中考數(shù)學《平行四邊形與特殊的平行四邊形》專題訓練(附答案解析)

第頁中考數(shù)學《平行四邊形與特殊的平行四邊形》專題訓練(附答案解析)一單選題1．如圖將菱形紙片沿著線段剪成兩個全等的圖形則的度數(shù)是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°【答案】C【解析】根據(jù)兩直線平行內錯角相等可得出答案．【詳解】解∵紙片是菱形∴對邊平行且相等∴（兩直線平行內錯角相等）故選C．【點睛】本題考查了菱形的性質解題的關鍵是要知道兩直線平行內錯角相等．2．如圖在中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)平行四邊形的性質平行四邊形的對邊相等然后對各選項進行判斷即可．【詳解】解∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CDAD=BC故選C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質．解題的關鍵在于熟練掌握平行四邊形的性質．3．如圖在菱形中對角線則的面積為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【解析】菱形的對角線互相垂直平分故的面積為對角線的一半的乘積的．【詳解】是菱形的面積故選B．【點睛】本題考查了菱形的性質及三角形面積理解是直角三角形是解題的關鍵．4．已知中下列條件①②③④平分其中能說明是矩形的是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【解析】根據(jù)矩形的判定進行分析即可．【詳解】A.鄰邊相等的平行四邊形是菱形故A錯誤B.對角線相等的平行四邊形是矩形故B正確C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形故C錯誤D.平分對角線平分其每一組對角的平行四邊形是菱形故D錯誤．故選B．【點睛】本題考查了矩形的判定熟知矩形從邊角對角線三個方向的判定是解題的關鍵．5．如圖將矩形紙條折疊折痕為折疊后點CD分別落在點處與交于點G．已知則的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．74° D．75°【答案】D【解析】依據(jù)平行線的性質即可得到的度數(shù)再根據(jù)折疊的性質即可得出的度數(shù)．【詳解】解∵矩形紙條中∴∴由折疊可得故選D．【點睛】本題主要考查了折疊問題折疊是一種對稱變換它屬于軸對稱折疊前后圖形的形狀和大小不變位置變化對應邊和對應角相等．6．（2020·湖南益陽）如圖的對角線交于點若則的長可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分得到OAOB的長度再根據(jù)三角形三邊關系得到AB的取值范圍即可求解．【詳解】解∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=AC=3BO=BD=4在△AOB中4-3<AB<4+3∴1<AB<7結合選項可得AB的長度可能是6故選D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質和三角形的三邊關系熟練掌握平行四邊形的對角線互相平分是解題的關鍵．7．（2020·廣西玉林）點DE分別是三角形ABC的邊ABAC的中點如圖求證且證明延長DE到F使EF=DE連接FCDCAF又AE=EC則四邊形ADCF是平行四邊形接著以下是排序錯誤的證明過程①②③四邊形DBCF是平行四邊形④且則正確的證明排序應是（

）A．②③①④ B．②①③④ C．①③④② D．①③②④【答案】A【解析】根據(jù)已經(jīng)證明出四邊形ADCF是平行四邊形則利用平行四邊形的性質可得可得證出四邊形DBCF是平行四邊形得出且即可得出結論且對照題中步驟即可得出答案.【詳解】解四邊形ADCF是平行四邊形四邊形DBCF是平行四邊形且;;且;對照題中四個步驟可得②③①④正確故答案選A.【點睛】本題考查平行四邊形性質與判定綜合應用當題中出現(xiàn)中點的時候可以利用中線倍長的輔助線做法證明平行四邊形后要記得用平行四邊形的性質繼續(xù)解題.8．（2021·山東德州）下列選項中能使平行四邊形ABCD成為菱形的是（）A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD【答案】B【解析】分別根據(jù)選項所給條件結合菱形的判定方法逐一進行判斷即可求解．【詳解】解∵四邊形ABCD是平行四邊形A當AB＝CD時不能判定平行四邊形ABCD是菱形故本選項不符合題意B當AB=BC時根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得到平行四邊形ABCD是菱形故本選項符合題意C當∠BAD＝90°時平行四邊形ABCD是矩形故本選項不符合題意D當AC＝BD時平行四邊形ABCD是矩形故本選項不符合題意故選B．【點睛】本題主要考查了菱形的判定熟練掌握有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形是解題的關鍵．9．（2021·四川德陽）如圖在菱形ABCD中對角線ACBD相交于點O點E是CD中點連接OE則下列結論中不一定正確的是（）A．AB＝AD B．OEAB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO【答案】C【解析】由菱形的性質可得AB=AD=CDAC⊥BD由直角三角形的性質可得OE=DE=CE=CD=AB即可求解．【詳解】解∵四邊形ABCD是菱形∴AB=AD=CDAC⊥BD故選項A不合題意∵點E是CD的中點∴OE=DE=CE=CD=AB故選項B不合題意∴∠EOD=∠EDO故選項D不合題意故選C．【點睛】本題考查了菱形的性質直角三角形的性質掌握菱形的性質是是解題的關鍵．10．（2022·河南）如圖在菱形ABCD中對角線ACBD相交于點O點E為CD的中點．若OE＝3則菱形ABCD的周長為（

）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】C【解析】由菱形的性質可得出BO=DOAB=BC=CD=DA再根據(jù)中位線的性質可得結合菱形的周長公式即可得出結論．【詳解】解∵四邊形ABCD為菱形∴BO=DOAB=BC=CD=DA∵OE=3且點E為CD的中點是的中位線∴BC=2OE=6．∴菱形ABCD的周長為:4BC=4×6=24．故選C．【點睛】本題考查了菱形的性質以及中位線的性質解題的關鍵是求出AD=6．11．（2022·遼寧）如圖在矩形中分別以點A和C為圓心以大于的長為半徑作弧兩弧相交于點M和N作直線分別交于點EF則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)矩形可知為直角三角形根據(jù)勾股定理可得的長度在中得到又由題知為的垂直平分線于是于是在中利用銳角三角函數(shù)即可求出的長．【詳解】解設與的交點為四邊形為矩形為直角三角形又由作圖知為的垂直平分線在中．故選D．【點睛】本題主要考查矩形的性質銳角三角函數(shù)垂直平分線勾股定理掌握定理以及性質是解題的關鍵．12．（2022·甘肅蘭州）如圖菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點OE為AD的中點連接OE則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【解析】根據(jù)菱形的性質得出再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得出．