微分方程習(xí)題及答案

微分方程習(xí)題§1基本概念1.驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解x2xyy2C,(x2y)y2xyt2oe7dtx1,yy(y)22..已知曲線族，求它相應(yīng)的微分方程(其中C,C1,C2均為常數(shù))(一般方法：對曲線簇方程求導(dǎo)，然后消去常數(shù)，方程中常數(shù)個數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).)(xC)2y21(2)yC1sin2xC2cos2x.3.寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。(1)曲線在x,y處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。(2)曲線在點(diǎn)Px,y處的法線x軸的交點(diǎn)為Q,,PQ為y軸平分(3)曲線上的點(diǎn)Px,y處的切線與y軸交點(diǎn)為QPQ長度為2,且曲線過點(diǎn)(2,x0)。§2可分離變量與齊次方程1.求下列微分方程的通解y(2)sec2xtanydxsecytanxdy0;(3)dy3xyxy2；(4)(2xy2x)dx(2xy2y)dy0.2.求下列微分方程的特解3.求下列微分方程的通解(1)xyy(lny1)；(2)(x3y3)dx3xy2dy0.4.求下列微分方程的特解(2)(y23x2)dy2xydx0,yx05.用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡方程，并求解下列方程y(x2(2)xyyy(lnxlny)yxyxy1)dxx(1xyx2y2)dy06.求一曲線，使其任意一點(diǎn)的切線與過切點(diǎn)平行于y軸的直線和x軸所圍城三角形面積等于常數(shù)a2.7.設(shè)質(zhì)量為m的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開始下落時(t0)速度為0,求物體速度v與時間t的函數(shù)關(guān)系.8.有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉40%染色，現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了染色，30分鐘后剩下，試求注射染色后t分鐘時正常胰臟中染色量P(t)隨時間t變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時后，容器內(nèi)尚有多少鹽§3一階線性方程與貝努利方程1.求下列微分方程的通解(1)y(2)(x2sx(3)yInydx(xIny)dy0;yy2.求下列微分方程的特解(1)yytanxsecx,yx00；xx3.—曲線過原點(diǎn)，在(x,y)處切線斜率為4.設(shè)可導(dǎo)函數(shù) (x)滿足方程(x)cosx2°(t)sitdtx1，求(x).組成之電路，合上開關(guān)，求電路中電流i和時間t之關(guān)系.6.求下列貝努利方程的通解y26yxyxydyXx21xy2§4可降階的高階方程(1)yyx;(2)y竽;⑶yy2y204y3yx12.求下列方程的特解yy2,yyy2,yxoyxo22xyex,yx00,yx00x的經(jīng)過(0,1)且在與直線y上1相切的積分曲線24.證明曲率恒為常數(shù)的曲線是圓或直線K5.槍彈垂直射穿厚度為的鋼板，入板速度為a,出板速度為b(ab),設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比，問槍彈穿過鋼板的時間是多少§5高階線性微分方程1.已知y1(x),y2(x)是二階線性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，試證2.已知二階線性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三個特解y1x,y2x2,y3e3xy)0,y(0)3的特解.3.驗(yàn)證yix1,y2ex1是微分方程(x1)yxyy1的解，并求其通解?§6二階常系數(shù)齊次線性微分方程求下列微分方程的通解yy2yo(2)y6y13yo；(3)y4y4yo；yo.求下列微分方程的特解y4y3y0,yxo6,y|xoy25y0,yxo2,yxo5y4y13y0,yxo2,yxo33.