理論力學(xué)-剛體的平面運動

理論力學(xué)—剛體的平面運動第1頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日在運動中，剛體上的任意一點與某一固定平面始終保持相等的距離，這種運動稱為平面運動。此處有影片播放第2頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日9.1剛體平面運動概述和運動分解MNSA1A2A剛體上每一點都在與固定平面M平行的平面內(nèi)運動。若作一平面N與平面M平行,并以此去截割剛體得一平面圖形S?？芍撈矫鎴D形S始終在平面N內(nèi)運動。因而垂直于圖形S的任一條直線A1A2必然作平動。A1A2的運動可用其與圖形S的交點

A的運動來替代。剛體的平面運動可以簡化為平面圖形在其自身平面S內(nèi)的運動。第3頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日這就是平面圖形的運動方程。SMO'yxO9.1剛體平面運動概述和運動分解j平面圖形S在其平面上的位置完全可由圖形內(nèi)任意線段O'M的位置來確定，而要確定此線段的位置，只需確定線段上任一點O'的位置和線段O'M與固定坐標軸Ox間的夾角j即可。點O'的坐標和j角都是時間的函數(shù)，即平面圖形的運動方程可由兩部分組成：一部分是平面圖形按點O'的運動方程xO'=f1(t),yO'=f2(t)的平移，沒有轉(zhuǎn)動；另一部分是繞O'點轉(zhuǎn)角為j

=f3(t)的轉(zhuǎn)動。第4頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日9.1剛體平面運動概述和運動分解平面運動的這種分解也可以按上一章合成運動的觀點加以解釋。以沿直線軌道滾動的車輪為例，取車廂為動參考體，以輪心點O'為原點取動參考系O'x'y'，則車廂的平動是牽連運動，車輪繞平動參考系原點O'的轉(zhuǎn)動是相對運動，二者的合成就是車輪的平面運動(絕對運動)。單獨輪子作平面運動時，可在輪心O'處固連一個平動參考系O'x'y'，同樣可把輪子這種較為復(fù)雜的平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動兩種簡單的運動。y'x'O'y'x'O'第5頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日9.1剛體平面運動概述和運動分解對于任意的平面運動，可在平面圖形上任取一點O‘，稱為基點。在這一點假想地安上一個平移參考系O’x‘y’；平面圖形運動時，動坐標軸方向始終保持不變，可令其分別平行于定坐標軸Ox和Oy

。于是平面圖形的平面運動可看成為隨同基點的平移和繞基點轉(zhuǎn)動這兩部分運動的合成。y'x'O'yxO第6頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日O'M

平面圖形內(nèi)任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和,這就是平面運動的速度合成法或稱基點法。1.基點法已知O'點的速度及平面圖形轉(zhuǎn)動的角速度，求M點的速度。9.2求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法wvMvO'vMO'vO'第7頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例1橢圓規(guī)機構(gòu)如圖。已知連桿AB的長度l=20cm，滑塊A的速度vA=10cm/s，求連桿與水平方向夾角為30°時，滑塊B和連桿中點M的速度。

解:AB作平面運動，以A為基點，分析B點的速度。由圖中幾何關(guān)系得：方向如圖所示。AvAvAvBvBABwAB30°M30°第8頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日以A為基點，則M點的速度為將各矢量投影到坐標軸上得：解之得AvAvAvMABwAB30°MvMxya第9頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例2行星輪系機構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動，半徑為r2。系桿OA角速度為wO。求輪II的角速度wII及其上B，C兩點的速度。解:行星齒輪II作平面運動，求得A點的速度為vAwOODACBvAvDAwIIIII以A為基點，分析兩輪接觸點D的速度。由于齒輪I固定不動，接觸點D不滑動，顯然vD＝0，因而有vDA＝vA＝wO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點D相對基點A的速度，應(yīng)有vDA

＝wII·DA。所以第10頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點，分析點B的速度。vBA與vA垂直且相等，點B的速度以A為基點，分析點C的速度。vCA與vA方向一致且相等，點C的速度第11頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日

同一平面圖形上任意兩點的速度在其連線上的投影相等。這就是速度投影定理。2.

