概率與統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

概率與統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)1第1頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

一隨機(jī)變量與分布函數(shù)1、隨機(jī)試驗(yàn)滿足條件:（1）可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)結(jié)果不止一個,但事先能明確所有的結(jié)果；（3）試驗(yàn)前不能預(yù)知哪一個結(jié)果出現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)稱為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。用E表示。2、樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能的結(jié)果組成的集合稱為樣本空間記為Ω

={e}試驗(yàn)的每—個可能結(jié)果稱為樣本點(diǎn)。3、隨機(jī)事件滿足某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合（為的子集）,常用大寫字母A、B、C表示，組成隨機(jī)事件的一個樣本點(diǎn)發(fā)生稱為隨機(jī)事件發(fā)生。2第2頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五例1：E1隨機(jī)試驗(yàn)：拋一枚硬幣，觀察正面、反面了出現(xiàn)的情況。

樣本空間Ω

1：{H，T}；E２：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況。Ω

2：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}；E３：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。

Ω

3：{0，1，2，3}；E４：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。Ω

4：｛1，2，3，4，5，6}；E５：記錄某城市120急救電話臺一晝夜接到的呼喚次數(shù)。

Ω

5：{0，l，2，3，…}；E６：在一批燈泡中任意抽取一只，測試它的壽命。Ω

6：｛t︱t≥0}；E７：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度。

Ω

7：{(x，y)︱T0≤x≤y≤T1}，這里x示最低溫度，y表示最高溫度，并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會小于To，也不會大于T1。3第3頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值nA

／n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成?n(A)。4概率

對于一個隨機(jī)事件A(除必然事件和不可能事件外)來說，它在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。我們希望知道的是事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性。用一個數(shù)P(A)來表示該事件發(fā)生的可能性大小，這個數(shù)P(A)就稱為隨機(jī)事件A的概率。我們希望找到一個數(shù)來表示P(A)。嚴(yán)格定義應(yīng)用公理化三條件非負(fù)性、歸一性和可列可加性。頻率當(dāng)n足夠大時，?n(A)P(A)4第4頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

5、隨機(jī)變量隨機(jī)變量是定義在樣本空間記上的一個單值函數(shù)，用來表示隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的變量。常用大寫字母X、Y…表示，隨機(jī)變量的取值具有隨機(jī)性，隨機(jī)變量的取值有一定的概率（按一定的概率取某個值）。樣本空間上可以定義多個隨機(jī)變量。隨機(jī)變量分為離散和連續(xù)隨機(jī)變量。用擲硬幣10次來說明上述概念擲硬幣為隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，={正面，反面}為樣本空間}.正面朝上的次數(shù)可以定義為隨機(jī)變量。6次正面朝上一個隨機(jī)事件A。在所有的實(shí)驗(yàn)中，出現(xiàn)6次朝上事件的頻率為A

的概率也可以將硬幣朝向作為隨機(jī)變量X：正面朝上X=1，否則X=05第5頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五概率的重要性質(zhì)6第6頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五概率的重要性質(zhì)7第7頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五6、條件概率

在事件A

發(fā)生的條件下事件B

發(fā)生的概率稱為條件概率，記為滿足可列可加性：設(shè)B1

，B2

，…

兩兩互不相容的事件，即對于i≠j,BiBj=,i,j=1,2,…,則有8第8頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五B1BnAB1AB2ABn全概率公式ABayes公式

全概率公式與Bayes公式B29第9頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五6一維隨機(jī)變量分布函數(shù)

對于離散的隨機(jī)變量X,x1，x2，…xk是X的所有取值，則X的概率分布列（也稱概率分布）為：設(shè)

X為隨機(jī)變量,則對于任意實(shí)數(shù)x稱為X

的分布函數(shù)，對離散型隨機(jī)變量，采用累加的方法求其分布函數(shù)，有公式：Xx1x2…xk…pp(x1)…p(xk)…10第10頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

對連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)公式：非負(fù)可積函數(shù)是它的概率密度函數(shù)右圖幾何意義，F(xiàn)(x)為陰影部分的面積yyxF(x)x11第11頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五分布函數(shù)的性質(zhì)

