數(shù)字信號處理曹成茂有限長單位脈沖響應(yīng)fir濾波器的設(shè)計方法

數(shù)字信號處理曹成茂有限長單位脈沖響應(yīng)fir濾波器的設(shè)計方法第1頁/共159頁第五章有限長單位脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器的設(shè)計方法

序言§5.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性§5.2窗口設(shè)計法（時間窗口法）

§5.3頻率采樣法

§5.4FIR數(shù)字濾波器的最優(yōu)化設(shè)計

§5.5IIR與FIR數(shù)字濾器的比較第2頁/共159頁

序言

FIR數(shù)字濾波器的差分方程描述

①

對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)

因為它是一種線性時不變系統(tǒng)，可用卷積和形式表示

③比較①、③得：第3頁/共159頁

FIR數(shù)字濾波器的特點(與IIR數(shù)字濾波器比較)：優(yōu)點：（1）很容易獲得嚴(yán)格的線性相位，避免被處理的信號產(chǎn)生相位失真，這一特點在寬頻帶信號處理、陣列信號處理、數(shù)據(jù)傳輸?shù)认到y(tǒng)中非常重要；（2）可得到多帶幅頻特性；（3）極點全部在原點（永遠(yuǎn)穩(wěn)定），無穩(wěn)定性問題；（4）任何一個非因果的有限長序列，總可以通過一定的延時，轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬蛄?，所以因果性總是滿足；（5）無反饋運算，運算誤差小。

第4頁/共159頁缺點：（1）因為無極點，要獲得好的過渡帶特性，需以較高的階數(shù)為代價；（2）無法利用模擬濾波器的設(shè)計結(jié)果，一般無解析設(shè)計公式，要借助計算機輔助設(shè)計程序完成。第5頁/共159頁第6頁/共159頁第7頁/共159頁第8頁/共159頁第9頁/共159頁第10頁/共159頁第11頁/共159頁第12頁/共159頁第13頁/共159頁第14頁/共159頁第15頁/共159頁第16頁/共159頁第17頁/共159頁第18頁/共159頁第19頁/共159頁第20頁/共159頁第21頁/共159頁第22頁/共159頁第23頁/共159頁第24頁/共159頁第25頁/共159頁第26頁/共159頁第27頁/共159頁第28頁/共159頁第29頁/共159頁第30頁/共159頁第31頁/共159頁第32頁/共159頁第33頁/共159頁第34頁/共159頁第35頁/共159頁§5.1線性相位FIR數(shù)字濾波器的特性

5.1.1線性相位的條件線性相位意味著一個系統(tǒng)的相頻特性是頻率的線性函數(shù)，即式中為常數(shù)，此時通過這一系統(tǒng)的各頻率分量的時延為一相同的常數(shù)，系統(tǒng)的群時延為

第36頁/共159頁線性相位FIR濾波器的DTFT為式中H(ω)是正或負(fù)的實函數(shù)。等式中間和等式右邊的實部與虛部應(yīng)當(dāng)各自相等，同樣實部與虛部的比值應(yīng)當(dāng)相等:第37頁/共159頁將上式兩邊交叉相乘，再將等式右邊各項移到左邊，應(yīng)用三角函數(shù)的恒等關(guān)系滿足上式的條件是第38頁/共159頁另外一種情況是，除了上述的線性相位外，還有一附加的相位，即利用類似的關(guān)系，可以得出新的解答為第39頁/共159頁

偶對稱

奇對稱圖1線性相位特性第40頁/共159頁

分四種情況5.1.2線性相位FIR濾波器的幅度特性第41頁/共159頁

分四種情況1．h(n)偶對稱，N為奇數(shù)h(n)=h(N-1-n)5.1.2線性相位FIR濾波器的幅度特性第42頁/共159頁第43頁/共159頁令，則令則由于偶對稱，因此對這些頻率也呈偶對稱。p2p0第44頁/共159頁第45頁/共159頁

