初中數(shù)學(xué)《相似三角形》教學(xué)案

./相似三角形一、知識概述<一>相似三角形1、對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形,叫做相似三角形．溫馨提示：①當(dāng)且僅當(dāng)一個三角形的三個角與另一個<或幾個>三角形的三個角對應(yīng)相等,且三條對應(yīng)邊的比相等時,這兩個<或幾個>三角形叫做相似三角形,即定義中的兩個條件,缺一不可；②相似三角形的特征：形狀一樣,但大小不一定相等；③相似三角形的定義,可得相似三角形的基本性質(zhì)：對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例,其應(yīng)用廣泛．2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．溫馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等,而相似要求對應(yīng)邊成比例．②相似比具有順序性．例如△ABC∽△A′B′C′的對應(yīng)邊的比,即相似比為k,則△A′B′C′∽△ABC的相似比,當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r,才有k=k′=1．③相似比是一個重要概念,后繼學(xué)習(xí)時出現(xiàn)的頻率較高,其實質(zhì)它是將一個圖形放大或縮小的倍數(shù),這一點借助相似三角形可觀察得出．3、如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形．4、相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊,且這條直線與原三角形的兩條邊<或其延長線>分別相交,那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．溫馨提示：①定理的基本圖形有三種情況,如圖其符號語言：∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE；②這個定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理．它不但本身有著廣泛的應(yīng)用,同時也是證明下節(jié)相似三角形三個判定定理的基礎(chǔ),故把它稱為"預(yù)備定理"；③有了預(yù)備定理后,在解題時不但要想到上一節(jié)"見平行,想比例",還要想到"見平行,想相似"．<二>相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理<1>：兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似．判定定理<2>：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似．判定定理<3>：三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似．溫馨提示：①有平行線時,用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理；②已有一對對應(yīng)角相等<包括隱含的公共角或?qū)斀?gt;時,可考慮利用判定定理〔1或判定定理〔2；③已有兩邊對應(yīng)成比例時,可考慮利用判定定理2或判定定理3．但是,在選擇利用判定定理2時,一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等．2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,兩直角三角形相似．溫馨提示：①由于直角三角形有一個角為直角,因此,在判定兩個直角三角形相似時,只需再找一對對應(yīng)角相等,用判定定理1,或兩條直角邊對應(yīng)成比例,用判定定理2,一般不用判定定理3判定兩個直角三角形相似；②如圖是一個十分重要的相似三角形的基本圖形,圖中的三角形,可稱為"母子相似三角形",其應(yīng)用較為廣泛．③如圖,可簡單記為：在Rt△ABC中,CD⊥AB,則△ABC∽△CBD∽△ACD．<三>三角形的重心1、三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．2、三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍．二、重點難點疑點突破1、尋找相似三角形對應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項基本功．通常有以下幾種方法：<1>相似三角形有公共角或?qū)斀菚r,公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的角<或最小的角>一定是對應(yīng)角；相似三角形中,一對相等的角是對應(yīng)角,對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊,對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；<2>相似三角形中,一對最長的邊<或最短的邊>一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角．