F(x)單調(diào)不減，即

且

F(x)右連續(xù)，即12第12頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

7二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,(x,y)為任一對實(shí)數(shù)，稱函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，也稱為X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)，對離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)公式：對連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)公式：定義函數(shù)：為X關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)，同理13第13頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五對離散型隨機(jī)變量，稱對連續(xù)型隨機(jī)變量，關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度為：8、條件概率函數(shù)關(guān)于X的邊緣分布律為為變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布，也稱變量(X,Y)的聯(lián)合分布律同樣關(guān)于Y的的邊緣分布律對離散型隨機(jī)變量(X,Y)，稱為在

X=xi

的條件下,Y的條件分布律14第14頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五對連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，在X=x的條件下Y的條件概率密度為在Y=y的條件下X的條件概率密度在Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)在X=x的條件下Y的條件分布函數(shù)15第15頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五9、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對于任意實(shí)數(shù)

x,y，有則稱隨機(jī)變量

X和Y是相互獨(dú)立的X和Y是相互獨(dú)立隨機(jī)變量與下列條件等價對于連續(xù)的隨機(jī)變量，X和Y是相互獨(dú)立與下列條件等價如果二維隨機(jī)變量(X,Y)相互獨(dú)立，則有的16第16頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

二隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.一維隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望對連續(xù)型隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望公式：對離散型隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望公式：其中2.一維隨機(jī)變量方差隨機(jī)變量X的方差為Var(X)=D(X)=E[X-E(X)]2稱為均方差與標(biāo)準(zhǔn)差17第17頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五對連續(xù)型隨機(jī)變量，其方差公式：對離散型隨機(jī)變量，其方差公式：有公式18第18頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，對離散型隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為：3二維隨機(jī)變量的數(shù)字特征：對連續(xù)型隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為：離散和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差為：19第19頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)：如果X和Y

是相互獨(dú)立隨機(jī)變量，則有對于n個獨(dú)立的隨機(jī)變量，有20第20頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)變量X和

Y的協(xié)方差為：4協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)：離散和連續(xù)型隨機(jī)變量的協(xié)方差表達(dá)式為：協(xié)方差性質(zhì)a,b為任意常數(shù)如果X和Y

是相互獨(dú)立，則21第21頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五為X和

Y的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)：即存在常數(shù)a和b，a≠0，使得P(Y=aX+b))=1無量綱的量相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)2）若則X和Y不相關(guān)(線性)1）3）若則X和Y完全線性相關(guān)，既（X,Y）的協(xié)方差矩陣為：22第22頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五5.偏度與峰度——X的k

階原點(diǎn)矩——X的k

階中心矩偏度（Skewness）

公式如下

峰度（Kurtosis）公式如下

偏度衡量X圍繞均值是否對稱，峰度衡量凸起或平坦程度S>0表示右偏（右拖尾），S<0表示左偏（左拖尾）。正態(tài)分布S=0，K=3，K>3，凸起大于正態(tài)分布，K<3比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布平坦23第23頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五三一些重要的概率分布若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布，記作

X~N(,2)正態(tài)分布的分布函數(shù)為：為常數(shù)，正態(tài)分布

亦稱高斯(Gauss)分布1正態(tài)分布正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望和方差為：E(X)=Var(X)=224第24頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布圖形與參數(shù)幾何意義μx0f(x)大小與數(shù)據(jù)的分散程度成正比，與圖形的陡峭程度成反比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)分布函數(shù)記為記作

X~N(0,1)如果

X~N(,2)，作變量代換則有Y~N(0,1),既服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布25第25頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布正態(tài)分布的性質(zhì)1、E(X)=μ，

var(X)=D(X)=2、F0

(－x)=1－F0

(x)

P(X>x)=P(X<－x)3、如果X～N(μ,σ2)，則有Y=aX+b～4、如果隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且則其線性組合5、可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布函數(shù)表計(jì)算26第26頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五對于一般的正態(tài)分布,時，可以認(rèn)為，X的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）.μx0f(x)27第27頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的

