高中數(shù)學必修4全冊課件ppt人教版

1.1.2弧度制1.1任意角和弧度制第一章三角函數(shù)1、角的度量角度制角可以用度為單位進行度量，1度的角等于周角的1/360。這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制。

在角度制下，當把兩個帶著度、分、秒單位的角相加、相減時，運算進率是什么進制的？那么我們能否重新選擇角單位？思考：弧度制我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度。這種用弧度作為單位度量角的單位制叫做弧度制。

若弧是一個半圓，則其圓心角的弧度數(shù)是多少？若弧是一個整圓呢？rr弧度制注：“弧度”不是弧長，它是一個比值。值有正負。

一般地，正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個負數(shù)，零角的弧度數(shù)是0，如果半徑為r的圓的圓心角a所對弧的長為l，那么，角a的弧度數(shù)的絕對值是

|a|=l/ra的正負由角a的終邊的旋轉方向決定。rla弧AB的長OB旋轉的方向∠AOB的弧度數(shù)∠AOB的度數(shù)∏r逆時針方向∏18002∏r逆時針2∏3600r逆時針157.302r順時針-2-114.60∏r順時針-∏-18000未作旋轉000∏r逆時針∏18002∏r逆時針2∏36002、角度與弧度之間的換算把角度換算成弧度把弧度換算成角度角度與弧度之間的換算填寫下列特殊角的度數(shù)和弧度數(shù)的對應表。角度

弧度

2、角度與弧度之間的換算正角零角負角正實數(shù)0負實數(shù)任意角的集合實數(shù)集R角的概念推廣后,在弧度制下,角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應的關系:每一個角都有唯一的一個實數(shù)(即這個角的弧度數(shù))與它對應;反過來,每一個實數(shù)也都有唯一的一個角(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它對應3、例題講解3、例題講解

解:∵1=(180/π)0∴3.14=3.14×(180/π)0≈179.90901．1.2弧度制第一章三角函數(shù)學習導航新知初探思維啟動(2)弧度制長度等于__________的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，記作__________.半徑長1

rad想一想“α＝1”這種寫法有意義嗎？提示：有意義，表示1弧度的角．(3)角的弧度數(shù)的求法正角的弧度數(shù)是一個________，負角的弧度數(shù)是一個_______，零角的弧度數(shù)是_____.正數(shù)負數(shù)0做一做1.下列說法正確的是________．①1弧度是1度的圓心角所對的??；②1弧度是長度為半徑的?。虎鄱扰c弧度是度量角的兩種不同的度量單位；④1弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位．答案：③④2ππ做一做2.填表：度0°30°45°60°90°120°135°150°弧度0____________________________3．扇形的弧長及面積公式做一做典題例證技法歸納題型探究例1跟蹤訓練例2題型二用弧度制表示角的集合

(1)把－1480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π.(2)若β∈[－4π，0]，且β與(1)中α終邊相同，求β.【名師點評】

表示角的集合，既可以用角度，也可以用弧度，但必須要統(tǒng)一單位，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2kπ(k∈Z)”中，α必須是用弧度制表示的角，在“α＋k·360°，(k∈Z)”中，α必須是用角度制表示的角．跟蹤訓練2．用弧度表示終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．題型三弧長、扇形面積的有關計算

例3跟蹤訓練3．(1)已知某扇形的圓心角為75°，半徑為15cm，求扇形的面積；(2)已知扇形的周長為20cm，面積為9cm2，求扇形的圓心角的弧度數(shù)．1．有關“角度”與“弧度”概念的理解方法感悟區(qū)別(1)定義不同．(2)單位不同．弧度制是以“弧度”為單位，單位可以省略，而角度制是以“度”為單位，單位不能省略．(3)弧度制是十進制，而角度制是六十進制．聯(lián)系(1)不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個與圓的半徑大小無關的值，僅和半徑與所含的弧這兩者的比值有關．(2)“弧度”與“角度”之間可以相互轉化.精彩推薦典例展示規(guī)范解答求扇形面積的最值例4(本題滿分12分)一扇形的周長為20，則扇形的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形面積最大？12抓關鍵促規(guī)范首先利用條件列出關于θ和r的關系，用r表示θ，從而把S表示為關于r的一元二次函數(shù)．利用二次函數(shù)求最值時，要注意r的取值范圍，本題若忽視0<r<20，要適當扣分，求解中只寫明r＝5，而忽視θ＝2，造成步驟不完整．12跟蹤訓練4．已知扇形面積為25cm2，當扇形的圓心角為多大時，扇形的周長取最小值？§1.2任意角的三函數(shù)1.2.1任意角的三角函數(shù)(一)明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當堂測查疑缺041.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，了解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù).2.借助任意角的三角函數(shù)的定義理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)在各象限內(nèi)的符號.3.通過對任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同角的同一三角函數(shù)值相等.明目標、知重點1.任意角三角函數(shù)的定義(1)在平面直角坐標系中，設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么：①y叫做α的

，記作

，即

；②x叫做α的

，記作

，即

；正弦填要點·記疑點sinαsinα＝y(tǒng)余弦cosαcosα＝x對于確定的角α，上述三個值都是唯一確定的.故正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù).(2)設角α終邊上任意一點的坐標為(x，y)，它與原點的距離為r，則sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.正切tanα2.正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號3.誘導公式一終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值

，即：sin(α＋k·2π)＝

，cos(α＋k·2π)＝

，tan(α＋k·2π)＝

，其中k∈Z.相等sinαcosαtanα探要點·究所然情境導學在初中我們已經(jīng)學過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，

