物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的方法與技巧

物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的方法與技巧第1頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第2頁(yè)數(shù)字舍入規(guī)則：舍去部分的數(shù)值大于保留部分末位半個(gè)單位，則末位加1；舍去部分的數(shù)值小于保留部分末位半個(gè)單位，則末位不變；舍去部分的數(shù)值等于保留部分末位半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)。數(shù)據(jù)修約有國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（GB1807－1987）1）有效數(shù)字第2頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第3頁(yè)簡(jiǎn)單記為“四舍六入，奇進(jìn)偶舍”或“逢五湊偶”原有數(shù)據(jù)保留4位有效數(shù)字3.141593.1422.717292.7174.510504.5103.215503.216

6.3785016.379

7.6914997.6915.434605.4351）有效數(shù)字第3頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第4頁(yè)在近似數(shù)運(yùn)算中，為了保證最后結(jié)果有盡可能高的精度，所有參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)，在有效數(shù)字后應(yīng)多保留一位數(shù)字作為參考數(shù)字（或安全數(shù)字）。（1）加減以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)字，最后結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。（2）乘除/平方或開(kāi)方各運(yùn)算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)要比有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)多取一位數(shù)字。最后結(jié)果應(yīng)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。1）有效數(shù)字第4頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日誤差的定義及表示法

絕對(duì)誤差：測(cè)得值與真值之差稱為絕對(duì)誤差，通常簡(jiǎn)稱誤差。

絕對(duì)誤差＝測(cè)得值－真值

修正值：實(shí)際工作中常用修正值。為補(bǔ)償（減少）系統(tǒng)誤差用代數(shù)法加到測(cè)量結(jié)果上的值稱為修正值。

修正值≈真值(約定真值）－測(cè)得值

測(cè)量結(jié)果(≈真值)＝測(cè)得值＋修正值2）誤差的基本概念第5頁(yè)第5頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日相對(duì)誤差

測(cè)量絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值的比稱為相對(duì)誤差。

GUM中注：由于真值不能確定，實(shí)際上用約定真值（測(cè)值的最佳估計(jì)值）。（1）無(wú)單位（無(wú)名數(shù)），通常以％或×10-d表示（2）通?？杀容^不同測(cè)量的質(zhì)量如何。2）誤差的基本概念第6頁(yè)第6頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日引用誤差(fiducialerror)

式中引用值xm通常指全量程或量程上限，示值誤差Δxm是該量程范圍內(nèi)任一刻度點(diǎn)的示值的絕對(duì)誤差中的最大值。分析討論：引用誤差和相對(duì)誤差的區(qū)別？2）誤差的基本概念第7頁(yè)第7頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第8頁(yè)實(shí)例：現(xiàn)用1.0級(jí)、量程為150伏電壓表來(lái)進(jìn)行測(cè)量，問(wèn)：

1）該電壓表的引用誤差是多少？

2）用該電壓表測(cè)量電壓時(shí)的最大測(cè)量誤差是多少？

3）用該電壓表測(cè)量100伏的電壓時(shí)的最大測(cè)量誤差是多少？

4）用該電壓表測(cè)量50伏的電壓時(shí)的最大測(cè)量誤差是多少？

5）用該電壓表測(cè)量50伏的電壓時(shí)的相對(duì)誤差是多少？

6）用該電壓表測(cè)量100伏的電壓時(shí)的相對(duì)誤差是多少？

7）用0.5級(jí)、量程為300伏電壓表一起測(cè)量100伏電壓時(shí)，哪個(gè)更準(zhǔn)？解：1）該電壓表的引用誤差是：1％

2）用該電壓表測(cè)量電壓時(shí)的最大測(cè)量誤差是：解：3）用該電壓表測(cè)量100伏的電壓時(shí)的最大測(cè)量誤差是：

±1.5V。

4）用該電壓表測(cè)量50伏的電壓時(shí)的最大測(cè)量誤差是：

±1.5V。解：5）用該電壓表測(cè)量50伏的電壓時(shí)的相對(duì)誤差是：

6）用該電壓表測(cè)量100伏的電壓時(shí)的相對(duì)誤差是：當(dāng)用1.0級(jí)、量程為100伏的電表測(cè)量時(shí)，有

解：7）當(dāng)用0.5級(jí)、量程為300伏的電壓表測(cè)量時(shí)，有結(jié)論：(1)一樣準(zhǔn)確。(2)儀表等級(jí)越高成本越高。2）誤差的基本概念第8頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

按照測(cè)量誤差的特點(diǎn)、性質(zhì)和規(guī)律，以及對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響方式，可將其分為系統(tǒng)誤差，隨機(jī)誤差和粗大誤差三類：