分位數(shù)若，則稱z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù).定義若,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)分位數(shù)1x2y1x2y常用數(shù)字28第28頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布的檢驗(yàn)

一般正態(tài)分布偏度S=0，峰度K=3Jarque-Bera雅克—貝拉檢驗(yàn)

檢驗(yàn)序列是否服從正態(tài)分布。統(tǒng)計(jì)量計(jì)算公式如下S為偏度，K為峰度，k是序列估計(jì)式中參數(shù)的個數(shù)。在正態(tài)分布的原假設(shè)下，J-B統(tǒng)計(jì)量是自由度為2的

2分布。J-B統(tǒng)計(jì)量下顯示的概率值（P值）是J-B統(tǒng)計(jì)量超出原假設(shè)下的觀測值的概率。如果變量服從正態(tài)分布，S=0，K=3，JB統(tǒng)計(jì)量為0，在某一顯著性水平下，通過JB統(tǒng)計(jì)量和2的臨界值對正態(tài)分布進(jìn)行檢驗(yàn)29第29頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五正態(tài)分布2卡方分布(n為自由度)設(shè)隨機(jī)變量

相互獨(dú)立且，則密度函數(shù)為服從自由度為n的分布，記為其中稱為伽瑪函數(shù)30第30頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五例如分布的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)分布的上α分位點(diǎn)可查表得出20.05(10)?n=10x31第31頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五3t

分布

(Student分布)則稱T服從自由度為n

的T分布。記為，其密度函數(shù)為定義X,Y相互獨(dú)立,設(shè)設(shè)t

分布t分布的性質(zhì)：1、若則有～性質(zhì)2、E(T)=0,var(T)=n/(n-2)32第32頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2、fn(t)是偶函數(shù),性質(zhì)3、與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類似，t分布也是對稱于y軸的分布，但是比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布更平坦，33第33頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五3、T分布的上分位數(shù)t與雙測分位數(shù)t/2

均

有表可查.n=10t-tn=10xn=10t/2/2n=10x-3-2-11230.050.10.150.20.250.30.35-t/2/234第34頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五4F分布則稱F服從為第一自由度為n1

,第二自由度為n2的F

分布.

其密度函數(shù)為定義：X,Y相互獨(dú)立，設(shè)F分布記為：令35第35頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五F分布性質(zhì)性質(zhì)1：X的數(shù)學(xué)期望為F分布若n2>2性質(zhì)2：~的點(diǎn)為F分布的上分位點(diǎn).F分布的分位點(diǎn)。設(shè)稱F分布的上分位點(diǎn)圖形如右圖.可以通過查表得到36第36頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,將我們研究的問題所涉及的對象的全體稱為總體,而把總體中的每個成員稱為個體.

例如:我們想要研究一家工廠的某種產(chǎn)品的廢品率.這種產(chǎn)品的全體就是我們的總體,而每件產(chǎn)品則是個體.從總體中抽取的一部分個體，稱為總體的一個樣本；樣本中個體的個數(shù)稱為樣本的容量。X1,X2,…,Xn稱為從總體X得到的容量為n的隨機(jī)樣本，簡稱樣本。一次具體的抽取記錄x1,x2,…,xn是隨機(jī)變量，X1,X2,…,Xn的一個觀察值,成為樣本值定義：來自總體X的樣本X1,X2,…,Xn的函數(shù)g(X1,X2,…,Xn)，若是連續(xù)的且不含任何未知參數(shù)，則稱為一個統(tǒng)計(jì)量四、樣本與抽樣總體、個體、樣本、樣本容量、樣本值37第37頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五統(tǒng)計(jì)量1、常用的統(tǒng)計(jì)量設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個樣本，

x1,x2,…,xn

是這一樣本的觀測值，定義（1）樣本均值(2)樣本方差樣本標(biāo)準(zhǔn)差38第38頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五常用的統(tǒng)計(jì)量(3)樣本

k

階原點(diǎn)矩(4)樣本

k

階中心矩并稱他們相應(yīng)的觀測值

k=1,2,…仍分別為:樣本均值、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差、樣本k階原點(diǎn)矩、樣本k階中心矩.39第39頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2、常用統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)設(shè)X1,X2,…,Xn是來自總體X的容量為n一個樣本，若

