材料力學(xué)I應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)理論

材料力學(xué)I應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)理論第1頁/共138頁2§7-1概述

在第二章和第三章中曾講述過桿受拉壓時(shí)和圓截面桿受扭時(shí)桿件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位截面上的應(yīng)力，并指出：一點(diǎn)處不同方位截面上應(yīng)力的集合(總體)稱之為一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。由于一點(diǎn)處任何方位截面上的應(yīng)力均可根據(jù)從該點(diǎn)處取出的微小正六面體──單元體的三對(duì)相互垂直面上的應(yīng)力來確定，故受力物體內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)(stateofstress)可用一個(gè)單元體(element)及其上的應(yīng)力來表示。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第2頁/共138頁3單向應(yīng)力狀態(tài)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第3頁/共138頁4純剪切應(yīng)力狀態(tài)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第4頁/共138頁5研究桿件受力后各點(diǎn)處，特別是危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以：

1.

了解材料發(fā)生破壞的力學(xué)上的原因，例如低碳鋼拉伸時(shí)的屈服(yield)現(xiàn)象是由于在切應(yīng)力最大的45?

斜截面上材料發(fā)生滑移所致；又如鑄鐵圓截面桿的扭轉(zhuǎn)破壞是由于在45?

方向拉應(yīng)力最大從而使材料發(fā)生斷裂(fracture)所致。

2.

在不可能總是通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定材料極限應(yīng)力的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，如圖所示,應(yīng)力狀態(tài)分析是建立關(guān)于材料破壞規(guī)律的假設(shè)(稱為強(qiáng)度理論)(theoryofstrength,failurecriterion)的基礎(chǔ)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第5頁/共138頁6

本章將研究Ⅰ.

平面應(yīng)力狀態(tài)下不同方位截面上的應(yīng)力和關(guān)于三向應(yīng)力狀態(tài)(空間應(yīng)力狀態(tài))的概念；Ⅱ.

平面應(yīng)力狀態(tài)和三向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系——廣義胡克定律(generalizedHooke’slaw)，以及這類應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度(strainenergydensity)；Ⅲ.強(qiáng)度理論。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第6頁/共138頁7§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析·主應(yīng)力

平面應(yīng)力狀態(tài)是指，如果受力物體內(nèi)一點(diǎn)處在眾多不同方位的單元體中存在一個(gè)特定方位的單元體，它的一對(duì)平行平面上沒有應(yīng)力，而另外兩對(duì)平行平面上都只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力這種應(yīng)力狀態(tài)。等直圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的純剪切應(yīng)力狀態(tài)就屬于平面應(yīng)力狀態(tài)(參見§3-4的“Ⅱ.斜截面上的應(yīng)力”)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第7頁/共138頁8

對(duì)于圖a所示受橫力彎曲的梁，從其中A點(diǎn)處以包含與梁的橫截面重合的面在內(nèi)的三對(duì)相互垂直的面取出的單元體如圖b(立體圖)和圖c(平面圖)，本節(jié)中的分析結(jié)果將表明A點(diǎn)也處于平面應(yīng)力狀態(tài)。(a)(c)(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第8頁/共138頁9

平面應(yīng)力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖a所示，現(xiàn)先分析與已知應(yīng)力所在平面xy垂直的任意斜截面(圖b)上的應(yīng)力。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第9頁/共138頁10Ⅰ.斜截面上的應(yīng)力第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

圖b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法線n與x軸的夾角a定義，且a角以自x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)至外法線n為正；斜截面上圖中所示的正應(yīng)力sa和切應(yīng)力ta均為正值，即sa以拉應(yīng)力為正，ta以使其所作用的體元有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)者為正。第10頁/共138頁11

由圖c知，如果斜截面ef的面積為dA，則體元左側(cè)面eb的面積為dA·cosa，而底面bf的面積為dA·sina。圖d示出了作用于體元ebf諸面上的力。體元的平衡方程為第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第11頁/共138頁12

需要注意的是，圖中所示單元體頂,底面上的切應(yīng)力ty按規(guī)定為負(fù)值，但在根據(jù)圖d中的體元列出上述平衡方程時(shí)已考慮了它的實(shí)際指向，故方程中的ty僅指其值。也正因?yàn)槿绱?，此處切?yīng)力互等定理的形式應(yīng)是tx=ty。