利用菱形性質直角三角形邊長公式求出進而求出．【詳解】是菱形E為AD的中點．是直角三角形．．即．故選C．【點睛】本題主要考查菱形直角三角形的性質的理解與應用能力．解題關鍵是得出并求得．求解本題時應恰當理解并運用菱形對角線互相垂直且平分對角相等直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質．13．（2022·廣東廣州）如圖正方形ABCD的面積為3點E在邊CD上且CE=1∠ABE的平分線交AD于點F點MN分別是BEBF的中點則MN的長為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】如圖連接EF先證明再求解可得再求解可得為等腰直角三角形求解再利用三角形的中位線的性質可得答案．【詳解】解如圖連接EF∵正方形ABCD的面積為3∵∴∴∴∵平分∴∴∴為等腰直角三角形∵分別為的中點故選D【點睛】本題考查的是正方形的性質銳角三角函數(shù)的應用等腰直角三角形的判定與性質角平分線的定義三角形的中位線的性質求解是解本題的關鍵．14．（2022·海南）如圖菱形中點E是邊的中點垂直交的延長線于點F若則菱形的邊長是（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【解析】過C作CM⊥AB延長線于M根據(jù)設由菱形的性質表示出BC=4xBM=3x根據(jù)勾股定理列方程計算即可．【詳解】過C作CM⊥AB延長線于M∵∴設∵點E是邊的中點∴∵菱形∴CE∥AB∵⊥CM⊥AB∴四邊形EFMC是矩形∴∴BM=3x在Rt△BCM中∴解得或（舍去）∴故選B．【點睛】本題考查了菱形的性質矩形的判定與性質勾股定理關鍵在于熟悉各個知識點在本題的靈活運用．屬于拔高題．15．（2022·江蘇無錫）如圖在ABCD中點E在AD上則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】過點B作BF⊥AD于F由平行四邊形性質求得∠A=75°從而求得∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°則△BEF是等腰直角三角形即BF=EF設BF=EF=x則BD=2xDF=DE=DF-EF=（-1）xAF=AD-DF=BD-DF=（2-）x繼而求得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+X2=（8-4）x2從而求得再由AB=CD即可求得答案．【詳解】解如圖過點B作BF⊥AD于F∵ABCD∴CD=ABCDAB∴∠ADC+∠BAD=180°∵∴∠A=75°∵∠ABE=60°∴∠AEB=180°-∠A-∠ABE=45°∵BF⊥AD∴∠BFD=90°∴∠EBF=∠AEB=45°∴BF=FE∵AD=BD∴∠ABD=∠A=75°∴∠ADB=30°設BF=EF=x則BD=2x由勾股定理得DF=∴DE=DF-EF=（-1）xAF=AD-DF=BD-DF=（2-）x由勾股定理得AB2=AF2+BF2=（2-）2x2+x2=（8-4）x2∴∴∵AB=CD∴故選D．【點睛】本題考查平行四邊形的性質等腰三角形的性質勾股定理直角三角形的性質過點B作BF⊥AD于F構建直角三角形與等腰直角三角形是解題的關鍵．16．（2022·四川宜賓）如圖在矩形紙片ABCD中將沿BD折疊到位置DE交AB于點F則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先根據(jù)矩形的性質和折疊的性質利用“AAS”證明得出設則根據(jù)勾股定理列出關于x的方程解方程得出x的值最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結果即可．【詳解】解∵四邊形ABCD為矩形∴CD=AB=5AB=BC=3根據(jù)折疊可知∴在△AFD和△EFB中∴（AAS）∴設則在中即解得則∴故C正確．故選C．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題三角形全等的判定和性質勾股定理三角函數(shù)的定義根據(jù)題意證明是解題的關鍵．17．（2022·湖北隨州）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具如圖在正方形紙板ABCD中BD為對角線EF分別為BCCD的中點分別交BDEF于OP兩點MN分別為BODC的中點連接APNF沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板則在剪開之前關于該圖形下列說法①圖中的三角形都是等腰直角三角形②四邊形MPEB是菱形③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的．正確的有（

）A．只有① B．①② C．①③ D．②③【答案】C【解析】先根據(jù)正方形的性質和中位線定理證明圖中所有三角形是等腰直角三角形再證明四邊形MPEB是平行四邊形但不是菱形最后再證明四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的即可．【詳解】解∵四邊形ABCD是正方形∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°∠BAD＝∠BCD＝90°∴△ABD△BCD是等腰直角三角形∵∴∠APF＝∠APE＝90°∵EF分別為BCCD的中點∴EF是△BCD的中位線CE＝BCCF＝CD∴CE＝CF∵∠C＝90°∴△CEF是等腰直角三角形

∴EFBDEF＝BD∴∠APE＝∠AOB＝90°∠APF＝∠AOD＝90°∴△ABO△ADO是等腰直角三角形∴AO＝BOAO＝DO∴BO＝DO∵MN分別為BODO的中點∴OM＝BM＝BOON＝ND＝DO∴OM＝BM＝ON＝ND∵∠BAO＝∠DAO＝45°∴由正方形是軸對稱圖形則APC三點共線PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM連接PC如圖∴NF是△CDO的中位線∴NFACNF＝OC＝OD＝ON＝ND∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°∴四邊形FNOP是矩形∴四邊形FNOP是正方形∴NF＝ON＝ND∴△DNF是等腰直角三角形∴圖中的三角形都是等腰直角三角形故①正確∵PEBMPE＝BM∴四邊形MPEB是平行四邊形∵BE＝BCBM＝OB在Rt△OBC中BC＞OB∴BE≠BM∴四邊形MPEB不是菱形故②錯誤∵PC＝PO＝PF＝OM∠MOP＝∠CPF＝90°∴△MOP≌△CPF（SAS）∴故③正確故選C【點睛】此題考查了七巧板正方形的判定和性質平行四邊形的判定和性質三角形的中位線定理三角形全等的判定和性質等腰直角三角形的判定和性質等知識正確的識別圖形是解題的關鍵．18．（2021·四川綿陽）如圖在邊長為3的正方形中則的長是（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】由正方形的性質得出由證得即可得出答案．【詳解】解四邊形是正方形∵在中設則根據(jù)勾股定理得即解得（負值舍去）．故選．【點睛】本題考查了正方形的性質全等三角形的判定與性質勾股定理含角的直角三角形的性質等知識證明是解題的關鍵．19．（2021·遼寧朝陽）如圖在菱形ABCD中點EF分別在ABCD上且BE＝2AEDF＝2CF點GH分別是AC的三等分點則S四邊形EHFG÷S菱形ABCD的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可證EG∥BCEG＝2HF∥ADHF＝2可得四邊形EHFG為平行四邊形即可求解．【詳解】解∵BE＝2AEDF＝2FC∴∵GH分別是AC的三等分點∴∴∴EG∥BC∴同理可得HF∥AD∴故選A．【點睛】本題考查了菱形的性質由題意可證EG∥BCHF∥AD是本題的關鍵．20．（2020·遼寧錦州）如圖在菱形ABCD中P是對角線AC上一動點過點P作PE⊥BC于點EPF⊥AB于點F．若菱形ABCD的周長為20面積為24則PE＋PF的值為(