1．系統(tǒng)誤差在同一條件下多次測(cè)量同一量值時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)保持不變或在條件改變時(shí)，其值按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差按其出現(xiàn)的規(guī)律又可分為:

（1）定值系統(tǒng)誤差：即誤差的大小和方向?yàn)楣潭ㄖ?。?）變值系統(tǒng)誤差：即誤差的大小和方向?yàn)橐?guī)律的變化值。為補(bǔ)償（減少）系統(tǒng)誤差用代數(shù)法加到測(cè)量結(jié)果上的值稱為修正值。3）誤差的分類第9頁(yè)第9頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第10頁(yè)

2.隨機(jī)誤差在同一條件下，多次測(cè)量同一量值時(shí)，其絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定的方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差，過(guò)去也叫偶然誤差。3.粗大誤差（異常值）明顯歪曲測(cè)量結(jié)果的誤差稱為粗大誤差，過(guò)去也叫過(guò)失誤差或疏忽誤差。測(cè)量結(jié)果中有無(wú)粗大誤差必須判斷并剔除。

3）誤差的分類第10頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1）變值系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法之一：殘差觀察法

4）系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法1）可否直接對(duì)測(cè)值進(jìn)行觀察來(lái)發(fā)現(xiàn)變值系統(tǒng)誤差？2）可否直接對(duì)測(cè)值進(jìn)行觀察來(lái)發(fā)現(xiàn)定值系統(tǒng)誤差？第11頁(yè)第11頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第12頁(yè)2．算術(shù)平均值的差值與標(biāo)準(zhǔn)差比較法對(duì)同一量值在測(cè)量條件不同，測(cè)量次數(shù)也不同的情況下進(jìn)行兩組（或多組）測(cè)量。設(shè)測(cè)量次數(shù)分別為n1和n2次，得兩組算術(shù)平均值：其實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差分別為：4）系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第12頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第13頁(yè)算術(shù)平均值之差的標(biāo)準(zhǔn)差為：由于兩組測(cè)值是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其算術(shù)平均值的差值也服從正態(tài)分布，因此，可用區(qū)間的概率估計(jì)原理來(lái)判斷是否有定值系統(tǒng)誤差，即：兩組算術(shù)平均值之差為：4）誤差的分類——系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第13頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第14頁(yè)例1

惰性氣體（氬）的發(fā)現(xiàn)。雷萊（Rayleigh，多譯為瑞利）測(cè)定氮?dú)獾拿芏?。化學(xué)方法制得的氮，其平均密度和標(biāo)準(zhǔn)差分別為2.29971和0.00041；從大氣中分離的氮，其平均密度和標(biāo)準(zhǔn)差分別為2.31022和0.00019取置信概率p=99.73%來(lái)判斷，則故可判斷其中一定有系統(tǒng)誤差，經(jīng)檢查由于操作技術(shù)等明顯因素產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的可能性很小，進(jìn)一步仔細(xì)分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)了惰性氣體（氬）的存在。4）系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法第14頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)[偏]差：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)[偏]差：5）隨機(jī)誤差的計(jì)算第15頁(yè)第15頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日不等精度測(cè)量：

權(quán)的概念應(yīng)該讓可靠程度大的在最后測(cè)量結(jié)果中占的比重大一些，讓可靠程度小的在最后測(cè)量結(jié)果中占的比重小一些。各測(cè)量結(jié)果的可靠程度用數(shù)值表示，這數(shù)值稱為該測(cè)量結(jié)果的“權(quán)”，記為p。測(cè)量精度愈高，可靠性愈高，應(yīng)給予的“權(quán)”應(yīng)愈大。5）隨機(jī)誤差的計(jì)算第16頁(yè)第16頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第17頁(yè)加權(quán)算術(shù)平均值對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量結(jié)果設(shè)相應(yīng)的測(cè)量次數(shù)為（2－15）根據(jù)等精度測(cè)量算術(shù)平均值原理，全部測(cè)量的算術(shù)平均值為5）隨機(jī)誤差的計(jì)算第17頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日我國(guó)在GB4883－85中推薦了兩種異常值的判別方法，兩種方法是：

1、在只剔除1個(gè)異常值時(shí)采用格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則。

2、在剔除多個(gè)異常值時(shí)采用狄克遜（Dixon)準(zhǔn)則。

三種粗大誤差判斷準(zhǔn)則：（1）3準(zhǔn)則（萊以達(dá)準(zhǔn)則）當(dāng)測(cè)量結(jié)果（測(cè)量列），某一數(shù)據(jù)的殘差的絕對(duì)值

