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文檔簡介
有限元基礎(chǔ)理論教程第1頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五先考慮結(jié)點(diǎn)n有水平方向位移約束,與n結(jié)點(diǎn)水平方向?qū)?yīng)的平衡方程為:在[K]矩陣中,第2n-1行的對(duì)角線元素改為1,該行中全部非對(duì)角線元素改為0;在{P}中,第2n-1個(gè)元素改為0。為了保持[K]矩陣的對(duì)稱性,將第2n-1列的全部非對(duì)角元素也改為0。應(yīng)該換成下面的方程:第2頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五如果結(jié)點(diǎn)n在垂直方向有位移約束,則(2-29)中的第2n個(gè)方程修改為,在[K]矩陣中,第2n行的對(duì)角線元素改為1,該行中全部非對(duì)角線元素改為0;在{P}中,第2n個(gè)元素改為0。為了保持[K]矩陣的對(duì)稱性,將第2n列的全部非對(duì)角元素也改為0。第3頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五例2.9、結(jié)構(gòu)的位移約束條件如圖所示,結(jié)構(gòu)平衡的方程組如下。修改整體剛度矩陣。第4頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五根據(jù)結(jié)點(diǎn)4的位移約束,修改該整體剛度矩陣的系數(shù)。第5頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五根據(jù)結(jié)點(diǎn)1和結(jié)點(diǎn)6的位移約束條件繼續(xù)修改整體剛度矩陣可以得到以下的形式,第6頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五如果結(jié)點(diǎn)n處存在一個(gè)已知非零的水平方向位移,這時(shí)的約束條件為,在[K]矩陣中,第2n-1行的對(duì)角線元素乘上一個(gè)大數(shù)A,將方程修改為,第7頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五處理約束條件的意義在于,強(qiáng)迫單元內(nèi)部的分片近似位移場滿足整體結(jié)構(gòu)的位移邊界條件,得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的近似解。在定義位移約束時(shí),要消除結(jié)構(gòu)的剛體位移。第8頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五1)用相關(guān)單元的單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算結(jié)點(diǎn)力,再由力的平衡關(guān)系得到約束反力。與位移約束對(duì)應(yīng)的約束反力如何計(jì)算?2)給矩陣相應(yīng)的對(duì)角元素加上一個(gè)大數(shù),將載荷列陣的對(duì)應(yīng)元素置為零。相當(dāng)于用一個(gè)剛度很大的彈簧代替位移約束。n結(jié)點(diǎn)在x方向位移為零,用剛度系數(shù)為A的彈簧代替,由于剛度很大,un是一個(gè)很小的值。方程修改為,第9頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五2.8整體剛度矩陣的特點(diǎn)與存儲(chǔ)方法
整體剛度矩陣具有以下幾個(gè)顯著的特點(diǎn):對(duì)稱性,稀疏性,非零系數(shù)帶形分布。1)對(duì)稱性 由單元?jiǎng)偠染仃嚨膶?duì)稱性和整體剛度矩陣的集成規(guī)則,可知整體剛度矩陣必為對(duì)稱矩陣。利用對(duì)稱性,只保存整體矩陣上三角部分的系數(shù)即可。2)稀疏性
單元?jiǎng)偠染仃嚨亩鄶?shù)元素為零,非零元素的個(gè)數(shù)只占較小的部分。第10頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五3)非零元素帶形分布整體剛度矩陣的非零元素分布在以對(duì)角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi),這種矩陣稱為帶形矩陣。在包括對(duì)角線元素的半個(gè)帶形區(qū)域內(nèi),每行具有的元素個(gè)數(shù)叫做半帶寬。最大半帶寬用d表示,例2.9所示結(jié)構(gòu)的最大半帶寬為,第11頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五二維等帶寬存儲(chǔ)