速度投影定理由于vBA垂直于AB，因此[vBA]AB=0。于是將等式兩邊同時向AB方向投影:9.2求平面圖形內(nèi)各點速度的基點法ABwvBvAvBAvA第12頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例3用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得解得AvAvBB30°第13頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日定理：一般情況，在每一瞬時，平面圖形上都唯一地存在一個速度為零的點。9.3求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法wS設(shè)有一個平面圖形S角速度為w，圖形上點A的速度為vA，如圖。在vA的垂線上取一點C(由vA到AC的轉(zhuǎn)向與圖形的轉(zhuǎn)向一致)，有如果取AC＝vA/w，則NCvAvCA該點稱為瞬時速度中心，或簡稱為速度瞬心。vAA第14頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日

圖形內(nèi)各點速度的大小與該點到速度瞬心的距離成正比。速度的方向垂直于該點到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動的一方。

9.3求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法CAwvAvBBDvDwC第15頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日確定速度瞬心位置的方法有下列幾種：(1)平面圖形沿一固定表面作無滑動的滾動，圖形與固定面的接觸點C就是圖形的速度瞬心。如車輪在地面上作無滑動的滾動時。9.3求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法vC第16頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日(2)已知圖形內(nèi)任意兩點A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每點速度的垂線的交線上。9.3求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法wABwOCvAABvB第17頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日(3)已知圖形上兩點A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于兩點的連線AB，則速度瞬心必定在連線AB與速度矢vA和vB端點連線的交點C上。9.3求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC第18頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日(4)某瞬時，圖形上A、B兩點的速度相等,如圖所示，圖形的速度瞬心在無限遠處。(瞬時平動：此時物體上各點速度相同，但加速度不一定相等)9.3求平面圖形內(nèi)各點速度的瞬心法wOvAABvB另外注意：瞬心的位置是隨時間在不斷改變的，它只是在某瞬時的速度為零，加速度并不為零。第19頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日確定瞬心的一般方法：第20頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例4用速度瞬心法解例1。解：AB作平面運動AvAvBB30°CvMwM

瞬心在C點第21頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例5

已知輪子在地面上作純滾動，輪心的速度為v，半徑為r。求輪子上A1、A2、A3和A4點的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點即A1各點的速度方向分別為各點與A點連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與w相同，由此可見車輪頂點的速度最快，最下面點的速度為零。O第22頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日45o90o90oO1OBAD例6已知四連桿機構(gòu)中O1B＝l，AB＝3l/2，AD＝DB，OA以w繞O軸轉(zhuǎn)動。求：(1)AB桿的角速度；(2)

B和D點的速度。w

解：AB作平面運動，OA和O1B都作定軸轉(zhuǎn)動，C點是AB桿作平面運動的速度瞬心。vAvBvDCwAB第23頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例7直桿AB與圓柱O相切于D點，桿的A端以勻速向前滑動，圓柱半徑，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無滑動，如圖，求時圓柱的角速度。

解一：圓柱作平面運動，其瞬心在

點，設(shè)其角速度為。

AB圓柱作平面運動，其瞬心在

點，則即亦即故第24頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例8圖示機構(gòu)，已知曲柄OA的角速度為w，OA＝AB＝BO1＝O1C＝r，角a=b=60o，求滑塊C的速度。解：AB和BC作平面運動，其瞬心分別為C1和C2點，則wabOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC第25頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日解：連桿AB作平面運動，瞬心在C1點，則例9曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長r以勻角速度w轉(zhuǎn)動，AB=BC=BD=l，當(dāng)曲柄與水平線成30o角時，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30o角。試求圖示位置時，桿AB、BC的角速度以及沖頭C

的速度。AOBDC30o30ovAvBvCwC1wABC2wBC連桿BC作平面運動，瞬心在C2點，則第26頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例10曲柄連桿機構(gòu)中，在連桿AB上固連一塊三角板ABD，如圖所示。機構(gòu)由曲柄O1A帶動。已知曲柄的角速度為w＝2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當(dāng)O1A⊥O1O2時，AB∥O1O2