)A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】連接BP通過菱形的周長為20求出邊長菱形面積為24求出SABC的面積然后利用面積法SABP+SCBP=SABC即可求出的值．【詳解】解連接BP如圖∵菱形ABCD的周長為20∴AB=BC=20÷4=5又∵菱形ABCD的面積為24∴SABC=24÷2=12又SABC=SABP+SCBP∴SABP+SCBP=12∴∵AB=BC∴∵AB=5∴PE+PF=12×=．故選B．【點睛】本題主要考查菱形的性質解題關鍵在于添加輔助線通過面積法得出等量關系求出PF+PE的值．21．（2020·廣西河池）如圖在?ABCD中CE平分∠BCD交AB于點EEA＝3EB＝5ED＝4．則CE的長是（）A．5 B．6 C．4 D．5【答案】C【解析】根據(jù)平行四邊形的性質和角平分線的定義可得AD＝BC＝EB＝5根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°再根據(jù)平行四邊形的性質可得CD＝AB＝8∠EDC＝90°根據(jù)勾股定理可求CE的長．【詳解】解∵CE平分∠BCD∴∠BCE＝∠DCE∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB＝CDAD＝BCAB∥CD∴∠BEC＝∠DCE∴∠BEC＝∠BCE∴BC＝BE＝5∴AD＝5∵EA＝3ED＝4在△AED中32+42＝52即EA2+ED2＝AD2∴∠AED＝90°∴CD＝AB＝3+5＝8∠EDC＝90°在Rt△EDC中CE＝＝＝4．故選C．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質和角平分線的性質勾股定理的逆定理勾股定理關鍵是掌握平行四邊形對邊平行且相等．22．（2020·江蘇南通）如圖①E為矩形ABCD的邊AD上一點點P從點B出發(fā)沿折線B﹣E﹣D運動到點D停止點Q從點B出發(fā)沿BC運動到點C停止它們的運動速度都是1cm/s．現(xiàn)PQ兩點同時出發(fā)設運動時間為x（s）△BPQ的面積為y（cm2）若y與x的對應關系如圖②所示則矩形ABCD的面積是（）A．96cm2 B．84cm2 C．72cm2 D．56cm2【答案】C【解析】過點E作EH⊥BC由三角形面積公式求出EH=AB=6由圖2可知當x=14時點P與點D重合則AD=12可得出答案．【詳解】解從函數(shù)的圖象和運動的過程可以得出當點P運動到點E時x＝10y＝30過點E作EH⊥BC由三角形面積公式得y＝解得EH＝AB＝6∴BH=AE=8由圖2可知當x＝14時點P與點D重合∴ED=4∴BC=AD＝12∴矩形的面積為12×6＝72．故選C．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象三角形的面積等知識熟練掌握數(shù)形結合思想方法是解題的關鍵．23．（2020·山東威海）七巧板是大家熟悉的一種益智玩具用七巧板能拼出許多有趣的圖案．小李將塊等腰直角三角形硬紙板（如圖①）切割七塊正好制成一副七巧板（如圖②）已知則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖設OF＝EF＝FG＝x可得EH＝2x＝20解方程即可解決問題．【詳解】解如圖設OF＝EF＝FG＝x∴OE＝OH＝2x在Rt△EOH中EH＝2x由題意EH＝20cm∴20＝2x∴x＝5∴陰影部分的面積＝（5）2＝50（cm2）故選C．【點睛】本題考查正方形的性質勾股定理等腰三角形的性質等知識解題的關鍵是理解題意靈活運用所學知識解決問題屬于中考?？碱}型．24．（2020·湖南益陽）如圖在矩形中是上的一點是等邊三角形交于點則下列結論不成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)等邊三角形和矩形角度的特點即可得出A說法正確假設∠BAC=45°可得到AB=BC又AB=BE所以BE=BC不成立所以B說法錯誤設EC的長為xBE=2EC=2xBC=證得△ECF∽△BAF根據(jù)相似三角形的性質可得C說法正確AD=BC=AB=BE=2x可得D說法正確．【詳解】解在矩形ABCD中是等邊三角形∴∠DAB=90°∠EAB=60°∴∠DAE=90°-60°=30°故A說法正確若∠BAC=45°則AB=BC又∵AB=BE∴BE=BC在△BEC中BE為斜邊BE＞BC故B說法錯誤設EC的長為x易得∠ECB=30°∴BE=2EC=2xBC=AB=BE=2x∵DC∥AB∴∠ECA=∠CAB又∵∠EFC=∠BFA∴△ECF∽△BAF∴故C說法正確AD=BC=∴故D說法正確．故選B【點睛】本題考查了矩形和等邊三角形的性質相似三角形的性質和判定熟練掌握矩形和等邊三角形的性質是解題的關鍵．25．（2020·云南）如圖平行四邊形的對角線相交于點是的中點則與的面積的比等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先證明OE//BC再根據(jù)△DEO∽△DCB求解即可．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BO=DO∵是的中點∴OE是△DCB的中位線∴OE//BCOE=BC∴△DEO∽△DCB∴△DEO△DCB=．故選B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質三角形的中位線以及相似三角形的判定與性質熟練掌握相似三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．26．（2020·貴州畢節(jié)）如圖在矩形中對角線相交于點點分別是的中點連接若則的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由勾股定理求出BD的長根據(jù)矩形的性質求出OD的長最后根據(jù)三角形中位線定理得出EF的長即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴∠ABC=90°AC=BDOA=OC=OD=OB∵∴AC=∴BD=10cm∴∵點分別是的中點∴．故選D．【點睛】本題考查矩形的性質三角形的中位線定理等知識解題的關鍵是熟練掌握基本知識．27．（2020·廣東廣州）如圖矩形的對角線交于點過點作交于點過點作垂足為則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)勾股定理求出AC=BD=10由矩形的性質得出AO=5證明得到OE的長再證明可得到EF的長從而可得到結論．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形又同理可證故選C．