角的概念推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義明顯不再適用，如何對三角函數(shù)重新定義，這一節(jié)我們就來一起研究這個問題.探究點一銳角三角函數(shù)的定義思考1如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知a＝3，b＝4，c＝5，試求sinA，cosB，sinB，cosA，tanA，tanB的值.思考2如圖，銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在α終邊上任取一點P(a，b)，它與原點的距離為r，作PM⊥x軸，你能根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的定義求出sinα，cosα，tanα嗎？思考3

如圖所示，在直角坐標系中，以原點為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓.銳角α的終邊與單位圓交于P(x，y)點，則有：sinα＝

，cosα＝

，tanα＝

.yx探究點二任意角三角函數(shù)的概念

yyxx

思考2對于確定的角α，這三個比值是否會隨點P在α的終邊上的位置的改變而改變呢？答

由三角函數(shù)的定義知，三角函數(shù)值是一個比值，即一個實數(shù)，它的大小只與角α的終邊位置有關，即與角有關，與角α終邊上點P的位置無關.思考3

在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應關系有什么特點，函數(shù)值是什么？答

(1)正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).

(3)當α是銳角時，此定義與初中定義相同；當α不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點P(x，y)，從而就必然能夠最終計算出三角函數(shù)值.

解

在直角坐標系中，

∠AOB的終邊與單位圓的交點坐標為反思與感悟利用三角函數(shù)的定義，求一個角的三角函數(shù)，需要確定三個量：角的終邊上任意一個異于原點的點P的橫坐標x、縱坐標y、點P到原點的距離r.特別注意，當點的坐標含有參數(shù)時，應分類討論.跟蹤訓練1已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸的非負半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sinθ＝

則y＝

.所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.－8探究點三三角函數(shù)值在各象限的符號

三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號，如圖所示：記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦.例2判斷下列各式的符號：(1)sinα·cosα(其中α是第二象限角)；解

(1)∵α是第二象限角.∴sinα>0，cosα<0，∴sinα·cosα<0.(2)sin285°cos(－105°)；解

∵285°是第四象限角，∴sin285°<0，∵－105°是第三象限角，∴cos(－105°)<0，∴sin285°·cos(－105°)>0.∴sin3>0，cos4<0.反思與感悟準確確定三角函數(shù)值中角所在象限是基礎，準確記憶三角函數(shù)在各象限的符號是解決這類問題的關鍵.可以利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來記憶.跟蹤訓練2已知cosθ·tanθ<0，那角θ是(

)A.第一或第二象限角

B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角

D.第一或第四象限角∴角θ為第三或第四象限角.C探究點四誘導公式一思考1誘導公式一是什么？答由任意角的三角函數(shù)的定義可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.由此得到誘導公式一：sin(k·360°＋α)＝sinα，cos(k·360°＋α)＝cosα，tan(k·360°＋α)＝tanα，其中k∈Z，或者：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，其中k∈Z.思考2誘導公式一的作用是什么？答

把求任意角的三角函數(shù)值轉化為求0°～360°的三角函數(shù)值.例3求下列各式的值.(2)sin(－1320°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°＋tan495°.解原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＋tan(360°＋135°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan135°反思與感悟利用誘導公式一可把負角的三角函數(shù)化為0到2π間的三角函數(shù)，也可把大于2π的角的三角函數(shù)化為0到2π間的三角函數(shù)，即實現(xiàn)了“負化正，大化小”.同時要熟記特殊角的三角函數(shù)值.跟蹤訓練3求下列各式的值：(2)sin630°＋tan1125°＋tan765°＋cos540°.解原式＝sin(360°＋270°)＋tan(3×360°＋45°)＋tan(2×360°＋45°)＋cos(360°＋180°)＝sin270°＋tan45°＋tan45°＋cos180°＝－1＋1＋1－1＝0.當堂測·查疑缺12341.已知角α的終邊經(jīng)過點(－4,3)，則cosα等于(

)D12342.如果角α的終邊過點P(2sin30°，－2cos30°)，則cosα的值等于(

)A1234D4.tan405°－sin450°＋cos750°＝

.1234呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和點P(x，y)在終邊上的位置無關，只由角α的終邊位置確定.即三角函數(shù)值的大小只與角有關.2.要善于利用三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)的符號規(guī)律解題，并且注意掌握解題時必要的分類討論及三角函數(shù)值符號的正確選取.3.要牢記一些特殊角的正弦、余弦、正切值.§1.2任意角的三函數(shù)1.2.2同角三角函數(shù)的基本關系明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當堂測查疑缺041.能通過三角函數(shù)的定義推導出同角三角函數(shù)的基本關系式.2.理解同角三角函數(shù)的基本關系式.3.能運用同角三角函數(shù)的基本關系式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明.明目標、知重點1.同角三角函數(shù)的基本關系式(1)平方關系：

.(2)商數(shù)關系：

.sin2α＋cos2α＝1填要點·記疑點

1－cos2α1－sin2αcosαtanα

探要點·究所然情境導學大家都聽過一句話：南美洲亞馬遜河雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯州的一場龍卷風.這就是著名的“蝴蝶效應”，他本意是說事物初始條件的微弱變化可能會引起結果的巨大變化.兩個似乎毫不相干的事物，卻有著這樣的聯(lián)系.那么“同一個角”的三角函數(shù)一定會有非常密切的關系！到底是什么關系呢？這就是本節(jié)課所研究的問題.

sinαcosαtanαsin2α＋cos2α30°

探究點一同角三角函數(shù)的基本關系式思考1

寫出下列角的三角函數(shù)值，觀察他們之間的關系，猜想之間的聯(lián)系？你能發(fā)現(xiàn)什么一般規(guī)律？你能否用代數(shù)式表示這兩個規(guī)律？145°

60°

150°

11111

1111tan30°tan45°tan60°tan150°正切1

思考2

如何利用任意角的三角函數(shù)的定義推導同角三角函數(shù)的基本關系式？同角三角函數(shù)的基本關系式對任意角α都成立嗎？答設點P(x，y)為α終邊上任意一點，P與O不重合.P到原點的距離為r＝