由以上兩個(gè)平衡方程并利用切應(yīng)力互等定理可得到以2a為參變量的求a斜截面上應(yīng)力sa，ta的公式：第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第12頁/共138頁13Ⅱ.應(yīng)力圓

為便于求得sa，ta，也為了便于直觀地了解平面應(yīng)力狀態(tài)的一些特征，可使上述計(jì)算公式以圖形即所稱的應(yīng)力圓(莫爾圓)(Mohr’scircleforstresses)來表示。

先將上述兩個(gè)計(jì)算公式中的第一式內(nèi)等號(hào)右邊第一項(xiàng)移至等號(hào)左邊，再將兩式各自平方然后相加即得：第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第13頁/共138頁14

而這就是如圖a所示的一個(gè)圓——應(yīng)力圓，它表明代表a斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在應(yīng)力圓的圓周上。OC(a)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第14頁/共138頁15第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論OC(b)

圖a中所示的應(yīng)力圓實(shí)際上可如圖b所示作出，亦即使單元體x截面上的應(yīng)力sx,tx按某一比例尺定出點(diǎn)D1，依單元體y截面上的應(yīng)力sy,ty(取ty=-tx)定出點(diǎn)D2，然后連以直線，以它與s軸的交點(diǎn)C為圓心，并且以或?yàn)榘霃阶鲌A得出。第15頁/共138頁16值得注意的是，在應(yīng)力圓圓周上代表單元體兩個(gè)相互垂直的x截面和y截面上應(yīng)力的點(diǎn)D1和D2所夾圓心角為180?，它是單元體上相應(yīng)兩個(gè)面之間夾角的兩倍，這反映了前述sa，ta計(jì)算公式中以2a為參變量這個(gè)前提。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論OC(b)第16頁/共138頁17

利用應(yīng)力圓求a斜截面(圖a)上的應(yīng)力sa，ta時(shí)，只需將應(yīng)力圓圓周上表示x截面上的應(yīng)力的點(diǎn)D1所對(duì)應(yīng)的半徑按方位角a的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)2a角，得到半徑，那么圓周上E點(diǎn)的座標(biāo)便代表了單元體a斜截面上的應(yīng)力。現(xiàn)證明如下(參照?qǐng)Db)：第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第17頁/共138頁18E點(diǎn)橫座標(biāo)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第18頁/共138頁19E點(diǎn)縱座標(biāo)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第19頁/共138頁20討論:

1.表達(dá)圖示各單元體a斜截面上應(yīng)力隨a角變化的應(yīng)力圓是怎樣的？這三個(gè)單元體所表示的都是平面應(yīng)力狀態(tài)嗎？第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第20頁/共138頁21

2.

對(duì)于圖示各單元體，表示與紙面垂直的斜截面上應(yīng)力隨a角變化的應(yīng)力圓有什么特點(diǎn)？a=±45?兩個(gè)斜截面上的sa,ta分別是多少？二向等值壓縮二向等值拉伸純剪切第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第21頁/共138頁22思考:

已知一點(diǎn)處兩個(gè)不相垂直截面上的應(yīng)力(圖a)，如圖b所示為表達(dá)其與紙面垂直的一組斜截面上應(yīng)力而作的應(yīng)力圓是否正確？理由是什么？(a)C(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第22頁/共138頁23Ⅲ.主應(yīng)力與主平面第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

由根據(jù)圖a所示單元體上的應(yīng)力所作應(yīng)力圓(圖b)可見，圓周上A1和A2兩點(diǎn)的橫座標(biāo)分別代表該單元體的垂直于xy平面的那組截面上正應(yīng)力中的最大值和最小值，它們的作用面相互垂直(由A1和A2兩點(diǎn)所夾圓心角為180?可知)，且這兩個(gè)截面上均無切應(yīng)力。第23頁/共138頁24第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論一點(diǎn)處切應(yīng)力等于零的截面稱為主平面(principalplane)，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力(principalstress)。據(jù)此可知，應(yīng)力圓圓周上點(diǎn)A1和A2所代表的就是主應(yīng)力；但除此之外，圖a所示單元體上平行于xy平面的面上也是沒有切應(yīng)力的，所以該截面也是主平面，只是其上的主應(yīng)力為零。第24頁/共138頁25