2．h(n)偶對稱，N為偶數(shù)h(n)=h(N-1-n)令，則第46頁/共159頁

或?qū)憺椋?/p>

由于奇對稱，所以對也為奇對稱，且由于時，處必有一零點，因此這種情況不能用于設(shè)計時的濾波器，如高通、帶阻濾波器。02pp第47頁/共159頁第48頁/共159頁3.h(n)奇對稱，N為奇數(shù)，h(n)=-h(N-1-n)第49頁/共159頁

令n=m+(N-1)/2，得：

第50頁/共159頁

所以

由于點呈奇對稱，所以對這些點也奇對稱。由于時，相當(dāng)于H（z）在處有兩個零點，不能用于的濾波器設(shè)計，故不能用作低通、高通和帶阻濾波器的設(shè)計。02pp第51頁/共159頁第52頁/共159頁4.h(n)奇對稱，N為偶數(shù)令第53頁/共159頁

由于在ω=0,２π處為零，所以H(ω)在ω=0,2π處為零，即H(z)在z=1上有零點，并對ω=0,2π呈奇對稱。

02pp第54頁/共159頁四種線性相位FIR濾波器第55頁/共159頁四種線性相位FIR濾波器相位特性輔助序列適用幅度特性及特點N為奇數(shù)N為偶數(shù)N為奇數(shù)N為偶數(shù)低通高通帶通帶阻低通帶通帶通高通帶通第56頁/共159頁四種線性相位FIRDF特性，參考表5.1第一種情況，偶、奇，四種濾波器都可設(shè)計。第二種情況，偶、偶，可設(shè)計低、帶通濾波器，不能設(shè)計高通和帶阻。第三種情況，奇、奇，只能設(shè)計帶通濾波器，其它濾波器都不能設(shè)計。第四種情況，奇、偶，可設(shè)計高通、帶通濾波器，不能設(shè)計低通和帶阻。第57頁/共159頁例1N=5,h(0)=h(1)=h(3)=h(4)=-1/2,h(2)=2，求幅度函數(shù)H(ω)。解Ｎ為奇數(shù)并且h(n)滿足偶對稱關(guān)系a(0)=h(2)=2a(1)=2h(3)=-1a(2)=2h(4)=-1H(ω)=2

-cosω-cos2ω=2-(cosω+cos2ω)第58頁/共159頁小結(jié)：

四種FIR數(shù)字濾波器的相位特性只取決于h(n)的對稱性，而與h(n)的值無關(guān)。幅度特性取決于h(n)。設(shè)計FIR數(shù)字濾波器時，在保證h(n)對稱的條件下，只要完成幅度特性的逼近即可。注意：當(dāng)H(ω)用│H(ω)│表示時，當(dāng)H(ω)為奇對稱時，其相頻特性中還應(yīng)加一個固定相移π。第59頁/共159頁

5.1.3線性相位FIR濾波器的零點特性

第60頁/共159頁

由該式可看出，若z=zi是H（z）的零點，則z=z-1i也一定是H（z）的零點。由于h(n)是實數(shù)，H（z）的零點還必須共軛成對，所以z=z*i及z=1/z*也必是零點。所以線性相位濾波器的零點必須是互為倒數(shù)的共軛對，即成四出現(xiàn)，這種共軛對共有四種可能的情況：①既不在單位園上，也不在實軸上，有四個互為倒數(shù)的兩組共軛對，ziz*i1/zi1/z*i圖4.2(a)②在單位圓上，但不在實軸上，因倒數(shù)就是自己的共軛，所以有一對共軛零點，zi,z*i

圖4.2（b）③不在單位圓上，但在實軸上，是實數(shù),共軛就是自己，所以有一對互為倒數(shù)的零點,zi,1/zi圖4.2（c）④又在單位圓上，又在實軸上，共軛和倒數(shù)都合為一點，所以成單出現(xiàn)，只有兩種可能，

zi=1或zi=-1圖4.2(d)第61頁/共159頁第62頁/共159頁

同樣道理，對于第三種FIR濾波器，h(n)奇對稱，N為奇數(shù)，因所以z=1，z=-1都是H（z）的單根；對于第四種濾波器，h(n)奇對稱，N為偶數(shù)，H（O）=0，所以z=1是H（z）的單根。所以，h(n)奇對稱→H(0)=0N為偶數(shù)→H(π)=0線性相位濾波器是FIR濾波器中最重要的一種，應(yīng)用最廣。實際使用時應(yīng)根據(jù)需用選擇其合適類型，并在設(shè)計時遵循其約束條件。我們從幅度響應(yīng)的討論中已經(jīng)知道，對于第二種FIR濾波器（h(n)偶對稱，N為偶數(shù)），，即是的零點，既在單位圓，又在實軸，所以，必有單根；第63頁/共159頁§5.2窗口設(shè)計法（時域）

