動態(tài)優(yōu)化模型

第十八章動態(tài)優(yōu)化模型動態(tài)過程的另一類問題是所謂的動態(tài)優(yōu)化問題,這類問題一般要歸結為求最優(yōu)控制函數使某個泛函達到極值。當控制函數可以事先確定為某種特殊的函數形式時，問題乂簡化為求普通函數的極值。求解泛函極值問題的方法主要有變分法和最優(yōu)控制理論方法。§1變分法簡介變分法是研究泛函極值問題的一種經典數學方法，有著廣泛的應用。下面先介紹變分法的基本概念和基本結果，然后介紹動態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題求解的必要條件和最大值原理。1.1變分法的基本概念1.1.1泛函設S為一函數集合，若對于每一個函數x(t)e5有一個實數丿與之對應，則稱丿是對應在S上的泛函，記作J(x(O)oS稱為丿的容許函數集。通俗地說，泛函就是“函數的函數”。例如對于小平面上過定點4(勺』1)和直(心』2)的每一條光滑曲線y(x)，繞x軸旋轉得一旋轉體，旋轉體的側面積是曲線y(x)的泛函J(y(x))o由微積分知識不難寫出(1)(2)(3)丿()'W)= 2列(1)(2)(3)容許函數集可表示為s={yWIeeg,X2], )=兒，yg)=%}最簡單的一類泛函表為丿F(t,xyx)dt被積函數F包含自變量/,未知函玄兀及導數x。(1)式是最簡泛函。1.1.2泛函的極值泛函7(x(0)在Xo(/)uS取得極小值是指，對于任意一個與勺⑴接近的x(t)eS,都有J(x(0)>7(x0(r))o所謂接近,可以用距離d(x(r"o⑴)v￡來度量,而距離定義為d(x⑴衛(wèi)0(。)=max{|x(O-xo(r)|,|i(O~xo(O|}泛函的極大值可以類似地定義。兀0(/)稱為泛函的極值函數或極值曲線。1.13泛函的變分如同函數的微分是增量的線性主部一樣，泛函的變分是泛函增量的線性主部。作為泛函的自變量，函數雙/)在兒⑴的增量記為3x(t)=x(t)-x0(t)也稱函數的變分。由它引起的泛函的增量記作=J(兀0(0+&⑴)-J(兀0(0)如果△/可以表為△丿=L(xo(O,&(。)+心o(d&(/))

其中厶為&的線性項，而廠是&的高階項，則厶稱為泛函在心(。的變分，記作刃(入⑴)。用變動的x(f)代替xo(O,就有W))。泛函變分的一個重要形式是它可以表為對參數&的導數：*(W))=-^-J(x(f)+Q&(f))|a=o (4)da這是因為當變分存在時，增量AJ=J(x(r)+ -J(x(r))=厶(x(f),a&)+r(x(r),a&)根據厶和廠的性質有L(x(t),adc)=lim心％&=0qtoa a?adi所以8 J{x+aSx)-J{x)喬小+込)"跌 =血厶(5)+心曲)=厶(佔)=刃⑴a->o a1.1.4極值與變分利用變分的表達式(4)可以得到泛函極值與變分的關系：若7(x(0)在x°(f)達到極值(極大或極小)，則刃g⑴)=0 (5)這是因為對任意給定的J^x^aSx)是變量a的函數，該函數在a=0處達到極值。根據函數極值的必要條件知6da6daJ（%Q+a=o=0于是由(4)式直接得到(5)式。1.1.5.變分法的基本引理7（x1）=7（x2）=0,有引理卩⑴eC[x{,x2],V?7（x）eC17（x1）=7（x2）=0,有■(p(x)7](x)dx=0,則0(x)三0,xe[x1?x2]o1.2無約束條件的泛函極值求泛函J=\F(t,x(t),x(t))dt (6)的極值，一般是用泛函極值的必要條件去尋找一條曲線兀(/),使給定的二階連續(xù)可微函數F沿該曲線的積分達到極值。