探究點二三角函數(shù)式的求值思考已知某角的一個三角函數(shù)值，再利用sin2α＋cos2α＝1求它的其余三角函數(shù)值時，要注意角所在的象限，恰當選取開方后根號前面的正負號，一般有以下三種情況：類型1：如果已知三角函數(shù)值，且角的象限已知，那么只有一組解.類型2：如果已知三角函數(shù)值，但沒有指定角在哪個象限，那么由已知三角函數(shù)值的正負確定角可能在的象限，然后求解，這種情況一般有兩組解.類型3：如果所給的三角函數(shù)值是由字母給出的，且沒有確定角在哪個象限，那么就需要進行討論.例如：已知cosα＝m，且|m|<1，求sinα，tanα.答∵cosα＝m，且|m|<1，當α終邊在y軸上時，sinα＝±1，tanα不存在.

如果α是第三象限角，那么cosα<0.反思與感悟同角三角函數(shù)的基本關系揭示了同角之間的三角函數(shù)關系，其最基本的應用是“知一求二”，要注意這個角所在的象限，由此來決定所求的是一解還是兩解，同時應體會方程思想的應用.

又sin2α＋cos2α＝1，

②又α是第三象限角，探究點三三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡是將三角函數(shù)式盡量化為最簡單的形式，其基本要求：盡量減少角的種數(shù)，盡量減少三角函數(shù)的種數(shù)，盡量化為同角且同名的三角函數(shù)等.三角函數(shù)式的化簡實質(zhì)上是一種不指定答案的恒等變形，體現(xiàn)了由繁到簡的最基本的數(shù)學解題原則.它不僅要求熟悉和靈活運用所學的三角公式，還需要熟悉和靈活運用這些公式的等價形式.同時，這類問題還具有較強的綜合性，對其他非三角知識的運用也具有較高的要求，因此在平常學習時要注意經(jīng)驗的積累.反思與感悟解答此類題目的關鍵在于公式的靈活運用，切實分析好同角三角函數(shù)間的關系.化簡過程中常用的方法有：(1)化切為弦，即把非正弦、非余弦的函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化簡的目的.(2)對于含有根號的，常把根號下化成完全平方式，然后去根號，達到化簡的目的.(3)對于化簡含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解.

跟蹤訓練2已知tanα＝3，則1(2)sin2α－3sinαcosα＋1＝

.1探究點四三角恒等式的證明證明三角恒等式就是通過轉化和消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明的方法在形式上顯得較為靈活，常用的有以下幾種：①直接法：從等式的一邊開始直接化為等式的另一邊，常從比較復雜、繁雜的一邊開始化簡到另一邊，其依據(jù)是相等關系的傳遞性；②綜合法：由一個已知成立的等式(如公式等)恒等變形得到所要證明的等式，其依據(jù)是等價轉化的思想；

∴原等式成立.方法二∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α.∴cos2α＝(1－sinα)·(1＋sinα).∴原等式成立.∵左邊＝右邊，∴原等式成立.反思與感悟證明三角恒等式的實質(zhì)是清除等式兩端的差異，有目的地進行化簡.證明三角恒等式的基本原則：由繁到簡.常用方法：從左向右證；從右向左證；左、右同時證.常用技巧：切化弦、整體代換.∴原式成立.∴左邊＝右邊，原式成立.當堂測·查疑缺1234cos40°－sin40°1234

1234解

∵α是第三象限角，∴sinα<0，由三角函數(shù)線可知－1<cosα<0.12341234∴原等式成立.呈重點、現(xiàn)規(guī)律

2.已知角α的某一種三角函數(shù)值，求角α的其余三角函數(shù)值時，要注意公式的合理選擇.一般是先選用平方關系，再用商數(shù)關系.在應用平方關系求sinα或cosα時，其正負號是由角α所在象限來決定，切不可不加分析，憑想象寫公式.3.在三角函數(shù)的變換求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一個，可以利用方程思想，求出另外兩個的值.4.在進行三角函數(shù)式的化簡或求值時，細心觀察題目的特征，靈活、恰當?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關系式變形的出發(fā)點.利用同角三角函數(shù)的基本關系主要是統(tǒng)一函數(shù)，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化簡或恒等式證明時，注意方法的靈活運用，常用的技巧有：①“1”的代換；②減少三角函數(shù)的個數(shù)(化切為弦、化弦為切等)；③多項式運算技巧的應用(如因式分解、整體思想等)；④對條件或結論的重新整理、變形，以便于應用同角三角函數(shù)關系來求解.1.3三角函數(shù)的誘導公式第一章三角函數(shù)給定一個角α(1)終邊與角α的終邊關于原點對稱的角與α有什么關系?它們的三角函數(shù)之間有什么關系?1.思考+αyαxOP(x,y)πP(-x,-y)公式二sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanα(2)終邊與角α的終邊關于x軸對稱的角與α有什么關系?它們的三角函數(shù)之間有什么關系?sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式三yαxOP(x,y)-αP(x,-y)(3)終邊與角α的終邊關于y軸對稱的角與α有什么關系?它們的三角函數(shù)之間有什么關系?yαxOP(x,y)P(-x,y)απ-α公式四sin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα公式二sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式三sin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα公式四α+k·2π(k∈Z),－α,π±α的三角函數(shù)值,等于α的同名函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.例1.利用公式求下列三角函數(shù)值:2.典型例題練習將下列三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù),并填在題中橫線上利用公式一～四把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角函數(shù),一般可按下面步驟進行:任意負角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)用公式三或一銳角三角函數(shù)用公式二或四0～2π的角的三角函數(shù)用公式一例2化簡練習利用公式求下列三角函數(shù)值:練習化簡(4)終邊與角α的終邊關于直線y=x對稱的角與α有什么關系?它們的三角函數(shù)之間有什么關系?yαxOy=xP(x,y)P(y,x)公式五公式六由公式四同公式五得