2、常見的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定,要與三角形全等的判定相比較,把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形,要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結(jié),形成一整套完整的判定方法．如：<1>"平行線型"相似三角形,基本圖形見上節(jié)圖．"見平行,想相似"是解這類題的基本思路；<2>"相交線型"相似三角形,如上圖．其中各圖中都有一個公共角或?qū)斀牵?見一對等角,找另一對等角或夾等角的兩邊成比例"是解這類題的基本思路；<3>"旋轉(zhuǎn)型"相似三角形,如圖．若圖中∠1=∠2,∠B=∠D<或∠C=∠E>,則△ADE∽△ABC,該圖可看成把第一個圖中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的．溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法,能幫助我們盡快地找到添加的輔助線．以上"平行線型"是常見的,這類相似三角形的對應(yīng)元素有較明顯的順序,"相交線型"識圖較困難,解題時要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線構(gòu)造出基本圖形．三、解題方法技巧點撥1、尋找相似三角形的個數(shù)例1、<XX>將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺成如圖的樣子,假設(shè)圖形中所有點、線都在同一平面內(nèi),回答下列問題：<1>圖中共有多少個三角形？把它們一一寫出來；<2>圖中有相似<不包括全等>三角形嗎？如果有,就把它們一一寫出來．分析：<1>在△ABC內(nèi),有五個三角形,加上△ABC與△AFG,共有七個三角形．<2>這是依據(jù)相似三角形判定定理來解決的計數(shù)問題．由于"不包括全等",圖中還剩五個非直角三角形,考慮到題設(shè)中兩個三角形擺放的隨意性,∠1不一定等于∠2,而∠B=∠C=45°,∠3、∠4都為鈍角,又排除△ABD與△ACE相似,還剩三個三角形,這三個三角形相似．解：<1>共有七個三角形,它們是△ABD、△ABE、△ADE、△ADC、△AEC、△ABC與△AFG．<2>有相似三角形,它們是△ABE∽△DAE,△DAE∽△DCA,△ABE∽△DCA<或△ABE∽△DAE∽△DCA>．點撥：①解決這類計數(shù)問題,一定要依據(jù)圖形與定理,全面、周密思考,做到不重不漏,這類題有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)和創(chuàng)新意識的形成；②有興趣的同學(xué)可繼續(xù)探索一下本題中BD、DE、EC三條線段有何關(guān)系？2、畫符合要求的相似三角形例2、<上海>在大小為4×4的正方形方格中,△ABC的頂點A、B、C在單位正方形的頂點上,請在圖中畫出一個△A1B1C1,使得△A1B1C1∽△ABC<相似比不為1>,且點A1、B1、C1都在單位正方形的頂點上．〔1〔2分析：設(shè)單位正方形的邊長為1,則△ABC的三邊為,從而根據(jù)相似三角形判定定理2或3可畫△A1B1C1,易得點撥：在4×4的正方形方格中,滿足題設(shè)的△A1B1C1只能畫出以上三個,若正方形方格數(shù)不加限制,則和△ABC相似且不全等的三角形可以畫無數(shù)個．3、相似三角形的判定例3、<1>如圖,O是△ABC內(nèi)任一點,D、E、F分別是OA、OB、OC的中點,求證：△DEF∽△ABC；<2>如圖,正方形ABCD中,E是BC的中點,DF=3CF,寫出圖中所有相似三角形,并證明．分析：<1>根據(jù)題設(shè),觀察圖形易見,DE、EF、FD分別是△AOB、△BOC、△COA的中位線,利用三角形的中位線性質(zhì)可證△DEF與△ABC的三邊對應(yīng)成比例；<2>由于正方形的四條邊相等,且BE=CE,DF=3CF,設(shè)出正方形邊長后,圖中所有線段都能求出,故可從三邊是否成比例判定哪些三角形相似．點撥：①第<1>題,若點O在△ABC外,其他條件不變,結(jié)論仍成立；②第<2>題也可用判定定理2,先證△ABE∽△ECF,得出∠AEF=90°后,再證其中任意三角形與△AEF相似,顯然,以上證法較簡便．4、直角三角形相似的判定例4、求證：若一個直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高與另一個直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高成比例,那么這兩個直角三角形相似．已知：如圖,Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,CD、C′D′分別是兩個三角形斜邊上的高,且CD︰C′D′=AC︰A′C′．求證：△ABC∽△A′B′C′．分析：判定直角三角形相似的方法除使用一般三角形的判定方法外,還可使用"斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似"這一定理．證明△ABC∽△A′B′C′,只要再證一銳角對應(yīng)相等即可．證明：∵CD、C′D′分別是△ABC、△A′B′C′的高,∴△ACD、△A′C′D′是直角三角形．5、三角形重心問題例5、已知△ABC的重心G到BC邊上的距離為5,那么BC邊上的高為<>A．5B．12C．10D．15解析：因為G為△ABC的重心,所以DG︰DA=1︰3,因為GE⊥BC,AF⊥BC,所以GE∥AF,所以GE︰AF=DG︰DA=1︰3,因為GE=5,所以AF=15．