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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)必修4教師用書:第1章§8第1課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像含解析§8函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質(zhì)第1課時函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1.了解振幅、初相、相位、頻率等有關(guān)概念,會用“五點法”畫出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像.2.理解并掌握函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖像的平移與伸縮變換.(重點)3.掌握A,ω,φ對圖像形狀的影響.(難點)1。通過用“五點法”畫出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像,體會直觀想象素養(yǎng).2.通過學(xué)習(xí)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的平移與伸縮變換,體會數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).1.參數(shù)A,φ,ω,b的作用(其中A〉0,ω>0)參數(shù)作用A,bA和b決定了該函數(shù)的值域和振幅,通常稱A為振幅,值域為[-A+b,A+b]φφ決定了x=0時的函數(shù)值,通常稱φ為初相ωω決定了函數(shù)的周期,其計算方式為T=eq\f(2π,ω),周期的倒數(shù)f=eq\f(1,T)=eq\f(ω,2π)為頻率思考1:函數(shù)y=sinx,y=sin2x和y=sineq\f(1,2)x的周期分別是什么?當三個函數(shù)的函數(shù)值相同時,它們x的取值有什么關(guān)系?[提示]2π,π,4π.當三個函數(shù)的函數(shù)值相同時,y=sin2x中x的取值是y=sinx中x取值的eq\f(1,2),y=sineq\f(1,2)x中x的取值是y=sinx中x取值的2倍.2.平移變換(1)左右平移(相位變換):對于函數(shù)y=sin(x+φ)(φ≠0)的圖像,可以看作是把y=sinx的圖像上所有的點向左(當φ>0時)或向右(當φ<0時)平行移動|φ|個單位長度得到的.(2)上下平移:對于函數(shù)y=sinx+b的圖像,可以看作是把y=sinx的圖像上所有點向上(當b>0時)或向下(當b<0時)平行移動|b|個單位長度得到的.思考2:如何由y=f(x)的圖像變換得到y(tǒng)=f(x+a)的圖像?[提示]向左(a>0)或向右(a〈0)平移|a|個單位.3.伸縮變換(1)振幅變換:對于函數(shù)y=Asinx(A>0,A≠1)的圖像可以看作是把y=sinx的圖像上所有點的縱坐標伸長(當A>1時)或縮短(當0<A<1時)到原來的A倍(橫坐標不變)而得到的.(2)周期變換:對于函數(shù)y=sinωx(ω>0,ω≠1)的圖像,可以看作是把y=sinx的圖像上所有點的橫坐標縮短(當ω>1時)或伸長(當0<ω<1時)到原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標不變)而得到的.思考3:對于同一個x,函數(shù)y=2sinx,y=sinx和y=eq\f(1,2)sinx的函數(shù)值有何關(guān)系?[提示]對于同一個x,y=2sinx的函數(shù)值是y=sinx的函數(shù)值的2倍,而y=eq\f(1,2)sinx的函數(shù)值是y=sinx的函數(shù)值的eq\f(1,2)。1.函數(shù)y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)+\f(π,5)))的周期、振幅依次是()A.4π,-2 B.4π,2C.π,2 D.π,-2[答案]B2.關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論:①f(x)是偶函數(shù);②f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))單調(diào)遞增;③f(x)在[-π,π]有4個零點;④f(x)的最大值為2。其中所有正確結(jié)論的編號是()A.①②④ B.②④C.①④ D.①③C[法一:f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),故①正確;當eq\f(π,2)<x<π時,f(x)=sinx+sinx=2sinx,∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))單調(diào)遞減,故②不正確;f(x)在[-π,π]的圖像如圖所示,由圖可知函數(shù)f(x)在[-π,π]只有3個零點,故③不正確;∵y=sin|x|與y=|sinx|的最大值都為1且可以同時取到,∴f(x)可以取到最大值2,故④正確.綜上,正確結(jié)論的序號是①④.故選C。法二:∵f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sinx|=f(x),∴f(x)為偶函數(shù),故①正確,排除B;當eq\f(π,2)<x<π時,f(x)=sinx+sinx=2sinx,∴f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),π))單調(diào)遞減,故②不正確,排除A;∵y=sin|x|與y=|sinx|的最大值都為1且可以同時取到,∴f(x)的最大值為2,故④正確.故選C。]3.要得到y(tǒng)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))的圖像只需將y=sinx的圖像向________平移________個單位.[答案]左eq\f(π,4)4.函數(shù)y=-2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))的最大值為________,最小值為________.[答案]2-2五點作圖法【例1】用五點法作函數(shù)y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))的簡圖,并指出這個函數(shù)的振幅、周期、頻率和初相.