，且AD與AO1在同一直線上，j=30o。試求三角板ABD的角速度和點D的速度。解、運動分析：O1A和O2B作定軸轉(zhuǎn)動；ABD作平面運動，其速度瞬心在點C。

O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB第27頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例11圖示蒸汽機傳動機構(gòu)中，已知：活塞的速度為v，O1A1=a1,O2A2=a2,CB1=b1,CB2=b2;齒輪半徑分別為r1和r2；且有a1b2r2≠a2b1r1。當(dāng)桿EC水平，桿B1B2鉛直，A1，A2和O1，O2都在一條鉛直線上時，求齒輪O1的角速度。vA1vA2w1w2解：設(shè)齒輪O1轉(zhuǎn)動方向為逆時針，則齒輪O2的轉(zhuǎn)動方向為順時針。因A1，A2和O1，O2在一條鉛直線上，所以A1，A2點的速度均為水平方向，如圖所示

。因B1B2作平面運動，vC⊥B1B2，由速度投影定理知vB1，vB1也應(yīng)垂直于B1B2而沿水平方向。

A1B1作平面運動，vA1和vB1都沿水平方向，所以A1B1作瞬時平動，同理A2B2也作瞬時平動，所以vB1vB2vC第28頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日vA1vB1vB2vA2vCw1w2B1B2桿的速度分布如圖所示，速度瞬心在O點。設(shè)OC長度為x，則Ow因齒輪O1，O2相互嚙合，w1r1＝w2r2，所以當(dāng)a1b2r2＞a2b1r1時，齒輪O1的角速度為逆時針方向。第29頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例12圖示放大機構(gòu)中，桿I和II分別以速度v1和v2沿箭頭方向運動，其位移分別以x和y表示。如桿II與桿III平行，其間距離為a，求桿III的速度和滑道Ⅳ的角速度。IIIIIIIVBCyv1axAv2解：I、II、III桿作平動，IV桿作平面運動。滑塊B和滑塊C與滑道之間有相對運動，如果取滑道IV作為動參考體分析滑塊B和滑塊C的運動，則牽連運動均為平面運動。第30頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日ABIVvB(ve1)vAvAvBAva1vr1ahIIIIIIIVBCyv1axAv2

B點的運動分析：取滑塊B為動點，滑道Ⅳ作為動參考體，絕對運動是滑塊B隨I桿的運動，速度為va1=v1；相對運動是滑塊B在Ⅳ桿滑道中的運動，速度為vr1；牽連運動是Ⅳ桿的平面運動，其速度可用基點法分析得到：取A為基點，分析Ⅳ桿上B點的速度，隨基點平動的速度是Ⅱ桿的運動速度v2，相對于基點轉(zhuǎn)動的速度方向垂直于Ⅳ桿，大小未知，由這兩個速度合成得到Ⅳ桿上B點的速度vB，此速度即是前面復(fù)合運動中的牽連速度ve1，如圖所示。第31頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日vB(ve1)Av1vAvBAva1vr1BIVah向h方向投影得:第32頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日ACⅣvC(ve2)vAvAvCAva2vr2aIIIIIIⅣBCyv1axAv2