X有期望EX=

和方差var(X)

=DX

=

2,如果樣本的二階矩存在，則有2）1）40第40頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五3、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布2）前面證明的性質(zhì)1

EX=

，var(X)

=DX

=

2,可得，（1）和（3）證明比較復(fù)雜，（見浙江大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)P172,通過做正交變化降階)41第41頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五3、正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布證明：由性質(zhì)2，由性質(zhì)3根據(jù)t分布的定義42第42頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五兩個正態(tài)總體樣本的抽樣分布的相互獨(dú)立的簡單隨機(jī)樣本.設(shè)與分別是來自正態(tài)總體與設(shè)分別是兩個樣本的均值是兩個樣本的方差則有當(dāng)時定理343第43頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五參數(shù)估計(jì)總體分布的未知參數(shù)的估計(jì)──總體分布的參數(shù)往往是未知的,需要通過樣本來估計(jì).通過樣本來估計(jì)總體的參數(shù),稱為參數(shù)估計(jì),它是統(tǒng)計(jì)推斷的一種重要形式.參數(shù)估計(jì)問題的一般提法X1,X2,…,Xn要依據(jù)該樣本對參數(shù)作出估計(jì)，或估計(jì)的某個已知函數(shù)。這類問題稱為參數(shù)估計(jì)。設(shè)有一個統(tǒng)計(jì)總體，總體的分布函數(shù)為F(x,)其中為未知參數(shù)(可以是向量)現(xiàn)從該總體抽樣，得樣本44第44頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五點(diǎn)估計(jì)矩估計(jì)法用樣本炬替代總體炬極大似然法最小二乘法45第45頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)（1）無偏性（2）有效性（3）一致性第46頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)總體分布未知時的假設(shè)檢驗(yàn)問題

在本講中，我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的另一類重要的統(tǒng)計(jì)推斷問題.這就是根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個假設(shè)是否正確.這類問題稱作假設(shè)檢驗(yàn)問題.五、假設(shè)檢驗(yàn)總體均值,均值差的檢驗(yàn)總體方差,方差比的檢驗(yàn)分布擬合檢驗(yàn)符號檢驗(yàn)秩和檢驗(yàn)總體分布已知，檢驗(yàn)關(guān)于未知參數(shù)的某個假設(shè)1.假設(shè)檢驗(yàn)的原理47第47頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯誤P{拒絕H0|H0為真}=,P{接受H0|H0不真}=.

犯兩類錯誤的概率:顯著性水平為犯第一類錯誤的概率.H0為真實(shí)際情況決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤通常控制犯第一類錯誤的概率.一般事先選定一個數(shù),(0<<1),要求犯第一類錯誤的概率≤.,為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平，通常只討論犯第一類錯誤的概率48第48頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五1.假設(shè)檢驗(yàn)的步驟（1）提出二擇一的假設(shè)H0（往往與試驗(yàn)?zāi)康南喾矗┡cH1(往往是欲得到的結(jié)論）；（2）給定顯著水平（小概率）；（3）在H0成立下，收集數(shù)據(jù)，尋找檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（如正態(tài),t,F），由統(tǒng)計(jì)量的分布，可計(jì)算各種取值的概率；（4）找出小概率發(fā)生的臨界值；給出拒絕域形式（5）將樣本值和H0代入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行計(jì)算；（6）將計(jì)算結(jié)果與臨界值比較，若大于臨界值，小概率事件發(fā)生，根據(jù)小概率原理，在一次試驗(yàn)中小概率事件是不會發(fā)生的?，F(xiàn)在，居然發(fā)生了。錯在哪里？（7）原來是假設(shè)H0錯了，因?yàn)橐磺卸际窃贖0成立下推證的。于是拒絕H0。否則，不拒絕H0。49第49頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五假設(shè)檢驗(yàn)(三部曲)

其中雙邊檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)確定拒絕域

.

計(jì)算,并作出相應(yīng)判斷.右邊檢驗(yàn)

根據(jù)實(shí)際問題建立假設(shè)與

.