如果希望得到的濾波器的理想頻率響應(yīng)為，那么FIR濾波器的設(shè)計就在于尋找一個系統(tǒng)函數(shù)，頻率響應(yīng)去逼近，逼近方法有三種：窗口設(shè)計法（時域逼近）頻率采樣法（頻域逼近）最優(yōu)化設(shè)計（等波紋逼近）時間窗口設(shè)計法是從單位脈沖響應(yīng)序列著手，使h(n)逼近理想的單位脈沖響應(yīng)序列hd(n)。我們知道hd(n)可以從理想頻響通過傅里葉反變換獲得

第64頁/共159頁

但一般來說，理想頻響是分段恒定，在邊界頻率處有突變點，所以，這樣得到的理想單位脈沖響應(yīng)hd(n)往往都是無限長序列，而且是非因果的。但FIR的h(n)是有限長的，問題是怎樣用一個有限長的序列去近似無限長的hd(n)。最簡單的辦法是直接截取一段hd(n)代替h(n)。這種截取可以形象地想象為h(n)是通過一個“窗口”所看到的一段hd(n)，因此，h(n)也可表達(dá)為h(n)和一個“窗函數(shù)”的乘積，即

h(n)=w(n)hd(n)

在這里窗口函數(shù)就是矩形脈沖函數(shù)RN（n），當(dāng)然以后我們還可看到，為了改善設(shè)計濾波器的特性，窗函數(shù)還可以有其它的形式，相當(dāng)于在矩形窗內(nèi)對hd(n)作一定的加權(quán)處理。

第65頁/共159頁設(shè)計步驟：1）由定義3）卷積插值第66頁/共159頁一.矩形窗口法則

以一個截止頻率為ωc的線性相位理想低通濾波器為例,討論FIR的設(shè)計問題。a.對于給定的理想低通濾波器，計算：低通濾波器的延時理想特性的hd(n)和Hd(ω)第67頁/共159頁第68頁/共159頁

這是一個以為中心的偶對稱的無限長非因果序列，如果截取一段n=0～N-1的hd(n)作為h(n)，則為保證所得到的是線性相位FIR濾波器，延時應(yīng)為h(n)長度N的一半,即

其中b.計算第69頁/共159頁

c.計算。設(shè)為窗口函數(shù)的頻譜:

用幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示，則有

其線性相位部分則是表示延時一半長度

第70頁/共159頁對頻響起作用的是它的幅度函數(shù)第71頁/共159頁

理想頻響也可以寫成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的表示形式

Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα其中幅度函數(shù)為

兩個信號時域的乘積對應(yīng)于頻域卷積，所以有第72頁/共159頁

如果也以幅度函數(shù)和相位函數(shù)來表示H（ejω）,則實際FIR濾波器的幅度函數(shù)H（ω）為正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積。第73頁/共159頁4個特殊頻率點看卷積結(jié)果：（1）ω=0時,H(0)等于在[-ωc,ωc]內(nèi)的積分面積因一般故H(0)近似為在[-π,π]內(nèi)的積分面積第74頁/共159頁（2）ω=ωc時，一半重疊，

H(ωc)=0.5H(0);第75頁/共159頁（3）ω=ωc–2π/N時，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶外，出現(xiàn)正肩峰；

第76頁/共159頁

（4）ω=ωc+2π/N時，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶內(nèi)，出現(xiàn)負(fù)肩峰。第77頁/共159頁

