材料力學I應力狀態(tài)和強理論

材料力學I應力狀態(tài)和強理論第1頁/共138頁2§7-1概述

在第二章和第三章中曾講述過桿受拉壓時和圓截面桿受扭時桿件內一點處不同方位截面上的應力，并指出：一點處不同方位截面上應力的集合(總體)稱之為一點處的應力狀態(tài)。由于一點處任何方位截面上的應力均可根據(jù)從該點處取出的微小正六面體──單元體的三對相互垂直面上的應力來確定，故受力物體內一點處的應力狀態(tài)(stateofstress)可用一個單元體(element)及其上的應力來表示。第七章應力狀態(tài)和強度理論第2頁/共138頁3單向應力狀態(tài)第七章應力狀態(tài)和強度理論第3頁/共138頁4純剪切應力狀態(tài)第七章應力狀態(tài)和強度理論第4頁/共138頁5研究桿件受力后各點處，特別是危險點處的應力狀態(tài)可以：

1.

了解材料發(fā)生破壞的力學上的原因，例如低碳鋼拉伸時的屈服(yield)現(xiàn)象是由于在切應力最大的45?

斜截面上材料發(fā)生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉破壞是由于在45?

方向拉應力最大從而使材料發(fā)生斷裂(fracture)所致。

2.

在不可能總是通過實驗測定材料極限應力的復雜應力狀態(tài)下，如圖所示,應力狀態(tài)分析是建立關于材料破壞規(guī)律的假設(稱為強度理論)(theoryofstrength,failurecriterion)的基礎。第七章應力狀態(tài)和強度理論第5頁/共138頁6

本章將研究Ⅰ.

平面應力狀態(tài)下不同方位截面上的應力和關于三向應力狀態(tài)(空間應力狀態(tài))的概念；Ⅱ.

平面應力狀態(tài)和三向應力狀態(tài)下的應力－應變關系——廣義胡克定律(generalizedHooke’slaw)，以及這類應力狀態(tài)下的應變能密度(strainenergydensity)；Ⅲ.強度理論。第七章應力狀態(tài)和強度理論第6頁/共138頁7§7-2

平面應力狀態(tài)的應力分析·主應力

平面應力狀態(tài)是指，如果受力物體內一點處在眾多不同方位的單元體中存在一個特定方位的單元體，它的一對平行平面上沒有應力，而另外兩對平行平面上都只有正應力而無切應力這種應力狀態(tài)。等直圓截面桿扭轉時的純剪切應力狀態(tài)就屬于平面應力狀態(tài)(參見§3-4的“Ⅱ.斜截面上的應力”)。第七章應力狀態(tài)和強度理論第7頁/共138頁8

對于圖a所示受橫力彎曲的梁，從其中A點處以包含與梁的橫截面重合的面在內的三對相互垂直的面取出的單元體如圖b(立體圖)和圖c(平面圖)，本節(jié)中的分析結果將表明A點也處于平面應力狀態(tài)。(a)(c)(b)第七章應力狀態(tài)和強度理論第8頁/共138頁9

平面應力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖a所示，現(xiàn)先分析與已知應力所在平面xy垂直的任意斜截面(圖b)上的應力。第七章應力狀態(tài)和強度理論第9頁/共138頁10Ⅰ.斜截面上的應力第七章應力狀態(tài)和強度理論

圖b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法線n與x軸的夾角a定義，且a角以自x軸逆時針轉至外法線n為正；斜截面上圖中所示的正應力sa和切應力ta均為正值，即sa以拉應力為正，ta以使其所作用的體元有順時針轉動趨勢者為正。第10頁/共138頁11

由圖c知，如果斜截面ef的面積為dA，則體元左側面eb的面積為dA·cosa，而底面bf的面積為dA·sina。圖d示出了作用于體元ebf諸面上的力。體元的平衡方程為第七章應力狀態(tài)和強度理論第11頁/共138頁12

需要注意的是，圖中所示單元體頂,底面上的切應力ty按規(guī)定為負值，但在根據(jù)圖d中的體元列出上述平衡方程時已考慮了它的實際指向，故方程中的ty僅指其值。也正因為如此，此處切應力互等定理的形式應是tx=ty。

由以上兩個平衡方程并利用切應力互等定理可得到以2a為參變量的求a斜截面上應力sa，ta的公式：第七章應力狀態(tài)和強度理論第12頁/共138頁13Ⅱ.應力圓

為便于求得sa，ta，也為了便于直觀地了解平面應力狀態(tài)的一些特征，可使上述計算公式以圖形即所稱的應力圓(莫爾圓)(Mohr’scircleforstresses)來表示。

先將上述兩個計算公式中的第一式內等號右邊第一項移至等號左邊，再將兩式各自平方然后相加即得：第七章應力狀態(tài)和強度理論第13頁/共138頁14

而這就是如圖a所示的一個圓——應力圓，它表明代表a斜截面上應力的點必落在應力圓的圓周上。OC(a)第七章應力狀態(tài)和強度理論第14頁/共138頁15第七章應力狀態(tài)和強度理論OC(b)