設(shè)單擺擺長為I，質(zhì)量為m,開始時偏移一個小角度°，然后放開,開始自由擺動?在不計(jì)空氣阻力條件下，求角位移隨時間t變化的規(guī).圓柱形浮筒直徑為，鉛垂放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開，浮筒周期為2s,求浮筒質(zhì)量.5.長為6m的鏈條自桌上無摩察地向下滑動，設(shè)運(yùn)動開始時，鏈條自桌上垂下部分長為im問需多少時間鏈條全部滑過桌面.§7二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1.求下列微分方程的通解(2)y5y4y32x；(3)y4yxcosx；(4)yysin2x；(5)yy2yx(ex4).(1)y3y2y5,y(0)6,y(0)2；ysin2x0,y()1,y()13.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)ex,(tx)f(t)dt求f(x).4.一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入水中，下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比(比例系數(shù)為k)，求此物體之運(yùn)動規(guī)律.5.一鏈條懸掛在一釘子上，起動時一端離開釘子子12m若不計(jì)摩擦力，求鏈條全部滑下所需時間.8m另一端離開釘6.大炮以仰角、初速V發(fā)射炮彈，若不計(jì)空氣阻力，求彈道曲線§8歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組1.求下列微分方程的通解(1)x3yx2y2xy2yx3(2)yx2x2.求下列微分方程組的通解(1)dydtdt(2)x4y0xy0(1)ytan》;x2ydx(2x2yx)dy0;2(4)yyxsin2x.2.求連續(xù)函數(shù)(X),使得x0時有3?求以y(CiC2Xx2)e2x為通解的二階微分方程.4.某個三階常系數(shù)微分方程yaybycy0有兩個解ex和xa,b,c.試求:5.設(shè)yp(x)yf(x)有一個解為-，對應(yīng)齊次方程有一特解x2,x(1)p(x),f(x)的表達(dá)式；2的通解.6.已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式:f(x)1求f(x).7.已知曲線yy(x)上原點(diǎn)處的切線垂直于直線x2y10，且y(x)滿足微分方程y2y微分方程習(xí)題答案§1基本概念1.驗(yàn)證下列各題所給出的隱函數(shù)是微分方程的解(1)x2xyy2C,(x2y)y2xy解：求導(dǎo):2xyxy2yy0故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解2t2x1,yy(y)2.解：隱函數(shù)方程兩邊對x求導(dǎo)匚eTy10方程兩邊再對x求導(dǎo)2_y_eyyyy]0指數(shù)函數(shù)非零，即有yy(y)22yC1sin2xCcos2x.故所給出的隱函數(shù)是微分方程的解2.已知曲線族，求它相應(yīng)的微分方程(其中cc,C2均為常數(shù))(一般方法：對曲線簇方程求導(dǎo)，然后消去常數(shù)，方程中常數(shù)個數(shù)決定求導(dǎo)次數(shù).)(1)(xC)2y21；求導(dǎo)得:2(xc)2yy0解出xcyy代入原方程得y2y2y2求導(dǎo)得:y25cos2x2c2(sin2x)再求導(dǎo)得:y4c1sin2x4c2cos2x消去c1,c2得:y4y0t23.寫出下列條件確定的曲線所滿足的微分方程。(1)曲線在x,y處切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方。解：設(shè)曲線為y二y(x)則曲線上的點(diǎn)x,y處的切線斜率為y，由題意知所求方程為yx2Pxyx軸的交點(diǎn)為Q,，PQ為y軸平分。解：曲線上的點(diǎn)x,y處法線方程：Yy丄Xx。y故法線x軸的交點(diǎn)為Q坐標(biāo)應(yīng)為yyx,0，又PQ為y軸平分，故12cyyxx0，便得曲線所滿足的微分方程：yy2x0(3)曲線上的點(diǎn)Px,y處的切線與y軸交點(diǎn)為QPQ長度為2,且曲解：點(diǎn)Px,y處切線方程：Yyy(Xx)Q坐標(biāo)為2yyyx2則得初值問題為:x1y2)yx204§2可分離變量與齊次方程1.