常稱這條曲線為極值曲線(或軌線)，記為x\t)o1.2.1端點固定的情況設容許曲線x(f)滿足邊界條件X(『0)=X09XQf)=Xf且二次可微。首先計算(6)式的變分：刃嶋3)+阿凡。:右FQ,4)+adc(t\x(t)+Q&(f))|a=Qdt=[[Fx(r,x,x)8x+F.(r,x,x)8x]dt (8)Jzo對上式右端第二項做分布積分，并利用&(&)=&(0.)=0,有『Fx(r,x,x)8xdt=-pfFx(r,x,x)8xdt,J/o J/oat再代回到(8)式，并利用泛函取極值的必要條件，有6J=\，[Fx-^-F^3xdt=G%at因為&的任意性，及&(/。)=&(—)=0,所以由基本引理得到著名的歐拉方程它是這類最簡泛函取極值的必要條件。(9)式乂可記作CT?廠心―尸訂=0 (10)通常這是x(f)的二階微分方程，其通解的兩個任意常數由(7)式中的兩個端點條件確定。1.2.2最簡泛函的兒種特殊情形F不依賴于x,即F=F(t,x)這時件三0,歐拉方程為代億兀)=0,這個方程以隱函數形式給出x(f),但它一般不滿足邊界條件，因此，變分問題無解。F不依賴x,即F=F(t.x)歐拉方程為軌3=0at將上式積分一次，便得首次積分代(/,兀)=5,由此可求出x= 積分后得到可能的極值曲線族(hi)F只依賴于x,即F=F(x)這時Fx=0,Ft.=0yFx,=0,歐拉方程為譏=0由此可設丘=0或尸沃=0,如果丘=0,則得到含有兩個參數的直線族x=clt+c2O另外若尸云=°有一個或兒個實根時，則除了上面的直線族外，乂得到含有一個參數c的直線族x=kt+c,它包含于上面含有兩個參數的直線族x=clt+c2中，于是，在F=F(x)情況下，極值曲線必然是直線族。(iv)F只依賴于x和Q即F=F(x,x)這時有F‘=o,故歐拉方程為&-嘰-遲?=°此方程具有首次積分為F-xFr事實上，注意到F不依賴于/,于是有《(F-迅.)二Fxx+F摳—迅-x^-F,=x(Fv-￥人)=0oat dt at例1(最速降線問題)最速降線問題是歷史上變分法開始發(fā)展的第一個問題。它是約翰?貝努里(J.Bernoulli)于1696年提出的。問題的提法是這樣的：設A和B是鉛直平面上不在同一鉛直線上的兩點，在所有連結4和B的平面曲線中，求一曲線，當質點僅受重力作用，且初速為零，沿此曲線從A滑行至B時，使所需時間最短。解將A點取為坐標原點，x軸水平向右，y軸垂直向下，B點為B(x2,y2)。根據能量守恒定律，質點在曲線y(x)上任一點處的速度牛滿足(s為弧長)、2、2(ds—m\——[dt,將ds=Jl+W2(x)dx代入上式得dt=I匕二dx2gy于是質點滑行時間應表為y(x)的泛函丿(y(x))丿(y(x))dx端點條件為y(0)=0,y(x2)=y2i+y2最速降線滿足歐拉方程，因為i+y2y不含自變量X,所以方程(10)可寫作化一行0等價于(F-/FV.)=Oax作一次積分得y(l+/2)=q令y'=ctg與,則方程化為靜7曲卜訣―品）積分之，得由邊界條件><0）=0,可知c2=0,故得這是擺線（圓滾線）的參數方程，其中常數Q可利用另一邊界條件y（x2）=y2來確定。例2最小旋轉面問題S=S={yIyeCl[x^x2ly(“)=y15yg)=y2}解因F=yJl+嚴不包含％,故有首次積分Jl+嚴F-y'Fy=yjl+)"-yj?'Jl+嚴化簡得y=qjl+嚴令y'=sht,代入上式，y=c1Jl+必勺=c^cht由于dx=^=E^L=C[dt積分之，得x=clt+c2消去f,就得到y(tǒng)=c{ch^^這是懸鏈線方程。1.2.3最簡泛函的推廣最簡泛函取極值的必要條件可以推廣到其它情況。（i）含多個函數的泛函使泛函取極值且滿足固定邊界條件