|v|＞3σ時(shí)，則剔除此數(shù)據(jù)。6）異常值處理第18頁(yè)第18頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（2）格拉布斯（Grubbs)準(zhǔn)則。設(shè)獨(dú)立重復(fù)測(cè)量的一個(gè)正態(tài)分布的測(cè)量列x1，x2，…，xn，其測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差為s(x)對(duì)其中的一個(gè)可疑數(shù)據(jù)xd,,(其殘余偏差vd的絕對(duì)值最大），若：則數(shù)據(jù)xd為異常值，應(yīng)予剔除；否則應(yīng)予保留。上式中系數(shù)G（α，n）為格拉布斯準(zhǔn)則的臨界值，由測(cè)量次數(shù)n，和選定的顯著性水平α（相當(dāng)于犯“棄真”錯(cuò)誤的概率）查表選取。顯著性水平α通常選為0.01或0.05。6）異常值處理第19頁(yè)第19頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）狄克遜（Dixon)準(zhǔn)則正態(tài)測(cè)量總體的一個(gè)樣本x1,x2,……，xn，按從小到大順序排列為，分以下幾種情況：6）異常值處理第20頁(yè)第20頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日（3）狄克遜（Dixon)準(zhǔn)則6）異常值處理第21頁(yè)第21頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第22頁(yè)異常值判斷操作原則逐個(gè)剔除原則：在應(yīng)用上述準(zhǔn)判斷粗大誤差時(shí)，若同時(shí)有兩個(gè)以上的測(cè)得值的殘差υi超出判斷界限，也只能剔除其中|υi|最大的那一個(gè)數(shù)據(jù)（如有兩個(gè)相同的數(shù)據(jù)超限，也只能剔除其中的一個(gè)）；之后再按剩下的（n-1）個(gè)數(shù)據(jù)重新計(jì)算算術(shù)平均值、殘差及實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差，繼續(xù)判斷另一個(gè)可疑數(shù)據(jù)，直到全部數(shù)據(jù)無(wú)問(wèn)題為止。那些在前次判斷中和被剔除的數(shù)據(jù)同時(shí)超限的次大（或同樣大）的數(shù)據(jù)，在重新計(jì)算后，其|υ|可能不超過(guò)判斷界限，所以每次只能剔除一個(gè)超限的數(shù)據(jù)。我國(guó)在GB4883－85中推薦了兩種異常值的判別方法，兩種方法是：（1）在只剔除1個(gè)異常值時(shí)采用格拉布斯（Grubbs)準(zhǔn)則。（2）在剔除多個(gè)異常值時(shí)采用狄克遜（Dixon)準(zhǔn)則。6）異常值處理第22頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日7）間接測(cè)量直接測(cè)量無(wú)需對(duì)被測(cè)的量與其它實(shí)測(cè)的量進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的輔助計(jì)算，而直接得到被測(cè)量值的測(cè)量。e.g.游標(biāo)卡尺測(cè)零件直徑D。間接測(cè)量實(shí)測(cè)的量與被測(cè)的量之間有已知函數(shù)關(guān)系，通過(guò)計(jì)算而得到被測(cè)量值的測(cè)量。e.g.通過(guò)測(cè)量圓柱體的圓周長(zhǎng)度L，通過(guò)已知函數(shù)關(guān)系式D=L/π，得到所求的零件直徑D。函數(shù)誤差間接測(cè)量誤差是各個(gè)直接測(cè)量值誤差的函數(shù)，這種誤差稱為函數(shù)誤差。第23頁(yè)第23頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日8）函數(shù)誤差計(jì)算已定系統(tǒng)誤差隨機(jī)誤差線性無(wú)關(guān)完全正相關(guān)第24頁(yè)第24頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日相關(guān)系數(shù)特征：當(dāng)0<ρ<1時(shí)，兩隨機(jī)變量呈正相關(guān)，即一隨機(jī)變量增大時(shí)，另一隨機(jī)變量的取值平均地增大；當(dāng)-1<ρ<0時(shí)，兩隨機(jī)變量呈負(fù)相關(guān)，即一隨機(jī)變量增大時(shí)，另一隨機(jī)變量的取值平均地減??；當(dāng)ρ=-1時(shí)，兩隨機(jī)變量完全負(fù)相關(guān)；當(dāng)ρ=1時(shí)，兩隨機(jī)變量完全正相關(guān)；此時(shí)兩隨機(jī)變量之間有著確定的線性函數(shù)關(guān)系；當(dāng)ρ=0時(shí)，兩隨機(jī)變量間線性無(wú)關(guān)，即一隨機(jī)變量增大時(shí)，另一隨機(jī)變量的取值可能增大也可能減??；此時(shí)僅表示兩誤差間線性無(wú)關(guān)，并不表示它們之間不存在其它函數(shù)關(guān)系。第25頁(yè)8）函數(shù)誤差計(jì)算第25頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日實(shí)際工作中相關(guān)系數(shù)的確定：（1）觀察法（2）直接計(jì)算法8）函數(shù)誤差計(jì)算第26頁(yè)第26頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日應(yīng)用舉例圓柱體體積V的測(cè)量