在彈性力學(xué)中可以證明，受力物體內(nèi)一點(diǎn)處無論是什么應(yīng)力狀態(tài)必定存在三個(gè)相互垂直的主平面和相應(yīng)的三個(gè)主應(yīng)力。對(duì)于一點(diǎn)處三個(gè)相互垂直的主應(yīng)力，根據(jù)慣例按它們的代數(shù)值由大到小的次序記作s1，s2，s3。圖b所示應(yīng)力圓中標(biāo)出了s1和s2，而s3=0。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第25頁/共138頁26當(dāng)三個(gè)主應(yīng)力中有二個(gè)主應(yīng)力不等于零時(shí)為平面應(yīng)力狀態(tài)；平面應(yīng)力狀態(tài)下等于零的那個(gè)主應(yīng)力如下圖所示，可能是s1，也可能是s2或s3，這需要確定不等于零的兩個(gè)主應(yīng)力的代數(shù)值后才能明確。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第26頁/共138頁27

現(xiàn)利用前面的圖b所示應(yīng)力圓導(dǎo)出求不等于零的主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置方位角a0的解析式，由于

其中，為應(yīng)力圓圓心的橫座標(biāo)，為應(yīng)力圓的半徑。故得第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第27頁/共138頁28第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論或即圖c示出了主應(yīng)力和主平面的方位。第28頁/共138頁29

由于主應(yīng)力是按其代數(shù)值排序記作s1，s2，s3的，故在一般情況下由上列解析式求得的兩個(gè)不等于零的主應(yīng)力不一定就是s1，s2，所以應(yīng)該把式中的s1，s2看作只是表示主應(yīng)力而已。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第29頁/共138頁30

例題7-2

簡(jiǎn)支的焊接鋼板梁及其上的荷載如圖a所示，梁的橫截面如圖b和c。試?yán)脩?yīng)力圓求集中荷載位置C的左側(cè)橫截面上a，b兩點(diǎn)(圖c)處的主應(yīng)力。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第30頁/共138頁31

解：焊接鋼板梁的腹板上在焊縫頂端(圖b中點(diǎn)f)處，彎曲應(yīng)力和切應(yīng)力都比較大，是校核強(qiáng)度時(shí)應(yīng)加以考慮之點(diǎn)；在實(shí)際計(jì)算中為了方便，常近似地以腹板上與翼緣交界處的a點(diǎn)(圖c)代替f點(diǎn)。正因?yàn)槿绱耍纠}中要求的也是a點(diǎn)處主應(yīng)力。梁的自重不計(jì)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第31頁/共138頁32

1.

此梁的剪力圖和彎矩圖如圖d和e。危險(xiǎn)截面為荷載作用位置C的左側(cè)橫截面。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第32頁/共138頁332.

相關(guān)的截面幾何性質(zhì)為第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第33頁/共138頁343.

危險(xiǎn)截面上a點(diǎn)和b點(diǎn)處的應(yīng)力：第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第34頁/共138頁354.

從危險(xiǎn)截面上a點(diǎn)和b點(diǎn)處以包含與梁的橫截面在內(nèi)的三對(duì)相互垂直的截面取出單元體，其x和y面上的應(yīng)力如圖f和h中所示。據(jù)此繪出的應(yīng)力圓如圖g和i。yx(f)(h)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第35頁/共138頁36對(duì)于點(diǎn)as1和s2的方向如圖f中所示。yx(f)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(g)s1注意到圖f和h所示單元體，其平行于xy平面的面為主平面（其上無切應(yīng)力，相應(yīng)的主應(yīng)力為零，故圖g所示應(yīng)力圓上點(diǎn)A1所表示的是s1。按作應(yīng)力圓時(shí)的同一比例尺可量得：第36頁/共138頁37(i)(h)對(duì)于點(diǎn)bs1沿x方向(圖h)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第37頁/共138頁38

當(dāng)然，點(diǎn)a處主應(yīng)力s1和s3的值及其方向也可按應(yīng)力圓上的幾何關(guān)系來計(jì)算：亦即a0＝-23.2°。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(g)s1第38頁/共138頁39

5.