的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.公式五公式六公式一～公式六叫到誘導公式例3證明:例4化簡填表:αsinαcosαtanα將下列三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù),并填在題中橫線上:化簡化簡sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα小結三角函數(shù)的誘導公式第2課時誘導公式五、六第一章三角函數(shù)學習導航新知初探思維啟動誘導公式五、六做一做1.若cos40°＝a，則sin50°＝________.解析：sin50°＝sin(90°－40°)＝cos40°＝a.答案：a答案：－cos

α

sinα典題例證技法歸納題型一三角函數(shù)求值題型探究例1互動探究例2題型二三角恒等式的證明【名師點評】證明三角恒等式，一般有兩種方法：一是從等式較復雜的一邊證到較簡單一邊；二是采用“兩面夾擊，中間會師”的方法．不論采用哪種方法．都要靈活運用誘導公式．跟蹤訓練題型三誘導公式在三角形中的應用

例3跟蹤訓練方法感悟2．誘導公式的作用(1)對于負角的三角函數(shù)求值，可先利用誘導公式三或一，化為正角的三角函數(shù)．若轉化了以后的正角大于360°，再利用誘導公式一，化為0°到360°間的角的三角函數(shù)．(2)當化成的角是90°到180°間的角，再利用180°－α的誘導公式化為0°到90°間的角的三角函數(shù)．(3)當化成的角是270°到360°間的角，則利用360°－α及－α的誘導公式化為0°到90°間的角的三角函數(shù)．精彩推薦典例展示例4易錯警示【答案】－tan2α【失誤防范】

(1)對于六組誘導公式要熟記，特別注意符號和三角函數(shù)名稱的變化．(2)注意計算中的技巧和常規(guī)化簡運算的方法．跟蹤訓練§1.5函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象(一)

明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當堂測查疑缺041.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A對圖象的影響.2.掌握y＝sinx與y＝Asin(ωx＋φ)圖象間的變換關系，并能正確地指出其變換步驟.明目標、知重點用“圖象變換法”作y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象1.φ對y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的圖象可以看作是把正弦曲線y＝sinx上所有的點向

(當φ>0時)或向

(當φ<0時)平行移動

個單位長度而得到.左填要點·記疑點右|φ|

縮短伸長

不變3.A(A>0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響：函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)圖象上所有點的縱坐標

(當A>1時)或

(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到，函數(shù)y＝Asinx的值域為

，最大值為___，最小值為

.伸長縮短[－A，A]－AA探要點·究所然情境導學數(shù)學研究生活實際，那在某次實驗里面，我們測得交流電電流y隨著時間x變化的圖象圖(1)，如果將圖象局部放大，便得到圖(2)，看圖(2)它跟我們上節(jié)課講得正弦曲線非常相似，那這個圖象，它是一個形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)，那這個函數(shù)跟正弦函數(shù)究竟有什么關系呢？這就是這節(jié)課要研究的問題.探究點一φ對y＝sin(x＋φ)，x∈R的圖象的影響答列表如下：0π2πx010－10思考3

一般地，對任意的φ(φ≠0)，函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象是由函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？答y＝sin(x＋φ)的圖象，可以看作是把正弦曲線y＝sinx上所有的點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平行移動|φ|個單位長度而得到，上述變換稱為平移變換.探究點二ω(ω>0)對y＝sin(ωx＋φ)的圖象的影響答答

探究點三A(A>0)對y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的影響答思考3

一般地，對任意的A(A>0且A≠1)，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象是由函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的？答函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，可以看作是把函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的圖象上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到的，上述變換稱為振幅變換.探究點四函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)與y＝sinx的圖象關系

C反思與感悟已知兩個函數(shù)的解析式，判斷其圖象間的平移關系的步驟：①將兩個函數(shù)解析式化簡成y＝Asinωx與y＝Asin(ωx＋φ)，即A、ω及名稱相同的結構；②找到ωx→ωx＋φ，變量x“加”或“減”的量，即平移的單位為

；③明確平移的方向.答案A答案C反思與感悟三角函數(shù)圖象變換容易出錯，尤其是既涉及平移變換又涉及伸縮變換.平移時，若x的系數(shù)不是1，需把x的系數(shù)先提出，提出后括號中的x加或減的那個數(shù)才是平移的量，即x的凈增量.方向的規(guī)律是“左加右減”.伸縮時，只改變x的系數(shù)ω，其余的量不變化，伸長時系數(shù)|ω|減小，縮短時|ω|增大.答案B∴f(x)＝3cosx.反思與感悟(1)本例已知變換途徑及變換后的函數(shù)解析式，求變換前函數(shù)圖象的解析式，宜采用逆變換的方法.(2)已知函數(shù)f(x)圖象的伸縮變換情況，求變換前后圖象的解析式.要明確伸縮的方向及量，然后確定出A或ω即可.C當堂測·查疑缺12341234答案A1234C12341234y＝－cos2x呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.由y＝sinx的圖象，通過變換可得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象，其變化途徑有兩條：

§1.5函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象(二)

明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當堂測查疑缺041.會用“五點法”畫函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象.2.能根據(jù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，確定其解析式.3.了解y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的物理意義，能指出簡諧運動中的振幅、周期、相位、初相.明目標、知重點1.簡諧運動簡諧運動y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，

叫做振幅，周期T＝

，頻率f＝

，相位是

，初相是

.2.函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性質(zhì)A填要點·記疑點ωx＋φφ定義域R值域

[－A，A]周期性T＝奇偶性φ＝

時是奇函數(shù)；

時是偶函數(shù)；當φ≠(k∈Z)時是

函數(shù).