【點睛】本題主要考查了矩形的性質和相似三角形的判定與性質熟練掌握判定與性質是解答此題的關鍵．二填空題28．（2022·廣東廣州）如圖在□ABCD中AD=10對角線AC與BD相交于點OAC+BD=22則△BOC的周長為________【答案】21【解析】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分求出OC+OB的長即可解決問題．【詳解】解∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=OC=ACBO=OD=BDBC=AD=10∵AC+BD=22∴OC+BO=11∵BC=10∴△BOC的周長=OC+OB+BC=16+10=21．故答案為21．【點睛】本題考查平行四邊形的性質以及三角形周長等知識解題的關鍵是記住平行四邊形的對角線互相平分屬于中考基礎題．29．（2022·青海）如圖矩形ABCD的對角線AC和BD相交于點O過點O的直線分別交AD和BC于點EFAB＝3BC＝4則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】6．【解析】首先結合矩形的性質證明△AOE≌△COF得△AOE△COF的面積相等從而將陰影部分的面積轉化為△BCD的面積．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴OA＝OC∠AEO＝∠CFO又∵∠AOE＝∠COF在△AOE和△COF中∵∴△AOE≌△COF（ASA）∴S△AOE＝S△COF∴S陰影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD∵S△BCD＝BC?CD＝6∴S陰影＝6．故答案為6．【點睛】本題主要考查矩形的性質三角形全等的判定和性質定理掌握三角形的判定和性質定理是解題的關鍵．30．（2021·貴州黔東南）如圖BD是菱形ABCD的一條對角線點E在BC的延長線上若則的度數(shù)為_________度．【答案】64【解析】根據(jù)菱形的性質可以求得和再應用三角形外角的性質即可求解．【詳解】解∵BD是菱形ABCD的一條對角線∴∴∴．故答案為64．【點睛】本題考查菱形的性質和三角形外角的性質熟練掌握以上知識點是解題關鍵．31．（2021·湖南益陽）如圖已知四邊形是平行四邊形從①②③中選擇一個作為條件補充后使四邊形成為菱形則其選擇是___（限填序號）．【答案】①【解析】根據(jù)菱形的判定矩形的判定平行四邊形的性質即可得．【詳解】解①時平行四邊形是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）②時平行四邊形是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）③由平行四邊形的性質可知則不能作為構成菱形的條件故答案為①．【點睛】本題考查了菱形的判定矩形的判定平行四邊形的性質熟練掌握菱形的判定方法是解題關鍵．32．（2020·遼寧營口）如圖在菱形ABCD中對角線ACBD交于點O其中OA＝1OB＝2則菱形ABCD的面積為_____．【答案】4【解析】根據(jù)菱形的面積等于對角線之積的一半可得答案．【詳解】解∵OA＝1OB＝2∴AC＝2BD＝4∴菱形ABCD的面積為×2×4＝4．故答案為4．【點睛】本題考查菱形的性質關鍵在于熟練掌握基礎知識.33．（2020·江蘇鎮(zhèn)江）如圖點P是正方形ABCD內位于對角線AC下方的一點∠1＝∠2則∠BPC的度數(shù)為_____°．【答案】135【解析】由正方形的性質可得∠ACB＝∠BAC＝45°可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP由三角形內角和定理可求解．【詳解】解∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠BAC＝45°∴∠2+∠BCP＝45°∵∠1＝∠2∴∠1+∠BCP＝45°∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC＝135°故答案為135．【點睛】本題考查了正方形的性質三角形內角和定理掌握正方形的性質是本題的關鍵．34．（2020·青海）如圖在矩形中對角線相交于點已知則的長為________cm．【答案】6cm【解析】根據(jù)矩形的性質可得對角線相等且平分由可得根據(jù)所對直角邊是斜邊的一半即可得到結果．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴∵∴又∵∴∴在Rt△ABC中．故答案為6cm．【點睛】本題主要考查了矩形的性質應用準確利用直角三角形的性質是解題的關鍵．35．（2020·廣東）如圖在菱形中取大于的長為半徑分別以點為圓心作弧相交于兩點過此兩點的直線交邊于點（作圖痕跡如圖所示）連接則的度數(shù)為_________．【答案】45°【解析】根據(jù)題意知虛線為線段AB的垂直平分線得AE=BE得結合°可計算的度數(shù)．【詳解】∵∴∴故答案為45°．【點睛】本題考查了菱形的性質及垂直平分線的性質熟知以上知識點是解題的關鍵．36．（2020·四川涼山）如圖的對角線ACBD相交于點O交AD于點E若OA=1的周長等于5則的周長等于__________．【答案】16【解析】根據(jù)已知可得E為AD的中點OE是△ABD的中位線據(jù)此可求得AB根據(jù)OA=1的周長等于5可求得具體的結果．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形ACBD是對角線∴O為BD和AC的中點又∵∴E為AD的中點又∵OA=1的周長等于5∴AE+OE=4∴∴的周長=．故答案為16．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質結合三角形中位線定理判定是解題的關鍵．37．（2021·遼寧鞍山）如圖矩形ABCD中對角線ACBD交于點O垂足為點H若則AD的長為_______________．【答案】【解析】由矩形的性質得求出利用30°角的直角三角形的性質求出CH的長度再利用勾股定理求出DH的長度根據(jù)求出然后由含角的直角三角形的性質即可求解．【詳解】解四邊形ABCD是矩形∴在中故答案為．【點睛】本題考查的是矩形的性質以及直角三角形30°的性質熟練掌握直角三角形30°的性質是解決本題的關鍵．38．（2021·山東東營）如圖正方形紙片ABCD的邊長為12點F是AD上一點將沿CF折疊點D落在點G處連接DG并延長交AB于點E．若則GE的長為________．【答案】【解析】因為折疊則有從而可知利用線段比求出DG的長即可求出EG．【詳解】如圖四邊形ABCD是正方形因為折疊設垂足為HDE=故答案為．【點睛】本題考查了正方形的性質軸對稱的性質三角形相似的判定與性質勾股定理找到是解題的關鍵．39．（2021·湖南株洲）如圖所示線段為等腰的底邊矩形的對角線與交于點若則__________．【答案】4【解析】先求出矩形的對角線的長得到AB的取值再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值．【詳解】解∵矩形ADBE的對角線AB與DE交于點O∴AB=DEOE=OD∴AB=DE=2OD=4∵線段BC為等腰△ABC的底邊∴AC=AB=4故答案為4．【點睛】本題考查了矩形的性質和對等腰三角形概念的理解解決本題的關鍵是理解相關概念與性質能靈活運用題干信息將它們用數(shù)學符號進行表示本題較基礎考查了學生的幾何語言表述的能力以及基本功．