數(shù)學(xué)公式大全

因數(shù)彳固數(shù)：

aA=pap%c，其中卷正^因數(shù)，a,b,ceN，即J

(1)。之正因阿固敦=(a+1)0+1)(。+1)

(2)力之因知固數(shù)=2-(c+l)

(3)工之正因數(shù)g恩和=Q+p+/+…+/)Q+g+g2+…+/)(1+=+戶+…+產(chǎn))

正因?一救(wlXfrHXeH)

(4)工之正因數(shù)乘稹2

=AA~~2-=(四/?產(chǎn))

找因數(shù)：

⑴2之倍數(shù)o末位懸偶數(shù)

(2)4之倍數(shù)Q末雨位懸4之倍數(shù)

⑶8之倍數(shù)o末三位懸8之倍數(shù)

(4)5之倍數(shù)o末位懸0或5

⑸3之倍寰攵o數(shù)字之和懸3之倍數(shù)

(6)9之倍數(shù)o數(shù)字之和懸9之倍寰攵

⑺11之倍數(shù)0(奇位數(shù)字和)-(偶位數(shù)字和)恰^11的倍數(shù)

(8)7(13)之倍數(shù)o

末位起向左每三位:^一^^(第奇數(shù)彳固^^之和)一(第偶數(shù)彳固之和)懸7(13)之倍數(shù)

^數(shù)椀瞬：

P^N>p>1，若r波有小於等於新的正^因數(shù)，p數(shù)。

尤拉公式：

ar

=§A=p-q^r，表^因數(shù)，a,P，Y^N

(1)不大於力而輿工互^者：

AI--)(I--)(I--)B

Pqr

⑵不大於工，舄p的倍數(shù)但不懸倍數(shù)者有

Pqr

(3)不大於工>篇p,g的倍數(shù)但不^r的倍數(shù)者有

Pqr

因倍數(shù)及公因數(shù)，公倍數(shù)性^:一

(1)a,b,deZ，若d\a,d\b，印Jd篇a,?之公因數(shù)

(2)a,c且(a?)=l，即a\c

(3)a,beZ，(a⑼=d>郎」必有二整數(shù)m,n，使am+Im=d

(4)a,beZ,若(@力)卜,6]=因

鞭醇相除法原理7~

若a,bez,5Ho，若a=Bg+r，0<r<|6|1geZ，即(a,b)=(b,r)

整數(shù)解：」

(1)初-ax，如=0型化懸(x+i>)(_y+a)=ai>->(a,i>)pi

(2)ax+力=c(a,瓦整數(shù))有整數(shù)解O(a/)|c

[a,b]

x~--___-t

⑶若已知有一解(/然)，即J[’「]teZ

y-y,——

有理數(shù)、^數(shù):

(1)有理數(shù)：凡是能嘉成形如-(a力都是整數(shù)，且3H0)的數(shù)叫有理數(shù)。

O

(2)a,b,c,deQ)&e。，若a+B/=c+d④=a=c且b=d

(3)整數(shù)之雕散性：音殳a,beR，若。工5，即J|a-321(不等整數(shù)之距胃隹至少懸1)

⑷^^之稠密性：言殳a,beR，若“小，即存在ce&，使a〈c〈力

⑸瞪輾理數(shù)之另一方法：Sta卷一方程式/。)=0之根，但/(x)=0沒有有根，或有理根不可

能懸a。

禊數(shù):

(1)若a,beR，HZ=a+bi，即JZ之^部R(Z)=點(diǎn),Z之虛部l(z)=b，

一11

又Z=a-Ji=&(Z)=_(Z+Z)，Z(z)=—(z-z)

22i

(2)2=ZoZ^^數(shù)：

Z=ZKZHOOZME虛敷OZ2<0

(3)若a,b,c,deR'ZeR'a+bZ=c+dZ,^0a=cb=d

,A.n,,-r.t-c+diac+bdx+diad-be

(4)言殳a,b,c,deR，即JR{--)=—~~r;i(--)=-~~r

a+bia+ba+bia+b

(5)/(x)MWfW'a,，，即J〃aF)-/(a+歷)=/1+-)