圖f中所示a點(diǎn)主應(yīng)力s1的方向，實(shí)際上只須將應(yīng)力圓上代表x截面上應(yīng)力的點(diǎn)D1(sx，tx)反向投射到應(yīng)力圓上的點(diǎn)

，然后將代表s3的點(diǎn)A2與點(diǎn)

連以直線即得。這里利用了圓周角恒等于圓心角之半的幾何關(guān)系。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論yx(f)s1s1方向第39頁/共138頁40§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念

當(dāng)一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力都不等于零時(shí)，稱該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)為空間應(yīng)力狀態(tài)(三向應(yīng)力狀態(tài))；鋼軌在輪軌觸點(diǎn)處就處于空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第40頁/共138頁41

空間應(yīng)力狀態(tài)最一般的表現(xiàn)形式如圖b所示；正應(yīng)力sx，sy，sz的下角標(biāo)表示其作用面，切應(yīng)力txy，txz，tyx，tyz，tzx，tzy的第一個(gè)下角標(biāo)表示其作用面，第二個(gè)下角標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

圖中所示的正應(yīng)力和切應(yīng)力均為正的，即正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，切應(yīng)力則如果其作用面的外法線指向某一座標(biāo)軸的正向而該面上的切應(yīng)力指向另一座標(biāo)軸的正向時(shí)為正。第41頁/共138頁42

最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)中有9個(gè)應(yīng)力分量，但根據(jù)切應(yīng)力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy

，txz＝tzx，因而獨(dú)立的應(yīng)力分量為6個(gè)，即sx，sy，sz，tyx，tzy

，tzx。

當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)的三個(gè)主應(yīng)力s1，s2，s3已知時(shí)(圖a)，與任何一個(gè)主平面垂直的那些斜截面(即平行于該主平面上主應(yīng)力的斜截面)上的應(yīng)力均可用應(yīng)力圓顯示。(a)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第42頁/共138頁43(b)(c)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

例如圖a中所示垂直于主應(yīng)力s3所在平面的斜截面，其上的應(yīng)力由圖b所示分離體可知，它們與s3無關(guān)，因而顯示這類斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在以s1和s2作出的應(yīng)力圓上(參見圖c)。第43頁/共138頁44

進(jìn)一步的研究證明*，表示與三個(gè)主平面均斜交的任意斜截面(圖a中的abc截面)上應(yīng)力的點(diǎn)D必位于如圖c所示以主應(yīng)力作出的三個(gè)應(yīng)力圓所圍成的陰影范圍內(nèi)。(a)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

同理，顯示與s2(或s1)所在主平面垂直的那類斜截面上應(yīng)力的點(diǎn)必落在以s1和s3(或s2和s3)作出的應(yīng)力圓上。(c)第44頁/共138頁45

據(jù)此可知，受力物體內(nèi)一點(diǎn)處代數(shù)值最大的正應(yīng)力smax就是主應(yīng)力s1，而最大切應(yīng)力為(c)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第45頁/共138頁46它的作用面根據(jù)應(yīng)力圓點(diǎn)B的位置可知，系與主應(yīng)力s2作用面垂直而與s1作用面成45?

，即下面圖a中的截面abcd。abcd(a)acdb第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第46頁/共138頁47

根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在與截面abcd垂直的截面efgh上有數(shù)值上與tmax相等的切應(yīng)力，如下面圖b中所示。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論abcd(a)acdb(b)efgh第47頁/共138頁48

例題7-3

試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應(yīng)力作出應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的值及它們的作用面方位。(a)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第48頁/共138頁49

解:

1.

圖a所示單元體上正應(yīng)力sz=20MPa的作用面(z截面)上無切應(yīng)力，因而該正應(yīng)力為主應(yīng)力。

2.正如以前所述，在與主平面z截面垂直的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力sz無關(guān)，故可根據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力畫出顯示與z截面垂直各截面上應(yīng)力隨截面方位角變化的應(yīng)力圓。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(a)第49頁/共138頁50

從圓上得出兩個(gè)主應(yīng)力46MPa和-26MPa。這樣就得到了包括sz=20MPa在內(nèi)的三個(gè)主應(yīng)力。他們按代數(shù)值大小排序?yàn)閟1＝46MPa，s2＝20MPa，s3＝-26MPa。(b)(a)3.依據(jù)三個(gè)主應(yīng)力值作出的三個(gè)應(yīng)力圓如圖b所示。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第50頁/共138頁51s1的作用面垂直于z截面(sz作用面)，其方位角a0根據(jù)通過點(diǎn)D1和D2的應(yīng)力圓上由代表x截面上應(yīng)力的點(diǎn)D1逆時(shí)針至代表a1的點(diǎn)A的圓心角2a0＝34?可知為a0＝17?且由x截面逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖c中所示。(c)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(b)第51頁/共138頁52

4.最大切應(yīng)力tmax由應(yīng)力圓上點(diǎn)B的縱座標(biāo)知為tmax＝36MPa，作用在由s1作用面繞s2逆時(shí)針45?