40．（2021·湖南邵陽）如圖在矩形中垂足為點．若則的長為______．【答案】3【解析】在中由正弦定義解得再由勾股定理解得DE的長根據(jù)同角的余角相等得到最后根據(jù)正弦定義解得CD的長即可解題．【詳解】解在中在矩形中故答案為3．【點睛】本題考查矩形的性質正弦勾股定理等知識是重要考點難度較易掌握相關知識是解題關鍵．41．（2021·江蘇連云港）如圖菱形的對角線相交于點O垂足為E則的長為______．【答案】【解析】直接利用菱形的性質得出AODO的長再利用勾股定理得出菱形的邊長進而利用等面積法得出答案．【詳解】解∵菱形ABCD的對角線ACBD相交于點O且AC=8DB=6∴AO=4DO=3∠AOD=90°∴AD=5在中由等面積法得∴故答案為．【點睛】本題考查了菱形的性質勾股定理直角三角形斜邊上的高的求法（等面積法）熟記性質與定理是解題關鍵．42．（2022·吉林）如圖在矩形中對角線相交于點點是邊的中點點在對角線上且連接．若則__________．【答案】##2.5【解析】由矩形的性質可得點F是OA的中點從而EF是△AOD的中位線則由三角形中位線定理即可求得EF的長．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴BD=AC=10OA=ACOD=BD=5∵∴即點F是OA的中點．∵點是邊的中點∴EF是△AOD的中位線∴．故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質三角形中位線定理等知識掌握中位線定理是本題的關鍵．43．（2022·廣西賀州）如圖在矩形ABCD中EF分別是ADAB的中點的平分線交AB于點G點P是線段DG上的一個動點則的周長最小值為__________．【答案】##【解析】在CD上取點H使DH=DE連接EHPH過點F作FK⊥CD于點K可得DG垂直平分EH從而得到當點FPH三點共線時的周長最小最小值為FH+EF再分別求出EF和FH即可求解．【詳解】解如圖在CD上取點H使DH=DE連接EHPH過點F作FK⊥CD于點K在矩形ABCD中∠A=∠ADC=90°AD=BC=6CD=AB=8∴△DEH為等腰直角三角形∵DG平分∠ADC∴DG垂直平分EH∴PE=PH∴的周長等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF∴當點FPH三點共線時的周長最小最小值為FH+EF∵EF分別是ADAB的中點∴AE=DE=DH=3AF=4∴EF=5∵FK⊥CD∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°∴四邊形ADKF為矩形∴DK=AF=4FK=AD=6∴HK=1∴∴FH+EF=即的周長最小為．故答案為【點睛】本題主要考查了最短距離問題矩形的判定和性質勾股定理等知識明確題意準確得到當點FPH三點共線時的周長最小最小值為FH+EF是解題的關鍵．44．（2022·遼寧遼寧）如圖CD是△ABC的角平分線過點D分別作ACBC的平行線交BC于點E交AC于點F．若∠ACB＝60°CD＝4則四邊形CEDF的周長是_______．【答案】16【解析】連接EF交CD于O先證明四邊形CFDE為菱形從而求出CO的長度然后根據(jù)余弦定義求出CE即可得出答案．【詳解】解連接EF交CD于O如圖∵DEACDFBC∴四邊形CEDF是平行四邊形∵CD是△ABC的角平分線∴∠FCD＝∠ECD∵DEAC∴∠FCD＝∠CDE∴∠ECD＝∠CDE∴CE＝DE∴四邊形CEDF是菱形∴CD⊥EF∠ECD＝∠ACB＝30°OC＝CD＝在Rt△COE中CE＝＝＝4∴四邊形CEDF的周長是4CE＝4×4＝16故答案為16．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質余弦的定義等知識解題的關鍵是判斷出四邊形CEDF為菱形．45．（2022·廣西河池）如圖把邊長為12的矩形ABCD沿長邊BCAD的中點EF對折得到四邊形ABEF點GH分別在BEEF上且BG＝EH＝BE＝2AG與BH交于點ON為AF的中點連接ON作OM⊥ON交AB于點M連接MN則tan∠AMN＝_____．【答案】##0.625【解析】先判斷出四邊形ABEF是正方形進而判斷出△ABG≌△BEH得出∠BAG=∠EBH進而求出∠AOB=90°再判斷出△AOB~△ABG求出再判斷出△OBM～△OAN求出BM=1即可求出答案．【詳解】解∵點EF分別是BCAD的中點∴∵四邊形ABCD是矩形∴∠A=90°AD∥BCAD=BC∴∴四邊形ABEF是矩形由題意知AD=2AB∴AF=AB∴矩形ABEF是正方形∴AB=BE∠ABE=∠BEF=90°∵BG=EH∴△ABG≌△BEH（SAS）∴∠BAG=∠EBH∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°∴∠AOB=90°∵BG＝EH＝BE＝2∴BE=5∴AF=5∴∵∠OAB=∠BAG∠AOB=∠ABG∴△AOB∽△ABG∴即∴∵OM⊥ON∴∠MON=90°=∠AOB∴∠BOM=∠AON∵∠BAG+∠FAG=90°∠ABO+∠EBH=90°∠BAG=∠EBH∴∠OBM=∠OAN∴△OBM～△OAN∴∵點N是AF的中點∴∴解得BM=1∴AM=AB-BM=4∴．故答案為【點睛】此題主要考查了矩形性質正方形性質和判定全等三角形的判定和性質相似三角形的判定和性質勾股定理求出BM是解本題的關鍵．46．（2022·黑龍江哈爾濱）如圖菱形的對角線相交于點O點E在上連接點F為的中點連接若則線段的長為___________．【答案】【解析】先根據(jù)菱形的性質找到Rt△AOE和Rt△AOB然后利用勾股定理計算出菱形的邊長BC的長再根據(jù)中位線性質求出OF的長．【詳解】已知菱形ABCD對角線互相垂直平分∴AC⊥BD在Rt△AOE中∵OE=3OA=4∴根據(jù)勾股定理得∵AE=BE∴在Rt△AOB中即菱形的邊長為∵點F為的中點點O為DB中點∴．故答案為【點睛】本題考查了菱形的性質勾股定理中位線的判定與性質熟練掌握菱形性質并能結合勾股定理中位線的相關知識點靈活運用是解題的關鍵．47．（2022·江蘇無錫）如圖正方形ABCD的邊長為8點E是CD的中點HG垂直平分AE且分別交AEBC于點HG則BG＝________．【答案】1【解析】連接AGEG根據(jù)線段垂直平分線性質可得AG=EG由點E是CD的中點得CE=4設BG=x則CG=8-x由勾股定理可得出（8-x）2+42=82+x2求解即可．【詳解】解連接AGEG如圖∵HG垂直平分AE∴AG=EG∵正方形ABCD的邊長為8∴∠B=∠C=90°AB=BC=CD=8∵點E是CD的中點∴CE=4設BG=x則CG=8-x由勾股定理得EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42AG2=AB2+BG2=82+x2∴（8-x）2+42=82+x2解得x=1故答案為1．【點睛】本題考查正方形的性質線段垂直平分線的性質勾股定理熟練掌握正方形的性質線段垂直平分線的性質勾股定理及其運用是解題的關鍵．48．（2021·四川內江）如圖矩形點在軸正半軸上點在軸正半軸上．當點在軸上運動時點也隨之在軸上運動在這個運動過程中點到原點的最大距離為__．【答案】##【解析】取的中點連接由勾股定理可求的長由直角三角形的性質可求的長由三角形的三邊可求解．【詳解】如圖取的中點連接矩形點是的中點點是的中點在中當點在上時的最大值為故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質直角三角形的性質三角形的三邊形關系勾股定理等知識添加恰當輔助線構造三角形是解題的關鍵．