等差輿等比公式：

⑴級(jí)數(shù)成等差，若首項(xiàng),，公差d，

即Jan=%+（力-l）d；

S*=/%+%卜到2%+伽_1）引

⑵級(jí)數(shù)成等比，若首項(xiàng)/，等比廠，

即J4=。產(chǎn)；

r-1l-r

若r=1，S*=nax

和級(jí)數(shù)：倒數(shù)成等差，故可用等差公式。

濰級(jí)敦公式：

⑴速稹之和

⑷1+2+3+-+%=萬(wàn)力(%+1)

⑻112+2'3+---+?(?+!)+1)(?+2)

123+234+…+%(%+1)(加-2)=+1)(%+2)(%+3)...(依此^推)

⑷■丁w(g-我)

1

5￡^5(上+1>2,

kfclk

vk-2_5-22

⑶乙丁_])住+2)=，三瓦一2斤1

(2)(a)]+(l+2)+???+(1-2+3+???+%)=—?(?+1)+2)

6

(b)l,?+2(??-l)+---+(?-l),2+??'l-—?(?-1)(〃+2)

6

趣鱷等比數(shù)列及級(jí)數(shù)之歙散

若H<i、即」

(a)趣鱷等比級(jí)數(shù)

產(chǎn)〃

>.「產(chǎn)=a+ar+ar2+--?=-----

Z11-i

(b)輾鱷雄級(jí)數(shù)

91

Snrn~l=1+2r+3r2+…=--------

白(1一)3

罪翳循猿小數(shù)，罪鱷黑何級(jí)妻攵：

⑴循璟小數(shù)化懸輾鱷等比級(jí)數(shù)求之

⑵化^數(shù)字9之級(jí)數(shù)

⑶量嬴=abcd-ab（其他^似）

990

⑷罪鱷黑何級(jí)敦求法要令直：先求首項(xiàng)及公比

距蹄公式：

（1）A（“I，A（X?,為）＞

期」—=削為+勺）2-?+乃）2

⑵A4FC中到三項(xiàng)黠等距支黠懸外心

⑶4（和乃），4（々，為）,…,4（4，%）,

期」取?+西?+…+西2

在尸（…+.+/,M+乃+.+乂州寺，崖生最小值。

nn

分黠公式：

./、n/、工?m

工（公，乃），§（叼,必），==^=—

PBn

（a）若A-P-B

即JF/]+F&22）或（竺上咨號(hào)i+為

1+r1+rm+?-活+n

（b）若A?B?P（或P-A-B），

期Jp或（啊一出必一叫

1-rIT-m+n-m+n

（c）AABC中,A（再,為，BO2J2）'C（弓,乃），重心懸G5

外JG=（再+一+兩三+乃+乃）

斜■率：m

(1)O活四=』(孫萬(wàn)?(芻，乃)，

若再X々，即JmAB="":

與一再

若々=馬，即J前輾斜率(不加以定羲)

(2)直名泉L之斜率m，RIJ

1?m〉0，，即右上升7；

m<0'削J右下降\；

m=05懸水平

2?帆|越大，即越接近^直；帆|越小，即J越接近水平。

&I4on=n

(3)之斜率分別懸的,加2

(。_LZj=引啊=-1

1

(4)AB,C三黠共O陷1s=mBC

直^方程式：

⑴黠斜式：A(再,乃)>且斜率m之直名泉懸尸乃=啾工-再)

⑵斜截式：斜率m，截距b之直^^y=mx+b

⑶麗黠式：遇IA(再J1)'B(X1J1)且電h電

郎」AB:--.=乃'(x-內(nèi))

(4)截距式：x截星取，y截旦的,且abxO之直^^-+^=1

ab

(5)A:?］五+4y+q=0，￡j:axx+b2y+c2=0，

即質(zhì)。甄交黠之直冬泉可言殳M率+瓦y+q)+y+0)=0

(6)遇產(chǎn)@切又在P黠i之象限輿雨觸111成最小面稹之直—+^=1'

2a2b

而最小面稹=2|aZ>|

封耦黠及封耦方程式：

封耦觸（黠）A（xo,yo）之封耦黠坐襟HI形f（x,y）=0之封耦圈形

(0,0)A'(-xo,-yo)A-x,-y)=0

(a,b)A'(2a-xo,2b-yo)A2a-x,2b-y)=0

X觸1A,(xo,-yo)Ax,-y)=0

丫審由A'(-xo,yo)A-x,y)=0

X=hA'(2h-xo,yo)A2h-x,y)=()