[解](1)列表:xeq\f(π,2)eq\f(3π,2)eq\f(5π,2)eq\f(7π,2)eq\f(9π,2)eq\f(1,2)x-eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy030-30(2)描點:在直角坐標系中描出點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0)),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),3)),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2),0)),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,2),-3)),eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2),0))。(3)連線:將所得五點用光滑的曲線連起來,如圖所示.(4)這樣就得到了函數(shù)y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))在一個周期內(nèi)的圖像,再將這部分圖像向左、向右平移4kπ(k∈Z)個單位長度,得函數(shù)y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))的圖像.此函數(shù)振幅為3,周期為4π,頻率為eq\f(1,4π),初相為-eq\f(π,4).五點法作圖關(guān)鍵是列表,一般有下面兩種列表方法:(1)分別令ωx+φ=0,eq\f(π,2),π,eq\f(3π,2),2π,再求出對應(yīng)的x,這體現(xiàn)了整體換元的思想.(2)取ωx0+φ=0,得x0=-eq\f(φ,ω),再把x0作為五點中第一個點的橫坐標,依次遞加一個周期的eq\f(1,4),就可得到其余四個點的橫坐標.1.用五點法作函數(shù)y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))的簡圖,并指出這個函數(shù)的振幅、周期、頻率和初相.[解](1)列表:列表時2x+eq\f(π,3)取值為0、eq\f(π,2)、π、eq\f(3π,2)、2π,再求出相應(yīng)的x值和y值.x-eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2x+eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy020-20(2)描點.(3)用平滑的曲線順次連接各點所得圖像如圖所示.利用這類函數(shù)的周期性,我們可以把上面所得到的簡圖向左、右擴展,得到y(tǒng)=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))),x∈R的簡圖(圖略)。此函數(shù)的振幅為2,周期為π,頻率為eq\f(1,π),初相為eq\f(π,3)。三角函數(shù)圖像的變換【例2】寫出由y=sinx的圖像變化到y(tǒng)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))的圖像的不同方法步驟.[解]法一:先平移再伸縮,過程如下:①把y=sinx的圖像上所有的點向右平移eq\f(π,4)個單位長度,得到y(tǒng)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))的圖像;②把y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4)))的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))的圖像;③將y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),就得到y(tǒng)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))的圖像.法二:先伸縮再平移,過程如下:①把y=sinx的圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sineq\f(1,2)x的圖像;②把y=sineq\f(1,2)x的圖像向右平移eq\f(π,2)個單位長度,得到y(tǒng)=sineq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,2)))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))的圖像;③把y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的3倍(橫坐標不變),就得到y(tǒng)=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x-\f(π,4)))的圖像.由y=sinx的圖像,通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖像時,可以先相位變換,后周期變換,也可以先周期變換,后相位變換.兩種變換的順序不同,變換的量也有所不同,前者平移|φ|個單位,而后者則平移eq\f(|φ|,ω)個單位.不論哪一種變換,都是對字母x而言的,即看“變量”變化多少,而不是“角"變化多少.2.函數(shù)y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))的圖像是由y=sinx的圖像如何變換得到的?求函數(shù)的解析式[探究問題]1.如何求A,b?[提示]A=eq\f(ymax-ymin,2),b=eq\f(ymax+ymin,2).2.如何求ω?[提示]先求周期T,再求ω,其中ω=eq\f(2π,T).3.如何求φ?[提示]由圖像上的點來求,通常選取波峰或波谷.【例3】如圖所示的是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω〉0,|φ|〈π)的圖像,由圖中條件,寫出該函數(shù)的解析式.[思路探究]由圖像觀察函數(shù)周期、振幅、由特殊點法確定初相φ。[解]法一:(最值點法)由圖像可得ω=eq\f(2,3),將最高點坐標eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4),2))代入y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x+φ)),得2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+φ))=2。所以eq\f(π,6)+φ=2kπ+eq\f(π,2)。所以φ=2kπ+eq\f(π,3)(k∈Z)。又因為|φ|〈π,所以φ=eq\f(π,3),又因為A=2,所以此函數(shù)的解析式為y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x+\f(π,3)))。