初三數(shù)學(xué)利用三角函數(shù)解直角三角形

解直角三角形中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求解直角三角形知道解直角三角形的含義會解直角三角形；能根據(jù)問題的需要添加輔助線構(gòu)造直角三角形；會解由兩個特殊直角三角形構(gòu)成的組合圖形的問題能綜合運用直角三角形的性質(zhì)解決有關(guān)問題知識要點模塊一解直角三角形、解直角三角形的概念根據(jù)直角三角形中已知的量（邊、角）來求解未知的量（邊、角）的過程就是解百角三角形.、直角三角形的邊角關(guān)系如圖，直角三角形的邊角關(guān)系可以從以下幾個方面加以歸納：（1）三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90。a b a（3）邊角之間的關(guān)系：sinA=cosB=-,cosA=sinB=—,tanA=—c c b三、解直角三角形的四種基本類型（1）（1）已知斜邊和一直角邊（如斜邊cb=\:c2-a2；，直角邊a），由sinA=-求出ZA，則ZB=90?！猌A，

ca=csinA，b=ccosA；（2）已知斜邊和一銳角（如斜邊c，銳角Aa=csinA，b=ccosA；（3）（3）已知一直角邊和一銳角（如a和銳角A），求出ZB=90O-ZA，b=atanB，a

c= sinA(4)已知兩直角邊(如a和b)，求出c="a2+b2，由tanA=a，得ZB=90o—^A.b具體解題時要善于選用公式及其變式，如sinA=a可寫成a=csinA,c=~a~等.c sinA四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括為：“有斜（斜邊）用弦（正弦，余弦），無斜用切（正切，余切），寧乘毋除，取原避中”.這幾句話的意思是：當(dāng)已知或求解中有斜邊時，就用正弦或余弦；無斜邊時，就用正切或余切；當(dāng)所求的元素既可用乘法又可用除法時，則用乘法，不用除法；既可由已知數(shù)據(jù)又可用中間數(shù)據(jù)求得時，則用原始數(shù)據(jù)，盡量避免用中間數(shù)據(jù).五、解直角三角形的技巧及注意點在RtAABC中，ZA+ZB=90。，故sinA=cos（90。—A）=cosB,cosA=sinB.利用這些關(guān)系式，可在解題時進行等量代換，以方便解題.初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第02講.學(xué)生版Page1of9六、如何解直角三角形的非基本類型的題型對解直角三角形的非基本類型的題型，通常是已知一邊長及一銳角三角函數(shù)值，可通過解方程（組）來轉(zhuǎn)化為四種基本類型求解；（1）如果有些問題一時難以確定解答方式，可以依據(jù)題意畫圖幫助分析；（2）對有些比較復(fù)雜的問題，往往要通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，作輔助線的一般殳思路是：①作垂線構(gòu)成直角三角形；②利用圖形本身的性質(zhì)，如等腰三角形頂角平分線垂直于底邊等.3EBE。三例題精講AAC【鞏固】如圖，在AA5C中，ZC=90。,ZB=60。,D是AC3EBE。三例題精講AAC【鞏固】如圖，在AA5C中，ZC=90。,ZB=60。,D是AC上一點，DE±AB于E，且CD=2,DE=1，【鞏固】如圖，AABC是等腰三角形，ZACB=90。，過BC的中點D作DE±AB，垂足為E，連接CE，貝UsinZACE=.【例1】如圖是教學(xué)用直角三角板，邊AC=30cm,ZC=90。,tanZBAC=近，則邊BC的長為（3)BC-10<3cmD.5、3cmAA.2C.2<3A-30<3cmB-20、.3cm則BC的長為（)B.髀D.4<3DBC初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第02講.學(xué)生版Page2of9【例2】如圖所示，連接AC.O的直徑AB=【例2】如圖所示，連接AC.O的直徑AB=4，點P是AB延長線上的一點，過P點作O的切線，切點為C,(1)若/CPA=30。，那么PC的長為(2)若點P在AB的延長線上運動，ZCPA的平分線交AC于點M，ZCMP的大小是否會發(fā)生變化.【鞏固】如圖，某航天飛機在地球表面點P的正上方A處，從A處觀測到地球上的最遠點Q，若ZQAP=a,().A.R,兀aRB.RD(90—a)兀R—R,sina180sina180C.RD(90+a)兀RR,D.RD(90—a)兀R—R,sina180cosa180地球半徑為R，則航天飛機距地球表面的最近距離AP，以及P、Q兩點間的地面距離分別是【例3】在平面直角坐標系中，設(shè)點P到原點O的距離為P,OP與x軸正方向的夾角為a，則用［p，a］表示點P的極坐標，顯然，點P的極坐標與它的坐標存在一一對應(yīng)關(guān)系.例如：點P的坐標為(1，1)，則其極坐標為［石，45。］.若點Q的極坐標為［4,60。］,則點Q的坐標為( )A.(2,2v3) B.(2,—2<3) C.(2<3,2) D.