C點運動分析：取滑塊C為動點，滑道Ⅳ作為動參考體，絕對運動是滑塊C隨Ⅲ桿的運動，速度為va2＝vIII,大小待求；相對運動是滑塊C在Ⅳ桿滑道中的運動，速度為vr2；牽連運動是Ⅳ桿的平面運動，其速度可用基點法分析得到：取A為基點，分析Ⅳ桿上C點的速度，隨基點平動的速度是Ⅱ桿的運動速度v2，相對于基點轉(zhuǎn)動的速度vCA方向垂直于Ⅳ桿，大小為vCA=wⅣ·AC，由這兩個速度合成得到Ⅳ桿上C點的速度vC，此速度即是前面復(fù)合運動中的牽連速度ve2，如圖所示。h第33頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日vC(ve2)AvAvAvCAva2(vIII)vr2CⅣa向h方向投影得:因為所以h第34頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日如圖所示。由牽連運動為平動的加速度合成定理，有而其中故由于牽連運動為平動，所以ae=aA，于是有9.4用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度BAaAaBaAaBAwa第35頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日即：平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與相對基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。這就是平面運動的加速度合成法，稱為基點法。BAaAaBaAaBAwa9.4用基點法求平面圖形內(nèi)各點的加速度第36頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日解：如圖所示。由于此式對任意時間都成立，故兩邊對時間求導(dǎo)有由此可得再對時間求導(dǎo)有由此可得例14求圓輪在地面上作純滾動時的角速度w和角加速度a。wjOOrMM'svOvOa第37頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日

例15車輪在地面上作純滾動，已知輪心O在圖示瞬時的速度為vO，加速度為aO，車輪半徑為r，如圖。試求輪緣與地面接觸點C的加速度。解：車輪作平面運動，取O點為基點，則C點的加速度為取如圖的投影軸，將各矢量投影到投影軸上得方向由C點指向O點。awaOCOvOaOxh第38頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例16平面四連桿機構(gòu)中，曲柄OA長r，連桿AB長l＝4r。當(dāng)曲柄和連桿成一直線時，此時曲柄的角速度為w，角加速度為a，試求搖桿O1B的角速度和角加速度的大小及方向。解：AB作平面運動，由題設(shè)條件知，AB的速度瞬心在B點，也就是說，vB=0，故：OO1ABwa30o30ovA第39頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日取A為基點分析B點的加速度如圖所示：其中：OO1AB第40頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日將加速度向h軸投影得：OO1ABh30o第41頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日ABCDO100100vCvB45o45o例17平面四連桿機構(gòu)的尺寸和位置如圖所示，如果桿AB以等角速度w=1rad/s繞A軸轉(zhuǎn)動，求C點的加速度。解：AB和CD作定軸轉(zhuǎn)動，BC作平面運動，其B、C兩點的運動軌跡已知為圓周，由此可知vB和vC的方向，分別作vB和vC兩個速度矢量的垂線得交點O即為該瞬時BC的速度瞬心。由幾何關(guān)系知wBCw第42頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日ABCDaB45oaB80.54o取B為基點分析C點的加速度，有將C點的加速度向BC方向投影得：aC負值表明實際方向與假設(shè)方向相反。第43頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例18圖示曲柄連桿機構(gòu)中，已知曲柄OA長0.2m，連桿AB長1m，OA以勻角速度w=10rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。解：AB作平面運動，瞬心在C點，則OwwAB45oAvA45ovBBC第44頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日AB作平面運動，以A點為基點，則B點的加速度為其中O45oAaBBaAa

nBAa

tBAaAx將B點加速度投影到h軸上得h將B點加速度投影到x軸上得第45頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日解：薄板作平面運動，取B為基點分析A點的加速度如圖所示：例19圖示正方形薄板邊長20mm，在其平面內(nèi)運動。某瞬時頂點A和B的加速度分別為和，方向如圖。求薄板的角速度和角加速度。DCBAaBaAa

nCBa

tCBaB其中：第46頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日將等式兩邊分別向x和y方向投影得：DCBAxyaBaAa

nCBa

tCBaB第47頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日再取B為基點分析C點的加速度如圖所示將加速度分別向x和y方向投影得：其中方向與CD成45o夾角指向右下方。DCBAxyaBaCaBa

nCBa

tCBaCxaCy第48頁，共55頁，2023年，2月20日，星期日例20半徑r=1m的輪子，沿水平直線軌道純滾動，輪心具有勻加速度aC=0.5m/s2，借助于鉸接在輪緣A點上的滑塊，帶動桿OB繞垂直圖面的軸O轉(zhuǎn)動，在初瞬時(t=0)輪處于靜止狀態(tài)，當(dāng)t=3s時機構(gòu)的位置如