圖a中所示的應力圓實際上可如圖b所示作出，亦即使單元體x截面上的應力sx,tx按某一比例尺定出點D1，依單元體y截面上的應力sy,ty(取ty=-tx)定出點D2，然后連以直線，以它與s軸的交點C為圓心，并且以或為半徑作圓得出。第15頁/共138頁16值得注意的是，在應力圓圓周上代表單元體兩個相互垂直的x截面和y截面上應力的點D1和D2所夾圓心角為180?，它是單元體上相應兩個面之間夾角的兩倍，這反映了前述sa，ta計算公式中以2a為參變量這個前提。第七章應力狀態(tài)和強度理論OC(b)第16頁/共138頁17

利用應力圓求a斜截面(圖a)上的應力sa，ta時，只需將應力圓圓周上表示x截面上的應力的點D1所對應的半徑按方位角a的轉向轉動2a角，得到半徑，那么圓周上E點的座標便代表了單元體a斜截面上的應力?，F(xiàn)證明如下(參照圖b)：第七章應力狀態(tài)和強度理論第17頁/共138頁18E點橫座標第七章應力狀態(tài)和強度理論第18頁/共138頁19E點縱座標第七章應力狀態(tài)和強度理論第19頁/共138頁20討論:

1.表達圖示各單元體a斜截面上應力隨a角變化的應力圓是怎樣的？這三個單元體所表示的都是平面應力狀態(tài)嗎？第七章應力狀態(tài)和強度理論第20頁/共138頁21

2.

對于圖示各單元體，表示與紙面垂直的斜截面上應力隨a角變化的應力圓有什么特點？a=±45?兩個斜截面上的sa,ta分別是多少？二向等值壓縮二向等值拉伸純剪切第七章應力狀態(tài)和強度理論第21頁/共138頁22思考:

已知一點處兩個不相垂直截面上的應力(圖a)，如圖b所示為表達其與紙面垂直的一組斜截面上應力而作的應力圓是否正確？理由是什么？(a)C(b)第七章應力狀態(tài)和強度理論第22頁/共138頁23Ⅲ.主應力與主平面第七章應力狀態(tài)和強度理論

由根據(jù)圖a所示單元體上的應力所作應力圓(圖b)可見，圓周上A1和A2兩點的橫座標分別代表該單元體的垂直于xy平面的那組截面上正應力中的最大值和最小值，它們的作用面相互垂直(由A1和A2兩點所夾圓心角為180?可知)，且這兩個截面上均無切應力。第23頁/共138頁24第七章應力狀態(tài)和強度理論一點處切應力等于零的截面稱為主平面(principalplane)，主平面上的正應力稱為主應力(principalstress)。據(jù)此可知，應力圓圓周上點A1和A2所代表的就是主應力；但除此之外，圖a所示單元體上平行于xy平面的面上也是沒有切應力的，所以該截面也是主平面，只是其上的主應力為零。第24頁/共138頁25

在彈性力學中可以證明，受力物體內一點處無論是什么應力狀態(tài)必定存在三個相互垂直的主平面和相應的三個主應力。對于一點處三個相互垂直的主應力，根據(jù)慣例按它們的代數(shù)值由大到小的次序記作s1，s2，s3。圖b所示應力圓中標出了s1和s2，而s3=0。第七章應力狀態(tài)和強度理論第25頁/共138頁26當三個主應力中有二個主應力不等于零時為平面應力狀態(tài)；平面應力狀態(tài)下等于零的那個主應力如下圖所示，可能是s1，也可能是s2或s3，這需要確定不等于零的兩個主應力的代數(shù)值后才能明確。第七章應力狀態(tài)和強度理論第26頁/共138頁27

現(xiàn)利用前面的圖b所示應力圓導出求不等于零的主應力數(shù)值和主平面位置方位角a0的解析式，由于

其中，為應力圓圓心的橫座標，為應力圓的半徑。故得第七章應力狀態(tài)和強度理論第27頁/共138頁28第七章應力狀態(tài)和強度理論或即圖c示出了主應力和主平面的方位。第28頁/共138頁29

由于主應力是按其代數(shù)值排序記作s1，s2，s3的，故在一般情況下由上列解析式求得的兩個不等于零的主應力不一定就是s1，s2，所以應該把式中的s1，s2看作只是表示主應力而已。第七章應力狀態(tài)和強度理論第29頁/共138頁30

例題7-2

簡支的焊接鋼板梁及其上的荷載如圖a所示，梁的橫截面如圖b和c。試利用應力圓求集中荷載位置C的左側橫截面上a，b兩點(圖c)處的主應力。第七章應力狀態(tài)和強度理論第30頁/共138頁31

解：焊接鋼板梁的腹板上在焊縫頂端(圖b中點f)處，彎曲應力和切應力都比較大，是校核強度時應加以考慮之點；在實際計算中為了方便，常近似地以腹板上與翼緣交界處的a點(圖c)代替f點。正因為如此，本例題中要求的也是a點處主應力。梁的自重不計。第七章應力狀態(tài)和強度理論第31頁/共138頁32

1.

此梁的剪力圖和彎矩圖如圖d和e。危險截面為荷載作用位置C的左側橫截面。第七章應力狀態(tài)和強度理論第32頁/共138頁332.

相關的截面幾何性質為第七章應力狀態(tài)和強度理論第33頁/共138頁343.

危險截面上a點和b點處的應力：第七章應力狀態(tài)和強度理論第34頁/共138頁354.