在

為真時,選擇合適統(tǒng)計(jì)量V

,由α稱為顯著水平為臨界值50第50頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2.正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)一、單個正態(tài)總體N(,2)均值的檢驗(yàn)H0:0；H1:01）關(guān)于的檢驗(yàn)設(shè)X1,X2,,Xn為來自總體N(,2)的樣本.求:對以上假設(shè)的顯著性水平=的假設(shè)檢驗(yàn).在方差2已知的情況當(dāng)原假設(shè)H0:

0為真時統(tǒng)計(jì)量

51第51頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五給定小概率，查表得：U檢驗(yàn)法若小概率發(fā)生，拒絕原假設(shè)H0:0

，所以原假設(shè)的拒絕域?yàn)橛?jì)算當(dāng)拒絕假設(shè)H0:0，，接受H0:≠0，，52第52頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五0000

<

0

>

0U檢驗(yàn)法

(2已知)原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時的分布拒絕域右則檢驗(yàn)左則檢驗(yàn)53第53頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2.正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)當(dāng)方差2未知時當(dāng)假設(shè)H0:

0為真時由樣本方差S2代替2，根據(jù)抽樣分布性質(zhì)有給定小概率，查表得：，當(dāng)小概率發(fā)生，拒絕原假設(shè)H0:0

，接受假設(shè)H1既時54第54頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五T檢驗(yàn)法

(2未知)T檢驗(yàn)法0000

<

0

>

0原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其H0為真時的分布拒絕域55第55頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五算例某種元件的壽命X(以小時計(jì))服從正態(tài)分布T沒有落在拒絕域中，顧接受假設(shè)H0，認(rèn)為平均壽命不大于225小時根據(jù)樣本計(jì)算和查表得：解按題意需檢驗(yàn)H0:

≤0＝225,H1:

＞0＝225取＝0.05，現(xiàn)n＝16,已知由表知均未知，現(xiàn)測得16只元件的壽命如下：159280101212224379179264222362168250149260485170文師傅有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時）56第56頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2）關(guān)于方差2

的檢驗(yàn)設(shè)X1,X2,,Xn為來自總體N(,2)的樣本.求以下假設(shè)顯著性水平的假設(shè)檢驗(yàn).當(dāng)原假設(shè)

為真時檢驗(yàn)利用樣本方差是2的一個無偏估計(jì)得給定，當(dāng)出現(xiàn)時拒絕假設(shè)，為方便起見，取假設(shè)

的拒絕域?yàn)?7第57頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2022>022<022022=02202原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時的分布拒絕域

檢驗(yàn)法(

已知)關(guān)于2的檢驗(yàn)X2檢驗(yàn)法58第58頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2022>022<022022=02202原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時的分布拒絕域(

未知)(

未知情況下2

的檢驗(yàn))59第59頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五一、兩個正態(tài)總體N(,2)

的參數(shù)檢驗(yàn)設(shè)X~N(1

1

2),Y~

N(2

2

2)，兩樣本X,Y相互獨(dú)立,樣本(X1,X2,…,Xn),(Y1,Y2,…,Ym)

樣本值

(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,ym)顯著性水平H0:12；H1:2檢驗(yàn)假設(shè)當(dāng)H0:1=2為真時

∴拒絕域?yàn)?/p>

60第60頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五1–2

=(12，22

已知)(1)關(guān)于均值差1–

2

的檢驗(yàn)1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時的分布拒絕域61第61頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五1–2

=1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

其中12,

22未知12=

22原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時的分布拒絕域62第62頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

12=

22

12

22

12

22

12>

22

12

22

12<

22(2)關(guān)于方差比

12

/

22的檢驗(yàn)1,

2

均未知原假設(shè)

H0備擇假設(shè)