49．（2021·遼寧錦州）如圖在矩形ABCD中AB＝6BC＝10以點B為圓心BC的長為半徑畫弧交AD于點E再分別以點CE為圓心大于CE的長為半徑畫弧兩弧交于點F作射線BF交CD于點G則CG的長為__________________．【答案】【解析】根據(jù)作圖過程可得BF是∠EBC的平分線然后證明△EBG≌△CBG再利用勾股定理即可求出CG的長．【詳解】解如圖連接EG根據(jù)作圖過程可知BF是∠EBC的平分線∴∠EBG＝∠CBG在△EBG和△CBG中∴△EBG≌△CBG（SAS）∴GE＝GC∠BEG=∠C=90°在Rt△ABE中AB＝6BE＝BC＝10∴AE＝＝8∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2在Rt△DGE中DE＝2DG＝DC﹣CG＝6﹣CGEG＝CG∴EG2﹣DE2＝DG2∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2解得CG＝．故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質作圖-基本作圖解決本題的關鍵是掌握矩形的性質．50．（2021·黑龍江哈爾濱）如圖矩形的對角線相交于點過點作垂足為點過點作垂足為點．若則的長為_____．【答案】【解析】根據(jù)矩形的性質得AO=CO=BO=DO=6再證明從而得是等邊三角形進而即可求解．【詳解】解∵在矩形中∴AO=CO=BO=DO=6∵∴BC=2BE∵∴BE=AF∵∠OBE+∠ABF=∠ABF+∠BAF=90°∴∠OBE=∠BAF∵又∵∠AFB=∠BEO=90°∴∴AB=BO∴AB=BO=AO∴是等邊三角形∴∠ABO=60°∴∠OBE=30°∴OE=3故答案是．【點睛】本題主要考查矩形的性質勾股定理等邊三角形的判定和性質全等三角形的判定和性質掌握矩形的對角線相等且平分是解題的關鍵．51．（2020·山東濟南）如圖在矩形紙片ABCD中AD＝10AB＝8將AB沿AE翻折使點B落在處AE為折痕再將EC沿EF翻折使點C恰好落在線段EB'上的點處EF為折痕連接．若CF＝3則tan＝_____．【答案】【解析】連接AF設CE＝x用x表示AEEF再證明∠AEF＝90°由勾股定理得通過AF進行等量代換列出方程便可求得x再進一步求出B′C′便可求得結果．【詳解】解連接AF設CE＝x則C′E＝CE＝xBE＝B′E＝10﹣x∵四邊形ABCD是矩形∴AB＝CD＝8AD＝BC＝10∠B＝∠C＝∠D＝90°∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9由折疊知∠AEB＝∠AEB′∠CEF＝∠C′EF∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125∴2x2﹣20x+173＝125解得x＝4或6當x＝6時EC＝EC′＝6BE＝B′E＝8﹣6＝2EC′＞B′E不合題意應舍去∴CE＝C′E＝4∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2∵∠B′＝∠B＝90°AB′＝AB＝8∴tan∠B'AC′＝=．故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質折疊的性質銳角三角函數(shù)勾股定理掌握折疊的性質是解題關鍵．52．（2020·遼寧大連）如圖矩形中點E在邊上與相交于點F．設當時y關于x的函數(shù)解析式為_____．【答案】【解析】利用矩形的性質可求得BAD為直角三角形即可利用勾股定理得到BD的長求證FEDFCB運用相似三角形的性質建立等式即可求解．【詳解】∵四邊形是矩形∴∠BAD=BC=AD=8AB=CD=6∴在ABD中BD=∴FD=BD?BF=10?y又∵ADBC∴FEDFBC∴∴∴故答案為【點睛】本題主要考查了矩形的性質勾股定理相似三角形的判定與性質利用相似三角形的性質建立等式是解題的關鍵．53．（2020·四川涼山）如圖矩形ABCD中AD=12AB=8E是AB上一點且EB=3F是BC上一動點若將沿EF對折后點B落在點P處則點P到點D的最短距為．【答案】【解析】如圖連接利用三角形三邊之間的關系得到最短時的位置如圖利用勾股定理計算從而可得答案．【詳解】解如圖連接則＞為定值當落在上時最短圖如圖連接由勾股定理得即的最小值為故答案為圖【點睛】本題考查的是矩形的性質考查利用軸對稱求線段的最小值問題同時考查了勾股定理的應用掌握以上知識是解題的關鍵．54．（2020·廣東廣州）如圖正方形中繞點逆時針旋轉到分別交對角線于點若則的值為_______．【答案】16【解析】根據(jù)正方形及旋轉的性質可以證明利用相似的性質即可得出答案．【詳解】解在正方形中∵繞點逆時針旋轉到∴∴∵∴∴∴．故答案為16．【點睛】本題考查了正方形的性質旋轉的性質相似三角形的判定及性質掌握正方形的性質旋轉的性質相似三角形的判定及性質是解題的關鍵．三解答題55．（2022·湖南）如圖菱形的對角線相交于點點是的中點連接過點作交的延長線于點連接．(1)求證(2)試判斷四邊形的形狀并寫出證明過程．【答案】(1)見解析(2)矩形見解析【解析】（1）由題意得根據(jù)平行線的性質得用ASA即可證明（2）根據(jù)全等三角形的性質得即可得四邊形為平行四邊形根據(jù)菱形的性質得即即可得．(1)證明點是的中點又在和中(2)四邊形為矩形證明如下證明又四邊形為平行四邊形又四邊形為菱形即四邊形為矩形．【點睛】本題考查了菱形的性質矩形的判定全等三角形的判定與性質解決本題的關鍵是掌握菱形的性質．56．（2022·湖北恩施）如圖已知四邊形ABCD是正方形G為線段AD上任意一點于點E于點F．求證．【答案】證明見解析【解析】先根據(jù)正方形的性質可得從而可得再根據(jù)垂直的定義可得從而可得然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出根據(jù)全等三角形的性質可得最后根據(jù)線段的和差等量代換即可得證．【詳解】證明四邊形是正方形在和中．【點睛】本題考查了正方形的性質三角形全等的判定與性質等知識點正確找出兩個全等三角形是解題關鍵．57．（2022·黑龍江哈爾濱）如圖方格紙中每個小正方形的邊長均為1的頂點和線段的端點均在小正方形的頂點上．(1)在方格紙中面出使與關于直線對稱（點D在小正方形的頂點上）(2)在方格紙中畫出以線段為一邊的平行四邊形（點G點H均在小正方形的頂點上）且平行四邊形的面積為4．連接請直接寫出線段的長．【答案】(1)見解析(2)圖見解析【解析】（1）根據(jù)軸對稱的性質可得△ADC（2）利用平行四邊形的性質即可畫出圖形利用勾股定理可得DH的長．(1)如圖(2)如圖【點睛】本題考查了作圖軸對稱變換平行四邊形的性質勾股定理等知識準確畫出圖形是解題的關鍵．58．（2022·山東青島）如圖在四邊形ABCD中AB∥CD點EF在對角線BD上BE=EF=FD∠BAF=∠DCE=90°．(1)求證△ABF≌△CDE(2)連接AECF已知__________（從以下兩個條件中選擇一個作為已知填寫序號）請判斷四邊形AECF的形狀并證明你的結論．條件①∠ABD=30°條件2AB=BC．（注如果選擇條件①條件②分別進行解答按第一個解答計分）【答案】(1)證明見解析(2)見解析【解析】（1）利用AAS即可證明△ABF≌△CDE（2）若選擇條件①先證明四邊形AECF是平行四邊形利用直角三角形斜邊上的中線性質以及含30度角的直角三角形的性質證得AE=AF即可證明平行四邊形AECF是菱形．