矩形窗的卷積過程第78頁/共159頁窗口函數(shù)對理想特性的影響：①改變了理想頻響的邊沿特性，形成過渡帶，寬為，等于WR(ω)的主瓣寬度。（決定于窗長）②過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰和余振（帶內(nèi)、帶外起伏），取決于

WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相對值大，肩峰強，與N無關(guān)。（決定于窗口形狀）③N增加,過渡帶寬減小,肩峰值不變。因主瓣附近

其中x=Nω/2,所以N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，只能改變WR（ω）的絕對值大小和起伏的密度，當(dāng)N增加時，幅值變大，頻率軸變密，而最大肩峰永遠(yuǎn)為8.95%，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（Gibbs）效應(yīng)。

第79頁/共159頁00.250.50.751-40-30-21-100N=15N=31用矩形窗設(shè)計的c=p/2FIR濾波器的幅度響應(yīng)第80頁/共159頁

改變窗函數(shù)的形狀，可改善濾波器的特性，窗函數(shù)有許多種，但要滿足以下兩點要求：①窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶；②相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。但實際上這兩點不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。

肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰減，所以對濾波器的性能有很大的影響。第81頁/共159頁

5.2.2幾種常用的窗函數(shù)

1.矩形窗，上面已講過，不再細(xì)述

2.漢寧窗（升余弦窗）

利用ＤＴＦＴ的移位特性，漢寧窗頻譜的幅度函數(shù)W（ω）可用矩形窗的幅度函數(shù)表示為：

0N-1/2N-11W(n)n第82頁/共159頁三部分矩形窗頻譜相加，使旁瓣互相抵消，能量集中在主瓣，旁瓣大大減小，主瓣寬度增加1倍，為。

第83頁/共159頁第84頁/共159頁0-80-60-44-200矩形窗

Hanning窗dB第85頁/共159頁

3.漢明窗（改進的升余弦窗）

它是對漢寧窗的改進，在主瓣寬度（對應(yīng)第一零點的寬度）相同的情況下，旁瓣進一步減小，可使99.96%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)。

4.布萊克曼窗（三階升余弦窗）

增加一個二次諧波余弦分量，可進一步降低旁瓣，但主瓣寬度進一步增加，為。增加N可減少過渡帶。頻譜的幅度函數(shù)為：

第86頁/共159頁第87頁/共159頁窗口函數(shù)的頻譜N=51，A=20lg|W(ω)/W(0)|四種窗函數(shù)的比較(a)矩形窗；(b)漢寧窗；(c)漢明窗；(d)布萊克曼窗第88頁/共159頁第89頁/共159頁幾種窗函數(shù)的基本參數(shù)第90頁/共159頁5.凱塞窗以上四種窗函數(shù)，都是以增加主瓣寬度為代價來降低旁瓣。凱塞窗則可自由選擇主瓣寬度和旁瓣衰減。I0(x)是零階修正貝塞爾函數(shù)，參數(shù)β可自由選擇，決定主瓣寬度與旁瓣衰減。β越大，w(n)窗越窄，其頻譜的主瓣變寬，旁瓣變小。一般取4<β<9。β=5.44接近漢明β=8.5接近布萊克曼β=0為矩形第91頁/共159頁圖2凱塞窗函數(shù)圖1零階修正貝塞爾函數(shù)I0(x)x01第92頁/共159頁不同β值凱塞窗特性第93頁/共159頁

當(dāng)M>>N時，hM(n)≈hd(n)零階貝塞爾函數(shù)

窗口設(shè)計法的主要工作是計算hd(n)和w(n)，當(dāng)較為復(fù)雜時，hd(n)不容易由反傅里葉變換求得。這時一般可用離散傅里葉變換代替連續(xù)傅里葉變換，求得近似值：令第94頁/共159頁過渡帶寬

