信號時頻分析-講義-WVD

數(shù)字信號處理-信號時頻分析講義PAGEPAGE14Wigner-Ville分布Wigner-Ville分布可以看作是一大類分布的原型，它們和短時傅立葉變換譜有著本質(zhì)的不同。它首先由Wigner提出，用于量子力學領域問題的研究，后由Ville引入到信號分析。因為在計算中，信號需要用到兩次，因此Wigner-Ville分布被稱為一種二次型分布?；径x及計算Wigner-Ville分布可由信號x(t)本身或它的頻譜定義為如下兩種等價方式,(2.1.1.(2.1.2其中*表示復數(shù)共軛。要證明上面兩式是等價的，只需將信號寫成它的頻譜形式，然后將其代入到(2.1.1)式，即可得到(2.1.2)式。式(2.1.1)中，稱為信號的瞬時相關函數(shù)，因此Wigner-Ville分布實質(zhì)上是對信號的瞬時相關函數(shù)的傅立葉變換，它的結(jié)果能夠反映信號的時頻特征例2.1.1(2.1.3)其采樣頻率為1000Hz。圖2.1.1是其Wigner-Ville分布，頻率軸劃分區(qū)間數(shù)為512。圖中清楚顯示，該信號在整個時間段上，只含有一個頻率為200Hz的分量。需要說明的是，圖中顯示的是tt/sf/HzWigner-Ville分布500400300200100000.20.40.60.810.20.40.60.8圖2.1.1信號(2.1例2,(2.1.4)這是一個線性調(diào)頻信號。采樣頻率為500Hz，圖2.1.2是其時域波形和頻譜，圖2.1.3是其Wigner-Ville分布，頻率軸劃分區(qū)間數(shù)為512。頻譜圖顯示該信號的頻率范圍在50Hz至150Hz之間，但卻不能t/t/s(a)時域波形f/Hz(b)頻譜幅值幅值圖2.1.2信號(2.1.f/Hzt/sWigner-Ville分布50100150200250000.511.520.20.40.60.8圖2.1.3基本性質(zhì)Wigner-Ville分布是一種最基本，也是應用最多的時頻分布。熟悉Wigner-Ville分布的數(shù)學性質(zhì)對于全面了解該分布是十分必要的。下面給出了Wigner-Ville分布的一些主要性質(zhì)。(1)實值特性Wigner-Ville分布總是實值的，即便信號是復數(shù)。根據(jù)式(2.1.1)，的共軛復數(shù)定義為,(2.2.1)因此，是實值函數(shù)。(2)時頻邊緣特性Wigner-Ville分布具備如下時頻邊緣特性。,(2.2.2),(2.2.3)很顯然，,(2.2.4)類似可證明邊緣特性(2.2.3)。在信號分析中，信號x(t)的瞬時功率定義為信號模值的平方|x(t)|2，類似地，信號在某一頻率的能量強度叫做能量譜密度，它是信號傅立葉變換譜的平方|X(ω)|2。因此，Wigner-Ville分布的邊緣特性表明，該分布關于時間t和頻率ω的積分分別給出了信號x(t)在t時刻的瞬時功率和在頻率ω的能量譜密度。(3)能量守恒Wigner-Ville分布是一種能量守恒的變換，這可由該變換的時頻邊緣特性很容易地給出證明。,(2.2.5(4)時移和頻移不變性如果，則,(2.2.6)將代入Wigner-Ville分布的定義中，可知新信號的Wigner-Ville分布可表示為,(2.2.7)該性質(zhì)表明，當信號在時間軸上移位一時間段時，它的整個Wigner-Ville分布也將相應地移位相同的時間量。類似地，如果信號的頻譜平移一固定的量，則其分布也將平移相同的量。