數(shù)值分析常微分方程初值問題的

數(shù)值分析常微分方程初值問題的第1頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五考慮一階常微分方程的初值問題/*Initial-ValueProblem*/:只要f(x,y)在[a,b]R1上連續(xù)，且關(guān)于y

滿足Lipschitz

條件，即存在與x,y無關(guān)的常數(shù)L

使對(duì)任意定義在[a,b]上的y1(x)和y2(x)都成立，則上述IVP存在唯一解。要計(jì)算出解函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點(diǎn)a=x0<x1<…<xn=b

處的近似值節(jié)點(diǎn)間距為步長(zhǎng)，通常采用等距節(jié)點(diǎn)，即取hi=

h

(常數(shù))。第一節(jié)求解初值問題數(shù)值方法的基本原理數(shù)值解(10-1)一、初值問題的數(shù)值解第2頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五求解(10-1)最基本的方法是單步法單步法:從初值開始,依次求出,后一步的值只依靠前一步的，是一種逐點(diǎn)求解的離散化方法。典型的單步法是Euler(歐拉)方法,其計(jì)算格式是:例:求解常微分方程初值問題第3頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五由此可見,Euler公式的近似值接近方程的精確值.第4頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五x0x1向前差商近似導(dǎo)數(shù)記為二、構(gòu)造初值問題數(shù)值方法的基本途徑以Euler法為例說明構(gòu)造IVP問題數(shù)值方法的三種基本途徑1.數(shù)值微分法,用差商代替微商亦稱為歐拉折線法2.Taylor展開法第5頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五忽略高階項(xiàng),取近似值可得到Euler公式3.數(shù)值積分法區(qū)間

將區(qū)間積分第6頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+由于未知數(shù)yi+1

同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式

/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式

/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再迭代求解。三、Euler法的改進(jìn)及梯形公式第7頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均

中點(diǎn)歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1改進(jìn)歐拉法/*modifiedEuler’smethod*/Step1:

先用顯式歐拉公式作預(yù)測(cè)，算出),(nnnyxfhy+=1+nyStep2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正，得到1+ny)],(),([211++++=nnnnnxfyxfhyy1+ny第8頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五注：此法亦稱為預(yù)測(cè)-校正法

/*predictor-correctormethod*/。一方面它有較高精度，同時(shí)可以看到它是個(gè)單步遞推格式，比隱式公式的迭代求解過程簡(jiǎn)單。后面將看到，它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。yn＋1第9頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五第10頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五四、單步法的誤差分析和穩(wěn)定性1.整體截?cái)嗾`差和局部截?cái)嗾`差整體截?cái)嗾`差:數(shù)值解和精確解之差

整體截?cái)嗾`差除與步計(jì)算有關(guān)外,還與的計(jì)算有關(guān)

分析計(jì)算中的某一步,顯式單步法的一般形式可寫為:

其中稱為增量函數(shù)。如對(duì)于Euler公式其增量函數(shù)第11頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五

稱為單步法在點(diǎn)處的局部截?cái)嗾`差。定義若某算法的局部截?cái)嗾`差為，則稱該算法有p

階精度。

歐拉法的局部截?cái)嗾`差,由Taylor展開:歐拉法具有

1階精度。

類似可以證明改進(jìn)的Euler方法具有2階精度局部截?cái)嗾`差:設(shè)是初值問題(10.1)的解,用單步法計(jì)算到第n步?jīng)]有誤差,即,則定義第12頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例：對(duì)于常微分方程初值問題證明隱式公式是一階方法。解：隱式公式是一階方法第13頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五2.收斂性和整體截?cái)嗾`差

若某算法對(duì)于任意固定的x

=x0+nh，當(dāng)h0

(同時(shí)n)時(shí)有yn

y(xn

)，則稱該算法是收斂的。定義例：就初值問題考察歐拉顯式格式的收斂性。解：該問題的精確解為歐拉公式為對(duì)任意固定的x=xn=nh

，有對(duì)一切成立,則該方法收斂,且有第14頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五關(guān)于整體截?cái)嗾`差與局部截?cái)嗾`差的關(guān)系,有如下定理定理:對(duì)IVP(10.1)式的單步法,若局部截?cái)嗾`差為,且函數(shù)對(duì)y滿足Lipschitz條件,即存在L>0,使得對(duì)一切成立,則該方法收斂,且有第15頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五由該定理可知整體截?cái)嗾`差總比局部截?cái)嗾`差低一階

對(duì)改進(jìn)的Euler法,于是有

設(shè)L為f關(guān)于y的Lipschitz常數(shù),則由上式可得限定h即可知Q滿足Lipschitz條件,故而改進(jìn)的Euler法收斂.第16頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例：考察初值問題在區(qū)間[0,0.5]上的解。分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。0.00.10.20.30.40.5精確解改進(jìn)歐拉法

歐拉隱式歐拉顯式

節(jié)點(diǎn)xi1.00002.00004.00008.00001.6000101

3.2000101

1.00002.5000101

6.25001021.56251023.90631039.76561041.00002.50006.25001.56261013.90631019.76561011.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.05901073.穩(wěn)定性第17頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五定義

若某算法在計(jì)算過程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)算中都逐步衰減，則稱該算法是絕對(duì)穩(wěn)定的

/*absolutelystable*/。一般分析時(shí)為簡(jiǎn)單起見，只考慮試驗(yàn)方程

/*testequation*/常數(shù)，可以是復(fù)數(shù)當(dāng)步長(zhǎng)取為h

時(shí)，將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值產(chǎn)生誤差，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對(duì)于絕對(duì)穩(wěn)定，的全體構(gòu)成絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域。我們稱算法A比算法B穩(wěn)定，就是指A的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域比B的大。hlh=h第18頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五例：考察顯式歐拉法由此可見，要保證初始誤差0以后逐步衰減，必須滿足：0-1-2ReImg例：考察隱式歐拉法可見絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域?yàn)椋?10ReImg注：一般來說，隱式歐拉法的絕對(duì)穩(wěn)定性比同階的顯式法的好。第19頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五第二節(jié)高精度的單步法在高精度的單步法中,應(yīng)用最廣泛的是Runge-Kutta(龍格-庫塔)方法一、Runge-Kutta法的基本思想（1）第20頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五第21頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五Runge-Kutta法的基本思想（2）第22頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五第23頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五Runge-Kutta法的基本思想（3）第24頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五二、二階龍格－庫塔方法第25頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五第26頁，共34頁，2023年，2月20日，星期五第27頁，共34頁，2023年，2月20日，