故答案為：6．【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意三角形面積＝|k|，學(xué)生們熟練掌握這個公式．12．如圖①，西周數(shù)學(xué)家商高用“矩”測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖②的位置，從矩的一端A（人眼）望點E，使視線通過點C，記人站立的位置為點B，量出BG的長，即可算得物高EG．經(jīng)測量，得CD＝60cm，AD＝120cm，AB＝1.5m．設(shè)BG＝x（m），EG＝y(tǒng)（m），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝x+1.5．【分析】根據(jù)題意可得：FG＝AB＝1.5m，AF＝BG，EF∥CD，然后證明A字模型相似三角形△ACD∽△AEF，從而利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答．解：由題意得：FG＝AB＝1.5m，AF＝BG，EF∥CD，∴∠EFA＝∠CDA，∠ACD＝∠AEF，∴△ACD∽△AEF，∴＝，∴＝，解得：y＝x+1.5，故答案為：y＝x+1.5．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，分別以A，B，C，D為圓心，邊長為半徑畫弧，得到一個眼狀圖形，則陰影部分的面積為3π（結(jié)果保留π）．【分析】由圖可知，陰影部分的面積是兩個圓心角為60°，且半徑為3的扇形的面積，可據(jù)此求出陰影部分的面積．解：菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝AB＝BD，∴S弓形AD＝S弓形BD，∴S陰影＝2S扇形＝2×＝3π，故答案為：3π．【點評】本題利用了扇形的面積公式，菱形的性質(zhì)，得出S陰影＝2S扇形是解題關(guān)鍵．14．如圖，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，連接CC′，使點B′落在CC′上，AB′交CD于點H．若AB＝4，AD＝3，則AH的長為．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB＝AB'，∠AB'C＝90°，由“HL”可證Rt△ABC≌Rt△AB'C，可得∠BAC＝∠B'AC，可證AH＝CH，由勾股定理可求解．解：連接AC，∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AB′C′D′，∴AB＝AB'，∠AB'C＝90°，在Rt△ABC和Rt△AB'C中，，∴Rt△ABC≌Rt△AB'C（HL），∴∠BAC＝∠B'AC，∵DC∥AB，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DCA＝∠B'AC，∴AH＝CH，∵AH2＝AD2+DH2，∴AH2＝9+（4﹣AH）2，∴AH＝，故答案為：．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．三、解答題（每小題5分，共20分）15．計算：．【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而計算得出答案．解：原式＝×﹣+（）2＝1﹣+3＝3．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．16．拋擲一枚質(zhì)地均勻的普通硬幣，僅有兩種可能的結(jié)果：“出現(xiàn)正面”或“出現(xiàn)反面”，正面朝上記2分，反面朝上記1分，小明拋擲這枚硬幣兩次，用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次分?jǐn)?shù)之和等于3的概率．【分析】畫樹狀圖，共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次分?jǐn)?shù)之和等于3的結(jié)果有2種，再由概率公式求解即可．解：畫樹狀圖如下：共有4種等可能的結(jié)果，其中兩次分?jǐn)?shù)之和等于3的結(jié)果有2種，∴兩次分?jǐn)?shù)之和等于3的概率為＝．【點評】本題考查了用樹狀圖圖法求概率，樹狀圖法可以不重不漏的列舉出所有可能發(fā)生的情況，適合于兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．17．把一定體積的鋼錠拉成鋼絲，鋼絲的總長度y（m）是其橫截面積x（mm2）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)鋼絲總長度不少于80m時，鋼絲的橫截面積最多是多少mm2？【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點（4，32），利用待定系數(shù)法進(jìn)行解答；（2）把y＝80代入求得的解析式求得x的值即可．解：（1）由圖象得，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點（4，32），設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式使y＝，則＝32，解得k＝128，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是y＝；（2）當(dāng)y＝80時，即：＝80，解得：x＝1.6（mm2），∴鋼絲的橫截面積最多為1.6mm2．