從危險截面上a點和b點處以包含與梁的橫截面在內的三對相互垂直的截面取出單元體，其x和y面上的應力如圖f和h中所示。據(jù)此繪出的應力圓如圖g和i。yx(f)(h)第七章應力狀態(tài)和強度理論第35頁/共138頁36對于點as1和s2的方向如圖f中所示。yx(f)第七章應力狀態(tài)和強度理論(g)s1注意到圖f和h所示單元體，其平行于xy平面的面為主平面（其上無切應力，相應的主應力為零，故圖g所示應力圓上點A1所表示的是s1。按作應力圓時的同一比例尺可量得：第36頁/共138頁37(i)(h)對于點bs1沿x方向(圖h)。第七章應力狀態(tài)和強度理論第37頁/共138頁38

當然，點a處主應力s1和s3的值及其方向也可按應力圓上的幾何關系來計算：亦即a0＝-23.2°。第七章應力狀態(tài)和強度理論(g)s1第38頁/共138頁39

5.

圖f中所示a點主應力s1的方向，實際上只須將應力圓上代表x截面上應力的點D1(sx，tx)反向投射到應力圓上的點

，然后將代表s3的點A2與點

連以直線即得。這里利用了圓周角恒等于圓心角之半的幾何關系。第七章應力狀態(tài)和強度理論yx(f)s1s1方向第39頁/共138頁40§7-3空間應力狀態(tài)的概念

當一點處的三個主應力都不等于零時，稱該點處的應力狀態(tài)為空間應力狀態(tài)(三向應力狀態(tài))；鋼軌在輪軌觸點處就處于空間應力狀態(tài)(圖a)。第七章應力狀態(tài)和強度理論第40頁/共138頁41

空間應力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖b所示；正應力sx，sy，sz的下角標表示其作用面，切應力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一個下角標表示其作用面，第二個下角標表示切應力的方向。(b)第七章應力狀態(tài)和強度理論

圖中所示的正應力和切應力均為正的，即正應力以拉應力為正，切應力則如果其作用面的外法線指向某一座標軸的正向而該面上的切應力指向另一座標軸的正向時為正。第41頁/共138頁42

最一般表現(xiàn)形式的空間應力狀態(tài)中有9個應力分量，但根據(jù)切應力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy

，txz＝tzx，因而獨立的應力分量為6個，即sx，sy，sz，tyx，tzy

，tzx。

當空間應力狀態(tài)的三個主應力s1，s2，s3已知時(圖a)，與任何一個主平面垂直的那些斜截面(即平行于該主平面上主應力的斜截面)上的應力均可用應力圓顯示。(a)第七章應力狀態(tài)和強度理論第42頁/共138頁43(b)(c)第七章應力狀態(tài)和強度理論

例如圖a中所示垂直于主應力s3所在平面的斜截面，其上的應力由圖b所示分離體可知，它們與s3無關，因而顯示這類斜截面上應力的點必落在以s1和s2作出的應力圓上(參見圖c)。第43頁/共138頁44

進一步的研究證明*，表示與三個主平面均斜交的任意斜截面(圖a中的abc截面)上應力的點D必位于如圖c所示以主應力作出的三個應力圓所圍成的陰影范圍內。(a)第七章應力狀態(tài)和強度理論

同理，顯示與s2(或s1)所在主平面垂直的那類斜截面上應力的點必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的應力圓上。(c)第44頁/共138頁45

據(jù)此可知，受力物體內一點處代數(shù)值最大的正應力smax就是主應力s1，而最大切應力為(c)第七章應力狀態(tài)和強度理論第45頁/共138頁46它的作用面根據(jù)應力圓點B的位置可知，系與主應力s2作用面垂直而與s1作用面成45?

，即下面圖a中的截面abcd。abcd(a)acdb第七章應力狀態(tài)和強度理論第46頁/共138頁47

根據(jù)切應力互等定理可知，在與截面abcd垂直的截面efgh上有數(shù)值上與tmax相等的切應力，如下面圖b中所示。第七章應力狀態(tài)和強度理論abcd(a)acdb(b)efgh第47頁/共138頁48

例題7-3

試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應力作出應力圓，并求出主應力和最大切應力的值及它們的作用面方位。(a)第七章應力狀態(tài)和強度理論第48頁/共138頁49

解:

1.

圖a所示單元體上正應力sz=20MPa的作用面(z截面)上無切應力，因而該正應力為主應力。

2.正如以前所述，在與主平面z截面垂直的各截面上的應力與主應力sz無關，故可根據(jù)x截面和y截面上的應力畫出顯示與z截面垂直各截面上應力隨截面方位角變化的應力圓。第七章應力狀態(tài)和強度理論(a)第49頁/共138頁50

從圓上得出兩個主應力46MPa和-26MPa。這樣就得到了包括sz=20MPa在內的三個主應力。他們按代數(shù)值大小排序為s1＝46MPa，s2＝20MPa，s3＝-26MPa。(b)(a)3.依據(jù)三個主應力值作出的三個應力圓如圖b所示。第七章應力狀態(tài)和強度理論第50頁/共138頁51s1的作用面垂直于z截面(sz作用面)，其方位角a0根據(jù)通過點D1和D2的應力圓上由代表x截面上應力的點D1逆時針至代表a1的點A的圓心角2a0＝34?可知為a0＝17?且由x截面逆時針轉動，如圖c中所示。(c)第七章應力狀態(tài)和強度理論(b)第51頁/共138頁52

4.最大切應力tmax由應力圓上點B的縱座標知為tmax＝36MPa，作用在由s1作用面繞s2逆時針45?

