有限元動力學(xué)分析方程及解法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——有限元動力學(xué)分析方程及解法動力分析中平衡方程組的解法

1前言

描述結(jié)構(gòu)動力學(xué)特征的基本力學(xué)變量和方程與靜力問題類似，但所有的變量都是時間的函數(shù)。

基本變量

三大類變量ui(?,t)、?ij(?,t)和?ij(?,t)是坐標(biāo)位置?(x,y,z)和時間t的函數(shù)，一般將其記為ui(t)?ij(t)?ij(t)。

基本方程(1)平衡方程

利用達朗貝爾原理將慣性力和阻尼力等效到靜力平衡方程中，有

??i(t)??u?i(t)?0(1)?ij,j(t)?bi(t)??u

其中?為密度，?為阻尼系數(shù)。(2)幾何方程

12?ij(t)?(ui,j(t)?uj,i(t))(2)

(3)物理方程

?ij(t)?Dijkl?kl(t)(3)

其中Dijkl為彈性系數(shù)矩陣。(4)邊界條件

位移邊界條件BC(u)為，

ui(t)?ui(t)在Su上(4)

力的邊界條件BC(p)為，

?ij(t)nj?pi(t)在Sp上(5)

初始條件

ui(?,t?0)?ui0(?)(6)?i0(?)(7)?i(?,t?0)?uu虛功原理

基于上述基本方程，可以寫出平衡方程及力邊界條件下的等效積分形式，

??i??u?i?b)?uid???(?ijnj?pi)dA?0(8)?????(?ij,j??u?Sp對該方程右端第一項進行分部積分，并應(yīng)用高斯-格林公式，整理得，

???(Dijklij??i?ui??u?i?ui)d??(?bi?uid???pi?uidA)?0(9)???kl??u?Sp有限元分析列式單元的節(jié)點位移列陣為，

Ute(t)?[u1(t),v1(t),w1(t),u2(t),v2(t),w2(t)?uk(t),vk(t),wk(t)](10)

單元內(nèi)的插值函數(shù)為，

u(?,t)?N(?)Ute(t)(11)

其中N(?)為單元的形狀函數(shù)矩陣，與相應(yīng)的靜力問題單元的形狀函數(shù)矩陣完全一致，?為單元中的幾何位置坐標(biāo)。

基于上面的幾何方程和物理方程及(11)式，將相關(guān)的物理量表達為節(jié)點位移的關(guān)系，有，

?(?,t)?[?]u(?,t)?[?]N(?)Ute(t)?B(?)Ute(t)(12)?(?,t)?D??DB(?)Ute(t)?S(?)Ute(t)(13)

?e(t)(14)?(?,t)?N(?)Uut??e(t)(15)??(?,t)?N(?)Uut將(12)-(15)供稿到虛功方程(9)中，有，

??e(t)?CeU?e(t)?KeUe(t)?Re(t)]T????[MeU?Ute(t)?0(16)tttt由于?Ute(t)具有任意性，消去該項并簡寫有，

??e?CeU?e?KUe?Re(17)Utttt其中，

Me??e??NTNd?(18)

Ce???NTNd?(19)

?eKe??e?BTDBd?(20)

Me為單元質(zhì)量矩陣，Ce為單元阻尼矩陣，Ke為單元剛度矩陣。同樣，將單元

的各個矩陣進行組裝，可形成系統(tǒng)的整體有限元方程，即，

???CU??KU?R(21)MU??,U?其中M，C和K分別是系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，R是外荷載向量，U和U分別是有限元分割體的加速度、速度和位移向量。方程(21)是通過考慮在時刻t的靜力平衡而推導(dǎo)出來的。

對靜力或動力分析的選擇(即在分析中是考慮或忽略與速度及加速度有關(guān)的力)，一般取決于工程上的判斷，其目的在于減少所需要的分析工作量。但是，應(yīng)當(dāng)認識到，一個靜力分析的假定，應(yīng)當(dāng)有理由說明它是正確的，否則，分析的結(jié)果就是無意義的。確實，在非線性分析中，采用忽略慣性力和阻尼力的假定，可能嚴重到難以求得甚至無法求得解答。

在數(shù)學(xué)上，方程(21)是一個二階線性微分方程組，原則上可用求解常系數(shù)微分方程組的標(biāo)準過程來求得方程組的解。但是，假使矩陣的階數(shù)很高，則采用求解一般微分方程組的過程可能要付出很高的費用，除非特別利用系數(shù)矩陣K，C和M的特別性質(zhì)。因此，在實用的有限元分析中，主要對幾種有效的方法感興趣，下面將集中介紹這幾種方法。我們所考慮的基本過程，可分為兩種求解方法：直接積分法和振型疊加法。初看起來，這兩種方法似乎完全不同，但事實上它們有著密切的關(guān)系，至于選擇這種或那種方法，只取決于它們的數(shù)值效果。

