人大附中-華杯賽資料-數(shù)論綜合

數(shù)論綜合例1.小于2000又與2000互質(zhì)的數(shù)有800個(gè)，這800個(gè)數(shù)相加的和是多少？[答疑編號(hào)0518340101]【答案】800000

【解答】如果a是小于2000且與2000互質(zhì)的數(shù)，則（2000－a）也是這種數(shù)。

因?yàn)?000不與2000互質(zhì)，所以a≠2000－a。又因?yàn)閍與（2000－a）之和是2000，

所以800個(gè)小于2000且與2000互質(zhì)的數(shù)可以分為400組，每組的和都是2000，

這800個(gè)數(shù)的和是2000×400＝800000。

例2.有四個(gè)不同的非零自然數(shù)，其中任意兩個(gè)數(shù)的和是2的倍數(shù)，任意三個(gè)數(shù)的和是3的倍數(shù)。為使這四個(gè)數(shù)的和盡可能小，這四個(gè)數(shù)應(yīng)分別是幾？[答疑編號(hào)0518340102]【答案】1，7，13，19

【解答】任意兩（或三）個(gè)數(shù)的和是2（或3）的倍數(shù)，說(shuō)明四個(gè)數(shù)除以2（或3）的余數(shù)相同，所以四個(gè)數(shù)除以6的余數(shù)相同。最小是1，7，13，19。

例3.有些三位數(shù)，如果它本身增加3，那么新的三位數(shù)的各位數(shù)字的和就減少到原來(lái)三位數(shù)的。求所有這樣的三位數(shù)。[答疑編號(hào)0518340103]【答案】117，108，207

【解答】一個(gè)三位數(shù)，如果這本身增加3，得到的新三位數(shù)的各位數(shù)字之和就減少到原來(lái)三位數(shù)的。則增加3時(shí)，計(jì)算中有進(jìn)位。

我們知道：如果進(jìn)行加法計(jì)算時(shí)，有進(jìn)位，每進(jìn)位一次，則和的各位數(shù)字之和比各個(gè)加數(shù)的數(shù)字之和的總和減少9。

設(shè)原來(lái)三位數(shù)的數(shù)字之和是x。因增加3，得到的仍是一個(gè)三位數(shù)，則最多有兩次進(jìn)位。

如果有一次進(jìn)位，則新三位數(shù)的各位數(shù)字之和是x＋3－9＝x－6。

得到方程：（x－6）×3＝x。解得：x＝9。

如果有兩次進(jìn)位，則新三位數(shù)的各位數(shù)字之和是x＋3－9×2＝x－15。

得到方程：（x－15）×3=x。此方程無(wú)整數(shù)解。

所以原三位數(shù)的各位數(shù)字之和是9。

原三位數(shù)的百位數(shù)字最小是1，個(gè)位數(shù)字最小是7。

這樣的三位數(shù)有三個(gè)：117，108，207。

驗(yàn)證：

117＋3＝120。117的各位數(shù)字之和是9，120的各位數(shù)字之和是3，3＝9×。

108＋3＝111。108的各位數(shù)字之和是9，111的各位數(shù)字之和是3，3＝9×。

207＋3＝210。207的各位數(shù)字之和是9，210的各位數(shù)字之和是3，3＝9×。

由以上分析可知：這樣的三位數(shù)的三個(gè)：117，108，207。

例4.規(guī)定△n表示能整除n的最大的一位整數(shù)，例如△12＝6，那么滿足△n＝7的兩位數(shù)n

一共有個(gè)？寫出所有滿足△n＋△（n＋1）=12的兩位n。[答疑編號(hào)0518340104]【答案】（1）11（2）14，20，49，84

【解答】

（1）因?yàn)閚是7的倍數(shù)，8和9不是n的約數(shù)。所以，7×2，7×3，……，7×14

中7×8，7×9去掉。因此，總共有11個(gè)。

（2）通過(guò)分析，知道△n＝5，△（n＋1）＝7或△n＝7，△（n＋1）＝5。通過(guò)約數(shù)與倍數(shù)的特點(diǎn)，檢驗(yàn)論證。可知，得到的兩位數(shù)為14，20，49，84。

例5.對(duì)于一個(gè)兩位數(shù)，將它分別除以2、3、4、5、6、7、8、9、10，把所有余數(shù)的和稱為這個(gè)兩位數(shù)的“余和”，例如15的余和是1＋0＋3＋0＋3＋1＋7＋6＋5＝26.

（1）是否存在一個(gè)兩位數(shù)，它的余和不超過(guò)6？若存在，請(qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)兩位數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）是否存在兩個(gè)相鄰的兩位數(shù)，它們的余和相等？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的相鄰兩位數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.[答疑編號(hào)0518340105]【答案】（1）存在（2）存在

【解答】

（1）存在，例如72的余和是6.

（2）存在.較大的兩位數(shù)所得的9個(gè)余數(shù)與較小的兩位數(shù)相比，每個(gè)余數(shù)都增加了1，那么余和就增加了9.而有些余數(shù)其實(shí)變成了0，由于余和不變，所以這些0余數(shù)對(duì)應(yīng)的除數(shù)的和應(yīng)該是9.也即較大的兩位數(shù)的所有一位數(shù)約數(shù)（不含1）的和是9.

這樣的除數(shù)只能是2和7.

如果有至少三個(gè)除數(shù)，那么只能是2，3，4，但這時(shí)6也必然是較大數(shù)的約數(shù)，不符合.

如果有兩個(gè)除數(shù)，是3和6，這時(shí)2也是約數(shù)，不符合；是4和5，則2也是約數(shù)，不符合；

如果只有一個(gè)除數(shù)9，這時(shí)3也是約數(shù)，不符合.

綜上，只能是2和7.這樣的兩位數(shù)只能是或者.

即滿足條件的相鄰兩位數(shù)有兩對(duì)，13和14，或者97和98.

例6.講臺(tái)上擺放著一個(gè)除法算式：21÷□＝□……□，其中除數(shù)、商和余數(shù)都被紙片蓋住了.這時(shí)小明走進(jìn)來(lái)，掀開余數(shù)上的紙片看了一眼，又把紙片蓋上，這時(shí)小聰走進(jìn)來(lái)，小明就對(duì)他說(shuō)：“余數(shù)不是0，但是我還不能確定除數(shù)是多少？”

（1）試說(shuō)明：算式中的余數(shù)不可能是6；

（2）然后小聰再掀開商上面的紙片，想了想對(duì)小明說(shuō)：“雖然你沒有告訴我余數(shù)是多少，但是我已經(jīng)知道除數(shù)是多少了！不過(guò)如果沒有你剛才說(shuō)的話，我還是不能確定除數(shù)的，謝謝你！”根據(jù)小聰所說(shuō)的最后一句話，請(qǐng)你說(shuō)明商不可能是4；

（3）請(qǐng)你根據(jù)兩人所說(shuō)的話，寫出講臺(tái)上的這個(gè)除法算式.[答疑編號(hào)0518340106]【答案】（1）余數(shù)不可能是6（2）商不可能是4（3）21÷6＝3……3

【解答】

（1）如果余數(shù)是6，那么商與除數(shù)的乘積就應(yīng)該是21－6＝15，所以除數(shù)是15的約數(shù)?？墒浅龜?shù)又應(yīng)該比余數(shù)大，所以除數(shù)只可能是15，那么小明就能夠確定除數(shù)了，矛盾。所以余數(shù)不可能是