用千分尺直接測(cè)量圓柱體的直徑d和高度h（d和h的基本尺寸均為10mm）各6次，測(cè)得值列于下表，求圓柱體體積V，并給出最后測(cè)量結(jié)果。直徑d(mm)10.08510.08510.09010.08010.08510.080高度h(mm)10.10510.11510.11510.11010.11010.1058）函數(shù)誤差的計(jì)算第27頁(yè)第27頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日應(yīng)用舉例-圓柱體體積V的計(jì)算（續(xù)） 1、確定函數(shù)關(guān)系計(jì)算體積值8）函數(shù)誤差的計(jì)算2、計(jì)算誤差傳遞系數(shù)3、計(jì)算相關(guān)系數(shù)4、計(jì)算函數(shù)隨機(jī)誤差第28頁(yè)第28頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日9）誤差的合成用已定系統(tǒng)誤差修正測(cè)值隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差合成未定系統(tǒng)誤差取值具有隨機(jī)性，服從一定的概率分布，具有一定的抵償作用，可以采用隨機(jī)誤差的合成公式進(jìn)行合成隨機(jī)誤差和未定系統(tǒng)誤差采用發(fā)差合成方式，評(píng)估測(cè)量結(jié)果的分散性第29頁(yè)第29頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日不確定度定義：

不確定度是測(cè)量結(jié)果帶有的一個(gè)參數(shù)，用以表征合理賦予被測(cè)量的值的分散性。準(zhǔn)確度定義（精度）定義：

測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值之間的一致程度。國(guó)際“通用計(jì)量學(xué)術(shù)語(yǔ)”中在B.2.14這條下有兩條注解：①不要使用“precision”來(lái)表示準(zhǔn)確度。②準(zhǔn)確度是一個(gè)定性概念，可以用準(zhǔn)確度高低、準(zhǔn)確度為0.25級(jí)、準(zhǔn)確度為三等及準(zhǔn)確度符合××標(biāo)準(zhǔn)的說(shuō)法。盡量不使用準(zhǔn)確度為0.25%,16mg，≤16mg等方式表示。10）測(cè)量不確定度第30頁(yè)第30頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日不確定度與誤差的區(qū)別：測(cè)量誤差測(cè)量不確定度1測(cè)量值與真值之差，表明測(cè)量結(jié)果偏離真值的量表明測(cè)量值的分散性2由于真值不可知，往往不能準(zhǔn)確得到?？梢愿鶕?jù)實(shí)驗(yàn)，或者資料、經(jīng)驗(yàn)等進(jìn)行評(píng)定，從而可定量確定。3是有正負(fù)號(hào)的量值無(wú)正負(fù)符號(hào)的參數(shù)4已知系統(tǒng)誤差的估計(jì)值時(shí)，可以對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正。對(duì)變值系統(tǒng)誤差無(wú)法處理。不能用不確定度對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。無(wú)系統(tǒng)不確定度或隨機(jī)不確定度提法。10）測(cè)量不確定度第31頁(yè)第31頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日不確定度的分類：標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度。A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的不確定度B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的不確定度合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：由各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量合成得到擴(kuò)展標(biāo)準(zhǔn)不確定度：由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度乘以包含因子k得到10）測(cè)量不確定度第32頁(yè)第32頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

(一）定義：用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的不確定度。

(二）符號(hào)：用符號(hào)u表示，有多個(gè)分量時(shí)用ui表示(三）評(píng)定方法：11）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的A類評(píng)定第33頁(yè)第33頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定：

（一）定義：用非統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定出的不確定度。

（二）符號(hào)：用符號(hào)u表示，有多個(gè)分量時(shí)用ui表示，

當(dāng)既有A類又有B類時(shí)，下標(biāo)i統(tǒng)一編號(hào)。

（三）評(píng)定方法：

B類評(píng)定方法獲得的不確定度，不是依賴于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算，而是設(shè)法利用與被測(cè)量有關(guān)的其他先驗(yàn)信息來(lái)進(jìn)行估計(jì)，這些先驗(yàn)信息如：有關(guān)測(cè)量方法、測(cè)量?jī)x器、物理常數(shù)等的資料。

例如：1986年基本物理常數(shù)推薦值給出基本電荷e的值是1.60217733×10－19（19）C（庫(kù)），并且注明了括號(hào)中的數(shù)字是一倍標(biāo)準(zhǔn)偏差且與前面給定值的末位對(duì)齊，并給出其自由度為17。第34頁(yè)12）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定第34頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的具體評(píng)定方法：