的面上(圖c)。(c)第七章應力狀態(tài)和強度理論(b)第52頁/共138頁53顯然，根據(jù)解析式也得(c)第七章應力狀態(tài)和強度理論第53頁/共138頁54§7-4

應力與應變間的關系

前已講到，最一般表現(xiàn)形式的空間應力狀態(tài)有6個獨立的應力分量：sx,sy,sz,txy,tyz

,tzx；與之相應的有6個獨立的應變分量：ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx。第七章應力狀態(tài)和強度理論第54頁/共138頁55關于應力分量的正負已于§7-3中講述；至于應變分量的正負為了與應力分量的正負相一致，規(guī)定：線應變ex,ey,ez以伸長變形為正，切應變gxy,gyz,gzx以使單元體的直角∠xoy,∠yoz,∠zox減小為正。第七章應力狀態(tài)和強度理論第55頁/共138頁56

本節(jié)討論在線彈性范圍內，且為小變形的條件下，空間應力狀態(tài)的應力分量與應變分量之間的關系，即廣義胡克定律。第七章應力狀態(tài)和強度理論第56頁/共138頁57Ⅰ.各向同性材料的廣義胡克定律

對于各向同性材料，它在任何方向上的彈性性質相同，也就是它在各個方向上應力與應變之間的關系相同。因此，對于各向同性材料：

(1)

在正應力作用下，沿正應力方向及與之垂直的方向產(chǎn)生線應變，而在包含正應力作用面在內的三個相互垂直的平面內不會發(fā)生切應變；

(2)

在切應力作用下只會在切應力構成的平面內產(chǎn)生切應變，而在與之垂直的平面內不會產(chǎn)生切應變；也不會在切應力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應變。第七章應力狀態(tài)和強度理論第57頁/共138頁58

圖a,b,c作為示例示出了單元體以及對各向同性材料來說不可能產(chǎn)生的變形，因為每個圖中上面的單元體在繞x軸旋轉180?

以后，如各圖中下面的單元體所示，或者受力情況未變而變形卻反了(圖a)，或者變形無變化但受力情況卻反了(圖b,c)，而這些都不符合各向同性材料應力－應變關系不應該隨單元體轉動而變化的特征。xx(a)xx(b)第七章應力狀態(tài)和強度理論xx(c)第58頁/共138頁59

現(xiàn)在來導出一般空間應力狀態(tài)(圖a)下的廣義胡克定律。因為在線彈性,小變形條件下可以應用疊加原理，故知x方向的線應變與正應力之間的關系為第七章應力狀態(tài)和強度理論同理有第59頁/共138頁60至于切應變與切應力的關系，則根據(jù)前面所述可知，切應變只與切應變平面內的切應力相關，因而有第七章應力狀態(tài)和強度理論第60頁/共138頁61對于圖b所示的那種平面應力狀態(tài)(sz＝0，txz=τzx=0，tyz=tzy=0)，則胡克定律為(b)第七章應力狀態(tài)和強度理論

各向同性材料的三個彈性常數(shù)E，G，n之間存在如下關系：第61頁/共138頁62思考:

1.圖a和圖b所示應力狀態(tài)是否完全相當？

2.圖a所示情況下，對角線ab的線應變eab與g

的關系，亦即eab與τ/G

的關系是怎樣的？aa(a)(b)第七章應力狀態(tài)和強度理論ba3.圖b中沿圖a中對角線ab方向的線應變與所示s的關系是怎樣的？第62頁/共138頁63

4.如果圖a與圖b是同一應力狀態(tài)，那么它們沿同一方向的線應變應相等，按此可否導出G=E/2(1+n)。第七章應力狀態(tài)和強度理論aa(a)(b)ba第63頁/共138頁64

當空間應力狀態(tài)如下圖所示以主應力表示時，廣義胡克定律為第七章應力狀態(tài)和強度理論式中，e1，e2，e3分別為沿主應力s1，s2，s3方向的線應變。第64頁/共138頁65

對于各向同性材料由于主應力作用下，在任何兩個主應力構成的平面內不發(fā)生切應變，因而主應力方向的線應變就是主應變──一點處兩個相互垂直方向間不發(fā)生切應變時該兩個方向的線應變。第七章應力狀態(tài)和強度理論

在平面應力狀態(tài)下，若s3＝0，則以主應力表示的胡克定律為第65頁/共138頁66

例題已知構件受力后其自由表面上一點處x方向的線應變ex＝240×10-6，y方向的線應變ey=-160×10-6，試求該點處x和y截面上的正應力sx和sy，并求自由表面法線的線應變ez。已知材料的彈性模量E=210GPa，泊松比n＝0.3。第七章應力狀態(tài)和強度理論第66頁/共138頁67

解：1.