Y=kA'(xo,2k-yo)Ax,2k-y)=0

X+Y-k=0A'(k-yo,k-xo)Ak-y,k-x)=0

X-Y-k=()A'(yo+k,xo+k)Hy+k,x-k)=0

(a)：x+y-k=O4=7；x+y-k=O=口+:

y=k-xy=x-k

由此可"助言己ft最彳爰二彳固公式

菱形典正方形之m形：

若a>0，5>0，劃區(qū)+因=1之圈形懸一菱形（a=b即懸正方形），

ab

而其凰成面稹:MA[^-a.b]=2ab，富然叵二包+比*=1之圈|形亦:M菱形，

2ab

只不遇中心懸（h,k）而已，故其面稹仍懸2ab。

三角型面稹:

金（再，為）、8（為，珀、co]，必）

X］匕1

RIJaAABC=-I%41

2

過(guò)41

一元二次方程式

言殳a,b,ceR，a0封於ax2+bx+c=O中

...-b±yjb2-Aac

⑴x=------------

2a

(2)b2-4ac>0二相昊^根，b2-Aac=0相等^根，b2-4ac<0共聊虛根°

(注):若a,b,ceQ，且V-4數(shù)卷有理數(shù)之平方=根懸相巽有理根

⑶根之正負(fù)息殳^保敦二次方程式ax2+bx+c=O的麗根懸a、0

1.a'尸皆激正根O(a)b2-Aac>0(b)i2-4ac>0(c)〃〉0

2.a'尸皆懸負(fù)根O(a)b2-4ac>0(b)i2-4ac<0(c)a0>O

3.a'/懸同虢(皆正或負(fù))O/_加。20且a￡>0

4.a、〃懸昊虢(一正根一:a根)O的<0

5.a、/懸觸虛罷攵ob=0且a/7>0

根輿保數(shù)用保

⑴若a>ax2+bx+c=0(aw0)之麗根

bc)

=>a+/=一一,>a/3=—'aa+ba+c=Q,a/39+bj3+c=0

aa

(2)aa+b=--，a/3+b=--，aa2+c=-ba，a#2+c=-3?

aB

二次函數(shù)：

y=/(x)=ax2+i>x+c(ax0)

=?X+_L)2+處士之圈1形拋物

2a4a

⑴IB形座襟：(之專Q)

2a4a

⑵和解由：x==

2a

⑶&>0=^口向上=有椀小值竺44『c—

4a

⑷a<0=口向下n有梅大f直號(hào)二

4a

最小二乘方定理

言殳出色,...，4eR，已知

/W=(X-,)2+(X-出尸+…..+(X_%)2

，期富才=工^(算雨平均黝畤，有最小值=〃&++%)

nn

比敕

黜,42,…,%eR'

〃乃=卜一4+卜一聞+…+Q%|，且為24...4%，

即徵取i,%，……，%之中位數(shù)31M2,……，%之居中小之黝疇，有最小值

由二次圈形求不等式之解集

(令")：

y=ax2+bx+c=a(x(x-a)

(l)a>0日寺，

1、ax2+8x+c20o;r4月或x>a

2'ax2+8X+C〈0=￡<X<￡Z

(2)a<0日寺，

1'ax2+bx+c>0?>/7<X<￡Z

2'ax2+bx+c<Q^>x<0或x>c

恒正恒負(fù)修件

/(x)=ax2+bx+c5a^O

(l)VxeR'/(x)>0區(qū)成立O(

a>0

(2)VxeR'/")4。慢成立=(

b24ac<0

多項(xiàng)式之基本性^

⑴若」(x)一多項(xiàng)式，刖一切保數(shù)之和=/(1)

1'一切奇式項(xiàng)之保數(shù)和=1[/(1)-/(-I)]

2、一切偶式項(xiàng)之保數(shù)和=1[/(1)

⑵多項(xiàng)式之相等

1'/?=g(x)O同次向耀保黝目等

2、任何值a代換x，應(yīng)有/⑷=g(a)O/(x)=g。)

3、/(x),gS)不超遇匕次，只要有n+1以上之值帶入相等，即」/(x)=g(x)=

(其逆卷真)

除法鷹用

⑴求/Cats')之近似值：

化/(x)=4+4(x-a)+4(x~a)+...