H1檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量及其在H0為真時的分布拒絕域63第63頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)利用給定樣本觀察值，算出參數(shù)的估計(jì)值。但用點(diǎn)估計(jì)的方法得到的估計(jì)值不一定是參數(shù)的真值，即使與真值相等也無法肯定這種相等（因?yàn)榭傮w參數(shù)本身是未知的），也就是說，由點(diǎn)估計(jì)得到的參數(shù)估計(jì)值沒有給出它與真值之間的可靠程度(精度)，在實(shí)際應(yīng)用中往往還需要知道參數(shù)的估計(jì)值落在其真值附近的一個范圍。為此我們要求由樣本構(gòu)造一個以較大的概率包含真實(shí)參數(shù)的一個范圍或區(qū)間，這種帶有概率的區(qū)間稱為置信區(qū)間，通過構(gòu)造一個置信區(qū)間對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的方法稱為區(qū)間估計(jì)。六、區(qū)間估計(jì)64第64頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五1、置信區(qū)間定義：滿足設(shè)是一個待估參數(shù)，給定

若由樣本X1,X2,…Xn確定的兩個統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間是

的置信度（置信概率,置信水平）為

的雙側(cè)置信區(qū)間.分別稱為置信下限和置信上限.作區(qū)間估計(jì),就是要設(shè)法找出兩個只依賴于樣本置信上下限置信區(qū)間是以統(tǒng)計(jì)量為端點(diǎn)的隨機(jī)區(qū)間，希望區(qū)間包含參數(shù)真值

的概率達(dá)到指定的要求.65第65頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長度盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.可靠度與精度是一對矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.處理可靠性與精度的原則求參數(shù)置信區(qū)間先再保證可靠性提高精度66第66頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2、置信區(qū)間的求法方差

2已知,的置信水平(度)為1-α置信區(qū)間為：(1)一個正態(tài)總體X～N(2)的情形由由確定解得到（1）式67第67頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五(2)方差2未知,的置信區(qū)間

由確定故的置信區(qū)間為68第68頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五(3)當(dāng)已知時,方差2

的置信區(qū)間取統(tǒng)計(jì)量，得

2

的置信度為置信區(qū)間為

由概率公式(3)69第69頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五隨機(jī)向量的數(shù)字特征

一、數(shù)學(xué)期望1、定義

是有隨機(jī)變量構(gòu)成的隨機(jī)矩陣，定義X的數(shù)學(xué)期望為70第70頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五特別當(dāng)時，便可得到隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望為71第71頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2、性質(zhì)

1）

設(shè)為常數(shù)，則；2）設(shè)分別為常數(shù)矩陣，則3）設(shè)為n個同階矩陣，則72第72頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

二、協(xié)方差矩陣

1、定義：設(shè)和分別為維和維隨機(jī)向量，則其協(xié)方差矩陣為73第73頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五的(自)協(xié)方差矩陣74第74頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2、性質(zhì)1）若和相互獨(dú)立。則75第75頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

若的分量相互獨(dú)立,則(自)協(xié)方差矩陣，除主對角線上的元素外均為零，即2）隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣是非負(fù)定矩陣。證：設(shè)α為任意與X有相同維數(shù)的常數(shù)向量，則76第76頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五3）設(shè)A是常數(shù)矩陣，b為常數(shù)向量，則Var(AX+b)=AVar(X)A’；

4、若(x1,x2,…，xp)’

和(y1,y2,…，yp)分別是p和q維隨機(jī)向量，A和B為常數(shù)矩陣，則77第77頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

5、若(k1,k2,…，kp)是n個不全為零的常數(shù)，(x1,x2,…，xp)是相互獨(dú)立的p維隨機(jī)向量，則

6、設(shè)是n維隨機(jī)向量，記A為n×n維常數(shù)矩陣，則

表示為矩陣的跡，其定義為矩陣主對角線元素之和78第78頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

三、相關(guān)系數(shù)矩陣若(x1,x2,…，xp)’

和(y1,y2,…，yp)分別是p和q維隨機(jī)向量，則其相關(guān)系數(shù)矩陣為79第79頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

均值

(mean)

即序列的平均值,用序列數(shù)據(jù)的總和除以數(shù)據(jù)的個數(shù)。

中位數(shù)

(median)

即從小到大排列的序列的中間值。是對序列分布中心的一個粗略估計(jì)。

最大最小值

(maxandmin)