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，根據(jù)圖象找出函數(shù)圖象經(jīng)過的點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，難度不大．18．如圖，在一塊矩形空地的相鄰兩邊修寬度相等的小路（陰影部分），其余部分綠化，若矩形的長為30米，寬為20米，綠化部分的面積為504平方米，求小路的寬度．【分析】設(shè)小路的寬度為x米，則綠化部分的長為（30﹣x）米，寬為（20﹣x）米，根據(jù)綠化部分的面積為504平方米，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．解：設(shè)小路的寬度為x米，則綠化部分的長為（30﹣x）米，寬為（20﹣x）米，根據(jù)題意得：（30﹣x）（20﹣x）＝504，整理得：x2﹣50x+96＝0，解得：x1＝2，x2＝48（不符合題意，舍去）．答：小路的寬度為2米．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．四、解答題（每小題7分，共28分）19．圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點叫格點．△ABC的頂點均在格點上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留作圖痕跡．（1）在圖①中畫△ABC的中位線DE，使點D、E分別在邊AB、BC上；（2）在圖②中畫△ABC的高線BF．【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線的特點，先找到AB，BC的中點，再連接即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點作圖．解：如下圖：（1）線段DE即為所求；（2）線段BF即為所求．【點評】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計，掌握網(wǎng)格線的特點和三角的的中位線，高線的定義是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，DF⊥AE于點F．（1）求證：△ADF∽△EAB．（2）已知AB＝4，BC＝6，求EF的長．【分析】由四邊形ABCD為矩形，DF⊥AE，可得∠BAE＝∠ADF，即可證明結(jié)論；（2）E為BC的中點，根據(jù)勾股定理可得AE＝5，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可列出比例式求得AF的長，進(jìn)而求得EF的長即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，DF⊥AE，∴∠B＝∠AFD＝90°，∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠ADF＝90°，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ADF∽△EAB；（2）解：∵E為BC的中點，∴BE＝，∴AE＝＝5，∵△ADF∽△EAB，∴，∴，∴AF＝3.6，∴EF＝AE﹣AF＝5﹣3.6＝1.4．【點評】本題考查了相似三角形的判斷與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．如圖，AB是⊙O的直徑，點E在⊙O上，連接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于點C，過點C作CD⊥BE交BE的延長線于點D，連接CE．（1）判斷直線CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若，求的長（結(jié)果保留π）．【分析】（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線，證明OC⊥CD即可；（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義和弧長公式即可得到結(jié)論．解：（1）結(jié)論：CD是⊙O的切線．理由：連接OC．∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠CBE，∴∠OCB＝∠CBE，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴CD⊥OC，∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）在Rt△BCD中，∵，∴sin∠CBD＝＝＝，∴∠CBD＝30°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABC＝∠CBD＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝4，∴AO＝2，∴＝＝．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形，圓周角定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．安裝了軟件“SmartMeasure”的智能手機可以測量物高．其數(shù)學(xué)原理是：該軟件通過測量手機離地面的高度、物體底端的俯角和頂端的仰角即可知道物體高度．