的面上(圖c)。(c)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(b)第52頁/共138頁53顯然，根據(jù)解析式也得(c)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第53頁/共138頁54§7-4

應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系

前已講到，最一般表現(xiàn)形式的空間應(yīng)力狀態(tài)有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量：sx,sy,sz,txy,tyz

,tzx；與之相應(yīng)的有6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量：ex,ey,ez,gxy,gyz,gzx。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第54頁/共138頁55關(guān)于應(yīng)力分量的正負(fù)已于§7-3中講述；至于應(yīng)變分量的正負(fù)為了與應(yīng)力分量的正負(fù)相一致，規(guī)定：線應(yīng)變ex,ey,ez以伸長(zhǎng)變形為正，切應(yīng)變gxy,gyz,gzx以使單元體的直角∠xoy,∠yoz,∠zox減小為正。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第55頁/共138頁56

本節(jié)討論在線彈性范圍內(nèi)，且為小變形的條件下，空間應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系，即廣義胡克定律。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第56頁/共138頁57Ⅰ.各向同性材料的廣義胡克定律

對(duì)于各向同性材料，它在任何方向上的彈性性質(zhì)相同，也就是它在各個(gè)方向上應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系相同。因此，對(duì)于各向同性材料：

(1)

在正應(yīng)力作用下，沿正應(yīng)力方向及與之垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變，而在包含正應(yīng)力作用面在內(nèi)的三個(gè)相互垂直的平面內(nèi)不會(huì)發(fā)生切應(yīng)變；

(2)

在切應(yīng)力作用下只會(huì)在切應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變，而在與之垂直的平面內(nèi)不會(huì)產(chǎn)生切應(yīng)變；也不會(huì)在切應(yīng)力方向和與它們垂直的方向產(chǎn)生線應(yīng)變。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第57頁/共138頁58

圖a,b,c作為示例示出了單元體以及對(duì)各向同性材料來說不可能產(chǎn)生的變形，因?yàn)槊總€(gè)圖中上面的單元體在繞x軸旋轉(zhuǎn)180?

以后，如各圖中下面的單元體所示，或者受力情況未變而變形卻反了(圖a)，或者變形無變化但受力情況卻反了(圖b,c)，而這些都不符合各向同性材料應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系不應(yīng)該隨單元體轉(zhuǎn)動(dòng)而變化的特征。xx(a)xx(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論xx(c)第58頁/共138頁59

現(xiàn)在來導(dǎo)出一般空間應(yīng)力狀態(tài)(圖a)下的廣義胡克定律。因?yàn)樵诰€彈性,小變形條件下可以應(yīng)用疊加原理，故知x方向的線應(yīng)變與正應(yīng)力之間的關(guān)系為第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論同理有第59頁/共138頁60至于切應(yīng)變與切應(yīng)力的關(guān)系，則根據(jù)前面所述可知，切應(yīng)變只與切應(yīng)變平面內(nèi)的切應(yīng)力相關(guān)，因而有第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第60頁/共138頁61對(duì)于圖b所示的那種平面應(yīng)力狀態(tài)(sz＝0，txz=τzx=0，tyz=tzy=0)，則胡克定律為(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

各向同性材料的三個(gè)彈性常數(shù)E，G，n之間存在如下關(guān)系：第61頁/共138頁62思考:

1.圖a和圖b所示應(yīng)力狀態(tài)是否完全相當(dāng)？

2.圖a所示情況下，對(duì)角線ab的線應(yīng)變eab與g

的關(guān)系，亦即eab與τ/G

的關(guān)系是怎樣的？aa(a)(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論ba3.圖b中沿圖a中對(duì)角線ab方向的線應(yīng)變與所示s的關(guān)系是怎樣的？第62頁/共138頁63

4.如果圖a與圖b是同一應(yīng)力狀態(tài)，那么它們沿同一方向的線應(yīng)變應(yīng)相等，按此可否導(dǎo)出G=E/2(1+n)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論aa(a)(b)ba第63頁/共138頁64

當(dāng)空間應(yīng)力狀態(tài)如下圖所示以主應(yīng)力表示時(shí)，廣義胡克定律為第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論式中，e1，e2，e3分別為沿主應(yīng)力s1，s2，s3方向的線應(yīng)變。第64頁/共138頁65