構件的自由表面上無任何應力，故知該點處于平面應力狀態(tài)。2.根據(jù)平面應力狀態(tài)的胡克定律有聯(lián)立求解此二式得第七章應力狀態(tài)和強度理論第67頁/共138頁68再根據(jù)平面應力狀態(tài)的胡克定律求得

需要注意的是，題文中給出了x和y方向的線應變，并未說明在xy平面內無切應變，故不能把求得的sx和sy認為是主應力。第七章應力狀態(tài)和強度理論第68頁/共138頁69思考:

有人認為既然上述例題中給出了ex和ey的值，那么ez可如下求算：但這又與例題中的結果不符。錯在哪里？第七章應力狀態(tài)和強度理論第69頁/共138頁70*Ⅱ.各向異性材料的廣義胡克定律

各向異性材料受力時，正應力會引起切應變，而切應力也會引起線應變。完全各向異性的材料在一般空間應力狀態(tài)下，三個相互垂直平面上的6個獨立的應力分量sx，sy，sz，tyz，tzx，txy中的每一個都可引起6個應變分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy。第七章應力狀態(tài)和強度理論第70頁/共138頁71第七章應力狀態(tài)和強度理論從而在線彈性范圍內且小變形的條件下，應力分量與應變分量之間的關系可表達為第71頁/共138頁72

上式即是完全各向異性材料的廣義胡克定律。式中的Cij為彈性常數(shù)，其第一個下角標i（＝1，2，┅，6）表示它對應于應變分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy中的第幾個，例如C24表示ey對應于tyz的彈性常數(shù)。從式中可見，完全各向異性的材料總共有36個彈性常數(shù)。

利用功的互等定理很容易證明，上列彈性常數(shù)中存在Cij=Cji這一互等關系，也就是說，在上列一組式子中有(36－6)/2＝15對彈性常數(shù)是互等的?？梢娡耆飨虍愋缘牟牧现挥?6－15＝21個獨立的彈性常數(shù)。第七章應力狀態(tài)和強度理論第72頁/共138頁73

對于完全各向異性的材料，若沿x，y，z方向的正應力為主應力s1，s2，s3，因而txy＝0，tyz=0，tzx=0，則按廣義胡克定律有

可見在任何兩個主應力構成的平面內均發(fā)生有切應變，所以主應力方向并非主應變的方向，或者說，主應力方向和主應變方向不相重合。第七章應力狀態(tài)和強度理論第73頁/共138頁74

工程上應用的將單向排列碳纖維澆注于環(huán)氧樹脂中形成的單向復合材料，它們具有三個彈性性能對稱面(參見下圖)，從而具有三個彈性性能對稱軸，這種各向異性材料稱為正交異性材料(orthogonalcompositematerial)。第七章應力狀態(tài)和強度理論第74頁/共138頁75第七章應力狀態(tài)和強度理論

當正交異性材料中一點處三個相互垂直面上的六個獨立應力分量均平行于材料的彈性對稱軸時，根據(jù)對稱性原則可知，這三個面上的正應力在彈性對稱軸方向只產(chǎn)生線應變，這三個面上的切應力只在它們各自的自身平面內產(chǎn)生切應變。第75頁/共138頁76因此，當正交異性材料一點處的六個獨立應力分量平行于材料的彈性對稱軸x，y，z時，廣義胡克定律為第七章應力狀態(tài)和強度理論考慮到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交異性材料共有9個獨立的彈性常數(shù)。第76頁/共138頁77

思考:

圖中x軸和y軸為正交各向異性材料的彈性性能對稱軸，從該材料中一點處取出的單元體如圖a所示，受純剪切；變形后如圖b。試論證這種情況仍符合對稱性原則。xyxy(a)(b)第七章應力狀態(tài)和強度理論第77頁/共138頁78Ⅲ.各向同性材料的體應變

材料受力而變形時其體積的相對變化稱為體應變q。第七章應力狀態(tài)和強度理論取三個邊長分別為a1，a2，a3的單元體，它在受力而變形后邊長分別為a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故體應變?yōu)榈?8頁/共138頁79將上式展開并略去高階微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的廣義胡克定律得第七章應力狀態(tài)和強度理論第79頁/共138頁80

對于以最一般形式表達的空間應力狀態(tài)，由于單元體每一個平面內的切應力引起的純剪切相當于這個平面內的二向等值拉壓(s1＝t，s3＝－t，s2＝0），從而從上列體應變公式中可見，它們引起的體應變?yōu)榱?。可見，對于各向同性材料，在一般空間應力狀態(tài)下的體應變也只與三個線應變之和有關，即第七章應力狀態(tài)和強度理論第80頁/共138頁81

思考:

各向同性材料制成的構件內一點處，三個主應力為s1＝30MPa，s2＝10MPa，s3＝-40MPa?，F(xiàn)從該點處以平行于主應力的截面取出邊長均為a的單元體，試問：(1)變形后該單元體的體積有無變化？(2)變形后該單元體的三個邊長之比有無變化？第七章應力狀態(tài)和強度理論第81頁/共138頁82

例題7-6

邊長a=0.1m的銅質立方體置于剛性很大的鋼塊中的凹坑內(圖a)，鋼塊與凹坑之間無間隙。試求當銅塊受均勻分布于頂面的豎向外加荷載F=300kN時，銅塊內的主應力，最大切應力，以及銅塊的體應變。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比n＝0.34。銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦忽略不計。(a)第七章應力狀態(tài)和強度理論第82頁/共138頁83解：1.

銅塊水平截面上的壓應力為

2.

銅塊在sy作用下不能橫向膨脹，即ex=0，ez＝0，可見銅塊的x截面和z截面上必有sx和sz存在(圖b)。(b)第七章應力狀態(tài)和強度理論第83頁/共138頁84按照廣義胡克定律及ex＝0和ey＝0的條件有方程：從以上二個方程可見，當它們都得到滿足時顯然sx＝sz。于是解得第七章應力狀態(tài)和強度理論第84頁/共138頁85由于忽略銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦，所以sx，sy，sz都是主應力，且第七章應力狀態(tài)和強度理論3.