再以a士￡代入，遹富略去彳爰面部分可得所求。

⑵除法求值：

若a卷V+ax+&=0之一根，/(x)一多工直式「求丁㈤日寺，

可用除法求出Q(x),用x)，使/(x)=(%2+ax+b)Q(x)+R(x)-M!J1/(a)=O+R(a)

繪式定理跟因式定理

(1)繪式定理：

/(X)=(x-c)Q(x)+/(c)(/(x)除以x-c之繪式懸/(c))

(2)因式定理：

x-c[/(x)O/(c)=0又a，且/(a)=0/9)=0O(x-a)(x-8)|」(x)

求繪式之假^法

⑴1、/(x)=(x-a)C(x)+/(a)

2'/(x)=(x-a)(x-b)Q(x)+kx{x~a)+f{a)

3、/(x)-(x-a)(x-6)(x-c)Q(x)+k(x-6t)(x-b)+l(x-a)+f(x')

(2)f(x)=(x-a)(x2+&x+c)Q(x)+k(>2+力x+c)+叩+〃

而mx+n懸_/(x)除以，+以+c之繪式

⑶[y(x)?Q(x)+長(zhǎng)(切*除以g(x)之繪式=氏⑶*除以/(x)之繪式

(4)犬-a除/(%)之繪式=/(x)卜*~a

(5)/(x)=4+4(x-a)+4(x-a)2+..…

R1）/。）除以（x-a）2之繪式懸4+4（x-a）

牛頓定理（一次因式之檢膿）

(1)/(x)=asx+...+aix+at)Gz[x]，p,geZ

(PM)=1，若/(x)有px+q之因式，即Jp\ax>^|a0>0k

⑵若px+q^1/(x)之因式，M'J^+<7

p-q+q/0)(幽eZ)

最高因式典最低公倍式

⑴利用析因式法

（先分解以知式，在覲察共同因式）

⑵利用鞭傅相除法

（到整除日寺之最接除式懸最高公因式）

⑶利用和差法：

d(x)火x)，d(x)|g(x)=>d(x)|w(x)/(x)+n(x)g(x)

⑷c/(x),g(x)).[/(x),g(x)]=燈＞(x)常黝

n次方程式:

(1)代數(shù)基本定理:每一n次程式，只要?>1'至少有一彳固1復(fù)數(shù)根。

(2)k重根算k/固，即Jn次方程式有n彳固。

⑶^保數(shù)方程式之虛根成共聊堂寸出現(xiàn)。

又理保數(shù)方程式若有根式之根，亦成共聊封出現(xiàn)。

(4)/(x)'刖/(z)=7^)

中^值定理輿勘根定理

⑴言殳/(x)懸一速^函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù)必卷速東勖，

若a>b且/(a)./(i)<0，即必有一根介於a典b之^。

⑵若a<b，k重根算k偃I根，即

1、/3)?/俗)<0=有奇數(shù)彳固根。

2、>0n根或有偶數(shù)彳固^根

⑶利用勘根定理可勘查輾理根位置，以求輾理根之近似值。

(用二分逼近法或十分逼近法)

(A)指數(shù)率:

(1)am-an=am+n

⑵〈=什

a

(3)

(4)L=3

a

(5)aQ=l

1m__

(6)&五=幅，&五

(7)an+2+bn+2=(an+1+bn+1)(a+b)-ab(an+〃)

an+2-bn+2=(<2n+1-bn+1^(a+b)-ab-bn)

(B)根數(shù)率:

'a>0，b>0

⑴<a>0'b<0y/a*4b=-Jab；a<0'b<0=~4ab

a<0，b<0

'a>0，b>0

⑵<a<0，b>0a>0，b<0

a<0，b<0

(C)堂寸數(shù)定羲及性^:

(1)lxb>0，a>0,ah1，即log*=c=b=(定羲)

⑵loga(a)=x；al°ga'=x(定羲之推者俞)

(3)建算：

⑴lOga儼)=moga匕

(2)logaAB=logaA+logaB(但A>0，B>0)

A

(3)log-=logA-logB(但A>0'B>0)

flDflfl

(4)log,匕=臀=譬擔(dān)(摸底公式)

logalog/

(5)loga?log&c,logcd=logfld健^原理)

⑹叫力區(qū))=，暇匕；1咋(產(chǎn))=1空/

⑺logab?log&a=l(倒黝I(lǐng)劇系)

(8)/噸鏟=/%產(chǎn)