6、相似三角形的綜合運(yùn)用例6、如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線,過點D垂直于AB的直線交BC于E,交AC延長線于F．求證：<1>△ADF∽△EDB；<2>CD2=DE·DF．分析：<1>△ADF與△EDB都是直角三角形,要證它們相似,只要再找一個角對應(yīng)相等即可；<2>注意到CD是斜邊AB的中線,AD=BD=CD,由結(jié)論<1>不難得出結(jié)論<2>．證明：<1>∵DF⊥AB,∴∠ADF=∠BDE=90°,又∵∠F＋∠A=∠B＋∠A,∴∠F=∠B,∴△ADF∽△EDB．<2>由<1>得,∴AD·BD=DE·DF．又∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線,∴AD=BD=CD．故CD2=DE·DF．點撥：本題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定等．這是一道階梯型問題,第<2>題根據(jù)<1>得出有關(guān)比例式,然后使用"等線代換"使問題簡捷獲證．其實第<2>題也可這樣思考：把它轉(zhuǎn)化為比例式,證明這三條線段所在的△CDE∽△FDC．請同學(xué)們完成這一證明．例7、如圖,AD是△ABC的角平分線,BE⊥AD于E,CF⊥AD于F．求證：．分析：待證式中的四條線段不是在兩個三角形中,無法直接根據(jù)兩個三角形相似得出,需要插入一個"中間比",由題設(shè)易證△ABE∽△ACF,△BDE∽△CDF,從中不難找到這個中間比．證明：∵AD是△ABC的角平分線,∴∠1=∠2．∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠3=∠4=90°,∴△ABE∽△ACF,點撥：①當(dāng)無法直接由兩個三角形相似得出結(jié)論中的比例式時,一般可尋找"中間比"幫忙；例8、如圖,在正方形ABCD中,M、N分別是AB、BC上的點,BM=BN,BP⊥MC于點P．求證：<1>△PBN∽△PCD；<2>PN⊥PD．分析：要證PN⊥PD,即證∠DPN=90°,由已知∠BPC=90°,而∠BPC與∠DPN有公共部分∠CPN,因此只要證明∠4=∠5即可．這就必須先證明出結(jié)論<1>．在△PBN與△PCD中,易證∠1=∠3,以下只要證明夾∠1、∠3的兩邊對應(yīng)成比例．證明：<1>在正方形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°．∵BP⊥MC,∴△PBM∽△PCB．點撥：要注意觀察出圖中存在的"母子相似三角形"基本圖形,從而充分利用它得出∠1=∠2及△PBM∽△PCB等重要結(jié)論一、本章的兩套定理第一套〔比例的有關(guān)性質(zhì)：合比性質(zhì)：合比性質(zhì)：〔比例基本定理涉及概念：①第四比例項②比例中項③比的前項、后項,比的內(nèi)項、外項④黃金分割等。二、有關(guān)知識點：1.相似三角形定義：對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的三角形,叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符號"∽"表示,讀作"相似于"。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對應(yīng)邊的比叫做相似比。4.相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊〔或兩邊的延長線相交,所截成的三角形與原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：<1>三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS〔ASAHL相似三角形的判定兩邊對應(yīng)成比例夾角相等三邊對應(yīng)成比例兩角對應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對應(yīng)成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的"對應(yīng)邊相等"的條件改為"對應(yīng)邊成比例"就可得到相似三角形的判定定理,這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法,在舊知識的基礎(chǔ)上找出新知識并從中探究新知識掌握的方法。6.直角三角形相似：<1>直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形和原三角形相似。<2>如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個直角三角形相似。7.相似三角形的性質(zhì)定理：<1>相似三角形的對應(yīng)角相等。<2>相似三角形的對應(yīng)邊成比例。<3>相似三角形的對應(yīng)高線的比,對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比。<4>相似三角形的周長比等于相似比。<5>相似三角形的面積比等于相似比的平方。相似三角形的傳遞性如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B三、注意1、相似三角形的基本定理,它是相似三角形的一個判定定理,也是后面學(xué)習(xí)的相似三角形的判定定理的基礎(chǔ),這個定理確定了相似三角形的兩個基本圖形"A"型和"