求下列微分方程的通解(1)-.1x2y.1y2解:分離變量x2_dx_x2得arcsinyarcsinxc(2)sec2xtanydxsecytanxdy解:分離變量sec2xdxanxIntanxtanyGsec2ydyy驚常 In|tanxtany|tanxtanyC其中ctanxtanyeC1tanxtanyeC1xyxy；22dxx2y2ydy2y12y2ydy2y1y(y3)y(y3)y(y3)1dy3yIn1y3y33x23C12ln|y3Ciney人e223CiCe2其中C11e(2xy2x)dx(2xy2y)dy0.變量得 2x2x1In2y1InxCInIn2y1InxCIn2y11eCe12121yxeC1C其中CeC12.求下列微分方程的特解eydye2xdx1y2xeec22⑵xyyy2,yx1寸解：分離變量得x(-y1yxCiney」yln|x|C1e11y_1eC1xyCe1y3.求下列微分方程的通解(1)xynyx解：方程變形為齊次方程原方程變?yōu)閤uInu x-dxdx即x Inx|C1nudInu Inu(InV1)則魚duuInuInu故IndxdxxInu故兩邊積分⑴21x21xInueInuyIn—Cx其中CeC1x'八(x3y3)dx3xy2dy0解：方程變形為齊次方程xdxdu,故原方x-程變?yōu)榈?，分離變量得d12u3x兩邊積分xx2u32口廠In1InIn12u32u3x22u3eC1eexe2C12CC112u33x2eC1CCiIn12u3x22C2ieC1CeC14求下列微分方程的特解.uuyx解yxyx-u分離變量得uuduuxxX蟲，故原方程變?yōu)閤InuInxC1nxC1InuxyC12C12C1Cy其中eC1eeC1故特解為(y23x2)dy0，yx01x2》_y3x上則矽xdx故原方程變?yōu)?dx,兩邊積分2dx,兩邊積分x3u_duuuInxInCInxInC即InCx得1yCx即亠y1xee5.用適當(dāng)?shù)淖儞Q替換化簡方程，并求解下列方程(1)y(xy)2；解：令uxy則dxdx得dx1'原方程變?yōu)閐u1u2，分離變量并積arctanu故方程通解為arctan(xy)(2)yy(lnxIny)Inx得InInInxdInu歲，原方程變?yōu)樽謉xdxx分離變量并積eC1故方程通解elnxGeInueC1)(3)積分ududx得原方程變?yōu)?xC故方程通解為221—21—2Inxcdx解得:Inx得通解:2x2y2y(xy0解：則xdxydxdx1uu量并積分一3uu3u2x得-u2u1InuInxG，即2x2y32XXXXyC12xy其中Cc-2xy2yu121uxeC1e2x2y3C12xy其中Cxy2xyyxy)匸xy1)令xyu,代入上式2uu1u2udulny6.求一曲線，使其任意一點(diǎn)的切線與過切點(diǎn)平行于a2.a2.y軸的直線和x軸yy解：曲線點(diǎn)P(x,y)的切線方程為:該曲線與x軸交點(diǎn)記為B,則B坐標(biāo)為x上,0,y過點(diǎn)P(x,y)平行于y軸的直線和x軸交點(diǎn)記為A,則A坐標(biāo)為x,0故三角形面積為2即有微分方程2x|ya2當(dāng)y22a2也時用分離變量法解得y(Cx)2a2當(dāng)y22a2業(yè)時用分離變量法解得y(Cx)2a2設(shè)質(zhì)量為m的物體自由下落，所受空氣阻力與速度成正比，并設(shè)開落時(t0)速度為0,求物體速度v與時間t的函數(shù)關(guān)系.m巴,而F解：根據(jù)Fmadtmgkv(k為比例常數(shù))便得V滿足微分方程:mgkvdtmgkvdtt0及初始條件：vt0求解方程：由v0解得cmln(mg)tktv遜em).&有一種醫(yī)療手段，是把示蹤染色注射到胰臟里去，以檢查其功能.正常胰臟每分鐘吸收掉40%染色，現(xiàn)內(nèi)科醫(yī)生給某人注射了染色，30分鐘后剩下，試求注射染色后t分鐘時正常胰臟中染色量P(t)隨時間t變化的規(guī)律，此人胰臟是否正常解：t以分為單位，因此,每分鐘正常胰臟吸收40%fe色可得，門，加以初始5Inp2P(0)=,tc便可求出p(t)=04t及p(30)=然后與實(shí)測比較知，此人胰臟不正常.9.有一容器內(nèi)有100L的鹽水，其中含鹽10kg，現(xiàn)以每分鐘3L的速度注入清水，同時又以每分鐘2L的速度將沖淡的鹽水排出，問一小時后，容器內(nèi)尚有多少鹽解：設(shè)t時刻容器內(nèi)含鹽P(t),P(0)10，由于t時刻容器內(nèi)液體為：100+t，因此t時刻容器內(nèi)濃度為：Q(t)上虬.