(2,2)模塊二解直角三角形應(yīng)用七、直角三角形中其他重要概念(1)仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角.如圖⑴.h(2)坡角與坡度：坡面的垂直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(或叫做坡比).用字母表示為i一,-^ 、、，， r坡面與水平面的夾角記作a，叫做坡角，則i=:=tana.坡度越大，坡面就越陡.如圖⑵.l初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第02講.學(xué)生版Page3of9（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達為北（南）偏東（西）乂乂度.如圖⑶.北北八、解直角三角形應(yīng)用題的解題步驟及應(yīng)注意的問題:（1）分析題意，根據(jù)已知條件畫出它的平面或截面示意圖，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念的意義;（2）找出要求解的直角三角形.有些圖形雖然不是直角三角形，但可添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把它們分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；（3）根據(jù)已知條件，選擇合適的邊角關(guān)系式解直角三角形;（4）按照題目中已知數(shù)據(jù)的精確度進行近似計算，檢驗是否符合實際，并按題目要求的精確度取近似值，注明單位.（一）仰角與俯角【例4】如圖，從熱氣球C上測定建筑物A、B底部的俯角分別為30。和60。，如果這時氣球的高度CD為TOC\o"1-5"\h\z150米，且點A、D、B在同一直線上，建筑物A、B間的距離為（ ）米.\o"CurrentDocument"A.150%3 B.180\3 e 飛:三， fC.200v3 D.220V3 ,,1/i\\o"CurrentDocument"A DB【鞏固】周末，身高都為1.6米的小芳、小麗來到溪江公園，準備用她們所學(xué)的知識測算南塔的高度.如圖，小芳站在A處測得她看塔頂?shù)难鼋莂為45。，小麗站在B處（A、B與塔的軸心共線）測得她看塔頂?shù)难鼋荘為30。.她們又測出A、B兩點的距離為30米.假設(shè)她們的眼睛離頭頂都為10cm,則可計算出塔高約為（結(jié)果精確到0.01,參考數(shù)據(jù)：工。1.414，巨。1.732）（ ）A.36.21米 B.37.71米 C.40.98米 D.42.48米【例5】如圖，在山腳的C處測得山頂A的仰角為45。，沿著坡度為30。的斜坡前進400米到D處（即初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第02講.學(xué)生版Page4of9/DCB=30。,CD=400米）初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第02講.學(xué)生版Page4of9【鞏固】如圖，某電信部門計劃架設(shè)一條連結(jié)B,C兩地的電纜，測量人員在山腳A地測得B,C兩地在同一方向，且兩地的仰角分別為30。，45。，在B地測得C地的仰角為60。，已知C地比A地高200米，且由于電纜的重力導(dǎo)致下墜，實際長度是兩地距離的1.2倍，求電纜的長（精確到0.1米）（二）坡度與坡角【例6】如圖，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為a，A,上sinah tana-^―cosa（二）坡度與坡角【例6】如圖，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為a，A,上sinah tana-^―cosah-sina【鞏固】如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1:<3，1010<3155K3CA EHD【例7】創(chuàng)意設(shè)計公司員工小王不慎將墨水潑在一張設(shè)計圖紙上，導(dǎo)致其中部分圖形和數(shù)據(jù)看不清楚（如圖所示）.已知圖紙上的圖形是某建筑物橫斷面的示意圖，它是以圓0的半徑0C所在的直線為對稱軸的軸對稱圖形，A是0D與圓0的交點.（1）請你幫助小王在下圖中把圖形補畫完整；（2）由于圖紙中圓0的半徑r的值已看不清楚，根據(jù)上述信息（圖紙中力=1:0.75是坡面CE的坡度），求r的值.初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第02講.學(xué)生版Page5of9(三)方向角【例8】如圖，AC是某市環(huán)城路的一段，AE,BF,CD都是南北方向的街道，其與環(huán)城路AC的交叉路口分別是A，B，C.經(jīng)測量花卉世界D位于點A的北偏東45。方向、點B的北偏東30。方向上，AB=2km,ZDAC=15。.(1)求B,D之間的距離;(2)求C,D之間的距離.【鞏固】臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力.