1、已知擴(kuò)展不確定度U是標(biāo)準(zhǔn)不確定度的k倍時(shí)：

前述的不確定度信息來(lái)源中，有時(shí)信息是以“擴(kuò)展不確定度U是標(biāo)準(zhǔn)不確定度的k（包含因子）倍”給出，把擴(kuò)展不確定度U除以已知的包含因子k即可得到B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

如：當(dāng)前對(duì)熱電偶、色溫度儀器、核素活度計(jì)、發(fā)光強(qiáng)度計(jì)、維氏硬度計(jì)、圓錐量規(guī)錐度儀器等在其檢定系統(tǒng)中明確規(guī)定按k＝3給出擴(kuò)展不確定度U；

對(duì)超聲功率計(jì)、黑白密度計(jì)、橡膠硬度計(jì)等，明確規(guī)定按k＝2給出擴(kuò)展不確定度U。

例：校準(zhǔn)證書表明標(biāo)稱值為1000g的標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量為1000.000325g,且其擴(kuò)展不確定度按3倍標(biāo)準(zhǔn)偏差計(jì)，為240μg,這樣可知：u=U÷3=240÷3=80μg12）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定第35頁(yè)第35頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日屬于類似已知信息的一種特例：當(dāng)前還有不少測(cè)量?jī)x器仍沿用50年代以來(lái)的習(xí)慣，用σ的倍數(shù)來(lái)表示校準(zhǔn)結(jié)果的可靠程度。例如：

1）射頻與微波功率計(jì)、脈沖參數(shù)計(jì)量?jī)x器、真空測(cè)量?jī)x器等習(xí)慣用3σ

來(lái)表示校準(zhǔn)結(jié)果的可靠程度；2）燃燒熱測(cè)量?jī)x器、電導(dǎo)流量?jī)x器、水流量測(cè)量?jī)x器等習(xí)慣用2σ

來(lái)表示校準(zhǔn)結(jié)果的可靠程度。

3）液體閃爍放射性活度測(cè)量?jī)x器、質(zhì)量測(cè)量?jī)x器等，給出置信概率為99.73%的情況下，由于原假設(shè)為理想的正態(tài)分布，故其含義實(shí)際為3σ

。碰到這種情況，只要除以相應(yīng)的系數(shù)后得到單倍的σ，并令：u=σ即可，但要注意將其系數(shù)判斷清楚。第36頁(yè)12）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定第36頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、已知擴(kuò)展不確定度UP(常用U95

和U99）：

擴(kuò)展不確定度UP的下標(biāo)p表示的是擴(kuò)展不確定度U的置信概率。置信概率還和分布的類型有關(guān)，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，則按正態(tài)分布考慮。

這時(shí)相對(duì)應(yīng)的包含因子k與置信概率p的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：

p=95%時(shí)k=1.96，擴(kuò)展不確定度符號(hào)：U95

p=99%時(shí)k=2.576，擴(kuò)展不確定度符號(hào)：U99

因此，知道了置信概率p就相當(dāng)于知道了相應(yīng)的包含因子k的值。當(dāng)已知信息不但包括擴(kuò)展不確定度UP

（例如

U95

和U99）。而且還給出了自由度ν，這時(shí)如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，則按t分布考慮，需按給定的置信概率p和給定的自由度ν查t分布表來(lái)得到相應(yīng)的包含因子k的值，該值與相同置信概率下的正態(tài)分布的k值不同。（大于正態(tài)分布的k值）第37頁(yè)12）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定第37頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日3、給出置信區(qū)間的上下限的情況：

已知信息表明:在x±a區(qū)間內(nèi)包含了X全部可能值，這種情況實(shí)際上可以理解為給出了最大誤差限，或給出了極限誤差。則根據(jù)極限誤差的分布特征確定B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。例如：手冊(cè)上給出純銅在20℃時(shí)的線膨脹系數(shù)α20為16.52×10-6℃-1,并說(shuō)明此值變化的區(qū)間不超過(guò)0.40×10-6℃-1

。根據(jù)此有限的信息，可以認(rèn)為手冊(cè)所給出的α20的置信區(qū)間的上限a+和下限a–

相同，均為0.40×10-6℃-1，也就是可以認(rèn)為α20的值，等概率地落在(16.52±0.40)×10-6℃-1

范圍內(nèi)的概率為100％，而落在該范圍外的概率為零。

將線膨脹系數(shù)α20取為16.52×10-6℃-1，這時(shí)其B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度如何確定？α20的分布是什么分布？α20的分布可認(rèn)為是均勻分布，其半寬度為0.40×10-6℃-1

，該均勻分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.40×10-6÷=0.23×10-6℃-1，故其B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度u=0.23×10-6℃-1。第38頁(yè)12）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定第38頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日4、當(dāng)知道測(cè)量?jī)x器的引用誤差時(shí)：