(5)時頻伸縮相似性:如果，則,(2.2.8這一性質(zhì)顯然應該成立，否則，如果把信號sin(4πt)(0<t<1)看作是經(jīng)由尺度參數(shù)c=2對信號sin(2πt)(0<t<2)進行壓縮得到的信號，那么伸縮相似性的不成立將導致以下后果：在二維時頻面上，如果信號sin(2πt)的時頻分布被正確地顯示在1Hz處，那么信號sin(4πt)的時頻分布將不會正確地出現(xiàn)在2Hz處。類似地可推出，如果該時頻伸縮相似性不成立，那么后續(xù)的有限支撐性質(zhì)也不能滿足。(6)卷積性質(zhì)如果信號y(t)是信號x(t)和h(t)的卷積，則y(t)的Wigner-Ville分布是x(t)和h(t)的Wigner-Ville分布的時域卷積，即如果,則,(2.2.9)(7)乘積性質(zhì)如果信號y(t)是信號x(t)和h(t)的乘積，則y(t)的Wigner-Ville分布是x(t)和h(t)的Wigner-Ville分布的頻域卷積，即如果,則,(2.2.10)(8)有限支撐性質(zhì)如果信號x(t)是時域有限支撐的，則它的Wigner-Ville分布也具有同樣的時域有限支撐，即如果，，則，。類似地，如果信號x(t)是頻域有限支撐的，則它的Wigner-Ville分布也具有同樣的頻域有限支撐。(9)對線性調(diào)頻信號分析的良好集中性Wigner-Ville分布可以精確地反映線性調(diào)頻信號的頻率信息，如，則.(2.2.11)交叉干擾項及其抑制雖然Wigner-Ville分布具有很多優(yōu)良的數(shù)學性質(zhì)，遺憾的是，它卻不滿足可加性。考慮信號,(2.3.1)將它代入式(2.1.1)可知，信號x(t)的Wigner-Ville分布可寫為,(2.3.2)其中,(2.3.3),(2.3.4)這兩項稱為互Wigner-Ville分布，它們是復值的，并且可看出,(2.3.5)因此，是實值的。這樣，式(2.3.2)可簡寫為.(2.3.6)由此可以看出，兩個信號和的Wigner-Ville分布并不是簡單的兩個信號各自的Wigner-Ville分布之和，附加項通常稱為交叉項。通過Wigner-Ville分布的定義也可以直觀地解釋交叉項是怎么出現(xiàn)的。正如前面所述，信號某時刻的Wigner-Ville分布是位于該點過去的信號等長度地乘以位于該點未來的信號，然后作傅立葉變換。因此，只要該點的右邊部分和左邊部分存在重疊，則即使信號在該點的值為零，該點的Wigner-Ville分布也是非零的。如圖2.3.1所示，顯然位于t1和t2之間的點的Wigner-Ville分布不會為零，這些非零點就是交叉項在時域的體現(xiàn)。這是在時域的示意，在頻域同樣如此。xx1x2t1t2圖2.3.1交叉項的示例信號為了更好地說明交叉項，下面給出三個典型信號的Wigner-Ville分布。例2.3.1該信號的時域波形如圖2.3.1所示，其中x1(t)和x2(t)都是頻率為20Hz的正弦信號，t1=2秒，t2=5秒。圖2.3.2t/s交叉項t1t2Wigner-Ville分布0102030f/Hz40500.050.10.150.20.250.30.3560圖2.3.2例2.3.例2.3.2分析信號()。圖2.3.3給出了該信號的Wigner-Ville分布，可清楚看到在25Hz處出現(xiàn)了交叉項。用式(2.1.2)，這很容易解釋，因為只有當＝25Hz時，和才會有非零重疊項。tt/s504030201000.20.40.60.81.01.2Wigner-Ville分布f/Hz012345圖2.3.3例2.3.2例2.3.3,(2.3.7)圖2.3.4給出了該信號的Wigner-Ville分布，可以清楚地tt/sf/HzWigner-Ville分布010203040500.10.20.30.40.50.60.70246圖2.3.4例2.3.