如圖2小明測得大樹底端C點的俯角α為20°，D點的仰角β為60°，點A離地面的高度AB＝1.5m．求大樹CD的高．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73，≈2.24．）【分析】過點A作AE⊥CD于E，構(gòu)建兩個直角三角形．先在Rt△ADE中，利用已知角的正弦值求出CE；然后在Rt△CEA中，利用已知角的正弦值求出CE即可解決問題．解：如圖2，過點A作AE⊥CD于E，在Rt△ACE中，AB＝CE＝1.5m，由tan20°＝，得AE≈4.17．在Rt△ADE中tan60°＝，得DE＝7.21，∴CD＝CE+DE＝1.5+7.21＝8.71≈8.7（m）．答：大樹CD的高為8.7米．【點評】本題考查仰角、俯角的定義，要求學(xué)生能借助角度構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．五、解答題（每小題8分，共16分）23．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，其中點A的坐標(biāo)為（﹣3，0）．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，若點P在拋物線上，且S△POC＝4SBOC，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）由拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸為直線x＝﹣1，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標(biāo)為（﹣3，0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即可求得B點的坐標(biāo)；（2）a＝1時，先由對稱軸為直線x＝﹣1，求出b的值，再將B（1，0）代入，求出二次函數(shù)的解析式即可；（3）由（2）得二次函數(shù)的解析式，得到C點坐標(biāo)，然后設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），根據(jù)S△POC＝4S△BOC列出關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而得到點P的坐標(biāo)．解：（1）∵對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，∴A、B兩點關(guān)于直線x＝﹣1對稱，∵點A的坐標(biāo)為（﹣3，0），∴點B的坐標(biāo)為（1，0）；（2）∵a＝1時，拋物線為y＝x2+bx+c，對稱軸為直線x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，解得b＝2．將B（1，0）代入y＝x2+2x+c，得1+2+c＝0，解得c＝﹣3，則二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3；（3）∵二次函數(shù)的解析式為y＝x2+2x﹣3，∴拋物線與y軸的交點C的坐標(biāo)為（0，﹣3），∴OC＝3．設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），∵S△POC＝4S△BOC，∴×3×|x|＝4××3×1，∴|x|＝4，∴x＝±4．當(dāng)x＝4時，x2+2x﹣3＝16+8﹣3＝21，當(dāng)x＝﹣4時，x2+2x﹣3＝16﹣8﹣3＝5．∴點P的坐標(biāo)為（4，21）或（﹣4，5）．【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積．解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想解決問題．24．【題目】如圖①，在矩形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AB延長線上一點，且BF＝AB，連接DF，交BC于點E，連接AE．試判斷線段AE與DF的位置關(guān)系．【探究展示】小明發(fā)現(xiàn)，AE垂直平分DF，并展示了如下的證明方法：證明：∵BF＝AB，∴AF＝2AB．∵AD＝2AB，∴AD＝AF．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴（依據(jù)1）∵BF＝AB，∴＝1，∴DE＝EF，∵AD＝AF，∴AE⊥DF（依據(jù)2），∴AE垂直平分DF．【反思交流】（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”是平行線分線段成比例定理；“依據(jù)2”是等腰三角形三線合一的性質(zhì)；（2）小穎受到小明的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖②，連接圖①中的CF，將CF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接EG，求證：點G在線段BC的垂直平分線上；【拓展應(yīng)用】如圖③，將圖②中的CF繞點F順時針旋轉(zhuǎn)90°得到FH．分別以點B、C為圓心，m為半徑作弧，兩弧交于點M，連接MH，若MH＝AB＝1，直接寫出m的值．