引用誤差（fiducialerrorofameasuringinstrument）

測(cè)量器具的最大絕對(duì)誤差與該標(biāo)稱范圍上限（或量程）之比。則根據(jù)引用誤差的分布特征確定B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

如：試評(píng)定引用誤差為0.2級(jí)的壓力表的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

解：因引用誤差為±0.2%,則在其全量程（FS)范圍內(nèi)的最大的可能誤差為：±0.2%×（FS），除了最大誤差點(diǎn)外，其他點(diǎn)的誤差應(yīng)小于最大誤差值，每個(gè)測(cè)值點(diǎn)從最大誤差值到“0”誤差值都可能出現(xiàn)，只能整體上認(rèn)為在每個(gè)測(cè)值點(diǎn)上不同誤差出現(xiàn)的概率相等，故引用誤差時(shí)誤差分布認(rèn)為是均勻分布。因此，在全量程范圍內(nèi)的每一個(gè)測(cè)值點(diǎn)的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：0.2%×（FS)÷第39頁(yè)12）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定第39頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日5、測(cè)量?jī)x器的分辨力等導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

5.1分辨力導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

分辯力定義為：顯示裝置能有效辨別的最小示值差，對(duì)目前廣泛使用的數(shù)字式顯示裝置，即變化末位一個(gè)有效數(shù)字時(shí)，其示值的變化，即所謂步進(jìn)量。分辯力導(dǎo)致的示值誤差限為±0.5個(gè)步進(jìn)量，即其分辯區(qū)間的半寬a為0.5×步進(jìn)量。由于被測(cè)量可能出現(xiàn)在這一分散區(qū)間之內(nèi)的任一點(diǎn)的概率相等，應(yīng)估計(jì)其分布類型為均勻分布。設(shè)分辯力為δx,則由此而帶來(lái)的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：0.5×δx÷＝0.29δx例：指示裝置最末位的數(shù)字是1g的數(shù)字式稱重儀器由分辨力等導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：

0.5×1÷＝0.29×1＝0.29g第40頁(yè)12）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定第40頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

5.2連續(xù)測(cè)量時(shí)測(cè)量?jī)x器的示值滯后導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度（計(jì)算與分辨力導(dǎo)致的標(biāo)準(zhǔn)不確定度類似）

連續(xù)測(cè)量讀數(shù)時(shí)，一個(gè)儀器的示值可能在不停地遞增或遞減，且儀器可能對(duì)平衡點(diǎn)有一個(gè)振蕩，造成儀器讀數(shù)不能及時(shí)同步顯示，若此原因引起的可能讀數(shù)寬為dx，則由滯后引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：第41頁(yè)12）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定第41頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日6、沒(méi)有給出不確定度的數(shù)據(jù)

一些手冊(cè)中查出的數(shù)據(jù)不少都沒(méi)有有關(guān)不確定度的任何信息，應(yīng)考慮舍入誤差或誤差限。例如以下的密度表：對(duì)鋁，其舍入誤差界限為0.005,滿足均勻分布，故其B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度u=0.005/=0.003g/cm2，對(duì)玻璃，其最佳估計(jì)值為(2.4+2.8)÷2=2.6，按半?yún)^(qū)間寬為0.2的均勻分布求其B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度u=0.2/=0.12(g/cm2)物質(zhì)密度(g/cm2)鋁2.70鉛11.3玻璃2.4～2.8第42頁(yè)12）標(biāo)準(zhǔn)不確定度的B類評(píng)定第42頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

若不確定度分量的各種因素與測(cè)量結(jié)果沒(méi)有確定的函數(shù)關(guān)系，則應(yīng)根據(jù)具體情況按A類評(píng)定或B類評(píng)定方法來(lái)確定各不確定度分量ui的值，然后求得合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：若y=x1+x2+…+xm,且xi

相互間獨(dú)立時(shí)，13）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定第43頁(yè)第43頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日對(duì)于間接測(cè)量的情況，Y=F(X1,X2,……Xm)時(shí)，有如下

