上海市寶山區(qū)2023屆高三下學(xué)期期中適應(yīng)性練習(xí)（二模）數(shù)學(xué)試題及參考答案

寶山區(qū)2022學(xué)年第二學(xué)期期中混合式教學(xué)適應(yīng)性練習(xí)高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)卷考生注意：1．本試卷共21題，滿分150分，考試時間120分鐘；2．本試卷包括試題卷和答題紙兩部分，答題紙另頁，正反面；3．在本試題卷上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題；4．可使用符合規(guī)定的計算器答題．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分），要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分．1.已知集合,則2.不等式的解集為3.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則此冪函數(shù)的表達式為4.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）,則實數(shù)5.已知數(shù)列的遞推公式為，則該數(shù)列的通項公式6.在的展開式中，常數(shù)項為（結(jié)果用數(shù)字作答）7.從裝有個紅球和個藍球的袋中，每次不放回地隨機摸出一球.記“第一次摸球時摸到紅球”為，“第二次摸球時摸到藍球”為，則8.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則該數(shù)列的前項和為9.△的內(nèi)角的對邊分別為，若，則10.如圖是某班一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖（圖中僅列出，的數(shù)據(jù)）和頻率分布直方圖，則11.已知函數(shù)（且），若關(guān)于的不等式的解集為，其中，則實數(shù)的取值范圍是12.已知非零平面向量不平行，且滿足，記，則當(dāng)與的夾角最大時，的值為二（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）13.若，，則是的（）條件充分非必要必要非充分充要既非充分又非必要14.已知定義在上的偶函數(shù)，若正實數(shù)、滿足，則的最小值為（

） 將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)、的積，即，當(dāng)、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如,其中即為的最優(yōu)分解，當(dāng)、是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前項的和為（）在空間直角坐標(biāo)系中，已知定點、和動點．若△的面積為，以為頂點的錐體的體積為，則的最大值為（

） 三、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域（對應(yīng)的題號）內(nèi)寫出必要的步驟．17．（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.18．（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）四棱錐的底面是邊長為的菱形，，對角線與相交于點，底面，與底面所成的角為，是的中點.（1）求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（2）證明：平面，并求點到平面的距離.PPABCDOE-19．（本題滿分16分，第1小題滿分6分，第2小題滿分10分）下表是某工廠每月生產(chǎn)的一種核心產(chǎn)品的產(chǎn)量（件）與相應(yīng)的生產(chǎn)成本（萬元）的四組對照數(shù)據(jù).4681012202884(1)試建立與的線性回歸方程；(2)研究人員進一步統(tǒng)計歷年的銷售數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在供銷平衡的條件下，市場銷售價格會波動變化.經(jīng)分析,每件產(chǎn)品的銷售價格（萬元）是一個與產(chǎn)量相關(guān)的隨機變量，分布為假設(shè)產(chǎn)品月利潤=月銷售量×銷售價格－成本.（其中月銷售量=生產(chǎn)量）根據(jù)（1）進行計算，當(dāng)產(chǎn)量為何值時，月利潤的期望值最大？最大值為多少？20．（本題滿分16分，第1小題滿分3分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分）已知拋物線：（1）求拋物線的焦點的坐標(biāo)和準(zhǔn)線的方程；（2）過焦點且斜率為的直線與拋物線交于兩個不同的點，求線段的長；（3）已知點，是否存在定點，使得過點的直線與拋物線交于兩個不同的點、(均不與點重合)，且以線段為直徑的圓恒過點?若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.21．（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程中，當(dāng)取給定的實數(shù)時，表示一條直線；當(dāng)在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，表示過點的直線族（不含軸）.記直線族(其中)為，直線族(其中)為.(1)分別判斷點,是否在的某條直線上，并說明理由；(2)對于給定的正實數(shù)，點不在的任意一條直線上，求的取值范圍（用表示）；(3)直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.求的包絡(luò)和的包絡(luò).寶山區(qū)2022學(xué)年第二學(xué)期期中混合式教學(xué)適應(yīng)性練習(xí)高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科練習(xí)卷參考答案2.3.4.5.6.8.9.10.11.12.14.15.16.17.解：……2分最小正周期……4分當(dāng)即時，函數(shù)為增函數(shù).……6分當(dāng)即時，函數(shù)為減函數(shù).……8分方程有兩個不同的實數(shù)解等價于和直線的圖像在上有兩個不同的交點.……10分，則，……12分由圖知……14分18.解（1）：取的中點,連接.由是的中點,得，所以是異面直線與所成角(或其補角)，在中，于是,在等腰中，，則.在正和正△中,，所以異面直線與所成角的大小是.（2）證明：易知為的中點，又是的中點.從而又所以平面從而點到平面的距離等于點到平面的距離因為從而又設(shè)點到平面的距離為由得，計算得所以點到平面的距離為另解2：以為坐標(biāo)原點,射線分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.在中,于是（1）是的中點，則，于是設(shè)的夾角為,有,所以異面直線與所成角的大小是.(2)設(shè)是平面一個法向量，由,令則，得因為，則所以平面設(shè)點到平面的距離為則即點到平面的距離為.19.解：（1）設(shè)線性方程為……2分代入公式或應(yīng)用計算器求得回歸系數(shù)……4分所以與的線性回歸方程為，……6分（2）設(shè)月利潤為，則，則的分布列為從而，，……12分易知函數(shù)在上是增函數(shù)，故.……14分即產(chǎn)量為件時，月利潤期望最大，最大值為萬元.……16分20.解：（1）焦點準(zhǔn)線……3分（2），則直線的方程為，……4分代入拋物線方程并化簡得設(shè)，則由韋達定理得……6分由拋物線定義可知，所以線段的長為.……8分另解：用弦長公式求解，相應(yīng)給分.（3）假設(shè)存在定點,使得過點的直線與拋物線交于兩個不同的點(均不與點重合)，以線段為直徑的圓恒過點，則……9分設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得：設(shè)，由韋達定理得……11分整理得對任意的恒成立，……15分只需此時Δ所以存在定點,使得過點的直線與與拋物線交于兩個不同的點(均不與點重合)，以線段為直徑的圓恒過點……16分另解：借助計算，則相應(yīng)給分。21.解：（1）將代入得關(guān)于的方程，解為，故點在的直線上.…2分將代入得關(guān)于的方程化簡得無實數(shù)解，故不在的任意一條直線上.…...4分（2）若點不在的任意一直線上,則關(guān)于的方程無解…...6分令，則.當(dāng)時，.當(dāng)時，.所以，.…...8分所以.…...10分（3）由（2）的結(jié)論猜測的包絡(luò)是曲線.…...11分，解，得.在曲線上任取一點，則過該點的切線方程是即.而對任意的，的確為曲線的切線.故的包絡(luò)是曲線.