取極值且滿足固定邊界條件y(“)=兒,y(x2)=y2, )=sz(x2)=z2.的極值曲線y=y(x)憶=z(x)必滿足歐拉方程組(ii)含高階導數的泛函使泛函丿GG))=［：F(w',y”)dx取極值且滿足固定邊界條件y(“)=yi，y(①二血)'(“)=兒,)'(兀2)=)‘2的極值曲線)，=y(x)必滿足微分方程(ill)含多元函數的泛函設z(x,y)ec2,(x,y)eDf使泛函J(z(x,刃)=Jj尸(兀)',JJ,Zy)dxdyD取極值且在區(qū)域D的邊界線/上取己知值的極值函數z=z(x,y)必滿足方程F.-—F.-—F.=04dxZxdyJ上式稱為奧式方程。1.2.4端點變動的情況(橫截條件)設容許曲線x(f)在厲固定，在另一端點t=tf時不固定，是沿著給定的曲線x= 上變動。于是端點條件表示為QX(/o)=X?？?=0(f)這里f是變動的，不妨用參數形式表示為t=tf+adtf尋找端點變動情況的必要條件，可仿照前面端點固定情況進行推導，即有0=5/=亠(F(t,x+aSx,x+a&)d^a=()(11)—扌尸用力+4&匚+沖口肉(11)再對(11)式做如下分析：(1)對每一個固定的x(f)都滿足歐拉方程，即(11)式右端的第一項積分為零;

(h)為考察((h)為考察(11)式的第二、第三項，建立與&之間的關系，因為x(tf+adtf)+a§x匕+adtf)= +adtf)對a求導并令a=0得x(tf)dtf+6x\t=if即&匚=[0(r.f)-U)眄 (12)把(12)代入di)并利用dr,的任意性，得[F+(0-x)F』f=0 (13)(13)式就是確定歐拉方程通解中另一常數的定解條件，稱為橫截條件。橫截條件有兩種常見的特殊情況：G)當x=屮⑴是垂直橫軸的直線時，卩固定，自由，并稱x(y)為自由端點。此時(11)式中dtf=0及的任意性，便得自由端點的橫截條件|t=tf=° (⑷(11)當兀=0⑴是平行橫軸的直線時，Y自由，X(f/?)固定，并稱兀(^)為平動端點。此時肖=0,(13)式的橫截條件變?yōu)镕-xF"=° (15)注意，橫截條件與歐拉方程聯(lián)立才能構成泛函極值的必要條件。13有約束條件的泛函極值在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，常常要涉及到有約束條件泛函的極值問題，其典型形式是對動態(tài)系統(tǒng)= (16)尋求最優(yōu)性能指標(目標函數)丿(%(/))=0碼"4))+『F(r,x⑴川⑴)力 (17)其中“(f)是控制策略，x(O是軌線，G固定，匚及x(//J自由，x(t)eRn,W(r)eRm(不受限，充滿肥空間),f,(p,F連續(xù)可微。下面推導取得目標函數極值的最優(yōu)控制策略/(/)和最優(yōu)軌線x\t)的必要條件。