的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度公式：式中：

uc(y)——輸出量估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度

u(xi),u(xj)——輸入量估計(jì)值xi和xj

的標(biāo)準(zhǔn)不確定度函數(shù)F(X1,X2,…

）在(x1,x2,…,xm)處的偏導(dǎo)數(shù)，稱為靈敏系數(shù)，在誤差合成公式中稱其為傳播系數(shù)；ρij——Xi和Xj

在(xi,xj)處的相關(guān)系數(shù)13）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定第44頁(yè)第44頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日下面有關(guān)A類B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的概念和提法那些對(duì)？那些不對(duì)或不準(zhǔn)確？1、測(cè)量的不確定度為0.002mm。測(cè)量結(jié)果的不確定度為0.002mm。測(cè)量?jī)x器的（示值）不確定度為0.002mm。2、測(cè)量?jī)x器示值的最大允許誤差為0.002mm。測(cè)量?jī)x器的最大允許誤差為±0.002mm。測(cè)量?jī)x器的最大示值誤差為±0.002mm。測(cè)量?jī)x器的誤差為±0.002mm。3、測(cè)量?jī)x器的準(zhǔn)確度為三等或三級(jí)。4、測(cè)量的隨機(jī)不確定度及測(cè)量的系統(tǒng)不確定度。5、測(cè)量的A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度來(lái)源于隨機(jī)誤差，而測(cè)量的B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度來(lái)源于系統(tǒng)誤差。討論第45頁(yè)第45頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日擴(kuò)展不確定度由合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc乘以一個(gè)包含因子k得到（k一般在2～3范圍內(nèi)選?。?。符號(hào)：用符號(hào)U,Up表示。記為：U=k*uc

或：Up=k*uc

包含因子k的確定：

包含因子k的大小由置信概率p和分布的類型確定。1）一般測(cè)量時(shí)，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，則按正態(tài)分布考慮。2）重要的測(cè)量，或測(cè)量次數(shù)較小時(shí)，k由t分布確定：

包含因子k（t分布時(shí)常用符號(hào)t表示）由置信概率p(或α）、以及自由度ν從t分布表查出。14）擴(kuò)展不確定度的評(píng)定第46頁(yè)第46頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日自由度的概念自由度定義為計(jì)算總和中獨(dú)立項(xiàng)的個(gè)數(shù)，即總和的項(xiàng)數(shù)減去其中受約束的項(xiàng)研究自由度的意義自由度的大小直接反映了不確定度的評(píng)定質(zhì)量，自由度并非測(cè)量結(jié)果的自由度，而是所評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)偏差的自由度，也就是不確定度的自由度

不確定度的評(píng)定質(zhì)量取決于標(biāo)準(zhǔn)差的可信賴程度，標(biāo)準(zhǔn)差的信賴程度與自由度關(guān)系如下：

上式表明：自由度越大，標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)不確定度越小，標(biāo)準(zhǔn)差愈可信賴。第47頁(yè)14）擴(kuò)展不確定度的評(píng)定第47頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日自由度的計(jì)算方法（評(píng)定）情況1）：對(duì)于一個(gè)測(cè)量樣本，自由度等于該樣本數(shù)據(jù)中的n個(gè)獨(dú)立測(cè)量個(gè)數(shù)減去待求量的個(gè)數(shù)1，即。情況2）：對(duì)某量X進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量，在用貝塞爾公式計(jì)算實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差是，需要計(jì)算殘差平方和中的n個(gè)殘差，因?yàn)閚個(gè)殘差滿足一個(gè)約束條件，即獨(dú)立殘差個(gè)數(shù)為n-1，即用貝塞爾公式估計(jì)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差的自由度為n-1。情況3）：按估計(jì)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)定義的自由度稱為有效自由度，記為Veff，計(jì)算公式為：（常用于B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定）第48頁(yè)14）擴(kuò)展不確定度的評(píng)定第48頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日當(dāng)某些不確定度分量的自由度未明確給出時(shí)，應(yīng)對(duì)這些分量的自由度進(jìn)行分析和評(píng)定，對(duì)某些先驗(yàn)信息進(jìn)行分析后，再第一種情況：

可確切斷定其測(cè)值不可能超出半?yún)^(qū)間±a,（例如給出的是最大允許誤差，嚴(yán)格的均勻分布），這時(shí)：實(shí)際操作中，B類對(duì)應(yīng)分布律不是非常確認(rèn)時(shí)，對(duì)應(yīng)自由度取20進(jìn)行計(jì)算.第49頁(yè)14）擴(kuò)展不確定度的評(píng)定第49頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

第二種情況：不能完全斷定其測(cè)值區(qū)間不超出某區(qū)間±a這時(shí)：應(yīng)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷其不確定度自身的相對(duì)不確定度的大小，也就是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)判斷不確定度u之值大約不可靠程度。一般認(rèn)為10％～30％，最大為50％。例如：儀器檢定證書給出的不確定度，可認(rèn)為可靠性達(dá)到75％，則其不可靠程度為25％，計(jì)算出相應(yīng)自由度為8。膨脹系數(shù)等手冊(cè)中給出的數(shù)據(jù)，可假定其可靠性為90％，則其不可靠程度為10％，計(jì)算出相應(yīng)自由度為50。第50頁(yè)14）擴(kuò)展不確定度的評(píng)定第50頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度：

當(dāng)各不確定度分量ui的自由度均已知時(shí)，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc的自由度（常稱為有效自由度）計(jì)算公式為：第51頁(yè)14）擴(kuò)展不確定度的評(píng)定擴(kuò)展不確定度的自由度與合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的自由度相同。第51頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、測(cè)量結(jié)果的不確定度的表示（引自GUM)