At阻帶最小衰減第95頁/共159頁在窗口函數(shù)方面，MATLAB可計算以下的窗口函數(shù)：

W=hanning(N) W=hamming(N) W=blackman(N) W=kaiser(N,beta)變量Ｎ是窗函數(shù)的長度，beta就是凱塞窗的參數(shù)β，它可以利用以上討論的公式計算，Ｗ是返回的窗口函數(shù)，長度為Ｎ。對于凱塞窗，MATLAB還提供了一個根據(jù)濾波器設(shè)計指標(biāo)計算窗口函數(shù)的參數(shù)的函數(shù)文件，其調(diào)用形式如下： ［M,Wc,beta,ftype］=kaiserord(f,a,dev,fs)f為通帶和阻帶邊界頻率，最高為fs/2；a為相應(yīng)頻帶的幅度值；dev為波動值；fs缺省為2。M是濾波器階數(shù)；Wc邊界頻率；beta即β；ftype是濾波器類型，低通為low。第96頁/共159頁第97頁/共159頁第98頁/共159頁第99頁/共159頁§5.3頻率采樣法

工程上，常給定頻域上的技術(shù)指標(biāo)，所以采用頻域設(shè)計更直接。一、基本思想使所設(shè)計的FIR數(shù)字濾波器的頻率特性在某些離散頻率點上的值準(zhǔn)確地等于所需濾波器在這些頻率點處的值，在其它頻率處的特性則有較好的逼近。

內(nèi)插公式第100頁/共159頁逼近誤差

由得到了H(z)或。要討論與的逼近程度，以及與H（k）的關(guān)系？由第101頁/共159頁

令，則第102頁/共159頁

單位圓上的頻響為：這是一個內(nèi)插公式。第103頁/共159頁式中

為內(nèi)插函數(shù)令則第104頁/共159頁第105頁/共159頁

內(nèi)插公式表明：在每個采樣點上，逼近誤差為零，頻響嚴(yán)格地與理想頻響的采樣值H(k)相等；在采樣點之間，頻響由各采樣點的內(nèi)插函數(shù)延伸迭加而形成，因而有一定的逼近誤差，誤差大小與理想頻率響應(yīng)的曲線形狀有關(guān)，理想特性平滑，則誤差??；反之，誤差大。在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點附近，會產(chǎn)生肩峰和波紋。N增大，則采樣點變密，逼近誤差減小。第106頁/共159頁第107頁/共159頁二.設(shè)計方法1）確定并得到3）計算2）計算第108頁/共159頁三、

約束條件

為了設(shè)計線性相位的FIR濾波器，采樣值H（k）要滿足一定的約束條件。前已指出,具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)是實序列，且滿足，由此得到的幅頻和相頻特性，就是對H(k)的約束。（表4.1）。例如，要設(shè)計第一類線性相位FIR濾波器，即N為奇數(shù)，h(n)偶對稱，則幅度函數(shù)H（ω）應(yīng)具有偶對稱性：第109頁/共159頁

令則必須滿足偶對稱性：而必須取為：

同樣，若要設(shè)計第二種線性相位FIR濾波器，N為偶數(shù)，h(n)偶對稱，由于幅度特性是奇對稱的，第110頁/共159頁因此，Hk也必須滿足奇對稱性：

相位關(guān)系同上，

其它兩種線性相位FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計，同樣也要滿足幅度與相位的約束條件。

第111頁/共159頁例：設(shè)計一個FIR數(shù)字LP濾波器，其理想特性為

采樣點數(shù)N=33，要求線性相位。解：根據(jù)表5.1，能設(shè)計低通線性相位數(shù)字濾波器的只有1、2兩種，因N為奇數(shù)，所以只能選擇第一種。即h(n)=h(N-1-n)，幅頻特性關(guān)于π偶對稱，也即HK偶對稱。利用HK的對稱性,求π～2π區(qū)間的頻響采樣值。第112頁/共159頁根據(jù)指標(biāo)要求，在0～2π內(nèi)有33個取樣點，所以第k點對應(yīng)頻率為而截止頻率0.5π位于之間，所以，k=0～8時，取樣值為1；根據(jù)對稱性，故k=25～32時，取樣值也為1，因k=33為下一周期，所以0～π區(qū)間有9個值為1的采樣點，π～2π區(qū)間有8個值為1的采樣點，因此：第113頁/共159頁