釆用拉格朗日乘子法，化條件極值為無條件極值，即考慮TOC\o"1-5"\h\z人(sM)=0(r/,x(y))+『[F(/,x川)+力(r)(/(r,x,M)-x)]t/r (18)的無條件極值，首先定義(16)式和(17)式的哈密頓(Hamilton)函數為H億x,w,2)=F(r,x,w)+才(/)f(t.X,u) (19)將其代入(18)式，得到泛函J{(x,u,A)= ,兀(/廣))+J[//(A,x,w,2)-x}dt (20)下面先對其求變分 °8J,=~^{(p(tf+adtf)++I [H(t,x+adc.u+adi,A+aSX)-(2+a3A)T(x+a3:)]clt}\a=QJ，0=[&匕)『％)+(眄)S/+(d*H(f,s,刃仁—(力』(佇)|+『[(&)丁Hx+(甌)丁Hu+(<5Z)r比-(<52)rx-力3x]clt=(dtf)T[(ptf+F(t,x,u,r)|/=//]+[&c(tf)F%)zo+『[(&)7Hx+ Hlt+(阪rHa-(靦rx]dt-處{tf)Sx\l=lf+￡(&rzo注意到=Sx(tf)-x(tf)dtf,因而刃1=(A)T[%+H(Z"無)|r]+[&?)r(久-網F+『[(&)丁(比+刃+(對(W)+(3u)THu]dtJlo再令刃1=0,由c/?&(//),&,站說的任意性，便得(1)x\Z必滿足正則方程：狀態(tài)方程X=Ha=/(r,x,M)協(xié)態(tài)方程A=—Ho(11)哈密頓函數H(t,x\u,X)作為"的函數，也必滿足并由此方程求得/。(in)求x\Xyu時，必利用邊界條件x(tQ)=xQ, (用于確定兀*)A(tf)=(pxV)f (用于確定才)(pt(=-H(t,x,u,X)t=t(,(確定少)1.4最大(小)值原理如果受控系統(tǒng)x=f(t,x,u)fx(tQ)=XQ其控制策略U(O的全體構成有界集"，求u(t)eU,使性能指標J(?(0)=叫,M/))+『F(/,X,u)dt達到最大(小)值。最大(小)值原理：如果0匕,班少))和F(r,兀川)都是連續(xù)可微的,那么最優(yōu)控制策略u(t)和相應的最優(yōu)軌線x\t)由下列的必要條件決定：(1)最優(yōu)軌線x\t),協(xié)態(tài)向量才(/)由下列的必要條件決定：dtdX_cH■ ■dtdx(ii)哈密頓函數H(t,x\u,X)=F(t,x\u)+XT(r)/(r,x\u)作為u(0的函數，最優(yōu)策略u(t)必須使拿 拿* * *H(t.x,u，兄)=maxH(心xitdJ或使H(t,x,u,X)=millH(f,x,u,X)(最小值原理)ueU(ill)滿足相應的邊界條件若兩端點固定，則正則方程的邊界條件為x(0)—Xq,x(//、)=x(o若始端固定，終端y也固定，而x(/廣)自由，則正則方程的邊界條件為x(0)=x0,A(tf)=%)("(?)。若始端固定，終端都自由，則正則方程的邊界條件為雙0)=x0‘A(rz)=%)(tf,x(tf))‘HgMtf ),2(rf))+(plf(tf,x{t/))=0?！?生產設備的最大經濟效益某工廠購買了一臺新設備投入到生產中。一方面該設備隨著運行時間的推移其磨損程度愈來愈大，因此其轉賣價將隨著使用設備的時間增加而減??；另一方面生產設備總是要進行日常保養(yǎng)，花費一定的保養(yǎng)費，保養(yǎng)可以減緩設備的磨損程度，提高設備的轉賣價。那么，怎樣確定最優(yōu)保養(yǎng)費和設備轉賣時間，才能使這臺設備的經濟效益最大。2.1問題分析與假設(1)設備的轉賣價是時間/的函數，記為x(r)ox(r)的大小與設備的磨損程度和保養(yǎng)費的多少密切相關。記初始轉賣價x(0)=x0o(U)設備隨其運行時間的推移，磨損程度越來越大。