單調(diào)性單調(diào)增區(qū)間可由

得到，單調(diào)減區(qū)間可由

得到.kπ(k∈Z)非奇非偶探要點·究所然情境導學做簡諧運動的單擺對平衡位置的位移y與時間x的關系、交流電的電流y與時間x的關系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)，這種函數(shù)我們稱為正弦型函數(shù)，那么怎樣作正弦型函數(shù)的圖象呢？正弦型函數(shù)的性質(zhì)又是怎樣的呢？探究點一“五點法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象

思考2

利用“五點法”作出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一個周期上的圖象，要經(jīng)過“取值、列表、描點、連線”這四個步驟.請完成下面的填空.ωx＋φ0π2πxy

0A0－A0X0π2πx2π5πy020－20描點畫圖(如圖所示)：跟蹤訓練1

如圖是某簡諧運動的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：(1)這個簡諧運動的振幅、周期與頻率各是多少？

(2)從O點算起，到曲線上的哪一點，表示完成了一次往復運動？如從A點算起呢？解如果從O點算起，到曲線上的D點，表示完成了一次往復運動；如果從A點算起，則到曲線上的E點，表示完成了一次往復運動.(3)寫出這個簡諧運動的函數(shù)表達式.

探究點二由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象求三角函數(shù)的解析式例2

如圖為y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一段，求其解析式.解方法一以N為第一個零點，

(2)由圖象確定系數(shù)ω，φ通常采用兩種方法：①如果圖象明確指出了周期的大小和初始值x1(第一個零點的橫坐標)或第二，第三(或第四，第五)點橫坐標，可以直接解出ω和φ，或由方程(組)求出.②代入點的坐標，通過解最簡單的三角函數(shù)方程，再結合圖象確定ω和φ.(3)A的求法一般由圖象觀察法或代入點的坐標通過解A的方程求出.跟蹤訓練2

如圖，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的圖象，根據(jù)圖中條件，寫出該函數(shù)解析式.解由圖象知A＝5.得T＝3π，下面用兩種方法求φ：方法一(單調(diào)性法)∵點(π，0)在遞減的那段曲線上，方法二(最值點法)探究點三函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)的奇偶性

思考探求函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)圖象的對稱性.答①函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于點(x0,0)中心對稱當且僅當f(x0)＝0.②函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象關于直線x＝x0軸對稱當且僅當f(x0)＝A或f(x0)＝－A.上述結論若換成函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)同樣成立.探究點四函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)或f(x)＝Acos(ωx＋φ)圖象的對稱性③對于函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象，相鄰的兩個對稱中心或兩條對稱軸相距半個周期；相鄰的一個對稱中心和一條對稱軸相距周期的四分之一.反思與感悟?qū)τ诤瘮?shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)而言，函數(shù)圖象與x軸的交點就是圖象的對稱中心，注意以下充要條件的應用：函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)關于點(x0,0)中心對稱?f(x0)＝0，換為函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)結論仍成立.

代入得a－2＝－a2，解得a＝1或a＝－2.當堂測·查疑缺12341234答案A1234A12343.函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分圖象如圖，則(

)1234∵圖象在x＝1處取得最高點，答案C1234解(1)列表：x0π2π030－301234描點、連線，如圖所示：呈重點、現(xiàn)規(guī)律

(3)從尋找“五點法”中的第一個零點

(也叫初始點)作為突破口.以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)為例，位于單調(diào)遞增區(qū)間上離y軸最近的那個零點最適合作為“五點”中的第一個點.1．6三角函數(shù)模型的簡單應用第一章三角函數(shù)學習導航新知初探思維啟動數(shù)學應用題的解題思路想一想現(xiàn)實生活中，哪些現(xiàn)象具有周期性規(guī)律？列舉二、三例．提示：每天24小時的循環(huán)變化；每天的日出日落；摩天輪上的某點離開地面的高度等．典題例證技法歸納題型一函數(shù)解析式的應用題型探究例1【名師點評】

已知實際問題的函數(shù)解析式解決相關問題，題目一般很容易，只需將具體的值代入計算即可．三角函數(shù)模型中函數(shù)解析式的應用主要是對相關量物理意義的考查．跟蹤訓練例2題型二三角函數(shù)模型的實際應用

某港口的水深y(米)是時間t(0≤t≤24，單位：小時)的函數(shù)，下面是水深數(shù)據(jù)：t(時)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如下圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦函數(shù)y＝Asinωt＋b的圖象．(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y＝Asinωt＋b的表達式；(2)一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4.5米時是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港？若該船欲當天安全離港，則在港內(nèi)停留的時間最多不能超過多長時間(忽略進出港所用的時間)?從而可知船舶在凌晨1點到5點，下午的13點到17點都可以安全進港．船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時間最長，就應從凌晨1點(1點到5點都可以)進港，而下午的17點(即13點到17點之間)前離港，在港內(nèi)停留的時間最長為16小時．【名師點評】

實際問題的背景往往比較復雜，具有很強的現(xiàn)實生活色彩，語言表達形式不同常規(guī)訓練的簡單問題，因此在解決實際問題時要注意：(1)自變量的變化范圍．(2)數(shù)形結合，通過觀察圖形，獲得本質(zhì)認識．(3)要在實際背景中抽取出基本的數(shù)學關系比較困難，因此要認真仔細地審題，多進行聯(lián)想，選用適當?shù)臄?shù)學模型．跟蹤訓練2.如圖為一個纜車示意圖，該纜車的半徑為4.8m，圓上最低點與地面的距離為0.8m,60秒轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設B點與地面距離是h.(1)求h與θ間的函數(shù)關系式；(2)設從OA開始轉動，經(jīng)過t秒后到達OB，求h與t之間的函數(shù)關系式，并求纜車A點到達最高點時用的最少時間是多少？解：(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，方法感悟解三角函數(shù)應用問題的基本步驟：精彩推薦典例展示例3規(guī)范解答三角函數(shù)模型的確定(本題滿分12分)彈簧振子以O為平衡位置，在B，C間做簡諧運動，B，C相距20cm，某時刻振子處在B點，經(jīng)0.5s振子首次到達C點．(1)求振子的振幅、周期和頻率；(2)振子在5s內(nèi)通過的路程及5s末相對于平衡位置的位移的大小．122抓關鍵促規(guī)范在解答過程中，正確理解題意是關鍵．若對振幅的意義理解錯誤，則