序列中的最大最小值。

標(biāo)準(zhǔn)差(StandardDeviation)

標(biāo)準(zhǔn)差衡量序列的離散程度。計(jì)算公式如下N是樣本中觀測值的個數(shù)，是樣本均值。

80第80頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

偏度（Skewness）

衡量序列分布圍繞其均值的非對稱性。計(jì)算公式如下

是變量方差的有偏估計(jì)。如果序列的分布是對稱的，S值為0；正的S值意味著序列分布有長的右拖尾，負(fù)的S值意味著序列分布有長的左拖尾。例1.1中X的偏度為0，說明X的分布是對稱的；而例1.3中GDP增長率的偏度是0.78，說明GDP增長率的分布是不對稱的。81第81頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

峰度（Kurtosis）

度量序列分布的凸起或平坦程度，計(jì)算公式如下分布的凸起程度大于正態(tài)分布；如果K值小于3，序列分布相對于正態(tài)分布是平坦的。例1.1中X的峰度為2.5，說明X的分布相對于正態(tài)分布是平坦的；而例1.3中GDP增長率的峰度為2.14，說明GDP增長率的分布相對于正態(tài)分布也是平坦的。意義同S中，正態(tài)分布的K值為3。如果K值大于3，82第82頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五§1.2均值、中位數(shù)、方差的假設(shè)檢驗(yàn)

這部分是對序列均值、中位數(shù)、方差的假設(shè)檢驗(yàn)。在序列對象菜單選擇View/testsfordescriptivestats/simplehypothesistests，就會出現(xiàn)下面的序列分布檢驗(yàn)對話框：

83第83頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五1.均值檢驗(yàn)

如果不指定序列x的標(biāo)準(zhǔn)差，EViews將在t–統(tǒng)計(jì)量中使用該標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值s

。

是x的樣本估計(jì)值，N是x的觀測值的個數(shù)。在原假設(shè)下，如果x服從正態(tài)分布，t

統(tǒng)計(jì)量是自由度為N-1的t分布。

原假設(shè)是序列x

的期望值m

，備選假設(shè)是≠m

，即84第84頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

如果給定x的標(biāo)準(zhǔn)差，EViews計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量：

是指定的x的標(biāo)準(zhǔn)差。

要進(jìn)行均值檢驗(yàn)，在Mean內(nèi)輸入值。如果已知標(biāo)準(zhǔn)差，想要計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量，在右邊的框內(nèi)輸入標(biāo)準(zhǔn)差值?？梢暂斎肴魏螖?shù)或標(biāo)準(zhǔn)EViews表達(dá)式，下頁我們給出檢驗(yàn)的輸出結(jié)果。

85第85頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五

這是檢驗(yàn)例1.7中GDP增長率的均值，檢驗(yàn)H0：X=10%，H1：X≠10%。表中的Probability值是P值（邊際顯著水平）。在雙邊假設(shè)下，如果這個值小于檢驗(yàn)的顯著水平，如0.05則拒絕原假設(shè)。這里我們不能拒絕原假設(shè)。86第86頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五2.方差檢驗(yàn)

檢驗(yàn)的原假設(shè)為序列x的方差等于

2，備選假設(shè)為雙邊的，x的方差不等于

2

，即

EViews計(jì)算2統(tǒng)計(jì)量，計(jì)算公式如下

N為觀測值的個數(shù)，為x的樣本均值。在原假設(shè)下，如果x服從正態(tài)分布，2

統(tǒng)計(jì)量是服從自由度為N-1的2分布。

要進(jìn)行方差檢驗(yàn)，在Variance處填入在原假設(shè)下的方差值?？梢蕴钊肴魏握龜?shù)或表達(dá)式。

87第87頁，共95頁，2023年，2月20日，星期五3.中位數(shù)檢驗(yàn)

原假設(shè)為序列x的中位數(shù)等于m，備選假設(shè)為雙邊假設(shè)，x的中位數(shù)不等于m，即

EViews提供了三個以排序?yàn)榛A(chǔ)的無參數(shù)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。方法的主要參考來自于Conover（1980）和Sheskin