若選擇條件②先證明四邊形AECF是平行四邊形得到AO=CO再根據(jù)等腰三角形的性質即可證明平行四邊形AECF是菱形．(1)證明∵BE=FD∴BE+EF=FD+EF即BF=DE∵AB∥CD∴∠ABF=∠CDE又∵∠BAF=∠DCE=90°∴△ABF≌△CDE(AAS)(2)解若選擇條件①四邊形AECF是菱形由（1）得△ABF≌△CDE∴AF=CE∠AFB=∠CED∴AF∥CE∴四邊形AECF是平行四邊形∵∠BAF=90°BE=EF∴AE=BF∵∠BAF=90°∠ABD=30°∴AF=BF∴AE=AF∴平行四邊形AECF是菱形．若選擇條件②四邊形AECF是菱形連接AC交BD于點O由（1）得△ABF≌△CDE∴AF=CE∠AFB=∠CED∴AF∥CE∴四邊形AECF是平行四邊形∴AO=CO∵AB=BC∴BO⊥AC即EF⊥AC∴平行四邊形AECF是菱形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質等腰三角形的性質直角三角形的性質菱形的判定平行四邊形的判定和性質解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．59．（2021·江蘇徐州）如圖將一張長方形紙片沿折疊使兩點重合．點落在點處．已知．（1）求證是等腰三角形（2）求線段的長．【答案】（1）見解析（2）3【解析】（1）根據(jù)矩形的性質可得則因為折疊即可得證（2）設用含的代數(shù)式表示由折疊再用勾股定理求解即可【詳解】（1）四邊形是矩形因為折疊則是等腰三角形（2）四邊形是矩形設則因為折疊則在中即解得【點睛】本題考查了矩形的性質等腰三角形的判定定理圖像的折疊勾股定理熟悉以上知識點是解題的關鍵．60．（2021·貴州安順）如圖在矩形中點在上且垂足為．（1）求證（2）若求四邊形的面積．【答案】（1）見詳解（2）4-8【解析】（1）由矩形的性質可得∠D=90°AB∥CD從而得∠D=∠ANB∠BAN=∠AMD進而即可得到結論（2）由以及勾股定理得AN=DM=4AB=進而即可求解．【詳解】（1）證明∵在矩形中∴∠D=90°AB∥CD∴∠BAN=∠AMD∵∴∠ANB=90°即∠D=∠ANB又∵∴（AAS）（2）∵∴AN=DM=4∵∴∴AB=∴矩形的面積=×2=4又∵∴四邊形的面積=4-4-4=4-8．【點睛】本題主要考查矩形的性質勾股定理全等三角形的判定和性質熟練掌握AAS證明三角形全等是解題的關鍵．61．（2020·廣西）如圖在菱形ABCD中點EF分別是邊ADAB的中點．（1）求證（2）若BE＝∠C＝60°求菱形ABCD的面積．【答案】（1）詳見解析（2）2．【解析】（1）利用菱形的性質由SAS證明即可（2）證是等邊三角形得出BE⊥AD求出AD即可．【詳解】（1）證明∵四邊形ABCD是菱形∴AB＝AD∵點EF分別是邊ADAB的中點∴AF＝AE在和中∴（SAS）（2）解連接BD如圖∵四邊形ABCD是菱形∴AB＝AD∠A＝∠C＝60°∴是等邊三角形∵點E是邊AD的中點∴BE⊥AD∴∠ABE＝30°∴AE＝BE＝1AB＝2AE＝2∴AD＝AB＝2∴菱形ABCD的面積＝AD×BE＝2×＝2．【點睛】本題考查的是菱形的性質等邊三角形的判定與性質菱形的面積的計算掌握以上知識是解題的關鍵．62．（2020·湖南婁底）如圖中分別在邊上的點E與點F關于對稱連接．（1）試判定四邊形的形狀并說明理由（2）求證【答案】（1）四邊形為菱形理由詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）根據(jù)題意可證明再由可得到四邊形是菱形（2）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質即可求解．【詳解】解（1）四邊形為菱形理由如下由可得從而設與相交于點O∵點E與點F關于對稱∴且在和中∴∴又∴四邊形為菱形（2）∵據(jù)（1）C∴又∵∴∴．【點睛】此題主要考查菱形的判定與性質解題的關鍵是熟知全等三角形的判定與性質菱形的判定定理及直角三角形的性質．63（2022·湖南永州）如圖是平行四邊形的對角線平分交于點．(1)請用尺規(guī)作的角平分線交于點（要求保留作圖痕跡不寫作法在確認答案后請用黑色筆將作圖痕跡再填涂一次）(2)根據(jù)圖形猜想四邊形為平行四邊形請將下面的證明過程補充完整．證明∵四邊形是平行四邊形∴∵______（兩直線平行內錯角相等）又∵平分平分∴∴∴______（______）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形∴∴四邊形為平行四邊形（______）（填推理的依據(jù)）．【答案】(1)詳見解析(2)∠DBCBF內錯角相等兩直線平行兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形【解析】（1）根據(jù)作角平分線的步驟作平分即可（2）結合圖形和已有步驟合理填寫即可(1)解如圖根據(jù)角平分線的作圖步驟得到DE即為所求(2)證明∵四邊形是平行四邊形∴∵．（兩直線平行內錯角相等）.又∵平分平分∴∴．∴（內錯角相等兩直線平行）（填推理的依據(jù)）又∵四邊形是平行四邊形．∴∴四邊形為平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質角平分線的性質掌握相關性質并靈活應用是解題的關鍵．64．（2022·貴州貴陽）如圖在正方形中為上一點連接的垂直平分線交于點交于點垂足為點在上且．(1)求證(2)若求的長．【答案】(1)見詳解(2)【解析】（1）先證明四邊形ADFM是矩形得到AD=MF∠AMF=90°=∠MFD再利用MN⊥BE證得∠MBO=∠OMF結合∠A=90°=∠NFM即可證明（2）利用勾股定理求得BE=10=MN根據(jù)垂直平分線的性質可得BO=OE=5BM=ME即有AM=AB-BM=8-ME在Rt△AME中可得解得即有再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO則NO可求．(1)在正方形ABCD中有AD=DC=CB=AB∠A=∠D=∠C=90°∵∠A=∠D=90°∴四邊形ADFM是矩形∴AD=MF∠AMF=90°=∠MFD∴∠BMF=90°=∠NFM即∠BMO+∠OMF=90°AB=AD=MF∵MN是BE的垂直平分線∴MN⊥BE∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO∴∠MBO=∠OMF∵∴△ABE≌△FMN(2)連接ME如圖∵AB=8AE=6∴在Rt△ABE中∴根據(jù)（1）中全等的結論可知MN=BE=10∵MN是BE的垂直平分線∴BO=OE==5BM=ME∴AM=AB-BM=8-ME∴在Rt△AME中∴解得∴∴在Rt△BMO中∴∴ON=MN-MO=．即NO的長為．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質正方形的性質垂直平分線的性質勾股定理全等三角形的判定與性質等知識掌握勾股定理是解答本題的關鍵．65．（2022·湖南永州）為提高耕地灌溉效率小明的爸媽準備在耕地BC四個位置安裝四個自動噴酒裝置（如圖1所示）ABC四點恰好在邊長為50米的正方形的四個頂點上為了用水管將四個自動噴灑裝置相互連通爸媽設計了如下兩個水管鋪設方案（各圖中實線為鋪設的水管）．方案一如圖2所示沿正方形的三邊鋪設水管方案二如圖3所示沿正方形的兩條對角線鋪設水管．