處書寫錯誤，從而出現(xiàn)A＝5cm的失誤．這在考試中至少失去3分．在解答過程中，若對振子通過的路程與離開平衡點的位移理解不到位，則會將

處在5s內(nèi)通過的路程與5s末振子相對于平衡位置的位移為5cm或－5cm而等同，從而出現(xiàn)失誤，這在考試中最多得10分．1122跟蹤訓練

1.6三角函數(shù)模型的簡單應用(2)第一章三角函數(shù)問題提出1.函數(shù)的最小正周期是，且，能否確定函數(shù)f(x)的圖象和性質(zhì)？2.三角函數(shù)的應用十分廣泛，對于與角有關的實際問題，我們可以建立一個三角函數(shù)，通過研究其圖象和性質(zhì)或進行定量分析，就能解決相應問題.這是一種數(shù)學思想，需要結合具體問題的研究才能領會和掌握.三角函數(shù)性質(zhì)的簡單應用探究一：建立三角函數(shù)模型求臨界值

【背景材料】如圖，設地球表面某地正午太陽高度角為θ，δ為此時太陽直射緯度，φ為該地的緯度值.當?shù)叵陌肽軎娜≌担肽軎娜∝撝?如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40°）的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應小于多少？太陽光φδθφ-δ思考1：圖中θ、δ、φ這三個角之間的關系是什么？θ=90°－∣φ－δ∣.思考2：當太陽高度角為θ時，設高為h0的樓房在地面上的投影長為h，那么θ、h0、h三者滿足什么關系？h=h0tanθ.太陽光φδθφ-δ思考3：根據(jù)地理知識，北京地區(qū)一年中,正午太陽直射什么緯度位置時,物體的影子最短或影子最長？太陽直射北回歸線時物體的影子最短，直射南回歸線時物體的影子最長.思考4：如圖，A、B、C分別為太陽直射北回歸線、赤道、南回歸線時樓頂在地面上的投影點.要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的臨界距離應是圖中哪兩點之間的距離？-23°26′0°23°26′40°MACBh0思考5：右圖中∠C的度數(shù)是多少？MC的長度如何計算？思考6：綜上分析，要使新樓一層正午的太陽全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應小于多少？-23°26′0°23°26′40°MACBh0探究二：建立三角函數(shù)模型解決最值問題

【背景材料】某地擬修建一條橫斷面為等腰梯形的水渠（如圖），為了降低成本，必須盡量減少水與水渠周壁的接觸面.若水渠橫斷面面積設計為定值S，渠深為h，問應怎樣修建才能使修建成本最低？ABCDS思考1：修建水渠的成本可以用哪個幾何量來反映？思考2：設想將AD＋DC＋CB表示成某個變量的函數(shù)，那么自變量如何選取？ABCDSEh思考3：取∠BCE=x為自變量，設y=AD＋DC＋CB，那么如何建立y與x的函數(shù)關系？ABCDSEhx思考5：注意到S、h為常數(shù)，要使y的值最小，只需研究哪個三角函數(shù)的最小值？思考4：考慮x的實際意義，這個函數(shù)的定義域是什么？ABCDSEhx思考6：對于函數(shù)你有什么辦法求出當x為何值時，k取最小值？xyOP(-sinx,cosx)A(0,2)思考7：如何對原問題作出相應回答？

修建時使梯形的腰與底邊的夾角為60°，才能使修建成本最低.ABCDSEhx理論遷移

例1

某市的緯度是北緯21°34′，小王想在某住宅小區(qū)買房，該小區(qū)的樓高7層，每層3米，樓與樓之間相距15米，要使所買樓房在一年四季正午的太陽不被前面的樓房遮擋，最低應該選擇第幾層的房？15156三樓21

例2

如圖，甲船在點A處測得乙船在北偏東60°的B處，并以每小時10海里的速度向正北方向行使，若甲船沿北偏東θ角方向直線航行，并與乙船在C處相遇，求甲船的航速.BCA北θD1.三角函數(shù)應用題通常涉及生產(chǎn)、生活、軍事、天文、地理和物理等實際問題，其解答流程大致是：審讀題意設角建立三角函數(shù)分析三角函數(shù)性質(zhì)解決實際問題.其中根據(jù)實際問題的背景材料，建立三角函數(shù)關系，是解決問題的關鍵.小結作業(yè)2.在解決實際問題時，要學會具體問題具體分析，充分運用數(shù)形結合的思想，靈活的運用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行解答.2.1.1向量的物理背景與概念2.1.2向量的幾何表示2.1平面向量的實際背景及基本概念第二章平面向量問題提出1.在物理中，位移與距離是同一個概念嗎？為什么？2.現(xiàn)實世界中有各種各樣的量，如年齡、身高、體重、力、速度、面積、體積、溫度等，在數(shù)學上，為了正確理解、區(qū)分這些量，我們引進向量的概念.探究（一）：向量的物理背景與概念思考1：在物理中，怎樣區(qū)分作用于同一點的兩個力？力的大小和力的方向思考2：物體受到的重力、物體在液體中受到的浮力的方向分別如何？受力的大小分別與哪些因素有關？GF思考3：在如圖所示的彈簧中，被拉長或壓縮的彈簧的彈力方向如何？在彈性限度內(nèi)，彈力的大小與什么因素有關？思考4：力既有大小，又有方向，在物理學中稱為矢量，你還能指出哪些物理量是矢量嗎？思考5：數(shù)學中，把既有大小，又有方向的量叫做向量，把只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量.那么年齡、身高、體重、面積、體積、溫度、時間、路程、數(shù)軸等是向量嗎？探究（二）：向量的幾何表示