(D)指數(shù)函數(shù)及封數(shù)函數(shù)圈形：

(1)丁=/(工)=/及1y=log?x之IB形如下：

⑴a>l(增函黝(2)0<a<lC咸函數(shù)

a>b>l

(l)x>0日寺，1y=，的HI形區(qū)在1y=占"置1形的上方

x

(2)x<0日寺，1y=，的圈形區(qū)在y=b圈形的下方

(E)指數(shù)輿室撞攵方程式：

(1)指數(shù)方程式：

(a)a=an/(x)=g(x)°

(b)4"*)-//便=雨方取封數(shù)解之。

(0指數(shù)常數(shù)化懸保數(shù)。

(d)必要日寺遹富化改^之方程式先解之。

(2)某搜攵方程式：

(a)先列出有意有之基本之限制

(真數(shù)>0，底數(shù)>0，底數(shù)*1)

(b)可化^同底畤：

10ga=logcn/(x)=g(x)

(c)不可化懸同底日寺

利用摸底公式求之。

(d)求得之解代入之有意羲限制，除不合者。

⑥必要日寺令log]""，2之方程式解之。

(F)指數(shù)不等式典封數(shù)不等式：

⑴指數(shù)不等式：

(1)底數(shù)相同日寺：

(a)a>OM!Ja"，，>as(x)=>f(x)>g(x)

(b)0<a<1即Ja，⑴><2虱》=/(x)<g(x)

⑵底數(shù)不同，雨方取封數(shù)

(3)必要畤，令a〃')=￡，常數(shù)指數(shù)化懸保數(shù)，樽成t之不等式。

(2)堂攫攵不等式：

(1)先注意筆寸數(shù)有意羲之限制

(2)底數(shù)相同日寺：

7W>o

(a)若a〉l欲解logfl/(x)>logag(x)=>^g(x)>0

〃x)2g(x)

?(x)>0

(b)若0<a<1欲解loga/(x)>logflg(x)n<g(x)>0

/(x)2g(x)

⑶底數(shù)不同畤=>摸底

(4)下列可富公式用(常然也可以直接言寸言制

(G)常用舉艘攵：

(1)以10懸底之封數(shù)，耦常用筆播攵，常省略其底，即loga=181。幺

⑵科阜言己虢表示法：若a〉0，即存在?eZ，使a=M0M，且1<6<10

⑶言殳a〉0且a=10"i'l<2><10=>loga=w+logZ>，145410，04log占<1不再n卷loga之首數(shù)，

logb不再:Mloga之尾數(shù)

(4)logx之首數(shù)5=[logx]5logx之尾數(shù)=logx-[logx]

⑸若521且logb之首數(shù)焉m，即Jb之整數(shù)部分:Mm+1位；

若0<b<1且logb之首數(shù)懸m，即b在小數(shù)黠彳爰最初有|同7彳固0。

(6)首數(shù)=>判斷位數(shù)：尾數(shù)了解用到之?dāng)?shù)字(有效之?dāng)?shù)字)。

例如：log345000之首數(shù)卷5；尾數(shù)log3.45

log0.0345之首敷-2；尾數(shù)log3.4!

⑺An位數(shù)0?-<logj4<n

(8)LogA之首數(shù)懸nQ?<log<?+1<^>logA=n+b50<6<1°

(9)LogA輿logB之尾數(shù)相同=>logA-logB懸整數(shù)

例如：logx之首數(shù)卷1且log/典log4之尾數(shù)相同，求x可利用此原理

X

(10)log2=0.3010，log3=0?4771?Iog5=l-log2=0.6990，log7=0.8451

(H)加弓金及注意：

zn〃、以“一尸

?

l+〃x)

"%"l-7(x)

1+x

⑵/W=10g--，

1-%

MO=+、/(產(chǎn))=/0)+/(z)

1+㈤i-yz

⑶a，b均正，ax-by=(ab)x=>xy=xz+zy

111Tc

=_=_+_或x=y=z=0

zxy

(4)2*=3〉=5'，比較2x，3y，5z之大小畤

x，y，z^正=5z>2x>3y；

x=y=z=0n2x=3y=5z

x，y，z=5z>2x>3y°

(5)判斷A+B焉黑位數(shù)，可先求A之位數(shù)及首位數(shù)字；

B之位數(shù)及位數(shù)字然彳爰判斷A+B位數(shù)。

(6)alogbX=7X或a"在'=7X2rx型，

郎」刖方取log,，可化曾成log’x之代晏攵式,在令log^x一解之。

10e

⑺由logb(a^)=(logbc)(logba)

=Qogba)(logbc)=log/Qw)

n/。當(dāng)c二/唱”

(A)角之度量：

⑴弧度：弧是等於半彳鎏所封圜心角穗一弧度，麓耦一巡.