銅塊內的最大切應力為(b)第85頁/共138頁86第七章應力狀態(tài)和強度理論4.

銅塊的體應變?yōu)?b)第86頁/共138頁87§7-5

空間應力狀態(tài)下的應變能密度

在第二章“軸向拉伸和壓縮”中已講到，應變能密度是指物體產(chǎn)生彈性變形時單位體積內積蓄的應變能，并導出了單向拉伸或壓縮應力狀態(tài)下的應變能密度計算公式：在第三章“扭轉”中講到了純剪切這種平面應力狀態(tài)下的應變能密度：在此基礎上，本章講述空間應力狀態(tài)下的應變能密度。第七章應力狀態(tài)和強度理論第87頁/共138頁88

空間應力狀態(tài)下，受力物體內一點處的三個主應力有可能并非按同一比例由零增至各自的最后值，例如s1先由零增至最后的值，然后s2由零增至最后的值，而s3最后才由零增至最后的值。第七章應力狀態(tài)和強度理論

但從能量守恒定律可知，彈性體內的應變能和應變能密度不應與應力施加順序有關而只取決于應力的最終值，因為否則按不同的加載和卸載順序會在彈性體內累積應變能，而這就違反了能量守恒定律。第88頁/共138頁89把由主應力和主應變表達的廣義胡克定律代入上式，經(jīng)整理簡化后得

為了便于分析，這里按一點處三個主應力按同一比例由零增至最后的值這種情況，即通常所稱的比例加載或簡單加載情形，來分析以主應力顯示的空間應力狀態(tài)下，各向同性材料在線彈性且小變形條件下的應變能密度。此時：第七章應力狀態(tài)和強度理論第89頁/共138頁90體積改變能密度和形狀改變能密度

圖a所示單元體在主應力作用下不僅其體積會發(fā)生改變，而且其形狀(指單元體三個邊長之比)也會發(fā)生改變。這就表明，單元體內的應變能密度ve包含了體積改變能密度vv和形狀改變能密度vd兩部分，即ve＝vv＋vd。第七章應力狀態(tài)和強度理論第90頁/共138頁91

如果將圖a所示應力狀態(tài)分解為圖b和圖c所示兩種應力狀態(tài)，則可見：Ⅰ.

圖b所示三個主應力都等于平均應力sm＝(s1+s2+s3)/3的情況下，單元體只有體積改變而無形狀改變，其應變能密度即是體積改變能密度，而形狀改變能密度為零。第七章應力狀態(tài)和強度理論第91頁/共138頁92

Ⅱ.

圖c所示三個主應力分別為s1-sm，s2-sm，s3-sm的情況下，三個主應力之和為零，單元體沒有體積改變而只有形狀改變，故該單元體的應變能密度就是形狀改變能密度，而體積改變能密度為零。第七章應力狀態(tài)和強度理論第92頁/共138頁93由以上分析可知：(1)圖a所示單元體的體積改變能密度就等于圖b所示單元體的應變能密度，故對圖a所示單元體有第七章應力狀態(tài)和強度理論第93頁/共138頁94在下一節(jié)所講的強度理論中要運用形狀改變能密度。第七章應力狀態(tài)和強度理論(2)圖a所示單元體的形狀改變能密度就等于圖c所示單元體的應變能密度，故對圖a所示單元體有第94頁/共138頁95§7-6

強度理論及其相當應力

材料在單向應力狀態(tài)下的強度(塑性材料的屈服極限，脆性材料的強度極限)總可通過拉伸試驗和壓縮試驗加以測定；材料在純剪切這種特定平面應力狀態(tài)下的強度(剪切強度)可以通過例如圓筒的扭轉試驗來測定。第七章應力狀態(tài)和強度理論

但是對于材料在一般平面應力狀態(tài)下以及三向應力狀態(tài)下的強度，則由于不等于零的主應力可以有多種多樣的組合，所以不可能總是由試驗加以測定。因而需要通過對材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強度破壞的規(guī)律，提出關于材料發(fā)生強度破壞的力學因素的假設──強度理論，以便利用單向拉伸、壓縮以及圓筒扭轉等試驗測得的強度來推斷復雜應力狀態(tài)下材料的強度。第95頁/共138頁96材料的強度破壞有兩種類型；

Ⅰ.

在沒有明顯塑性變形情況下的脆性斷裂；

Ⅱ.

產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。工程中常用的強度理論按上述兩種破壞類型分為Ⅰ.研究脆性斷裂力學因素的第一類強度理論，其中包括最大拉應力理論和最大伸長線應變理論；

Ⅱ.