思考1：一條小船從A地出發(fā)，向西北方向航行15km到達B地，可以用什么方式表示小船的位移？BA東北思考2：對于一個實數(shù)，可以用數(shù)軸上的點表示；對于一個角的正弦、余弦和正切，可以用三角函數(shù)線表示；對于一個二次函數(shù)，可以用一條拋物線表示….數(shù)學中有許多量都可以用幾何方式表示，你認為如何用幾何方式表示向量最合適？思考3：如圖，以A為起點、B為終點的有向線段記作，一條有向線段由哪幾個基本要素所確定？A（起點）B（終點）思考4：用有向線段表示向量，向量 的大小和方向是如何反映出來的？起點、長度、方向思考5：有向線段的長度就是指線段AB的長度，也稱為向量的長度或模，它表示向量的大小，記作||，兩個不同的向量可以比較大小嗎？思考6：如果表示向量的有向線段沒有標注起點和終點字母，向量也可以用黑體字母a，b，c，…，或表示，如圖.此時向量的模怎樣表示？a思考7：向量的?？梢詾?嗎？可以為1嗎？可以為負數(shù)嗎？思考8：模為0的向量叫做零向量，記作 ；模為1個單位的向量叫做單位向量.怎樣理解零向量的方向？怎樣理解向量？理論遷移

例1已知飛機從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達B地，再從B地按南偏東30°方向飛行2000km到達C地，再從C地按西南方向飛行1000km到達D地.（1）畫圖表示向量；（2）求飛機從A地到達D地的位移所對應的向量的模和方向.BA東北CD

例2如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形.以圖中各點為起點和終點，寫出與向量模相等的所有向量.ABCDE

小結1.向量是為了表示、刻畫既有大小，又有方向的量而產(chǎn)生的，物理中有許多相關背景材料，數(shù)學中的向量是物理中矢量的提升和拓展，它有一系列的理論和方法，是溝通代數(shù)、幾何、三角的一種工具，有著廣泛的實際應用.2.由于有向線段具有長度和方向雙重特征，所以向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，二者只是一種對應關系.3.零向量是一個特殊向量，其模為0，方向是不確定的.引入零向量將為以后的研究帶來許多方便，但須注意：

.2.1平面向量的實際背景及基本概念2.1.3相等向量與共線向量第二章平面向量問題提出1.向量與數(shù)量有什么聯(lián)系和區(qū)別？向量有哪幾種表示？聯(lián)系：向量與數(shù)量都是有大小的量；區(qū)別：向量有方向且不能比較大小，數(shù) 量無方向且能比較大小.向量可以用有向線段表示，也可以用字母符號表示.2.什么叫向量的模？零向量和單位向量分別是什么概念？向量的模：表示向量的有向線段的長度.零向量：模為0的向量.單位向量：模為1個單位長度的向量.3.引進向量概念后，我們就要建立相關的理論體系，為了研究的需要，我們必須對向量中的某些現(xiàn)象作出合理的約定或解釋，特別是兩個向量的相互關系.對此，我們將作些研究.探究（一）：相等向量與相反向量

思考1：向量由其模和方向所確定.對于兩個向量a、b，就其模等與不等，方向同與不同而言，有哪幾種可能情形？模相等，方向相同；模相等，方向不相同；模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；思考2：兩個向量不能比較大小，只有“相等”與“不相等”的區(qū)別，你認為如何規(guī)定兩個向量相等？長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a與b相等記作a=b.思考3：用有向線段表示非零向量和，如果，那么A、B、C、D四點的位置關系有哪幾種可能情形？ABCDABCD思考4：對于非零向量和，如果，通過平移使起點A與C重合，那么終點B與D的位置關系如何？長度相等且方向相反的向量叫做相反向量.思考5：非零向量與稱為相反向量，一般地，如何定義相反向量？DCBABA思考6：如果非零向量與是相反向量，通過平移使起點A與C重合，那么終點B與D的位置關系如何？DCBABA探究（二）：平行向量與共線向量

思考1：如果兩個向量所在的直線互相平行，那么這兩個向量的方向有什么關系？思考2：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a與b平行記作a//b，那么平行向量所在的直線一定互相平行嗎？方向相同或相反思考3：零向量0與向量a平行嗎？規(guī)定：零向量與任一向量平行.思考4：將向量平移，不會改變其長度和方向.如圖，設a、b、c是一組平行向量，任作一條與向量a所在直線平行的直線l，在l上任取一點O，分別作=a， =b，=c，那么點A、B、C的位置關系如何？ABCOlabc思考5：上述分析表明，任一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此，平行向量也叫做共線向量.如果非零向量 與是共線向量，那么點A、B、C、D是否一定共線？思考6：若向量a與b平行（或共線），則向量a與b相等或相反嗎？反之，若向量a與b相等或相反，則向量a與b平行（或共線）嗎？思考7：對于向量a、b、c，若a//b，b//c，那么a//c嗎？思考8：對于向量a、b、c，若a=b，b=c，那么a=c嗎？

例1判斷下列命題是否正確：（1）若兩個單位向量共線，則這兩個向量相等；（）（2）不相等的兩個向量一定不共線； （）（3）在四邊形ABCD中，若向量與共線，則該四邊形是梯形；（）（4）對于不同三點O、A、B，向量與一定不共線.（）理論遷移××××