于是在t時刻鹽的流失2Q(t)，從而有P(t)滿足的方程為：dP(t)2t100初始化條件為：InPntIncInf0c00輕0輕§3一階線性方程與貝努利方程1求下列微分方程的通解(1)y解：法一：常系數(shù)變易法：解齊次方程yy0xyxeC1(注：在常系數(shù)變易法InyInxInyInxCi齊次方程有解時求解齊次方程通解時寫成顯式解;。Cii。Cii代入非齊次方程有非齊次微分方程的通解法二(公式法)yexxxdxCx2exdxCInxxedxC解：2xy2x21x2y2xycosx0xyAx21[cosxxndx2Hx1dxC]1xynxC2cosxdxnxC2xxx21yinydx解:方程變形為解:方程變形為xdyeyinyeyinyC1C112inyiny即y即yy2(inyx)解x2dy2dyy2dyyH2in.xeyedyyinyiny、、12y,Inyyyyy1ydyC12y宀ylnyC22y12C(分部積分法ydylnydy2y24eysinx1y2dlnyy2yydyylny廳c)2usinx得uex[2(sinxexcosxex)C]即原方程通解為ey2(sinxcosx)Ce (sinxexdx用分部積分法積分)2.求下列微分方程的特解 )解yytanxsecx,yxo0;anxdxanxdx01decosx[secxecosxdxC]Incosx「Incosx■e[secxedxC]dxC代y(0)0c0特解：ycosx⑵yy沁,ylxo1xx解：yx[exdxInxrSinXInInxr特解:yc111xxCx解：由題意可得:y2xy0于是：yedx2xedxdxCex2xexdxCxexdxCxexxe(2xe2eC)x4.設(shè)可導(dǎo)函數(shù)(x)滿足方程x(x)cosx20(t)sintdt解：問題為初值問題cosxxsinx2xsinx1x該微分方程為線性微分方程故xetanxdxsecxetan曲dxC2cosxsecxdxCcosxtanxC又0又RLHEsintV串聯(lián)組成之電路，合上開關(guān)，求電路中電流i和時間t之關(guān)系.解：由ERi及可得：問題為初值問題該微分方程為線性微分方程故e5t10sin5te5tdtCsintcos5tCe5t(分部積分法積sin5te5tdt)x6.求下列貝努利方程的通解(1)y-x2y65y故原方程變?yōu)榫€性微分方程x55dxdx2C]exxdx5「x5X[Cx5貝努利方程的通解為y5yCx5y4cosxytanx原方程變形為y字tanxycosx,故原方程變?yōu)榫€性微分方程竺故zesxedxCeeCcos3x3sec2xdxcosx(3tanxC)貝努利方程的通解為yC)ydxxx2lny0dy解：方程變形為壯2xdy故原方程變?yōu)榫€性微分方程生ny故zeydyyeyydyC1yInydyCyy1Inyy2dyInyCy貝努利方程的通解為1Cy11xy2解：方程變形為x故原方程變?yōu)榫€性微分方程故1dxze2故1dxze21xe22112dx1y12dx貝努利方程的通解為1y2yx2x1§4可降階的高階方程yyx解：令2p，則予豐，原方程變?yōu)榫€性微分方程空pxdxedxC1xxexeeC1xxexC1xC2xy解:令魚朋，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分方程dxx21px1x21故y1Cx21dx，即C1yx33C2yy2y解:令dx分方程嚨則與2p20ydx原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微若p0，分離變量積分生刃，得pGy2，即dpGy2yxGxC24y3y1解:令dx則寫乎，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微分離變量積分Pdpy3dy2C1Cy2C1,變形得史1分離變量積分y2dydx2一Gy21dGy22jGy1即C1y21GxC222.求下列方程的特解1yy2y0°，ydpdyP亞，原方程變?yōu)榭煞蛛x變量的微dy1y1yxoxoxop0,分離變量積分dPdy得pCiey,x04得CPdyeyeydydx得eyxC2，由yx00得dxx0C12故特解y2xyex,yx20,yx00x22eeedxC1e22X小1Ce1Xx0o,yx2x0得C￡,2故特解為x的經(jīng)過(0,1)且在與直線y;1相切的積分曲線.y''x42xy1e解：由題意，原方程可化為：x12yx1CCxx022.112y-x221X3yxC2線性函數(shù);K可取正或負(fù))用y作自變量，令Py得：從而、212\(KyC1)2.1(KyC1)2再積分:C21，1212.22K5.