【分析】【反思交流】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)直接得出結(jié)論；（2）證明△CEG≌△FBC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠CEG＝∠FBC＝90°，得出GE⊥CB，由【探究展示】知BE＝AD＝BC，即可得出結(jié)論；【拓展應(yīng)用】過點H作HN⊥AF于N，連接CM，證明△HNF≌△FBC（SAS），得出NH＝1，NF＝2，判斷出四邊形BEHN為矩形，則EH＝BN＝3，分兩種情況利用勾股定理即可得出結(jié)論．【解答】【反思交流】（1）解：上述證明過程中的“依據(jù)1”是平行線分線段成比例定理；“依據(jù)2”是等腰三角形三線合一的性質(zhì)．故答案為：平行線分線段成比例定理，等腰三角形三線合一的性質(zhì)；（2）證明：由旋轉(zhuǎn)得∠FCG＝90°，CG＝FC，∴∠GCE+∠BCF＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠CBF＝90°，AD＝BC，∴∠CFB+∠BCF＝90°，∴∠CFB＝∠GCE，由【探究展示】知DE＝EF，∵BF＝AB，∴BE＝AD＝BC，∴BC＝2CE＝2BE，∵AD＝2AB，∴BF＝CE，∴△CEG≌△FBC（SAS），∴∠CEG＝∠FBC＝90°，∴GE⊥CB，∴點G在線段BC的垂直平分線上；【拓展應(yīng)用】過點H作HN⊥AF于N，連接CM，由旋轉(zhuǎn)得∠CFH＝90°，F(xiàn)H＝FC，∴∠CFB+∠HFN＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠CBF＝90°，AD＝BC，∴∠CFB+∠BCF＝90°，∴∠BCF＝∠NFH，∵∠CBF＝∠FNH＝∠ABC＝90°，∴△HNF≌△FBC（SAS），BE∥NH，∴NH＝BF＝AB＝1，BC＝NF，∵AD＝2AB，∴BC＝NF＝2，∴BN＝3，由（2）知BC＝2CE＝2BE，∴BE＝CE＝1，∴四邊形BEHN為矩形，∴EH＝BN＝3，EH⊥BC，∴EH是BC的垂直平分線，∴m的值為CM的長，∵M(jìn)H＝AB＝1，∴EM＝3﹣1＝2或3+1＝4，∴CM＝＝或CM＝＝，∴m的值為或．【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．六、解答題（每小題10分，共20分）25．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，點D為邊AB上的點，且BD＝1．動點P從點A出發(fā)（點P不與點A、C重合），沿AC以每秒1個單位長度的速度向終點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，以相同的速度沿折線CB一BD向終點D運動，以DP、DQ為鄰邊構(gòu)造?PEQD，設(shè)點P運動的時間為t（0＜t＜4）秒．（1）當(dāng)點Q與點B重合時，t的值為3；（2）當(dāng)點E落在AC邊上時，求t的值；（3）設(shè)?PEQD的面積為S（S＞0），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）連結(jié)PQ，直接寫出PQ與△ABC的邊平行時t的值．【分析】（1）先由勾股定理求得BC＝3，因為PA＝QC＝t，所以當(dāng)點Q與點B重合時t＝3；（2）當(dāng)點E落在AC邊上時，則DQ∥AC，所以△DQB∽△ACB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列方程＝，解方程求出t的值即可；（3）分兩點情況，一是點Q在BC上，作PF⊥AB于點F，DG⊥BC于點G，可求得PF＝t，DG＝，即可由S＝2S△DPQ＝2（S△ABC﹣S△PAD﹣S△QBD﹣S△CPQ）求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；二是點Q在BD上，可直接由平行四邊形的面積公式求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）分兩種情況，一是PQ∥AB，可根據(jù)平行線分線段成比例定理列方程＝；二是PQ∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理列方程＝，解方程求出相應(yīng)的t值即可．解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵PA＝QC＝t，∴當(dāng)點Q與點B重合時，QC＝BC＝3，∴t＝3，故答案為：3．（2）∵四邊形PEQD是平行四邊形，∴DQ∥PE，當(dāng)點E落在AC邊上時，如圖2，則DQ∥AC，∴△DQB∽△ACB，∴＝，∵BQ＝3﹣t，BD＝1，∴＝，解得t＝.（3）當(dāng)0＜t≤3時，如圖1，作PF⊥AB于點F，DG⊥BC于點G，∵∠AFP＝∠BGD＝90°，∴PF＝AP?sinA＝t，∵AB＝5，BD＝1，∴AD＝AB﹣BD＝4，DG＝BD?sinB＝，由S△DPQ＝S△ABC﹣S△PAD﹣S△QBD﹣S△CPQ得S＝×3×4﹣×4×t﹣×（3﹣t）﹣t（4﹣t），∴S＝2（t2﹣t+）＝t2﹣t+；當(dāng)3＜t＜4時，如圖3，作PF⊥AB于點F，則PF＝t，∵BC+BD＝4，∴DQ＝4﹣t，∴S＝t（4﹣t），∴S＝﹣t2+t，綜上所述，S＝．（4）當(dāng)PQ∥AB時，如圖4，∴＝，∴＝，解得t＝；當(dāng)PQ∥BC時，如圖5，∴＝，∵AB+BC＝8，∴AQ＝8﹣t，∴＝，解得t＝，綜上所述，t＝或t＝．【點評】此題重點考查勾股