2直接積分法

在直接積分中對方程(21)是逐步地進行數(shù)值積分的，“直接〞的意思是，進行數(shù)值積分前沒有進行把方程變?yōu)榱硪环N形式的變換。實質(zhì)上，直接積分是基于下面的兩個想法，第一個想法是只在相隔?t的一些離散的時間區(qū)間上而不是試圖在任一時刻t上滿足方程(21)即包含有慣性力和阻尼力作用的(靜力)平衡是在求解區(qū)間上的一些離散時刻點上獲得的。因此，似乎在靜力分析中使用過的所有求解方法，在直接積分法中或許也能有效地使用；其次個想法是假定位移、速度和加速度在每一時間區(qū)間?t內(nèi)變化。

?,U??來表示初始時刻(t?0)的位移、速度和加速度向下面假設(shè)分別用U0,U00量為已知，要求出方程(21)從t?0到t?T的解。在求解時，把時間全程T劃分為幾個相等的時間區(qū)間?t(即?t?T/n)，所用的積分格式是在時刻0,?t，

2?t,?,t,t??t,?,T上確定方程的近似解。由于計算下一個時刻的解的算法要考

慮到前面各個時刻的解，因此假定在時刻0,?t,?,t的解為已知，來推導(dǎo)出求時刻t??t的解的算法。計算時刻t??t的解對于計算自此以后?t的時刻上的解是有代表意義的，這樣就可建立用來計算在所有離散時間點上解的一般算法。

（a）中心差分法

若把式(21)的平衡關(guān)系看作是一個常系數(shù)常微分方程組，便可以用任一有限差分表達式通過位移來近似表示加速度和速度。因此，在理論上，大量不同的有限差分表達式均可使用。但是，我們要求求解格式必需是有效的，這樣便只需考慮少數(shù)幾種計算格式。對某些問題求解是十分有效的一個過程是中心差分法，這個方法假定

???1UUtt??t?2Ut?Ut??t2?t(22)

??1?UUtt??t?Ut??t2?t????將式(22)代入t時刻的式(21)，可得

121?1????1?C?Ut??t?Rt??K?2M?Ut??2M?C?Ut??t(23)?2M?2?t?2?t??t??t????t

從式(23)我們可以求出Ut??t。應(yīng)當(dāng)注意，Ut??t的解是基于利用在時刻t的平衡條件。因此，該積分過程稱為顯式積分方法，且這樣的積分格式在逐步解法中不需要對(有效)剛度矩陣進行分解。另一方面，以后所考慮的Houbolt，Wilson?及Newmark方法，要利用在t??t上的平衡條件，因而稱為隱式積分方法。

另外還應(yīng)注意到，應(yīng)用中心差分法時，Ut??t的計算包含有Ut和Ut??t，因此，

?,U??都是已知的，計算在時刻?t的解，必需用一個具體的起始過程。由于U0,U00由關(guān)系式(22)可求

U??t?t2????U0??tU0?U0(24)

2具體計算步驟為

A．初始計算1．2．

形成剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C。

?,U??。計算初始值U0,U003．4．5．6．7．

選取時間步長?t，要求?t??tcr（臨界值）。計算系數(shù)a0?111a?，，，。a?a?2a13202?t?t2a2??aU??計算U??t?U0??tU030。

??aM?aC。形成有效質(zhì)量矩陣M01T??LDL?作三角分解：M對M

B．每一時間步長內(nèi)的計算1．

計算在時刻t的有效荷載：

??R??K?aM?U??aM?aC?U。Rtt2t01t??t2．3．化為

1?(25)MUt??t?Rt2?tT?。計算時刻t??t的位移：LDLUt??t?Rt必要時，依照式（11.3）計算時刻t速度和加速度。

假設(shè)所考慮的系統(tǒng)沒有物理阻尼，即C是零矩陣，在這種情形下式(23)可簡

其中

??R??K?aM?U??aM?aC?URtt2t01t??t因此，假使質(zhì)量矩陣是對角形的，則解方程組（11.1）時就不需要進行矩陣的分

?，從而利用解，即只需進行矩陣相乘便可求得右端項的有效荷載向量RtU(i)t??t??R(i)t??t2???m??(26)?ii?)?(i)分別