(1)請通過計算說明上述兩方案中哪個方案鋪設水管的總長度更短(2)小明看了爸媽的方案后根據(jù)“蜂集原理”重新設計了一個方案（如圖4所示）滿足請將小明的方案與爸媽的方案比較判斷誰的方案中鋪設水管的總長度更短并說明理由．（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)方案二(2)小明理由見解析【解析】（1）根據(jù)方案鋪設管道路線求解即可（2）證求出小明鋪設方案的水管的總長度進行比較即可得結果(1)解方案一（米）方案二（米）所以方案二總長度更短．(2)如圖作垂足分別為和．∵∴∴∵∴（米）總長度（米）∵∴所以小明的方案總長度最短．【點睛】本題主要考查正方形的性質三角形的全等證明根據(jù)題意靈活應用知識點進行求解是解題的關鍵．66．（2022·內蒙古呼和浩特）下面圖片是八年級教科書中的一道題如圖四邊形是正方形點是邊的中點且交正方形外角的平分線于點．求證．（提示取的中點連接．）(1)請你思考題中“提示”這樣添加輔助線的意圖是得到條件(2)如圖1若點是邊上任意一點（不與重合）其他條件不變．求證(3)在（2）的條件下連接過點作垂足為．設當為何值時四邊形是平行四邊形并給予證明．【答案】(1)AG=CE(2)過程見解析(3)證明過程見解析【解析】對于（1）根據(jù)點E是BC的中點可得答案對于（2）取AG=EC連接EG說明△BGE是等腰直角三角形再證明△GAE≌△CEF可得答案對于（3）設BC=x則BE=kx則再利用等腰直角三角形的性質表示EP的長利用平行四邊形的判定得只要EP=FC即可解決問題．(1)解∵E是BC的中點∴BE=CE．∵點G是AB的中點∴BG=AG∴AG=CE．故答案為AG=CE(2)取AG=EC連接EG．∵四邊形ABCD是正方形∴AB=BC∠B=90°．∵AG=CE∴BG=BE∴△BGE是等腰直角三角形∴∠BGE=∠BEG=45°∴∠AGE=135°．∵四邊形ABCD是正方形∴∠BCD=90°．∵CF是正方形ABCD外角的平分線∴∠DCF=45°∴∠ECF=90°+45°=135°．∵AE⊥EF∴∠AEB+∠FEC=90°．∵∠BAE+∠AEB=90°∴∠BAE=∠CEF∴△GAE≌△CEF∴AE=EF(3)當時四邊形PECF是平行四邊形．如圖．由（2）得△GAE≌△CEF∴CF=EG．設BC=x則BE=kx∴．∵EP⊥AC∴△PEC是等腰直角三角形∴∠PEC=45°∴∠PEC+∠ECF=180°．∴當PE=CF時四邊形PECF是平行四邊形∴解得．【點睛】這是一道關于四邊形的綜合問題主要考查了正方形的性質全等三角形的性質和判定平行四邊形的判定等知識．67．（2022·四川成都）如圖在矩形中點是邊上一動點（點不與重合）連接以為邊在直線的右側作矩形使得矩形矩形交直線于點．(1)【嘗試初探】在點的運動過程中與始終保持相似關系請說明理由．(2)【深入探究】若隨著點位置的變化點的位置隨之發(fā)生變化當是線段中點時求的值．(3)【拓展延伸】連接當是以為腰的等腰三角形時求的值（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)或(3)或【解析】（1）根據(jù)題意可得∠A=∠D=∠BEG=90°可得∠DEH=∠ABE即可求證（2）根據(jù)題意可得AB=2DHAD=2ABAD=4DH設DH=xAE=a則AB=2xAD=4x可得DE=4x-a再根據(jù)△ABE∽△DEH可得或即可求解（3）根據(jù)題意可得EG=nBE然后分兩種情況當FH=BH時當FH=BF=nBE時即可求解．(1)解根據(jù)題意得∠A=∠D=∠BEG=90°∴∠AEB+∠DEH=90°∠AEB+∠ABE=90°∴∠DEH=∠ABE∴△ABE∽△DEH(2)解根據(jù)題意得AB=2DHAD=2AB∴AD=4DH設DH=xAE=a則AB=2xAD=4x∴DE=4x-a∵△ABE∽△DEH∴∴解得或∴或∴或(3)解∵矩形矩形∴EG=nBE如圖當FH=BH時∵∠BEH=∠FGH=90°BE=FG∴Rt△BEH≌Rt△FGH∴EH=GH=∴∵△ABE∽△DEH∴即∴∴如圖當FH=BF=nBE時∴∵△ABE∽△DEH∴即∴∴綜上所述的值為或．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質矩形的性質等腰三角形的性質勾股定理等知識熟練掌握相似三角形的判定和性質矩形的性質等腰三角形的性質勾股定理等知識是解題的關鍵．68．（2022·內蒙古赤峰）同學們還記得嗎？圖①圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩個圖形．受這兩個圖形的啟發(fā)數(shù)學興趣小組提出了以下三個問題請你回答(1)【問題一】如圖①正方形的對角線相交于點點又是正方形的一個頂點交于點交于點則與的數(shù)量關系為_________(2)【問題二】受圖①啟發(fā)興趣小組畫出了圖③直線經(jīng)過正方形的對稱中心直線分別與交于點直線分別與交于點且若正方形邊長為8求四邊形的面積(3)【問題三】受圖②啟發(fā)興趣小組畫出了圖④正方形的頂點在正方形的邊上頂點在的延長線上且．在直線上是否存在點使為直角三角形？若存在求出的長度若不存在說明理由．【答案】(1)(2)16(3)或【解析】（1）由正方形的性質可得根據(jù)ASA可證由全等三角形的性質可得結論（2）過點O作交AD于點M交BC于點N作交AB于點T交CD于點R證明△進而證明（3）分別求出由勾股定理可得方程求出x的值即可．(1)∵四邊形ABCD是正方形∴∠∵是對角線∴∠∴∠∵四邊形是正方形∴∠∴∠又∠∴∴∴故答案為:(2)過點O作交AD于點M交BC于點N作交AB于點T交CD于點R如圖∵點O是正方形ABCD的中心∴又∠A=90°∴四邊形ATOM是正方形∴同（1）可證△∴(3)∵四邊形均為正方形∴∠∵CG在CD上∴又CE在BC的延長線上∴設則在中在中延長ADCE交于點Q則四邊形是矩形∴∴在中若△為直角三角形則有即整理得解得∴或【點睛】本題主要考查了正方形的性質全等三角形的判定與性質矩形的判定勾股定理等知識正確作出輔助線是解答本題的關鍵69．（2022·廣西玉林）如圖在矩形中點E是邊上的任一點（不包括端點DC）過點A作交的延長線于點F設．(1)求的長（用含a的代數(shù)式表示）(2)連接交于點G連接當時求證四邊形是菱形．【答案】(1)(2)見詳解【解析】（1）根據(jù)矩形的性質可得然后可證進而根據(jù)相似三角形的性質可求解（2）如圖連接AC由題意易證四邊形是平行四邊形然后可得進而可證則可證最后問題可求證．(1)解∵四邊形是矩形∴∵∴∴∵∴∴∵∴(2)證明由題意可得如圖所示連接AC在矩形中∴∵∴四邊形是平行四邊形∴∴∵∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴四邊形是菱形．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定矩形的性質及菱形的判定熟練掌握相似三角形的性質與判定矩形的性質及菱形的判定是解題的關鍵．70．（2022·山東威海）如圖:(1)將兩張長為8寬為4的矩形紙片如圖1疊放．①判斷四邊形AGCH的形狀并說明理由②求四邊形AGCH的面積．(2)如圖2在矩形ABCD和矩形AFCE中AB＝2BC＝7CF＝求四邊形AGCH的面積．【答案】(1)①菱形理由見解析②20(2)【解析】（1）①根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可②設AH=CG=x利用勾股定理構建方程即可解決問題（2）兩個矩形的對角線相等可得出EC的長設AH=CG=x利用勾股定理以及邊長之間的關系可