槍彈垂直射穿厚度為的鋼板，入板速度為a,出板速度為b(ab),設(shè)槍彈在板內(nèi)受到阻力與速度成正比，問槍彈穿過鋼板的時間是多少解：由方程mdtv(0)a可得再從v—s(0)m，ktmaem0得到k根據(jù)v(to)可得§5高階線性微分方程31.已知yi(x),y2(x)是二階線性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的解，試證yi(x)y2(x)是yp(x)yq(x)y0y2代入方程的左邊yyxyiqxyiyy)0故(y1y2)是yp(x)yq(x)yf(x)的解3.已知二階線性微分方程yp(x)yq(x)yf(x)的三個特解yix,y2x2,y3e3x滿足y(0)0,y(0)3的特解.解：yiy2xx2;y2y3x2e3x是齊次微分方程的解，y2y3xe2yy得C?0,G2，即特解為y3x2x23?驗(yàn)證yix1,y2ex1是微分方程(x1)yxyy1的解，并求其通解?y2ex,y2易觀察得yyyxex是齊次微分方程的一個解，y2y3yx也是齊次微分方程的一個解§6二階常系數(shù)齊次線性微分方程1.求下列微分方程的通解(1)yy2yo；通解yGe2xc2ex2)(r1)0,解得r12y6y13y0解:特征方程r26r130,r2i通解ye3x(c1cos2xc2sin2x)y4y4y0解：特征方程r24r40,(r2)20,r1通解y(GC2X)e2x2r22y⑷2yy0.：特征方程為r42r210，即r2120得ri20即特征方程為有二重共軛復(fù)根ri故方程通解為y12CCx1234CCx34C2.求下列微分方程的特解C44y3y0,x04r3x6(rc2eG242特解y4ex (1)y解:r2通解y代y(0)C1CC3C12yx02(2)y25y0,yx02,yx05解:r2250,ri5i上5i通解yc1cos5xc2sin5x代y(0)2,y(0)5解出c1cy2cos5xsin5x(3)y4y13y0,yx02,yx03解:r24r13r2 2通解ye2xc1cos3xc2sin3xG2,C213m擺動?在不計(jì)空氣阻力條件下，求角位移隨時間t變化的規(guī)律?解：在如圖：t中垂直于擺的分量為：22此為造成運(yùn)動之力.而此時線加速度a為涇，故有m^從而方程為：春半初始條件：解得通解為：(t)cicosgxC2sin.gx特解為:4.圓柱形浮筒直徑為，鉛垂放在水中，當(dāng)稍向下壓后突然放開，浮筒在水為2s，求浮筒質(zhì)量.x解：建立如圖所示的坐標(biāo)系,取圓筒在平衡時(此時重力與浮力相等)筒上一點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)筒在上下振動時該點(diǎn)位移為x(t)，則有mx(t)F(x).其中F(t)為由于筒離開平衡位置后產(chǎn)生的浮力：R2x1000g.由此可得振動方程:2該方程的通解為V16m 解出gkg.5.長為6m的鏈條自桌上無摩察地向下滑動，設(shè)運(yùn)動開始時，鏈條自桌上垂下部分長為1m問需多少時間鏈條全部滑過桌面.解：坐標(biāo)系如圖，原點(diǎn)于鏈尾點(diǎn)P，鏈條滑過的方向?yàn)閤軸的正方向建立坐標(biāo)系，于是x(0)0,x(0)0,于是通解為:得:§7二階常系數(shù)非齊次線性微分方程1.求下列微分方程的通解 (1)y3y2y3xe%；解：特征方程為r23r20,特征根為r2,a1,故對應(yīng)齊次方程通解為yGe2xC?e本題中1是特征方程的單根，故可設(shè)原方程有特解代入原方程有xAxBxAxB3x得A5,B32故原方程通解為yGe2xC2exxex(-x3)2(2)y5y4y32x；解：特征方程為r25r40，特征根為口1上4，故對應(yīng)齊次方程通解為yC1exC2e4x本題中0不是特征方程的根，故可設(shè)原方程有特解y*AxB代入原方程有AxB025(AxB)4(AxB)32x得A得28故原方程通解為yxx2Ce21x28y54yxcosx；y故程復(fù)故程復(fù)有方特解：特征方程為r24r0r1r24,x故對應(yīng)齊次方程通解為yCiC?x構(gòu)造復(fù)方程yxeix復(fù)方程中i不是特征方程的根，故可設(shè)復(fù)方程有特解代入復(fù)方程得xB2xBx4i4i1762i)eixx289故復(fù)方程特解的實(shí)部程的一個特解,i11xcosx)(cosxisinx)4xsinx2.sinx289為原方故1yC1原x2Ce2方1程的4.xsinx通2(4)yysin2x；解：原方程即為yy1-222故對應(yīng)齊次方程通解為yGex顯然yy-有特解y11對yy2cos2x構(gòu)造復(fù)方程y4y1e2ix2設(shè)復(fù)方程有特解y2aiai1a-2得a亦，即復(fù)方程有特解y2所以原方程有特解y故原方程有通解yy丄cos2x-4).