研究塑性屈服力學因素的第二類強度理論，其中包括最大切應力理論和形狀改變能密度理論。第七章應力狀態(tài)和強度理論第96頁/共138頁97(1)

最大拉應力理論(第一強度理論)

受鑄鐵等材料單向拉伸時斷口為最大拉應力作用面等現(xiàn)象的啟迪，第一強度理論認為，在任何應力狀態(tài)下，當一點處三個主應力中的拉伸主應力s1達到該材料在單軸拉伸試驗或其它使材料發(fā)生脆性斷裂的試驗中測定的極限應力su時就發(fā)生斷裂?？梢?，第一強度理論關于脆性斷裂的判據(jù)為而相應的強度條件則是其中，[s]為對應于脆性斷裂的許用拉應力，[s]＝su/n，而n為安全因數(shù)。第七章應力狀態(tài)和強度理論第97頁/共138頁98

(2)最大伸長線應變理論(第二強度理論)

從大理石等材料單軸壓縮時在伸長線應變最大的橫向發(fā)生斷裂(斷裂面沿施加壓應力的方向，即所謂縱向)來判斷，第二強度理論認為，在任何應力狀態(tài)下，當一點處的最大伸長線應變e1達到該材料在單軸拉伸試驗、單軸壓縮試驗或其它試驗中發(fā)生脆性斷裂時與斷裂面垂直的極限伸長應變eu時就會發(fā)生斷裂?？梢姡诙姸壤碚撽P于脆性斷裂的判據(jù)為第七章應力狀態(tài)和強度理論第98頁/共138頁99對應于式中材料脆性斷裂的極限伸長線應變eu，如果是由單軸拉伸試驗測定的(例如對鑄鐵等脆性金屬材料)，那么eu＝su/E；如果eu是由單軸壓縮試驗測定的(例如對石料和混凝土等非金屬材料)，那么eu＝n·su/E；如果eu是在復雜應力狀態(tài)的試驗中測定的(低碳鋼在三軸拉伸應力狀態(tài)下才會未經(jīng)屈服而發(fā)生脆性斷裂)，則eu與試驗中發(fā)生脆性斷裂時的三個主應力均有聯(lián)系。第七章應力狀態(tài)和強度理論第99頁/共138頁100亦即而相應的強度條件為

按照這一理論，似乎材料在二軸拉伸或三軸拉伸應力狀態(tài)下反而比單軸拉伸應力狀態(tài)下不易斷裂，而這與實際情況往往不符，故工程上應用較少。第七章應力狀態(tài)和強度理論

如果eu是在單軸拉伸而發(fā)生脆性斷裂情況下測定的，則第二強度理論關于脆性斷裂的判據(jù)也可以便于運用的如下應力形式表達：第100頁/共138頁101

(3)最大切應力理論(第三強度理論)低碳鋼在單軸拉伸而屈服時出現(xiàn)滑移等現(xiàn)象，而滑移面又基本上是最大切應力的作用面(45?

斜截面)。據(jù)此，第三強度理論認為，在任何應力狀態(tài)下當一點處的最大切應力tmax達到該材料在試驗中屈服時最大切應力的極限值tu時就發(fā)生屈服。第三強度理論的屈服判據(jù)為對于由單軸拉伸試驗可測定屈服極限ss，從而有tu＝ss/2的材料（例如低碳鋼），上列屈服判據(jù)可寫為即第七章應力狀態(tài)和強度理論第101頁/共138頁102而相應的強度條件則為

從上列屈服判據(jù)和強度條件可見，這一強度理論沒有考慮復雜應力狀態(tài)下的中間主應力s2對材料發(fā)生屈服的影響；因此它與試驗結果會有一定誤差(但偏于安全)。

(4)形狀改變能密度理論(第四強度理論)

注意到三向等值壓縮時材料不發(fā)生或很難發(fā)生屈服，第四強度理論認為，在任何應力狀態(tài)下材料發(fā)生屈服是由于一點處的形狀改變能密度vd達到極限值vdu所致。第七章應力狀態(tài)和強度理論第102頁/共138頁103于是，第四強度理論的屈服判據(jù)為對于由單軸拉伸試驗可測定屈服極限ss的材料，注意到試驗中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相應的形狀改變能密度的極限值為故屈服判據(jù)可寫為第七章應力狀態(tài)和強度理論第103頁/共138頁104此式中，s1，s2，s3是構成危險點處的三個主應力，相應的強度條件則為

這個理論比第三強度理論更符合已有的一些平面應力狀態(tài)下的試驗結果，但在工程實踐中多半采用計算較為簡便的第三強度理論。亦即第七章應力狀態(tài)和強度理論第104頁/共138頁105(5)強度理論的相當應力

上述四個強度理論所建立的強度條件可統(tǒng)一寫作如下形式：式中，sr是根據(jù)不同強度理論以危險點處主應力表達的一個值，它相當于單軸拉伸應力狀態(tài)下強度條件s≤[s]中的拉應力s，通常稱sr為相當應力。表7-1示出了前述四個強度理論的相當應力表達式。第七章應力狀態(tài)和強度理論第105頁/共138頁106相當應力表達式強度理論名稱及類型

第一類強度理論(脆性斷裂的理論)

第二類強度理論(塑性屈服的理論)

第一強度理論──最大拉應力理論

第二強度理論──最大伸長線應變理論

第三強度理論──最大切應力理論

第四強度理論──形狀改變能密度理論表7-1四個強度理論的相當應力表達式第七章應力狀態(tài)和強度理論第106頁/共138頁107*§7-7

莫爾強度理論及其相當應力

莫爾強度理論不以某一力學因素(正應力，線應變，切應力，形狀改變能密度)達到其極限值作為材料發(fā)生強度破壞的判據(jù)，而直接以材料在某些應力狀態(tài)下強度試驗結果所建立的帶有經(jīng)驗性的強度理論。在該理論中也不考慮中間主應力s2對材料強度的影響。第七章應力狀態(tài)和強度理論第107頁/共138頁108