設(shè)整體剛度矩陣[K]為一個(gè)n行、n列的矩陣,最大半帶寬為d。利用帶形矩陣的特點(diǎn)和對(duì)稱性,只需要保存以d為固定帶寬的上半帶的元素,稱為二維等帶寬存儲(chǔ)。 整體剛度矩陣[K]每行中的上半帶元素取出,保存在另一個(gè)矩陣[K*]的對(duì)應(yīng)行中,得到一個(gè)n行、d列矩陣[K*]。 把元素在[K]矩陣中的行、列編碼記為r、s,在矩陣[K*]中的行、列編碼記為r*、s*,對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:
r*=r s*=s-r+1第12頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五[K]矩陣中的對(duì)角線元素保存在新矩陣中的第1列中,[K]矩陣中的r行元素仍然保存在新矩陣的r行中,[K]矩陣中的s列元素則按照新的列編碼保存在新矩陣的不同列中。仍然會(huì)保存一些零元素,但是元素尋址很方便。整體剛度矩陣[K]等帶寬矩陣[K*]第13頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五二維等帶寬存儲(chǔ)所存儲(chǔ)的元素?cái)?shù)量取決于最大半帶寬d的值,d的值則由單元結(jié)點(diǎn)的編碼方式?jīng)Q定。相同的有限單元網(wǎng)格按照?qǐng)D2.13(a)的結(jié)點(diǎn)編碼,最大的半帶寬為14;按照?qǐng)D2.13(b)的結(jié)點(diǎn)編碼,最大的半帶寬為18。圖2.13(a)圖2.13(b)第14頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五一維變帶寬存儲(chǔ)按行的一維變帶寬存儲(chǔ),按照每一行的半帶寬把半帶寬內(nèi)的元素保存到一維數(shù)組中。使用輔助數(shù)組定義對(duì)角元素在一維數(shù)組中的位置。需要存儲(chǔ)的矩陣元素最少。解方程時(shí)的地址計(jì)算比較復(fù)雜,會(huì)帶來一些額外的計(jì)算量。第15頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五2.9線性方程組解法線性方程組的解法:直接解法
包括高斯消去法、等帶寬高斯消去法、三角分解法,以及適用于大型方程組求解的分塊算法和波前法等。迭代解法 雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、超松弛迭代法和共軛梯度法等。第16頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五利用矩陣的對(duì)稱、稀疏、帶狀分布等特點(diǎn)提高方程求解效率是關(guān)鍵。在方程組的階數(shù)不是特別高時(shí),通常采用直接解法。當(dāng)方程組的階數(shù)過高時(shí),為避免舍入誤差和消元時(shí)有效數(shù)損失等對(duì)計(jì)算精度的影響,可以選擇迭代方法。第17頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五利用矩陣的對(duì)稱、稀疏、帶狀分布等特點(diǎn)提高方程求解效率是關(guān)鍵。在方程組的階數(shù)不是特別高時(shí),通常采用直接解法。當(dāng)方程組的階數(shù)過高時(shí),為避免舍入誤差和消元時(shí)有效數(shù)損失等對(duì)計(jì)算精度的影響,可以選擇迭代方法。第18頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五高斯消去法的一般公式
第m次消元時(shí),以第m-1次消元后的第m行元素為主元行,對(duì)第i行元素(i>m)的消元公式為,若原系數(shù)矩陣是對(duì)稱矩陣,則在消元過程中的待消矩陣仍然保持對(duì)稱。
如果第19頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五雅可比迭代的原理A為非奇異矩陣,主元非零D為對(duì)角矩陣通過迭代逐步逼近方程組的解,第20頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五波前法的特點(diǎn) 剛度矩陣K和載荷列陣P不按照自然編號(hào)進(jìn)入內(nèi)存,而按照參加運(yùn)算的順序排列;以集成完畢的自由度作為主元對(duì)其它列的元素進(jìn)行消元修正。不形成整體剛度矩陣。共軛梯度法 求解最優(yōu)化問題的搜索算法。迭代公式為,搜索方向,線性方程組,第21頁,共24頁,2023年,2月20日,星期五ANSYS提供了多種求解器供選擇,分為直接解法和迭代解法。直接解法包括:波前法(FrontalSolver)稀疏法(SparseDirectSovler)迭代解法包括:雅可比共軛梯度法(JacobiConjugateGradientSolver,JCG),不完全共軛梯度法(IncompleteCholeskyConjugateGradientSolver,ICCG)預(yù)處理共軛梯度法(PreconditionedConjugateGradientSolver,PCG)代數(shù)多格法(AlgebraicMultigridSolver,AMG)區(qū)域分割法(DistributedDomainSolver,DDS)
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