法二:(起始點法)由圖像求得ω=eq\f(2,3),x0=-eq\f(π,2),φ=-ωx0=-eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,2)))=eq\f(π,3).又因為A=2,所以此函數(shù)的解析式為y=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x+\f(π,3))).1.(變條件)將例3中的圖像變?yōu)槿鐖D所示,試求函數(shù)的解析式.[解]法一:根據(jù)題意,A=3,T=eq\f(5π,6)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,6)))=π,∴ω=eq\f(2π,T)=2,將點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12),3))代入y=3sin(2x+φ)中,3=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,12)+φ)),∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)+φ))=1,∴eq\f(π,6)+φ=eq\f(π,2),即φ=eq\f(π,3),從而所求函數(shù)解析式為y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3))).法二:由圖像知A=3,又圖像過Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12),3)),Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,12),-3)),根據(jù)五點作圖法的原理(M,N可視為“五點法”中的第二點和第四點),有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)ω+φ=\f(π,2),,\f(7π,12)ω+φ=\f(3,2)π,))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ω=2,,φ=\f(π,3),))從而所求函數(shù)解析式是y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,3)))。2.(變條件,變結(jié)論)將例3的函數(shù)變?yōu)閒(x)=Asin(ωx+φ)+beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0,ω〉0,|φ|〈\f(π,2))),圖像變?yōu)槿鐖D所示,試求f(x)的解析式,并求S=f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2020)。[解](1)由圖像知A=eq\f(\f(3,2)-\f(1,2),2)=eq\f(1,2),b=eq\f(\f(3,2)+\f(1,2),2)=1,ω=eq\f(2π,T)=eq\f(2π,4)=eq\f(π,2).∴f(x)=eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x+φ))+1。又∵點(0,1)在函數(shù)圖像上,∴f(0)=1,即1=eq\f(1,2)sinφ+1,∴sinφ=0.又|φ|〈eq\f(π,2),故φ=0,∴f(x)=eq\f(1,2)sineq\f(π,2)x+1.(2)由(1)知函數(shù)f(x)=eq\f(1,2)sineq\f(π,2)x+1,周期T=eq\f(2π,\f(π,2))=4.∴S=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=f(0)+[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]×505.又∵f(0)=1,f(1)=eq\f(3,2),f(2)=1,f(3)=eq\f(1,2),f(4)=1,∴S=1+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)+1+\f(1,2)+1))×505=2021。由圖像或部分圖像確定解析式,在觀察圖像的基礎(chǔ)上可按以下規(guī)律來確定A,ω,φ,b:(1)A:一般由圖像上的最大值m、最小值n來確定A=eq\f(m-n,2).(2)ω:因為T=eq\f(2π,ω),所以往往通過求周期T來確定ω,可通過已知曲線與x軸的交點確定T,也可由相鄰的最高點與最低點之間的距離為eq\f(T,2);相鄰的兩個最高點(或最低點)之間的距離為T來確定.(3)φ:從尋找“五點法”中的第一個點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(φ,ω),0))(也叫初始點)作為突破口,要從圖像的升降情況找準第一個點的位置.依據(jù)五點列表法原理,點的序號與式子關(guān)系如下:“第一點”(即圖像上升時與x軸的交點)為ωx+φ=0;“第二點”(即圖像曲線的“峰點”)為ωx+φ=eq\f(π,2);“第三點"(即圖像下降時與x軸的交點)為ωx+φ=π;“第四點"(即圖像曲線的“谷點”)為ωx+φ=eq\f(3π,2);“第五點”(即圖像第二次上升時與x軸的交點)為ωx+φ=2π。在用以上方法確定φ的取值時,還要注意題目中給出的φ的限制條件.1.圖像變換是三角函數(shù)的重點內(nèi)容之一.函數(shù)的各種變換都是自變量x或函數(shù)值y進行的變換.圖像變換與函數(shù)變換緊密相連,相位變換是用x+φ來代替y=f(x)中的x,周期變換是用ωx(ω〉0)代替x,振幅變換是用eq\f(y,A)來代替y(A〉0).2.圖像變換中,還常用以下三種變換:(1)y=-sinx的圖像可由y=sinx的圖像沿x軸翻折180°而得到.(2)y=|sinx|的圖像可由y=sinx的圖像得到.其變化過程為在x軸上方的部分不變,在x軸下方的部分沿x軸翻折180°而得到.(3)y=sin|x|的圖像可通過讓y=sinx的圖像在y軸右邊的部分不變,y軸左邊的圖像由y軸右側(cè)的圖像關(guān)于y軸翻轉(zhuǎn)180°而得到.1.判斷(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)A的大小決定了函數(shù)的振幅. ()(2)ω的大小與函數(shù)的周期有關(guān). ()(3)φ的大小決定了函數(shù)與y=sinx的相對位置. ()(4)b的大小決定了函數(shù)圖像偏離平衡位置的幅度. ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√2.把函數(shù)y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\
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