據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220km的B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠離臺風(fēng)中心20km，風(fēng)力就減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)在以15km/h的速度沿北偏東30。方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達到四級，則稱受臺風(fēng)影響.(1)該城市是否會受這次臺風(fēng)影響？請說明理由.(2)若受臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間會有多長?(3)該城市受臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力是幾級？(四)其它【例9】小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以15。的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴重影響了同學(xué)們的行走安

全.他自覺地將拖把挪動位置，使其的傾斜角為75。，如果拖把的總長為1.80m，則小明拓寬了【鞏固】如圖1,一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面的傾斜角a為60。.行路通道m(xù).(結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：行路通道m(xù).(結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sin15。初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第02講.學(xué)生版(1)求AO與BO的長；(2)若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行.①如圖2,設(shè)A點下滑到。點，B點向右滑行到。點，并且AC:BD=2:3，試計算梯子頂端A沿NO下滑多少米；②如圖3,當(dāng)A點下滑到A，點，B點向右滑行到B，點時，梯子AB的中點P也隨之運動到P'點.若/POP'=15。，試求AA，的長.【例10】關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式：sin(a+p)=sinacosp+cosasinpcos(a+p)=cosacosp-sinasinptana+tanptan(a+p)= — (1-tana-tanpw0)1-tana-tanp利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值，如tan105o=tan(450+60tan105o=tan(450+60。)==-(2+V3)1-tan450.tan60。根據(jù)上面的知識，你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面實際問題：如圖，直升飛機在一建筑物CD上方A點處測得建筑物頂端D點的俯角a為60o，底端C點的俯角p為75。，此時直升飛機與建筑物CD的水平距離BC為42米，求建筑物CD的高.BC初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第BC初中數(shù)學(xué).銳角三角函數(shù)B級.第02講.學(xué)生版Page7of9課堂檢測（2011遵義）某市為緩解城市交通壓力，決定修建人行天橋，原設(shè)計天橋的樓梯長 AB=6cm,ZABC=45。，后考慮到安全因素，將樓梯腳B移到CB延長線上點D課堂檢測（2011遵義）某市為緩解城市交通壓力，決定修建人行天橋，原設(shè)計天橋的樓梯長 AB=6cm,ZABC=45。，后考慮到安全因素，將樓梯腳B移到CB延長線上點D處，使ZADC=30。（如圖所示）（1）求調(diào)整后樓梯AD的長；（2）求BD的長.（結(jié)果保留根號）如圖1表示一個時鐘的鐘面垂直固定于水平桌面上，其中分針上有一點A,且當(dāng)鐘面顯示3點30分時，分針垂直于桌面，A點距桌面的高度為10公分.如圖2,若此鐘面顯示3點45分時，A點距桌面的高度為16公分，則鐘面顯示3點50分時，A點距桌面的高度為多少公分（22—3V316+冗1819)3.如圖，C島在A島的北偏東60。方向，在B島的北偏西45。方向，則從C島看A、B兩島的視角ZACB=課后作業(yè)1.一架5米長的梯子斜靠在墻上，測得它與地面的夾角為40。，則梯子底端到墻5sin40。5cos40。.如圖，將一個Rt△ABC形狀的楔子從木樁的底端點P處沿水平方向打入木樁底下，使木樁向上運動，已知楔子斜面的傾斜角為20。，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭頭所示），則木樁上升了（