/時刻設備的磨損程度可以用/時刻轉賣價的損失值來刻畫，常稱其為磨損函數或廢棄函數，記為m(t)o(in)保養(yǎng)設備可以減緩設備的磨損速度，提高轉賣價。如果"(/)是單位時間的保養(yǎng)費，g(f)是f時刻的保養(yǎng)效益系數(每用一元保養(yǎng)費所增加的轉賣價)，那么單位時間的保養(yǎng)效益為g(t)u(t)。另外，保養(yǎng)費不能過大(如單位時間保養(yǎng)費超過單位時間產值時，保養(yǎng)失去了意義)，只能在有界函數集中選取，記有界函數集為W,則Gv)設單位時間的產值與轉賣價的比值記為”，則px(t)表示在f時刻單位時間的產值，即/時刻的生產率。(v)轉賣價x(/)及單位時間的保養(yǎng)費u(f)都是時間/的連續(xù)可微函數。為了統(tǒng)一標準，釆用它們的貼現(xiàn)值。對于貼現(xiàn)值的計算，例如轉賣價x(f)的貼現(xiàn)值計算，如果它的貼現(xiàn)因子為5(經過單位時間的單位費用貼現(xiàn))，那么由

<d.14)=1解得令兒=0,便得/時刻單位費用的貼現(xiàn)(稱貼現(xiàn)系數)為廠&,所以設備在f時刻轉賣價x(f)的貼現(xiàn)為x(t)e~Sto仿此計算，“(/)的貼現(xiàn)為u⑴廠,單位時間產值的貼現(xiàn)為px(t)e~Sto(VI)欲確定的轉賣時間和轉賣價x(//)都是自由的。2.2模型構造根據以上的分析與假設可知：考察的對象是設備在生產中的磨損一保養(yǎng)系統(tǒng)；轉賣價體現(xiàn)了磨損和保養(yǎng)的綜合指標，可以選作系統(tǒng)的狀態(tài)變量；在生產中設備磨損的不可控性強，其微弱的可控性也是通過保養(yǎng)體現(xiàn)，加之保養(yǎng)本身具有較強的可控性，所以選單位時間的保養(yǎng)費"(/)作為控制策略。這樣，生產設備的最大經濟效益模型可以構成為在設備磨損一保養(yǎng)系統(tǒng)的(轉賣價)狀態(tài)方程[竽一砍)+g(M) (21)1/(0)=X。之下，在滿足的函數集W中尋求最優(yōu)控制策略/(/),使系統(tǒng)的經濟效益這一性能指標(22)(23)J(“⑴)=Wr)不旳+[[pXO-u(t)]e~Stdt為最大,其中都是自由的。(22)(23)2.3模型求解首先寫出問題的哈密頓函數H=[p兀(!)-唄)]嚴+A[-m(Z)+g伽⑴]再由協(xié)態(tài)方程及邊界條件求出A(r),即由^-=-Hx=-pe-Sl解得兄(0=(1一￡)￡一叫+￡廣“o o下面利用最大值原理求u\t)o先將(23)式改變?yōu)镠=px(f)e"-如?(f)+[兄g(f)-e~^]w(r)顯然，H是對u的線性函數，因此得到“ 恐⑴-宀0u(0=<|0, 戀⑴-產<0

心)=彳(25)心)=彳0, [(l-|)^+|^W)-^<0在上式中，還需解決兩個問題:一是u\t)=U與/(f)=0的轉換點匚在什么位置,即。等于多少？二是u\t)是由〃到0,還是由0到“。轉換點匚應滿足[(1-￡)嚴+￡心⑴-宀0O O即[￡-(￡-1)嚴"]曲)-1=0 (26)oo從而可解出匚。因為g(f)是時間/的減函數，所以(26)式的左端也是時間f的減函數，也就是說u\t)隨時間應由U到0o于是最優(yōu)控制策略的具體表達式為*卩 0<t<ts[o, ts<t<tf至于5，x(//J的求法，請見下面的例子。例3在生產設備的最大經濟效益的問題