第114頁/共159頁N1=33;k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(10:17)=0;Hd1=Ad1.*exp(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd1=[Hd1conj(fliplr(Hd1(2:(N1+1)/2)))];h1=real(ifft(Hd1));w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H1=freqz(h1,[1],w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H1)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');ylabel('幅度/db');title('過渡帶不設(shè)采樣點');第115頁/共159頁第116頁/共159頁第117頁/共159頁

從圖上可以看出，其過渡帶寬為一個頻率采樣間隔2π/33，而最小阻帶衰減略小于20dB。對大多數(shù)應(yīng)用場合，阻帶衰減如此小的濾波器是不能令人滿意的。增大阻帶衰減三種方法：1）加寬過渡帶寬，以犧牲過渡帶換取阻帶衰減的增加。例如在本例中可在k=9和k=24處各增加一個過渡帶采樣點H9=H24=0.5，使過渡帶寬增加到二個頻率采樣間隔4π/33，重新計算的H(ejω)見圖，其阻帶衰減增加到約-40dB。第118頁/共159頁N1=33;k1=0:(N1-1)/2;Wm1=2*pi*k1./N1;Ad1(1:(N1+1)/2)=1;Ad1(11:17)=0;Ad1(10)=0.5;Hd2=Ad1.*exp(-j*0.5*(N1-1)*Wm1);Hd2=[Hd2conj(fliplr(Hd2(2:(N1+1)/2)))];h2=real(ifft(Hd2));w1=linspace(0,pi-0.1,1000);H2=freqz(h2,[1],w1);plot(w1/pi,20*log10(abs(H2)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');title('過渡帶設(shè)一個采樣點');第119頁/共159頁第120頁/共159頁

2）過渡帶的優(yōu)化設(shè)計根據(jù)H(ejω)的表達(dá)式，H(ejω)是Hk的線性函數(shù)，因此還可以利用線性最優(yōu)化的方法確定過渡帶采樣點的值，得到要求的濾波器的最佳逼近（而不是盲目地設(shè)定一個過渡帶值）。例如，本例中可以用簡單的梯度搜索法來選擇H9、H24,使通帶或阻帶內(nèi)的最大絕對誤差最小化。

要求使阻帶內(nèi)最大絕對誤差達(dá)到最?。ㄒ布醋钚∷p達(dá)到最大），可計算得H9=0.3904。對應(yīng)的H(ejω)的幅頻特性，比H9=0.5時的阻帶衰減大大改善,衰減接近-50dB。如果還要進一步改善阻帶衰減，可以進一步加寬過渡區(qū)，添上第二個甚至第三個不等于0的頻率取樣值，當(dāng)然也可用線性最優(yōu)化求取這些取樣值。第121頁/共159頁不同過渡帶采樣值的頻率響應(yīng)第122頁/共159頁

3）增大N

如果要進一步增加阻帶衰減，但又不增加過渡帶寬，可增加采樣點數(shù)N。例如，同樣邊界頻率ωc=0.5π,以N=65采樣，并在k=17和k=48插入由阻帶衰減最優(yōu)化計算得到的采樣值H17=H48=0.5886,在k=18、47處插入經(jīng)阻帶衰減最優(yōu)化計算獲得的采樣值H18=H47=0.1065,這時得到的H(ejω)，過渡帶為6π/65，而阻帶衰減增加了20多分貝，達(dá)-60dB以上，當(dāng)然，代價是濾波器階數(shù)增加，運算量增加。第123頁/共159頁N=65;k=0:(N-1)/2;Wm=2*pi*k./N;Ad(1:(N+1)/2)=1;Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);Hd=[Hdconj(fliplr(Hd(2:(N+1)/2)))];h=real(ifft(Hd));w=linspace(0,pi-0.1,1000);H=freqz(h,[1],w);plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;axis([01-10020]);xlabel('\pi');title('過渡帶設(shè)兩個采樣點，總采樣點數(shù)提高一倍');第124頁/共159頁第125頁/共159頁第126頁/共159頁例用頻率采樣法設(shè)計一個線性相位FIR帶通濾波器，設(shè)N=32，理想頻率特性為

