偏微分方程的幾種經(jīng)典解法

/偏微分方程的幾種經(jīng)典解法經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期偏微分方程課程的學(xué)習(xí),我們掌握了幾種求解三種典型方程的方法,如分離變量法、行波法、特征函數(shù)展開(kāi)法、求解非齊次方程的原理燈,此外,我們通過(guò)學(xué)習(xí)還掌握了求解波動(dòng)方程的公式,求解位勢(shì)方程的公式等等.這些經(jīng)典方法的綜合運(yùn)用可以求解很多初等偏微分方程,故而是基本而重要的.本文著重總結(jié)了偏微分方程的幾種經(jīng)典解法,一次介紹了分離變量法、行波法、冪級(jí)數(shù)解法、變換法以及函數(shù)法,通過(guò)對(duì)典型方程的研究,深入理解集中經(jīng)典方法.1.分離變量法分離變量法：基本思想是設(shè)法把偏微分方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解常微分方程的問(wèn)題.1.1第一初邊值問(wèn)題例：利用分離變量法求解下述問(wèn)題(非齊次0邊值雙曲方程) (1.1) (1.2) (1.3) (1.4)解：用分離變量法求問(wèn)題(1.1)—(1.4)的形式解.設(shè)該問(wèn)題有如下形式的非零解 (1.5)方程(1.1)對(duì)應(yīng)的齊次方程為(1.6)將(1.5)式代入方程(1.6)得即(1.7)其中為固定常數(shù),下面證明.由(1.7)有上式兩端同乘,并在上積分,得注意到由(1.2)和(1.5)有所以有易見(jiàn).所以(1.2)—(1.6)可以化為如下形式的兩個(gè)常微分問(wèn)題,即以及由和適當(dāng)?shù)亩ń鈼l件確定的關(guān)于的常微分問(wèn)題.求解問(wèn)題(1).根據(jù)常微分方程的理論可知,問(wèn)題(1)的通解為將其帶入得.再將帶入,得特征值相應(yīng)的特征函數(shù)為(1.8)注意到是一個(gè)直交系統(tǒng),即這表明正規(guī)化后是的一個(gè)基底.將問(wèn)題(1.1)—(1.4)中的非齊次項(xiàng)和初值按展開(kāi),得其中,設(shè),(1.9)是問(wèn)題(1.1)—(1.4)的形式解,將上式代入(1.1)—(1.4)可得,是如下常微分方程初值問(wèn)題的解,,其中.求解問(wèn)題(2).當(dāng)時(shí),問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)化為求常微分問(wèn)題(3)有常微分方程理論可知,問(wèn)題(3)的通解為.將其代入,得.將代入得.故.當(dāng)時(shí),問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)化為常微分問(wèn)題(4)對(duì)應(yīng)其次方程的特征根為,用常微分方程中的算子解法求特解.故.所以問(wèn)題(4)的通解為將其代入得,將代入得,故當(dāng)時(shí),問(wèn)題(2)轉(zhuǎn)化為常微分問(wèn)題(5)由常微分理論可知,問(wèn)題(5)的通解為將其代入得.將代入得.故.綜上有(1.10)將(1.8)(1.10)代入(1.9)中,得問(wèn)題(1.1)—(1.4)的形式解為經(jīng)檢驗(yàn),該形式解滿足原問(wèn)題及初邊值條件,該形式解就是原問(wèn)題的解.例：利用分離變量法求解下述問(wèn)題(1.11),(1.12),(1.13),(1.14)解：將上述非零邊值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為零邊值問(wèn)題,用變量代換,設(shè)是原問(wèn)題的解,令.則是如下問(wèn)題的解(1.15),(1.16),,(1.17),(1.18)其中.用分離變量法求問(wèn)題(1.15)—(1.18)的形式解.設(shè)該問(wèn)題有如下形式的形式解,(1.19)方程(1.15)對(duì)應(yīng)的齊次方程為,(1.20)將(1.19)代入方程(1.20)得即(1.21)其中為固定常數(shù),下面證明.由(1.21)有上式兩端同乘,并在上積分,得注意到由(1.16)和(1.19)有所以有易見(jiàn).所以(1.16)—(1.18)(1.20)可以化為如下形式的兩個(gè)常微分問(wèn)題,即(6)以及由和適當(dāng)?shù)亩ń鈼l件確定的關(guān)于的常微分問(wèn)題.