極限定理和抽樣分布

極限定理和抽樣分布第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五切貝謝夫定理：Chebyshev’sTheorem如果k＝2，則至少有75％的個案分布在2倍的標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)；如果k＝3，則至少有89％但個案分布在3倍的標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五切貝謝夫不等式我們知道一個分布的特征值（如均值和方差）去推算這個分布的情況第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)不知道總體分布而只知道總體特征值的時候，對概率分布做最保守的估計。注意：（1）這是保守的估計，因為不知道總體的分布；（2）由于這里指的是絕對離差，所以我們難以推知一端數(shù)據(jù)的概率，除非我們知道這個分布是對稱分布。第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五極限定理：研究觀察次數(shù)趨向無限次時，隨機(jī)事件的變化方式。分類：1大數(shù)定理：在什么條件下，隨機(jī)事件可以轉(zhuǎn)化為不可能事件或必然事件。（特征值）（LawofLargeNumbers）2中心極限定理：在什么條件下，隨機(jī)變量之和的分布可以近似為正態(tài)分布。(CentralLimitTheory)第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五一、貝努里大數(shù)定理（N變大時，諸隨機(jī)變量的均值逐步接近總體的均值）樣本成數(shù)，實際上是指的樣本頻率。在講離散型隨機(jī)變量的概率分布時，我們將隨機(jī)變量X定義為“A類事件出現(xiàn)的次數(shù)”。我們將出現(xiàn)的實際次數(shù)（m）除以總試驗次數(shù)(n)，得到的A類實際出現(xiàn)的頻率，我們叫做樣本成數(shù)：，這是一個已知的、固定的值。樣本均值，是指將每一次獨立試驗的X的實際取值取平均數(shù)，得到的是樣本均值：第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五在趨于極限時，離散變量的特征值行為：頻率值趨近于概率值，或者說樣本成數(shù)無限趨近于總體成數(shù)。（可以看作n次獨立實驗，就有n個獨立同分布的隨機(jī)變量，每一個都是二點分布，數(shù)學(xué)期望p方差pq）第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五二、切貝謝夫大數(shù)定理（N變大時，諸隨機(jī)變量的均值逐步接近總體的均值）在趨于極限時，連續(xù)變量的特征值行為：平均值趨近于數(shù)學(xué)期望，或者說樣本均值無限趨近于總體均值。第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五三、中心極限定理第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五幾種等效的公式：第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五抽樣分布1總體分布populationdistributionX的所有取值形成的分布。我們在分析中往往不能知道總體分布的情況。2樣本分布

Sampledistribution

3抽樣分布第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五理解抽樣分布（1）設(shè)想我們從一個總體中抽取一個樣本容量為n的樣本；（2）抽取之后我們得到了樣本；（3）我們現(xiàn)在把這個樣本均值也看作是一個隨機(jī)變量（它的確是個隨機(jī)變量）；（4）樣本均值的概率分布就是當(dāng)我們重復(fù)不斷抽取n個樣本時，我們得到的不同的樣本均值出現(xiàn)的可能性是不同的，也就是說它會有一個概率分布。我們把這個分布叫做樣本均值的抽樣分布；（5）當(dāng)樣本容量增大時，無論總體是什么分布，根據(jù)中心極限定理，樣本均值的抽樣分布是一個正態(tài)分布。樣本均值的數(shù)學(xué)期望就是總體的均值，而它的方差是總體方差的1/n。第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五樣本均值的抽樣分布（連續(xù)型變量）樣本均值是什么形式，與兩個因素有關(guān)系：（1）總體分布（2）樣本容量當(dāng)n>=50時，不論總體分布如何，樣本均值均服從正態(tài)分布。（這里也可以寫出均值的均值）（注意這里用S表示樣本的標(biāo)準(zhǔn)差）樣本方差在樣本容量逐漸增大時和總體方差一樣了。是以總體為期望值的。第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五則當(dāng)n很大時，t分布的方差為1，接近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。為了查表方便，n>30時，當(dāng)成正態(tài)分布第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)總體為有限總體時且不放回抽樣時，n>=50樣本的均值服從正態(tài)分布這里需要方差已知校正系數(shù)當(dāng)總體為有限正態(tài)總體時且不放回抽樣時，n<50樣本的均值服從正態(tài)分布，必須是方差已知

第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五總結(jié)樣本均值的抽樣分布：抽樣誤差/標(biāo)準(zhǔn)誤第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五樣本方差的抽樣分布統(tǒng)計證明，當(dāng)總體分布為正態(tài)分布時，則比值：當(dāng)n變大時，卡方分布變成正態(tài)分布。第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五當(dāng)n逐漸增大時，我們將隨機(jī)變量X看作是n個獨立同分布的二點分布中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，這樣X實際上是n個二點隨機(jī)變量之和。根據(jù)中心極限定理，X～N（np，npq）樣本成數(shù)的抽樣分布第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五二項分布的極限行為：在這里，我們討論在何種情況下，二項分布會趨近于正態(tài)分布呢？取決于兩個條件：1、二項分布的偏度p（總體分布）2、樣本容量nP的取值為什么很重要？因為p還涉及到總體分布的方差?？傮w分布方差越大，就要求n越大才會形成正態(tài)分布第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五若p取值偏小，則雖然n比較大，以正態(tài)分布模擬二項分布誤差太大：第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五按二項分布計算第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五按樣本成數(shù)計算第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期五若x~B(10,0.5)第24頁，共27頁，202