由上面三個算例可以看出，Wigner-Ville分布的交叉項出現(xiàn)有一定的規(guī)律，對簡單信號來說，比較容易辨認出圖中哪些分量是信號的真實成份，哪些分量是無意義的交叉項。但在實際應用中，信號一般都比較復雜，如果沒有一些先驗知識，則很難區(qū)分出哪些是真實成份，哪些是交叉項。另外，交叉項有一個很重要的特性，它們的和為零，即,(2.3.8這通過Wigner-Ville分布的邊緣特性可以很容易地證明。很明顯，如果交叉項的和是非零的，則在算例1中，對中間部分，()(2.3.9)類似地，如果交叉項的和非零，則在算例2中，在ω＝25Hz處，，(2.3.10圖2.3.5給出了例2.3.2信號的Wigner-Ville分布三維效果圖，可以Wigner-VilleWigner-Ville分布-2-1012-1-0.500.51010202040500圖2.3.5例2.3.2類似Wigner-Ville分布的有限支撐性質(zhì)，互Wigner-Ville分布也具有有限支撐性質(zhì)，性質(zhì)如下：在時域，如果在時間區(qū)間(t1,t2)外都為零，在時間區(qū)間(t3,t4)外都為零，則在時間區(qū)間外，都為零。類似地，在頻域，如果在頻率區(qū)間外都為零，在頻率區(qū)間外都為零，則在頻率區(qū)間外，都為零?；igner-Ville分布的有限支撐性質(zhì)也同樣適用于交叉項。交叉項使Wigner-Ville分布在時頻域表現(xiàn)出一些和原信號的物理性質(zhì)相矛盾的結(jié)果，從而誤導分析。因此如何抑制交叉項是一個值得認真考慮的問題，也是一個挑戰(zhàn)性的問題，至今還沒有完美的解決方法。下面將簡單介紹一種非?；镜模彩乾F(xiàn)在常用的方法?？紤]到Wigner-Ville分布是一種高度非局部變換，在計算信號任一時刻的Wigner-Ville分布時，都要利用信號該時刻過去和未來的數(shù)據(jù)，并且這些數(shù)據(jù)在計算中所起的作用都是一樣的。一種自然的想法就是對信號進行加窗處理，突出式(2.1.1)中位于附近的信號特征，而抑制遠處的信號的特征，這樣計算得到的Wigner-Ville分布就能夠比較正確地表示,(2.3.11其中是窗函數(shù)，常用的窗函數(shù)是Gauss函數(shù),(2.3.12加窗后，只有當信號某點的右邊部分和左邊部分在窗內(nèi)存在重疊部分，該點的Wigner-Ville分布才非零，因此偽Wigner-Ville分布可以很好地抑制在時間軸方向的交叉項，并且，通過控制窗函數(shù)的寬度，可以調(diào)節(jié)交叉項的抑制程度。Gauss窗函數(shù)寬度由參數(shù)α調(diào)節(jié)。另外，容易推導出，雙正弦信號的偽Wigner-Ville分布是.(2.3.13可以看出，如果α的值變小，交叉項會相應地變小，但信號的真實分量也會變小，而且它們隨α變小的速率差不多，因此偽Wigner-Ville分布對頻率軸方向的交叉項抑制效果不是很明顯。圖2.3.6(a),(b)給出了信號(2.3.7)的偽Wigner-Ville分布，窗函數(shù)為Gauss函數(shù)。其中圖(a)中α=3，對應的窗函數(shù)寬度比較窄。圖(b)中α=1，對應的窗函數(shù)寬度比較寬。可以看出在圖(a)中，時間軸方向的交叉項基本上消失了，但在圖(b)中，交叉項仍然存在。另外，在兩個圖中，頻率軸方向的交叉項仍然存在，并沒有得到很好tt/st/sf/Hz偽Wigner-Ville分布偽Wigner-Ville分布01020304050024602460.10.20.30.40.50.60.10.20.30.40.50.60.7f/Hz01020304050(a)α=3(b)α=1圖2.3.6信號(2.3.通過在時間軸方向加窗，偽Wigne