解：特征方程為2上12故對應(yīng)齊次方程通解為對yy2yxex1，cx3Ce3c?e1是1特征方程的單根,可設(shè)1有特解y-ix(AxB)exx2Ce21解得yx(6x4)ex對yy2y4x2,0是2特征方程的單根，可設(shè)2有特解解得y2x(x1)故yx』x-)exx(x1)是原方程的一個特解69故原方程通解為yC1C2exc3e2xx(」x4)exx(x1)692.求下列微分方程的特解5,y(0)6,y(0)2；解:特征方程齊次的通解yr23rx設(shè)y*A代入方程確定C代初始條件解出C120(2Ce2322r1)(r0;r112通解2yyxGec?ex3x2e5e52(2)yysin2x0,y()1,y()1解法一：原方程即為yysin2x特征方程為故對應(yīng)齊次方程通解為yC1cosxC2sinx構(gòu)造復(fù)方程yee復(fù)方程中2i不是特征方程的根，故可設(shè)復(fù)方程有特解y*Aeix代入復(fù)方程得2A2i20A2i1A1故復(fù)方程有特解y*尹1cos2x扣?故復(fù)方程特解的虛部知2x為原方程的一個特解,故原方程的通解為1yGcosxC2sinx-sin2x311y()1,y()1得特解ycosx2.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足exo(tx)f(t)dt求f(x).解：由題意有fexf(x)f(0)1,f(0)1程為r210，特征根為r1i,r2i故對應(yīng)齊次方程通解為yC1cosxC2sinx1不是特征方程的根，故可設(shè)原方程有特解xAe解得故原方程的通解為fxGcosxCsinx21得本題解為fx1cosx21.sinx2xtftdtx0xftdtf(x)xx00tftdtxftdtfx00x0fxf(t)dtxf(x0fxxXfXf(x)x0f(t)dtf(x)e04.一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由靜止開始沉入水中,下沉?xí)r水的反作用力與速度成正比(比例系數(shù)為k)，求此物體之運(yùn)動規(guī)律.解：取坐標(biāo)系如圖:設(shè)t時刻該質(zhì)點(diǎn)離水平面為dx特征方程r20解得設(shè)y*At,代入方程得初始條件：x(0)0,x(0)2特解為y罟_e下C0確定出C1mk一；齊次的通解ytmgt窖,C窖2Ci2Ce25.一鏈條懸掛在一釘子上，起動時一端離開釘子子12m若不計(jì)摩擦力，求鏈條全部滑下所需時間.8m,另一端離開釘解：考查鏈條的末端(在8米處)記為P,坐標(biāo)系如圖：在t時刻P坐標(biāo)為x(t)，于是在t時刻P坐標(biāo)為x(t)(202x)g(是鏈條線密度)整個鏈條的質(zhì)量為：d2dx20r(202x)g，d^x-xg,(有特解x10)西l￡t求出通解xGe10C2e1010然后由x(t)0解出全部滑落的時間t6.大炮以仰角、初速V發(fā)射炮彈，若不計(jì)空氣阻力，求彈道曲線0解解：取坐標(biāo)系如圖設(shè)彈道曲線為y;(/)，t時刻受力為: 即mx(t)0,my(t)mg，有y(x(0)0x(0)v0cosy(0)0x(0)v0sin分別可以解得:0x(t)Vcost02yt1gt2Vosin§8歐拉方程及常系數(shù)線性微分方程組1.求下列微分方程的通解(1)x3yx2y2xy2yx3解：令xet,tInxydy-dtdy-,即xyDy，同理推出dtdxdtxx3yD(D1)(D2)y,x2yD(D1)y代入原式D(D1)(D2)yD(D1)y2Dy2ye3t整理得(D34D25D2)ye3t特征方程r34r25r20,即(r1)2(r2)0,r1r21,r321設(shè)y*Ae3t代入解得A(2)通解yGe2t原方程的解為yyxyxxy41t3te3ct)ee32C1nx)x13x解:兩邊同乘x2:x2y令xet原方程化為即(D22D1)y2etxyy2x[D(D1)D特征方程r22r1rr1設(shè)y*At2et求出y*,y*代入方程解得A1通解yGc