論文“變”中之“不變”

“變”中之“不變”

——關(guān)于一道題的解法研究與改編摘要：通過(guò)一道題的解法研究，總結(jié)問(wèn)題的本質(zhì)，改編試題.關(guān)鍵詞：解法研究反思改編《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》在對(duì)數(shù)學(xué)“課程性質(zhì)”簡(jiǎn)述中寫到“基于抽象結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)研究對(duì)象的符號(hào)運(yùn)算、形式推理、模型構(gòu)建等，形成數(shù)學(xué)的結(jié)論和方法，幫助人們認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律?！睌?shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué).筆者認(rèn)為：數(shù)學(xué)是研究事物的數(shù)量關(guān)系和圖形空間關(guān)系的一門學(xué)科，從錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系中尋找不變的規(guī)律，在整個(gè)過(guò)程中用數(shù)學(xué)特有的符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行推理和表達(dá)。 一、試題呈現(xiàn)

在正方形ABCD和正方形AEFG中，分別連接AC、AF、CF，點(diǎn)H為CF的中點(diǎn).（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F、G分別在線段AB、AC上，求∠BHG的度數(shù).（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在線段AB、AC、AD上，求證：GH=BH.（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上，若AB=2AE=2，求△BGH的面積.圖2圖3圖1 二、解法分析

第（1）題用“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”、“等邊對(duì)等角”、“外角的性質(zhì)”易求∠BHG的度數(shù).第（2）題解法較多，通過(guò)作垂線、作平行線、延長(zhǎng)一倍的中線、連接中線等方法構(gòu)造全等，結(jié)合使用“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”等結(jié)論證明GH=BH.解法一： 如圖4，連接DH，△CDH≌△CBH證得DH=HB；過(guò)H點(diǎn)作HI∥CD，由等分線段定理，得：DI=IG，再由垂直平分線的性質(zhì)得到GH=DH，從而得出 圖4

GH=BH.

解法二：圖5 如圖5，過(guò)F點(diǎn)作FI⊥BC，垂足為I點(diǎn)，連接HI，HI是Rt△FIC斜邊上的中線，△GHF≌△BHI，直接證得GH=BH. 解法三：

如圖6，分別延長(zhǎng)DC和GH，交于I點(diǎn)，再連接DH，△CHI≌△FHG，DH是Rt△GDI斜邊上的中線，得到DH=GH，又△CDH≌△CBH可得DH=BH，所 圖6

以GH=BH.解法四：圖7如圖7，過(guò)H點(diǎn)作CD和GF延長(zhǎng)線的垂線，垂足分別為J和I點(diǎn)，△CJH≌△FIH，得到HI=HJ，再證△DHJ≌△GHI，DH=GH=BH.解法五：如圖8，過(guò)H點(diǎn)作BC和AD的垂線，垂足分別為I和J點(diǎn)，延長(zhǎng)EF交IJ，并垂直于IJ.先證明△CHI≌△FHK，得到KF=IC=IH，再證△GJH≌△HIB，得證. 圖8

解法六：圖9 如圖9，延長(zhǎng)GH和DC交于I點(diǎn)，連接BI和GB，先證△GHF≌△IHC，再證△GAB≌△ICB，得證.解法七：

如圖10，延長(zhǎng)EF交CD于I點(diǎn)，連接DH、IH，由前面證得DH=BH，現(xiàn)圖10圖11證△DIH≌△GFH，最后得到BH=DH=GH.解法八：

如圖11，過(guò)H點(diǎn)作BC、AD的垂線，垂足分別為I、J點(diǎn)，由前面方法已證DI=IG=CJ=HJ，所以IH=JB，易證△HIG≌△BJH，得證GH=BH. 圖12

解法九：圖13如圖12，連接HE，先證△GHF≌△EHF，得到GH=EH；過(guò)H點(diǎn)作HI⊥AB，垂足為I點(diǎn)，因H是CF中點(diǎn)，BC∥HI∥EF，所以EI=IB，所以EH=BH，最后得證.解法十：

如圖13，過(guò)H點(diǎn)分別做HJ⊥BC、HI⊥GF，垂足為J、I點(diǎn)，先證△CHJ≌△HFI，圖14圖15再證△HGI≌△HBJ，從而得證. 第（3）題

解法一：

如圖14，延長(zhǎng)GH交BC于點(diǎn)I，易證△CHI≌△FHG，證得GH=IH，所以△BGH的面積等于△GBI面積的一半. 解法二：

延長(zhǎng)CB和EF交于點(diǎn)I，過(guò)H點(diǎn)作BC和AB的垂線HJ和HK，垂足分別為J、K點(diǎn).易證HJ是△CFI中位線，四邊形HJBK是正方形，求得△BGH的面積. 三、思考與改編

此題是共頂點(diǎn)的兩個(gè)正方形AEFG和正方形ABCD，將正方形ABCD固定，正方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不論在什么位置GH⊥HB且GH=HB，所以本題我們可以如下設(shè)置問(wèn)題：

在正方形ABCD和正方形AEFG中，分別連接AC、AF、CF，點(diǎn)H為CF的中點(diǎn). （1）如圖16，當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在線段AB、AC、AD上，猜想線段GH和HB的關(guān)系，并證明；

（2）如圖17，將正方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中上述結(jié)論依然成立嗎？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)舉出反例.（3）如圖18，當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上，若AB=2AE=2，求△BGH的面積.圖16圖17 圖18 原題設(shè)置的三個(gè)小題都是三種特殊位置時(shí)的情況，并且要求解和求證的問(wèn)題比較零散，題與題之間沒(méi)有邏輯關(guān)系，不利于問(wèn)題本質(zhì)的探究和發(fā)現(xiàn)。改編后的問(wèn)題設(shè)置由易到難、由淺入深、層層遞進(jìn)，從特殊到一般再到特殊，通過(guò)一道題三個(gè)小問(wèn)題弄清楚問(wèn)題本質(zhì)——兩條線段長(zhǎng)度相等、相互垂直，啟發(fā)學(xué)生在變化中尋找不變的數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系. 參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.[2]許芬英.數(shù)學(xué)命題技術(shù)研究[M].杭州：浙江教