⑵弧^s，半^r，所堂寸HI心角9=屋Ks=rff)

r

(3)一周角=360°=2萬(wàn)

n；z■整=180°

=>1巡=空=57°17'45'

萬(wàn)

=1度=割整三0。1745集

(4)如右圈:

扇形面稹A=-r2e=^-rs

22

弓形面稹=(扇形面稹)-(三角形面稹)

=—r28--r2sinH

22

1,

=—r2(8-sin6)

(e表Bl心角之度量)

(5)常用角度之換算表：

D度0°30°45°60°90。

共元re又

R0

~6435

(A)角之度量：

sin”理ab

斜遏C斜逶c

⑴-=需acot.=1|=b_

b，a

sec"贅?biāo)?ccs電量遽=c

黃隧b番搪a

⑵位於檄型位置之角冬冬遏上之一黠P(x，y)(x#O，y^O)，M'J

sin0=,.;cosQ=.

42+.24X，+.2

yx

tan8=—;cot6=一

xy

sec0=-------;esc6=-------

xy

(1)三角函數(shù)直在各象限之正負(fù)：

第一象限第二象限第三象限第四象限

sine,esc?++--

cossec8+--+

tang,cotP+-+-

⑵函數(shù)值之增減(在第一象限):

sin<9，tan6，sue增函數(shù)

cos8，cot。，esc8懸，咸函數(shù)

(E)基本不等性

(1)|sin^|<1,|cos0|<1

-1<sin<1,-1<cos<1、|sec^|>l,|csc0|>l

■rr

(2)若0<3<—，知」sinP<0ctanP<sec6

2

若半(%ez)，郎」|sin^|<|tan5|<|sec^|'|cos^|<|cot<|csc^|

(3)|tan5+cot^|>2；|sin^4-csc^|>5/2

-J/+5。X，cos8+占sin夕乂Jv，+。

(F)基本恒等式：

⑴倒數(shù)居昌保：

sin6?csc8=l；cos8?secP=l；tan8?cot6=l

⑵平方

sin，8+cos?8=1；l+tan'e=sec*6；1+cot26=esc2Q

⑶商數(shù)居身保：

.sin3.cos8

tan6=-------,cot5=—―-

cosHsinff

⑷次要，直等式:

1、sin'e+cos'e=1-3sin?8?cos'8

sin48+cos，8=1-2sin28?cos，Q

2'1-2sin^?cos^=(cos^-sin^)2

1+2sin8，cos8=(cos6+sing?

(G)化任意之三角函數(shù)^^角三角形函數(shù)值：

任一角之三角函數(shù)值，通常由某一^角

之三角函數(shù)數(shù)值求出，其求法如下：

(1)負(fù)角之三角函數(shù)：

sin(-8)=-sin8；esc(-8)=-esc6

tan(-8)=-tang；cos(-8)=-cot6

但cos(-^)=cos&；sec(一4)=sec8

1、n焉偶數(shù)疇:

?rr

/(如5±。)=符螂(6)

?rr-rr-rr

例：sin(閥y±8)=符虢sin?、cos(??—+61)=cos8、tan(萬(wàn)，萬(wàn)±8)=符虢tan8

2'n卷奇數(shù)日寺：

了(〃］±8)=符嬲繪畫黜0)

?rr-rr

例：51口伽?5±8)=符虢。058、。0傘?5±8)=符版13118

⑵空棚符虢乃要吾人填“+”虢或“，，其取正或負(fù)需視6卷正^角日寺，

閥?±±8在第襄象限，封左遏原三角函數(shù)言亥逗正或翼。

2

(H)三角形a+b+c=2s之一些信封保：

(1)2L4BC中，乙4，NS，NC分別以，A，B，C代表；

a，b，c依序表乙4，乙5，/C之筆寸遏是；s=a+b+c,

2

r表內(nèi)切［H半彳至，R表外接圄半彳至，

Gf，r依次表乙4，乙9，/C之內(nèi)部之傍切IH半^

(2)BD=BF=s—bjAE=AF=s—a5CD=CE=s—c5

A

內(nèi)切［H半彳箜r，RIJ△(面稹)=s?r，而tan：=——R

2s-a

(3)AE=AF=s；BD=BE=s—c；CD=CF=s—b

n△(面稹)=G(s-a)

tan-=^-(看匱|推出)