解

N=32為偶數(shù)，按第二類線性相位FIR濾波器設(shè)計。頻率間隔為上邊界點k在9和10之間；下邊界點k在3和4之間。第127頁/共159頁MATLAB程序如下:N=32;Hk=[zeros(1,4)ones(1,6)zeros(1,13)-ones(1,6)zeros(1,3)];k=0:N-1;hn=real(ifft(Hk.*exp(-j*pi*(N-1)*k/N)));[Hw]=freqz(hn,1);plot(w/pi,20*log10(abs(H)));axis([01-6010]);grid;xlabel('歸一化頻率/\pi')ylabel('幅度/dB')第128頁/共159頁第129頁/共159頁小結(jié)：頻率采樣設(shè)計法優(yōu)點：①

直接從頻域進行設(shè)計，物理概念清楚，直觀方便；②

適合于窄帶濾波器設(shè)計，這時頻率響應(yīng)只有少數(shù)幾個非零值。典型應(yīng)用：用一串窄帶濾波器組成多卜勒雷達(dá)接收機，覆蓋不同的頻段，多卜勒頻偏可反映被測目標(biāo)的運動速度；缺點：截止頻率難以控制。因頻率取樣點都局限在2π/N的整數(shù)倍點上，所以在指定通帶和阻帶截止頻率時，這種方法受到限制，比較死板。充分加大N，可以接近任何給定的頻率，但計算量和復(fù)雜性增加。第130頁/共159頁

§5.4FIR濾波器的最優(yōu)化設(shè)

前面介紹了FIR數(shù)字濾波器的兩種逼近設(shè)計方法，即窗口法（時域逼近法）和頻率采樣法（頻域逼近法），用這兩種方法設(shè)計出的濾波器的頻率特性都是在不同意義上對給定理想頻率特性Hd(ejω)的逼近。說到逼近，就有一個逼近得好壞的問題，對“好”“壞”的恒量標(biāo)準(zhǔn)不同，也會得出不同的結(jié)論，我們前面講過的窗口法和頻率采樣法都是先給出逼近方法，所需變量，然后再討論其逼近特性，如果反過來要求在某種準(zhǔn)則下設(shè)計濾波器各參數(shù)，以獲取最優(yōu)的結(jié)果，這就引出了最優(yōu)化設(shè)計的概念，最優(yōu)化設(shè)計一般需要大量的計算，所以一般需要依靠計算機進行輔助設(shè)計。

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最優(yōu)化設(shè)計的前提是最優(yōu)準(zhǔn)則的確定，在FIR濾波器最優(yōu)化設(shè)計中，常用的準(zhǔn)則有①最小均方誤差準(zhǔn)則②最大誤差最小化準(zhǔn)則。1)

均方誤差最小化準(zhǔn)則，若以E(ejω)表示逼近誤差，則

那么均方誤差為第132頁/共159頁

均方誤差最小準(zhǔn)則就是選擇一組時域采樣值，以使均方誤差，這一方法注重的是在整個-π～π頻率區(qū)間內(nèi)總誤差的全局最小，但不能保證局部頻率點的性能，有些頻率點可能會有較大的誤差，對于窗口法FIR濾波器設(shè)計，因采用有限項的h(n)逼近理想的hd(n)，所以其逼近誤差為：如果采用矩形窗第133頁/共159頁可以證明，這是一個最小均方誤差。所以，矩形窗窗口設(shè)計法是一個最小均方誤差FIR設(shè)計，根據(jù)前面的討論，我們知道其優(yōu)點是過渡帶較窄，缺點是局部點誤差大,或者說誤差分布不均勻。2)

最大誤差最小化準(zhǔn)則（也叫最佳一致逼近準(zhǔn)則）表示為

其中F是根據(jù)要求預(yù)先給定的一個頻率取值范圍，可以是通帶，也可以是阻帶。最佳一致逼近即選擇N個頻率采樣值（或時域h(n)值），在給定頻帶范圍內(nèi)使頻響的最大逼近誤差達(dá)到最小。也叫等波紋逼近。優(yōu)點：可保證局部頻率點的性能也是最優(yōu)的，誤差分布均勻，相同指標(biāo)下，可用最少的階數(shù)達(dá)到最佳化。