(7)求解問(wèn)題(6).根據(jù)常微分方程的理論可知,問(wèn)題(6)的通解為將其帶入得.再將帶入,得特征值相應(yīng)的特征函數(shù)為(1.22)注意到是一個(gè)直交系統(tǒng),即這表明正規(guī)化后是的一個(gè)基底.將問(wèn)題(1.15)—(1.18)的非齊次項(xiàng)按展開(kāi),得令,則在其兩端同乘再在上積分,得.由分部積分,經(jīng)計(jì)算可得.從而,,.設(shè),是問(wèn)題(1.15)—(1.18)的形式解,將其帶入(1.15)—(1.18)可得,是如下常微分問(wèn)題的解(1.23)(1.24)(1.25)其中(1.23)—(1.25)對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征根為,則通解為.用算子算法求特解,,解得.故該問(wèn)題的通解為.(1.26)將上式代入得,將代入得,.故,.因此,問(wèn)題(1.15)—(1.18)的形式解為,(1.27)考察(1.27)右端級(jí)數(shù)的收斂性.記,.容易驗(yàn)證下列級(jí)數(shù)均在上一致收斂,,,,,.經(jīng)檢驗(yàn),滿足問(wèn)題(1.15)—(1.18),就是問(wèn)題(1.15)—(1.18)解.將(1.27)代入,得,此即為原問(wèn)題(1.11)—(1.14)的解.1.2第二初邊值問(wèn)題例：利用分離變量法求解下述問(wèn)題(拋物型)(1.28)(1.29)(1.30)解：用分離變量法求解問(wèn)題(1.28)—(1.30)的形式解.設(shè)該問(wèn)題有如下形式的非零解(1.31)將其代入(1.28)有,(1.32)其中為某一常數(shù),且.由(1.32)有上式兩端同乘,并在上積分,得注意到由(1.29)和(1.31)有所以有易見(jiàn).故(1.28)—(1.30)可化為如下形式的兩個(gè)常微分問(wèn)題,即(8)和(9)求解問(wèn)題(8),當(dāng)時(shí),有,由常微分方程的理論可知,問(wèn)題(8)的通解為,.將其代入,有,故,其中為任意常數(shù).當(dāng)時(shí),由常微分方程的理論可知,問(wèn)題(8)的通解為將其代入,則,將代入,得,特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為,,.所以,對(duì)于,有,,注意到是一個(gè)直交系統(tǒng),即這表明正規(guī)化后是的一個(gè)基底.下面求解問(wèn)題(9),將代入,可有,.有常微分方程理論可知其通解為,,.此時(shí),形式解為,,.將其代入(1.30)中,得,由比較系數(shù)法,可得故問(wèn)題(1.28)—(1.30)的形式解為,,.經(jīng)檢驗(yàn),該形式解滿足原問(wèn)題(1.28)—(1.30),此即為原問(wèn)題的解.1.3Poisson方程的邊值問(wèn)題分離變量法還適用于某些特殊形狀區(qū)域上的二維Poisson方程的各種邊值問(wèn)題,如果所考慮的定解區(qū)域是矩形域,那么可以完全仿照前面的方法來(lái)求解,只是此時(shí)x,y之一要扮演t的角色；如果定解區(qū)域是圓域或環(huán)形域,則應(yīng)先做極坐標(biāo)變換將定解問(wèn)題化為矩形區(qū)域上的定解問(wèn)題,然后利用分離變量法求解.例:利用分離變量法求解下述問(wèn)題(1.33)(1.34)(1.35)其中為上的單位外法向量.解：用分離變量法求解問(wèn)題(1.33)—(1.35)的形式解.首先,通過(guò)極坐標(biāo)變換將環(huán)形域上的定解問(wèn)題化為矩形域上的定解問(wèn)題,做極坐標(biāo)變換,則(1.33)—(1.35)化為,(1.36),(1.37)其中,.注意到在極坐標(biāo)條件下與表示同一點(diǎn),故還滿足如下周期性條件(1.38)問(wèn)題(1.36)—(1.38)是一個(gè)定解問(wèn)題.方程(1.36)對(duì)應(yīng)的齊次方程為,(1.39)設(shè)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的形式解為,.(1.40)將(1.40)代入(1.37)中,得即,(1.41)其中為固定常數(shù),下面證明.由(1.41)有,在上式兩端同乘,并在上積分,由(1.38)和(1.40)可知所以有易見(jiàn).