2s

(I)三角形之面稹公式：

畦田C之面稹

=-absinC=—besin-4=-casinB

222

=Js(s_a)(s-b)(s-c)

=-a-h=-b?h=-c?h=r、s

2Q2b2，(

=-a)=G?(S—切=弓?(s-c)

abc

~7R

(J)遏形信鼾系之重要定理：

(1)正弦定律：

，-=上=上=2衣=也

sinAsinBsinC2A

?+3+c

sinA+sinB+sinC

盤主)：求外接IB半彳箜R，可由正弦定律求之。

(2)繪弦定理:

i24-c2-

1-a=b+c-2bccosA=cos/=------

2bc

2.22

2?b2=c2+a2-2accosB=cosB=----------

2ca

2.J2_2

3,c2=a2+b2-2abcosC=CGSC=------------------

2ab

a=6COSC4-CCOS5

(3):投影定律：4b=ccosA+acosC

c=acos8+8cosA

(K)解三角形：

(1)由已知之褊率茸角，求未知之遏輿角，叫解三角形。

(2)S.A.S之解法：第三遴用繪弦定律求出

n在利用正弦定律求出另刖角。

(3)S,S.S之解法：利用繪弦定律求出各角

(4)A.A.A之解法：利用三角度量和=180°求出第三角形，

利用正弦定律求其他遏房。

(5)S.S.A之解法:

例如：已知a，b及一角//由a輿b之大小

n乙4典“輿之大小，可知NB是否可能懸直角、金屯角，

再由二;=々；，求出(可能輾解或一女且解或二解)

sinAsinB

(L)測(cè)量：

測(cè)量?jī)最}：

(1)方法：彳他已知脩件作三角形之^^園1形，

利用解三角形求出所要之遏房或角度。

(2)題型：

1、II方向求高度(覲測(cè)者向目檄移勤或仰視、俯視)

利用直角△解之

2、多方面求高度

=作立醴圈形，樽成地面之三角形解之。

3、航行方位冏II

=由平面之方向作成平面之三角形解之

(A)和角公式：

⑴主要：

cos(a-￡)=cosacos/7+sinasin0

cos(a+⑸=cosacos/7-sinasin§

sin(a+0)=sinacos￡+cosasin0

sin(a一口)=sinacos￡-cosasin/?

/,tana+tan/

tan(a+￡s)=----------—

“、1-tan?tan0

(3)八

tan(a-切=百時(shí)血尸

1+tanatan/?

/_cot/cota-1

cot(a+￡)s=------------

cot/+cota

(4),

/八、cot/cota+1

cot(a-p)=------------

cot￡一cota

⑵推質(zhì)

小csin(a+￡)

(1)tana+tan/7=----------------

cosacosP

(2)tana—tanZ^^^l

cosacos￡

“、csin(〃+a)

(3)cota+cot?=--------------

sinasin0

/八0sin(〃-a)

(4)cota-cot0=--------------

sinasin0

(5)sin(x+y)sin(x-y)=sin2x-sm2y=cos21y-cos2x

(6)cos(x+y)cos(x-y)=cos2x-sm2y=cos2sin2x

⑶正繪切和角公式之一次化

(1)丫=a+￡

=tany-tana-tan口=tanytanatan?

(2)。+0+/=幾

(a)tana+tan/7+tany=tana?tan/??tany

.a06yya.

(Zb1)tan—tan—+tan—tan—+tan—tan—=1

222222

a

/、BYa、0Y

(c)cot—+cot—+cot——cot—cot—cot一

222222

(d)cotacotW+cot/coty+cotycota=1

(B)倍角公式

(1)

(1)sin2>=2sin8cos8(由sin(6+8)推之)