按照材料在某些應力狀態(tài)下破壞時的主應力s1,s3可作出一組應力圓——極限應力圓(如圖)，這組極限應力圓有一條公共包絡線(即極限包絡線，一般情況下為曲線，如圖中的曲線ABC和與它對稱的另一曲線)。Ⅰ.莫爾強度理論的基本觀點第七章應力狀態(tài)和強度理論第108頁/共138頁109

在工程應用中，往往根據(jù)單軸拉伸和單軸壓縮的強度試驗結果作兩個極限應力圓定出公切線(直線)作為極限包絡線。

莫爾強度理論認為，對于某一給定的應力狀態(tài)(s1,s2,s3)如果由s1與s3所作應力圓與上述極限包絡線相切或相交，則表示材料要發(fā)生強度破壞。第七章應力狀態(tài)和強度理論第109頁/共138頁110Ⅱ.莫爾強度理論的強度條件

在強度計算中需引入安全因數(shù)，故以材料在單軸拉伸時的許用拉應力[st]和單軸壓縮時的許用壓應力[sc]分別作出許用應力圓，并以它們的公切線（許用包絡線）作為建立復雜應力狀態(tài)下強度條件的依據(jù)。第七章應力狀態(tài)和強度理論

任何復雜應力狀態(tài)下，以主應力s1，s3作出的應力圓都不得與許用包絡線相交，而強度條件則以該應力圓與許用包絡線相切的條件來建立。第110頁/共138頁111

根據(jù)圖中的幾何關系可見，任意應力狀態(tài)下以s1,s3所作應力圖與許用包絡線相切時有(a)第七章應力狀態(tài)和強度理論第111頁/共138頁112其中：需要注意的是，以上各式中[sc]是指絕對值，s1,s3是指代數(shù)值。(b)第七章應力狀態(tài)和強度理論第112頁/共138頁113將式(b)所列關系代入式(a)得根據(jù)此式導出的條件可知，式中的s1,s3實際上是所研究的復雜應力狀態(tài)下剛好滿足強度要求的值，因而莫爾強度理論的強度條件應為相應的相當應力表達式于是為第七章應力狀態(tài)和強度理論第113頁/共138頁114

顯然，當材料的許用拉,壓應力相等時，

srM=sr3=s1-s3從這個意義上來說，莫爾強度理論是第三強度理論的發(fā)展，因為莫爾強度理論可以考慮[st]≠[sc]的情況。

莫爾強度理論的不足之處在于，它沒有考慮不同應力狀態(tài)下材料強度破壞的類型可能不同，例如對于鑄鐵一類脆性材料，莫爾強度理論中作出許用包絡線的[st]和[sc]就是對應于沿橫截面脆性斷裂和沿斜截面剪斷兩種不同破壞類型的。第七章應力狀態(tài)和強度理論第114頁/共138頁115§7-8

各種強度理論的應用

前述各種強度理論是根據(jù)下列條件下材料強度破壞的情況作出的假設，它們也是應用這些強度理論的條件：常溫(室溫)，靜荷載(徐加荷載)，材料接近于均勻,連續(xù)和各向同性。

需要注意同一種材料其強度破壞的類型與應力狀態(tài)有關。第七章應力狀態(tài)和強度理論第115頁/共138頁116第七章應力狀態(tài)和強度理論

帶尖銳環(huán)形深切槽的低碳鋼試樣，由于切槽根部附近材料處于接近三向等值拉伸的應力狀態(tài)而發(fā)生脆性斷裂。對于像低碳鋼一類的塑性材料，除了處于三向拉伸應力狀態(tài)外，不會發(fā)生脆性斷裂。第116頁/共138頁117

圓柱形大理石試樣，在軸向壓縮并利用液體徑向施壓時會產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效。第七章應力狀態(tài)和強度理論第117頁/共138頁118純剪切平面應力狀態(tài)下許用應力的推算純剪切平面應力狀態(tài)下

低碳鋼一類的塑性材料，純剪切和單軸拉伸應力狀態(tài)下均發(fā)生塑性的屈服，故可用單軸拉伸許用應力[s]按第三或第四強度理論推算許用切應力[t]。按第三強度理論，純剪切應力狀態(tài)下的強度條件為可見亦即第七章應力狀態(tài)和強度理論第118頁/共138頁119按第四強度理論，純剪切應力狀態(tài)下的強度條件為可見

在大部分鋼結構設計規(guī)范中就是按[t]=0.577[s]然后取整數(shù)來確定低碳鋼的許用切應力的。例如規(guī)定[s]＝170MPa，而[t]＝100MPa。亦即第七章應力狀態(tài)和強度理論第119頁/共138頁120

鑄鐵一類的脆性材料，純剪切(圓桿扭轉)和單向拉伸應力狀態(tài)下均發(fā)生脆性斷裂，故可用單軸拉伸許用應力[st]按第一或第二強度理論推算許用切應力[t]。按第一強度理論，純剪切應力狀態(tài)下的強度條件為第七章應力狀態(tài)和強度理論可見第120頁/共138頁121按第二強度理論，純剪切應力狀態(tài)下的強度條件為因鑄鐵的泊松比n≈0.25，于是有可見亦即第七章應力狀態(tài)和強度理論第121頁/共138頁122

思考:

試按第四強度理論分析比較某塑性材料在圖(a)和圖(b)兩種應力狀態(tài)下的危險程度。已知s和t的數(shù)值相等。如果按第三強度理論分析，那么比較的結果又如何？答案：按第