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例如，我們提到的頻率采樣最優(yōu)化設(shè)計，它是從已知的采樣點數(shù)N、預(yù)定的一組頻率取樣和已知的一組可變的頻率取樣（即過渡帶取樣）出發(fā)，利用迭代法（或解析法）得到具有最小的阻帶最大逼近誤差（即最大的阻帶最小衰減）的FIR濾波器。但它只是通過改變過渡帶的一個或幾個采樣值來調(diào)整濾波器特性。如果所有頻率采樣值（或FIR時域序列h(m)）都可調(diào)整，顯然，濾波器的性能可得到進一步提高。

第135頁/共159頁低通濾波器的誤差分配第136頁/共159頁

5.4.1非線性最優(yōu)法用等波紋逼近法設(shè)計濾波器需要確定五個參數(shù)：

M、ωc、ωr、δ1、δ2按上圖所示的誤差容限設(shè)計低通濾波器，就是說要在通帶

0ωωp

內(nèi)以最大誤差δ1

逼近1，在阻帶ωr

ω內(nèi)以最大誤差δ2逼近零。要同時確定上述五個參數(shù)較困難。常用的兩種逼近方法：

1）給定M、δ1、δ2，以ωc和ωr為變量。缺點：邊界頻率不能精確確定。

2）給定M、ωc和ωr，以δ1和δ2為變量，通過迭代運算，使逼近誤差δ1和δ2最小，并確定h(n)——切比雪夫最佳一致逼近。特點：能準(zhǔn)確地指定通帶和阻帶邊界頻率。

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等波動逼近的低通濾波器cr第138頁/共159頁如上圖所示的等波動低通濾波器，它對于給定的ωc和ωr值有誤差值δ1、δ2。在0ω內(nèi)最多有（M+1）個極值。寫出2M個方程，求解出（M+1）個濾波器系數(shù)和（M-1）個極值點頻率（另外兩個極值頻率點為ω=0和ω=）第139頁/共159頁5.4.2插值解法插值解法利用迭代算法避免了求一系列的非線性方程。步驟如下：1、選定通帶的極值點數(shù)目和租代的極值點數(shù)目，并估計出極值點的頻率。2、利用標(biāo)準(zhǔn)的拉格朗日插值法，計算幅頻連續(xù)特性的三角多項式，得出這個連續(xù)的幅頻特性曲線。3、用新的極值頻率點取代原有的極值頻率點，重復(fù)第二步。第140頁/共159頁

5.4.3雷米茲交替算法誤差函數(shù)定義逼近誤差函數(shù)：

為所設(shè)計的濾波器與理想濾波器的幅頻特性在通帶和阻帶內(nèi)的誤差值，是已知的權(quán)函數(shù)，在不同頻帶可取不同的值，所要設(shè)計的濾波器的幅頻特性理想濾波器的幅頻特性第141頁/共159頁

交替定理（最佳逼近定理）令F表示閉區(qū)間的任意閉子集，為了使在F上唯一最佳地逼近于,其充分必要條件是誤差函數(shù)在F上至少應(yīng)有（M+2）次“交替”，即其中，且屬于F。

1）至少有M+2個極值，且極值正負(fù)相間，具有等波紋的性質(zhì)，

2）由于是常數(shù)，所以的極值也就是的極值。第142頁/共159頁逼近方法：固定k、M、和，以作為參變量。按照交替定理，如果F上的M+2個極值點頻率已知，則由（1）式可得到M+2個方程：為極值點頻率對應(yīng)的誤差函數(shù)值第143頁/共159頁注意：極值點頻率必須位于和區(qū)間內(nèi)。由于和固定，因而和必為這些極值頻率中的一個，設(shè)，則應(yīng)有求解上述方程組可得到全部系數(shù)問題：1）實際情況下，M+2個極值點頻率未知；

2）直接求解上述非線性方程組比較困難。雷米茲（Remez）算法給出了求解切比雪夫最佳一致逼近問題的方法。第144頁/共159頁雷米茲（Remez）算法1）在頻率子集F上均勻等間隔地選取M+2個極值點頻率

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