所以問(wèn)題(1.37)(1.38)(1.40)可化為兩個(gè)常微分問(wèn)題,即,(10)以及和適當(dāng)定解條件的常微分問(wèn)題(11)求解問(wèn)題(10).當(dāng)時(shí),有由常微分方程的理論可知,問(wèn)題(10)的通解為,,代入得,其中A為任意實(shí)數(shù).當(dāng)時(shí),通解為,將其代入有,故特征值對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為.其中和是任意不同時(shí)為零的實(shí)數(shù),綜上可知,其中是任意不為零的實(shí)數(shù),和是任意不同時(shí)為零的實(shí)數(shù).注意到是一個(gè)直交系統(tǒng),即,這表明正規(guī)化后是的一個(gè)基底.設(shè),將非齊次項(xiàng)按展開(kāi),有時(shí),代入(1.4)—(1.6)有,和.解得,,,,,,.故,因此,原問(wèn)題的形式解為.經(jīng)檢驗(yàn),該形式解滿足原問(wèn)題,即為原問(wèn)題的解.二．行波法行波法：求解一維波動(dòng)方程的常用解法,利用這種方法得到波動(dòng)方程的一個(gè)重要求解公式（公式）1.齊次波動(dòng)方程問(wèn)題定理2.1（公式）設(shè),,則函數(shù),是問(wèn)題,,,的解.例：求解下述波動(dòng)方程的問(wèn)題解：首先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.設(shè)是原問(wèn)題的解,令則是如下問(wèn)題的解由定理2.1可知因此,為原問(wèn)題的解.利用一維齊次波動(dòng)方程問(wèn)題的通解表達(dá)式,還可以求解其他定解問(wèn)題.在此不再贅述.2.非齊次波動(dòng)方程的問(wèn)題定理2.2（公式）設(shè),,,則函數(shù)屬于,是問(wèn)題的解,其中.注2.1上述問(wèn)題解得光滑程度本質(zhì)上取決于初值和非齊次項(xiàng)的光滑程度.注2.2如果和都是的奇（偶,周期）函數(shù),則上述問(wèn)題的解也是的奇（偶,周期）函數(shù).例：求解下述波動(dòng)方程的定解問(wèn)題其中,,且滿足相容性條件解：注意到如果u是x的奇函數(shù),則u自然滿足邊值條件.因此,根據(jù)注2.2,我們可以采用奇延拓方法來(lái)求解上述問(wèn)題.將和關(guān)于做奇延拓,即令考慮問(wèn)題按公式形式地寫出其解回到原來(lái)的初值和非齊次項(xiàng),就可以得到原問(wèn)題的形式解如下：當(dāng)時(shí),而當(dāng)時(shí),可以直接驗(yàn)證由和確定的形式解就是定解問(wèn)題的解.三．冪級(jí)數(shù)解法冪級(jí)數(shù)解法：是求解偏微分方程的經(jīng)典解法之一,不僅可以求解一維問(wèn)題,還可以求解高維問(wèn)題.我們先來(lái)求解如下的常微分方程初值問(wèn)題其中方程的通解是其中和是任意實(shí)數(shù).由邊值條件和,可得.于是,問(wèn)題的解為注意到因此,問(wèn)題的解可寫為如下的級(jí)數(shù)形式.定理3.1假設(shè),并且對(duì)任意的,都存在非負(fù)數(shù)列,滿足級(jí)數(shù)在上收斂,且則函數(shù)就是波動(dòng)方程問(wèn)題的級(jí)數(shù)形式的形式解.定理3.2假設(shè),并且對(duì)任意的,都存在非負(fù)數(shù)列,滿足級(jí)數(shù)在上收斂,且則函數(shù)就是熱傳導(dǎo)方程問(wèn)題的級(jí)數(shù)形式地形式解.冪級(jí)數(shù)方法求解問(wèn)題的一大優(yōu)點(diǎn)就是空間維數(shù)不限,下面的例子是一個(gè)高維問(wèn)題.例：求解三維波動(dòng)方程的問(wèn)題其中解：令,則由可得到問(wèn)題的級(jí)數(shù)形式的形式解將的表達(dá)式代入,得容易驗(yàn)證,這個(gè)形式解的確是定解問(wèn)題的解.四.變換方法1.,和空間（=1\*romani）空間：對(duì)于和,如果對(duì)任何及任何非負(fù)整數(shù),都有則稱在中收斂于,賦予上述收斂性的函數(shù)空間,稱為基本空間.(=2\*romanii）空間：對(duì)于和,如果存在,使得且對(duì)任何非負(fù)整數(shù),都有則稱在中收斂于,賦予上述收斂性的函數(shù)空間,稱為基本空間.(=3\*romaniii）空間：如果,且對(duì)任何非負(fù)整數(shù)和,都有,則稱.