(2)cos20=cos2ff-sin23

=2cos'-1=1—2sin2

2tan6

(3)tan26=-------

1-tanQ

cot*8—1

cot2&=

2cot。

2tan&

(2)sin28=

14-tan2Q

1-tan2

cos20=

14-tan28

⑶

⑴sin3^=3sin0-4sin3Q

(2)cos38=4cos'8-3cos8

⑷年甫助公式：

⑴sinesin(60°-0)sin(6CT+8)=Lin38

4

(2)cos8cos(600-&)sm(600+&)=-cos30

4

(3)tan6tan(6(T-ff)tan(60"+&)=tan30

(C)半角公式

a

e/i-cose（士虢隨（在第襄象限而定）

&/14-COS0（墉隨?在第黑象限而定）

COS—=±4----------------

272

3,/1-cos^sin?

tan一=±』-------

271+cosHl+cos8

1-cos6_1-cos8+sin0

sin?1+cos8+sin6

—cos6=2sin2—

Q2

cot一

2

1+cos?=2cos2—

2

g

(2)言殳tan—=2

2

口"c2dc172c2t

到Jsin8=----7T，cos5=-----5-‘tan^=-----：

1+Fl+/一

72T

QQ(-±g)l-cos(-±g)1±siag

(3)tan(~±-)=tan

2sin(^±^cos8

(D)和差輿稹互化

(1)sina+sin￡=2sin土吆cos^~—

22

sina-sin0=2cosJ^sin—~—

22

a+「a-0

cosa+cosp=2cos—:—cos---

cosa-cos/=-2singsin?J

(2)2sinacos￡=sin(a+?)+sin(a-0)

2cosasin/?=sin(a+/?)-sin(a-0)

2cosacos0=cos(a+/7)+cos(a-/7)

2sinasin￡=cos(a-￡)-cos(a+0)

(3)a+?+y=然日寺，即J

QAaPY

(1)sina4-sinp+siny=4cos—cos—cos—

小\0-..a.6.y

(2)cosa+cosp+cosy=14-4sin-sin—sin—

(3)sin2a+sin2/74-sin2y=4sinasin尸siny

(4)cos2a+cos2￡+cos2y=1—4cosacosfcosy

(E)常見求趣值：

(1)acose+Bsin8

=J42+&2(a-cos8+］匕sin6)

JI+/

=da"+b"sinS+8)(其中sin^=-^X=)

Va2+b2

a

=也^+/COS每(其中cos.)

7a2+b2

(2)acos2x+bsinxcosx+csin2x

,l+cos2x、，/sin2x、A-cosx

=儀---)+b(——)+c(--_)s

=看+勺皿2x+cos2x(可利用⑴合鈾

(3)/(x)=(2+力(sinx+cosx)+csinxcosx

可令sinx+cosx=2，-y/2<t<42

sinxcosx=—(Z2-1)

=2

f(x)=a+bt+-(t2-T)

-2

(4),cosxcosy+Bcosxsiny+csin<y/a2+i2+c2

(F)三角形遏角信削系之禱充公式:

A+B

,,tan-------

(1)正切定律：一一/力

a—13nx

2

,B(s-c)(s-a)..Cks-a)(s-b)

(2)sin—=sin—=J----------------

2ca2Vab

BC，s(s-c)

cos一cos—=.1---------

22Y加

Al(s-Ws-c).

tan—=

2s(s-a)

(3)分角^:

三殳AB^,AHBC之一分^且ZA=a>AB=c>AC=b

-11

--

8c

(4)中^:

"BC之中名泉，即

----2-----2-----2----2

AB+AC=2AD+2BD

⑸高：三遏是比=a.b：c=—：—：—

0&%

(G并復(fù)數(shù)之名色封值：

(1)含殳Z=a+bi(a^beR)，

MIJ團(tuán)=-eK，且不懸負(fù)

⑵IS、Z)eC、

即」周+附之/士刃

I田一%|歸區(qū)±見

⑶言殳Z?'wC，

期」區(qū)1卜園|=區(qū)i%］；

N=A

區(qū)|z

(4)z.z=|z|2=|z|2=?|z|=l>

——1

刖Z?2=1=Z=_

Z

⑸W=OQZ=O

(6)4=藥+乃i>?2=馬+必i

即J|Z1-Z21=7^1-X2)2+Ol-72)2

表4照2之距雕

(H并復(fù)萋她色封值之黑何意羲：

⑴言殳Z]'ZeC且Z]'Z?在未復(fù)數(shù)平面上

所封之黑占卷耳'舄，

明亡司=%一乙卜眄

⑵分黠公式：

在H數(shù)平面上，言殳F(Z),耳(㈤,月氏)'

￡j----------