例2如圖，設O為正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出與、相等的向量.ABCDEFO

例3如圖，在△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的點，已知 求證：.ABCDEF小結作業(yè)1.相等向量與相反向量是并列概念，平行向量與共線向量是同一概念，相等向量（相反向量）與平行向量是包含概念.2.任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關.3.向量的平行、共線與平面幾何中線段的平行、共線是不同的概念，平行向量（共線向量）對應的有向線段既可以平行也可以共線.4.平行向量不具有傳遞性，但非零平行向量和相等向量都具有傳遞性.§2.2平面向量的線性運算2.2.1向量加法運算及其幾何意義明目標

知重點填要點記疑點探要點究所然內(nèi)容索引010203當堂測查疑缺041.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義.2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.3.了解向量加法的交換律和結合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運算律的合理性.明目標、知重點如圖所示，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作

則向量

叫做a與b的和(或和向量)，記作

，即a＋b＝

＝

.上述求兩個向量和的作圖法則，叫做向量加法的三角形法則.對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝

＋

＝

.1.向量的加法法則(1)三角形法則a＋b填要點·記疑點0aa(2)平行四邊形法則如圖所示，已知兩個不共線向量a，b，作

則O、A、B三點不共線，以

，

為鄰邊作

，則以O為起點的對角線上的向量

＝a＋b，這個法則叫做兩個向量加法的平行四邊形法則.2.向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝

.(2)結合律：(a＋b)＋c＝

.OAOB平行四邊形b＋aa＋(b＋c)探要點·究所然情境導學兩個實數(shù)可以相加，從而給數(shù)賦予了新的內(nèi)涵.如果向量僅停留在概念的層面上，那是沒有多大意義的.我們希望兩個向量也能相加，拓展向量的數(shù)學意義，提升向量的理論價值，這就需要建立相關的原理和法則.探究點一向量加法的三角形法則導引兩個向量可以相加，并且兩個向量的和還是一個向量.一般地，求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.如圖所示，是上海到臺北的航線示意圖：一是經(jīng)香港轉停到臺北；二是由上海直接飛往臺北.通過上面地圖中客機的位移，我們得到向量加法的三角形法則：思考1

使用向量加法的三角形法則具體做法是什么？答先把兩個向量首尾順次相接，然后連接第一個向量的始點和后一個向量的終點，并指向后一個向量的終點，就得到兩個向量的和向量.思考2

當向量a，b是共線向量時，a＋b又如何作出？答(1)當a與b同向時：(2)當a與b反向時：思考3

|a＋b|與|a|和|b|之間的大小關系如何？答當a與b同向共線時，a＋b與a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.當a與b反向共線時，若|a|>|b|，則a＋b與a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，則a＋b與b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|.探究點二向量加法的平行四邊形法則思考1

向量加法還可以用平行四邊形法則，其具體做法是什么？答先把兩個已知向量的起點平移到同一點，再以這兩個已知向量為鄰邊作平行四邊形，則這兩鄰邊所夾的對角線就是這兩個已知向量的和.對于零向量與任一向量a，我們規(guī)定：a＋0＝0＋a＝a.思考2

實數(shù)的加法運算滿足交換律、結合律，即對任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也滿足交換律、結合律嗎？如何檢驗？答

向量的加法滿足交換律，

根據(jù)下圖中的平行四邊形ABCD驗證向量加法的交換律：a＋b＝b＋a.∴a＋b＝b＋a.向量的加法也滿足結合律，根據(jù)下圖中的四邊形，驗證向量加法的結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).思考3

向量加法的平行四邊形法則和三角形法則有何區(qū)別與聯(lián)系？答向量加法的平行四邊形法則和三角形法則的區(qū)別：①三角形法則中強調(diào)“首尾相連”，平行四邊形法則中強調(diào)的是“共起點”；②三角形法則適用于所有的兩個非零向量求和，而平行四邊形僅適用于不共線的兩個向量求和.聯(lián)系：當兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的.例1

如圖，已知向量a、b，求作向量a＋b.反思與感悟已知向量a與向量b，要作出和向量a＋b，關鍵是準確規(guī)范地依據(jù)平行四邊形法則作圖.跟蹤訓練1

如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點.0探究點三向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則，即把每個向量平移，使這些向量首尾相連，則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量就是這些向量的和向量.這是一個極其簡單卻非常有用的結論(如圖).利用向量加法的多邊形法則化簡多個向量的和有時非常有效.例如，在正六邊形ABCDEF中，0例2

化簡：反思與感悟解決該類題目要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母排列順序.當堂測·查疑缺12341.如圖，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則下列等式中錯誤的是(

)1234故選D.答案D12342.設E是平行四邊形ABCD外一點，如圖所示，化簡下列各式：012343.設M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則

等于(

)D1234呈重點、現(xiàn)規(guī)律1.三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個法則是統(tǒng)一的.當兩個向量首尾相連時常選用三角形法則，當兩個向量共始點時，常選用平行四邊形法則.2.向量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行.2.2.2向量減法運算及其幾何意義2.2平面向量的線性運算第二章平面向量1、向量加法的三角形法則baOaaaaaaaabbbbbbbBbaA注意：a+b各向量“首尾相連”，和向量由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點.溫故知新baAaaaaaaaabbbBbaDaCba+b作法:(1)在平面內(nèi)任取一點A；

(2)以點A為起點以向量a、b為鄰邊作平行四邊形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b；（3）則以點A為起點的對角線AC＝a+b.2、向量加法的平行四邊形法則注意起點相同.共線向量不適用走進新課已知：兩個力的合力為求：另一個力

其中一個力為減去一個向量等于加上這個向量的相反向量說明：１、與長度相等、方向相反的向量，