中序列收斂的概念：對(duì)于和,如果對(duì)任何非負(fù)整數(shù)和,都有則稱在中收斂于.2．速降函數(shù)空間上的變換(=1\*romani）定義：設(shè)為的變換,也記為為的逆變換,也記為.(=2\*romanii）性質(zhì)：=1\*alphabetica）設(shè),對(duì)任意正整數(shù)有=2\*alphabeticb)設(shè),對(duì)任意正整數(shù),有=3\*alphabeticc)設(shè),則其中表示與的卷積,即=4\*alphabeticd）變換與逆變換都是上的連續(xù)線性變換.=5\*alphabetice）變換與逆變換互為逆變換.(=3\*romaniii)在速降函數(shù)空間中求解熱傳導(dǎo)方程考慮熱傳導(dǎo)方程的問(wèn)題其中.由于,因此,我們猜想問(wèn)題的解滿足將方程和初值問(wèn)題關(guān)于作變換,并利用變換的微分性質(zhì),得其中.求解這個(gè)常微分方程的初值問(wèn)題,得關(guān)于作逆變換,并利用上逆變換的線性性質(zhì),得即問(wèn)題的解具有如下表達(dá)式的形式解特別地,若,則問(wèn)題的解的形式解為且容易驗(yàn)證這個(gè)形式解滿足方程（4.1）和初值問(wèn)題（4.2）,從而是問(wèn)題（4.1）,（4.2）的解.(=4\*romaniv)在速降函數(shù)空間中求解弦振動(dòng)方程考慮弦振動(dòng)方程的問(wèn)題其中.由于,因此,我們猜想問(wèn)題的解滿足將方程和初值問(wèn)題關(guān)于作變換,并利用變換的微分性質(zhì),得其中.求解這個(gè)常微分方程,方程的通解為由,得因此從而將改寫為對(duì)兩端同時(shí)關(guān)于作變換,結(jié)合上式可得即問(wèn)題的解具有如下表達(dá)式的形式解3.廣義函數(shù)（=1\*romani）定義：和上的連續(xù)線性泛函分別稱為和和上的全體連續(xù)線性泛函分別記為和(=2\*romanii)判定：=1\*alphabetica）設(shè)為的充分必要條件是對(duì)任何閉區(qū)間,存在非負(fù)整數(shù)=2\*alphabeticb）設(shè)為的充分必要條件是存在閉區(qū)間以及非負(fù)整數(shù)=3\*alphabeticc）設(shè)為的充分必要條件是存在非負(fù)整數(shù)4.廣義函數(shù)空間上的變換（=1\*romani）定義：設(shè)也記為也記為.(=2\*romanii）性質(zhì)：=1\*alphabetica）設(shè),有這里,導(dǎo)數(shù)指廣義導(dǎo)數(shù),乘積是指廣義函數(shù)與其乘子的乘積.=2\*alphabeticb）變換與逆變換都是上的連續(xù)線性變換.=3\*alphabeticc）變換與逆變換互為逆變換.（=3\*romaniii）考慮熱傳導(dǎo)方程的問(wèn)題其中.由于,因此,我們猜想問(wèn)題的解滿足將方程和初值問(wèn)題關(guān)于作變換,并利用上變換的微分性質(zhì),得其中.求解這個(gè)常微分方程的初值問(wèn)題,得關(guān)于作變換,就可以得到問(wèn)題的形式解.例：求解問(wèn)題解：由于初值不是一個(gè)普通函數(shù),所以問(wèn)題處連續(xù),因此我們需要重新定義滿足初值條件的含義.既然是一個(gè)不是普通函數(shù)的廣義函數(shù),因此我們可以把初值條件定義為：作為廣義函數(shù),在處等于,即下面我們來(lái)求解問(wèn)題驗(yàn)證它還滿足初值條件,即事實(shí)上,對(duì)任意的,有由控制收斂定理可知五．Laplace方程的基本解和Green函數(shù)1.Laplace方程的基本解求解全空間上的N（2）維Poisson方程的解的表達(dá)式,先尋找其次Poisson方程,即Laplace方程的徑向解,設(shè)是方程（5.2）的一個(gè)解,將的表達(dá)式代入方程（5.2）,得也就是說(shuō),滿足方程即因此其中A是任意實(shí)數(shù).從而其中B和C是任意實(shí)數(shù),定義：稱上的函數(shù)為L(zhǎng)aplace方程（5.2）的基本解,也成為Newton位勢(shì),其中是N維單位球的表面積,Laplace方程的基本解具有的性質(zhì)：(1),且對(duì)任意的,有；(2),,且在廣義函數(shù)意義下,即對(duì)任意的,有或者2.Green函數(shù)考慮Poisson方程的第一邊值問(wèn)題