三角函數最值問題的十種常見解法-18

三角函數最值問題的十種常見解法三角函數的最值或相關量的取值范圍的確定始終是三角函數中的熱點問題之一，所涉及的知識廣泛，綜合性、靈活性較強。解決三角函數的最值問題不僅會用到三角函數的基本定義、單調性、奇偶性、周期性、有界性和三角函數圖像，而且還會用到三角函數的多種恒等變化。同時，在三角函數的最值問題中常常涉及到初等函數、不等式、方程、幾何等方面問題；常用公式1.兩角和與差的三角函數sin(a±0)=sinacosp±cosasin0 cos(a±0)=cosacosp^sinasin0tana士tan0tan(a±0)=mtanatan0.輔助角公式asinx+bcosx=aa2+b2sin(x+①),sin。=.-,cos。=.aa2+b2 <a2+b2.二倍角公式sin2a=2sinacosa.,cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—sin2a=2sinacosa.,;tan2atan2a=2tana1—tan2a.半角公式,a'1—cosaa ,'1+cosa a ,'1—cosasin—二士」 ；cos—=±t ；tan一=±, 2 \ 2 ； 2 \ 2 ； 2 \1+cosaa sina 1—cosaTOC\o"1-5"\h\z(tan—= = )21+cosasina.萬能公式ca r a ca2tan— 1—tan2— 2tan一sina= -,cosa= 2,tana= -aaa1+tan2_ 1+tan2一 1—tan2一2 2 2題型一：y=asinx+b或y=acosx+b型函數策略：轉化為一次函數在三角函數中，正弦函數與余弦函數具有一個最基本也是最重要的特征一一有界性，利用正弦函數與余弦函數的有界性是求解三角函數最值的最基本方法，即利用卜示x|?1或|cosx|<1便可求解，ymax=|a|+b,ymin=一|a|+b。評析:①必須注意字母a的符號對最值的影響;②必須注意自變量x對最值的影響。例1：求函數y=2cosx—1的值域鞏固：求y=sin(x—：)cosx，xe(:,?)的值域6 43題型二：y=asinx+bcosx型，引入輔助角中，化為尸a2+b2sin（x+中），利用函數MnG+①/<1即可求解。y=asin2x+bsinxcosx+mcos2x+n型亦可以化為此類。策略：轉化y=Asin（3x+①）+b（輔助角公式）觀察三角函數名和角，先化簡，使三角函數的名和角統(tǒng)一.例2：求函數f(*)=2cos*+sin*的最大值為.鞏固：求函數f鞏固：求函數f(*)=cos4*-2sin*cos*-sin4*在吟上的最大值和最小值.點評：這類題目解決的思路是把問題劃歸為f(*)=Asin(3%+6+B的形式，一般而言，f(*)mz*=|A|+B，f(*)min=—|A|+B.但若附加了*的取值范圍，最好的方法是通過圖像加以解決題型三：轉化二次函數(配方法)尸asin2*+bsin*+c(或尸acos2*+bcos*+c),型，可令t=sin*(t=cos*),-1WtW1,化歸為閉區(qū)間上二次函數的最值問題。若函數表達式中只含有正弦函數或余弦函數，且它們次數是2時，一般就需要通過配方或換元將給定的函數化歸為二次函數的最值問題來處理.例3：求函數y二—sin2*—3cos*+3的最小值.鞏固：已知向量m=(sinA,cosA),n=(<3,-1),m,n=1,且A為銳角.(1)求角A的大??；(2)求函數f(x)=cos2x+4cosAsinx(xeR)的值域.題型四.：引入參數轉化(換元法)對于一些比較復雜的復合三角函數，直接運用三角公式轉化比較困難。針對題型結構特點，可以通過變量替換，將原來的三角問題轉化為代數問題。這樣就將比較復雜的函數轉化為更容易求最值的代數函數求解。對于表達式中同時含有sinx+cosx，與sinxcosx的函數，利用(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx建立sinx±cosx與sinxcosx之間的關系，通過換元將原函數轉化。但是，在換元過程中一定要注意新變量的取值范圍與原函數定義域的關系。例4：求函數y=sinx+cosx+sinx.cosx的最大值.鞏固1：已知sinx+siny=--，求cosx+cosy的值域。鞏固2：已知圓C：(x+2)2+#=1,P(x,J)為圓C上任意一點.y—2 c⑴求百的最值.⑵求x-2y的最值?題型五,：利用基本不等式法對于一些滿足均值不等式特征結構的三角函數，可以運用均值不等式來解決此種類型的三角函數最值問題。均值不等式的一般形式:n?naaAa>七12n

a+a+A+aan?naaAa>七12n

a+a+A+a 2 n->-u 2 n>n；aaAa'n n n12n（其中ai,a2,A,a為正數，n=1,2,3A）在運用均值不等式時，必須注意函數式中各項的正負需要各項滿足正值時方可使用，在解題時應加以論述說明；然后應該注意不等式中等號成立的條件、需要合理的拆添項，湊常數，以及不等式中和的最值與積的最值，例5：已知xe(0,兀)，求函數j=sinx+—1—的最小值.2sinxx鞏固：若xe(0,兀)，求j=(1+cosx)sin-的最大值。題型六：利用函數在區(qū)間內的單調性例6.：已知工￡(0,九)，求函數y=sinx+」一的最小值.sinx(1+sinx)(3+sinx)鞏固：求y=-——二 的最值及對應的x的集合。2+sinxasinx+bacosx+b |smx<1(或cosx<1)題型七：①y= (或y= —)型，解出sinx(或cosx)，利用Icsinx+d cosx+d去解；或用分離常數的方法去解決。asinx+b acosx+b ., 、 ，、②y= (或y=- 3)型，可化歸為sm(x+①)=g(y)去處理；或用萬能公式換元后ccosx+d csinx+d用判別式去處理；當a=c時，還可利用數形結合的方法去處理上。轉化部分分式一，、一 2cosx+1，……例7：求函數y=- 的值域2cosx一1sinx—1鞏固1：求函數y= 的最大值和最小值.cosx—23—2sinx鞏固2：求函數J=-——-的最大值和最小值.sinx—2題型八：數形結合由于sin2x+C0S2x=1,所以從圖形考慮，點(cosx,sinx)在單位圓上，這樣對一類既含有正弦函數，又含有余弦函數的三角函數的最值問題可考慮用幾何方法求得.例8：求函數y=-sinx6<x〈九)的最小值.2—cosx題型九：判別式法tan2x—tanx+1例9：求函數y= 的最值.tan2x+tanx+1解析：同一變量分子、分母最高次數齊次，常用判別式法和常數分離法鞏固：若0<解析：同一變量分子、分母最高次數齊次，常用判別式法和常數分離法鞏固：若0<x<g，求函數y=sinx人 cosxJ的最小值。x解析：令t=tan-乙

題型十：分類討論法例10：含參數的三角函數的值域問題，需要對參數進行討論例10：，用a，用a表示f(x)的最大值M(a).TOC\o"1-5"\h\z4 2；鞏固：函數/(x)=2—4“sinx—cos2x的最值。. 71鞏固練習：(1).函數y=sinx+J3cosx在區(qū)間。不］上的最小值為.71 71 71(2)函數)=tan(--