GUM中規(guī)定的測(cè)量結(jié)果的不確定度的表示方式：1、少數(shù)情況下可用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc來(lái)表示測(cè)量結(jié)果的不確定度：適用范圍：a）基礎(chǔ)計(jì)量學(xué)研究

b）基本物理常量測(cè)量

c）復(fù)現(xiàn)國(guó)際單位制的國(guó)際比對(duì)2、一般均用擴(kuò)展不確定度U或Up來(lái)表示測(cè)量結(jié)果的不確定度：除上述指明的3種情況及某些特殊要求情況以外均用擴(kuò)展不確定度U或Up來(lái)表示！15）測(cè)量結(jié)果的不確定度表示第52頁(yè)第52頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc表示方式

假設(shè)被測(cè)量是標(biāo)稱值為100g的標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量ms,其測(cè)量的估計(jì)值為y=100.02147g，對(duì)應(yīng)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc=

0.35mg

可用表示方式：

15）測(cè)量結(jié)果的不確定度表示ms=100.02147g,uc=

0.35mg（或uc=

0.00035g）

。ms=100.02147（35）g,其中括號(hào)中的數(shù)是（合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度）uc的數(shù)值，uc與測(cè)量結(jié)果的最后位對(duì)齊。ms=100.02147（0.00035）g,括號(hào)中的數(shù)是（合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度）uc的數(shù)值，以給出的單位表示。ms=100.02147±0.00035）g,其中在±號(hào)后的數(shù)值是（合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度）uc的數(shù)值，它并非置信區(qū)間。（注：其中第4種盡量不用）

注：在獲知自由度的情況下，最好再給出自由度。第53頁(yè)第53頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日擴(kuò)展不確定度U

表示方式

假設(shè)被測(cè)量是標(biāo)稱值為100g的標(biāo)準(zhǔn)砝碼的質(zhì)量ms,其測(cè)量的估計(jì)值為y=100.02147g，對(duì)應(yīng)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc=

0.35mg，自由度V=9。

推薦表示方式(括號(hào)中的文字可省略)：ms=(100.02147±0.00079)g，其中括號(hào)后的數(shù)值為擴(kuò)展不確定度U＝kuc(y)，U是由（合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度）

uc=

0.35mg和（包含因子）k＝2.26確定的，k是依據(jù)置信概率p=0.95和自由度ν＝9由t分布表查得的。在有些領(lǐng)域，要求對(duì)測(cè)量不確定度的表達(dá)只用相對(duì)不確定度Urel或Uprel給出，例如時(shí)鐘的不確定度、頻率測(cè)量的不確定度、壓力及電流的不確定度等。這時(shí)也應(yīng)注明置信概率和自由度。15）測(cè)量結(jié)果的不確定度表示第54頁(yè)第54頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日使用擴(kuò)展不確定度時(shí)的簡(jiǎn)化表示形式

（1）使用U:

1.ms=100.02147g,U=0.70mg;k=2。

2.ms=(100.02147±0.0007)g;k=2。（2）使用Up:

1.ms=100.02147g,U95=0.79mg;νeff=9。

2.ms=(100.02147±0.00079)g;νeff=9,括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)為U95之值。

3.ms=100.02147（79）g;νeff=9,括號(hào)內(nèi)為U95之值，其末位與前面結(jié)果內(nèi)末位數(shù)對(duì)齊。

4.ms=100.02147（0.00079）g;νeff=9,括號(hào)內(nèi)為U95之值，與前面結(jié)果有相同計(jì)量單位。15）測(cè)量結(jié)果的不確定度表示第55頁(yè)第55頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日16）測(cè)量數(shù)據(jù)處理的完整步驟第56頁(yè)第56頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日16）測(cè)量數(shù)據(jù)處理的完整步驟第57頁(yè)第57頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日

例題：普通物理實(shí)驗(yàn)中：用數(shù)字電壓表測(cè)直流電壓源的電壓值(電壓表的最大允許誤差為±0.000002V),得：

10.000107,10.000103,10.000097,10.000111,10.000091,10.000108,10.000121,10.000101,10.000110,10.000094,

從說(shuō)明書中得到數(shù)字電壓表的最大允許誤差為

±0.000002V試:按照測(cè)量數(shù)據(jù)處理的完整步驟給出測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。測(cè)量數(shù)據(jù)處理示例1第58頁(yè)第58頁(yè)，共75頁(yè)，2023年，2月20日，星期日可計(jì)算出測(cè)值中殘余偏差絕對(duì)值最大的是：

x7＝10.000121,v7=0.000017格拉布斯準(zhǔn)則：由于是物理實(shí)驗(yàn)，顯