對(duì)于各向同性材料由于主應(yīng)力作用下，在任何兩個(gè)主應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)不發(fā)生切應(yīng)變，因而主應(yīng)力方向的線應(yīng)變就是主應(yīng)變──一點(diǎn)處兩個(gè)相互垂直方向間不發(fā)生切應(yīng)變時(shí)該兩個(gè)方向的線應(yīng)變。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

在平面應(yīng)力狀態(tài)下，若s3＝0，則以主應(yīng)力表示的胡克定律為第65頁/共138頁66

例題已知構(gòu)件受力后其自由表面上一點(diǎn)處x方向的線應(yīng)變ex＝240×10-6，y方向的線應(yīng)變ey=-160×10-6，試求該點(diǎn)處x和y截面上的正應(yīng)力sx和sy，并求自由表面法線的線應(yīng)變ez。已知材料的彈性模量E=210GPa，泊松比n＝0.3。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第66頁/共138頁67

解：1.

構(gòu)件的自由表面上無任何應(yīng)力，故知該點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)。2.根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律有聯(lián)立求解此二式得第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第67頁/共138頁68再根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)的胡克定律求得

需要注意的是，題文中給出了x和y方向的線應(yīng)變，并未說明在xy平面內(nèi)無切應(yīng)變，故不能把求得的sx和sy認(rèn)為是主應(yīng)力。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第68頁/共138頁69思考:

有人認(rèn)為既然上述例題中給出了ex和ey的值，那么ez可如下求算：但這又與例題中的結(jié)果不符。錯(cuò)在哪里？第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第69頁/共138頁70*Ⅱ.各向異性材料的廣義胡克定律

各向異性材料受力時(shí)，正應(yīng)力會(huì)引起切應(yīng)變，而切應(yīng)力也會(huì)引起線應(yīng)變。完全各向異性的材料在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下，三個(gè)相互垂直平面上的6個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量sx，sy，sz，tyz，tzx，txy中的每一個(gè)都可引起6個(gè)應(yīng)變分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第70頁/共138頁71第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論從而在線彈性范圍內(nèi)且小變形的條件下，應(yīng)力分量與應(yīng)變分量之間的關(guān)系可表達(dá)為第71頁/共138頁72

上式即是完全各向異性材料的廣義胡克定律。式中的Cij為彈性常數(shù)，其第一個(gè)下角標(biāo)i（＝1，2，┅，6）表示它對(duì)應(yīng)于應(yīng)變分量ex，ey，ez，gyz，gzx，gxy中的第幾個(gè)，例如C24表示ey對(duì)應(yīng)于tyz的彈性常數(shù)。從式中可見，完全各向異性的材料總共有36個(gè)彈性常數(shù)。

利用功的互等定理很容易證明，上列彈性常數(shù)中存在Cij=Cji這一互等關(guān)系，也就是說，在上列一組式子中有(36－6)/2＝15對(duì)彈性常數(shù)是互等的?？梢娡耆飨虍愋缘牟牧现挥?6－15＝21個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第72頁/共138頁73

對(duì)于完全各向異性的材料，若沿x，y，z方向的正應(yīng)力為主應(yīng)力s1，s2，s3，因而txy＝0，tyz=0，tzx=0，則按廣義胡克定律有

可見在任何兩個(gè)主應(yīng)力構(gòu)成的平面內(nèi)均發(fā)生有切應(yīng)變，所以主應(yīng)力方向并非主應(yīng)變的方向，或者說，主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向不相重合。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第73頁/共138頁74

工程上應(yīng)用的將單向排列碳纖維澆注于環(huán)氧樹脂中形成的單向復(fù)合材料，它們具有三個(gè)彈性性能對(duì)稱面(參見下圖)，從而具有三個(gè)彈性性能對(duì)稱軸，這種各向異性材料稱為正交異性材料(orthogonalcompositematerial)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第74頁/共138頁75第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

當(dāng)正交異性材料中一點(diǎn)處三個(gè)相互垂直面上的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量均平行于材料的彈性對(duì)稱軸時(shí)，根據(jù)對(duì)稱性原則可知，這三個(gè)面上的正應(yīng)力在彈性對(duì)稱軸方向只產(chǎn)生線應(yīng)變，這三個(gè)面上的切應(yīng)力只在它們各自的自身平面內(nèi)產(chǎn)生切應(yīng)變。第75頁/共138頁76因此，當(dāng)正交異性材料一點(diǎn)處的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量平行于材料的彈性對(duì)稱軸x，y，z時(shí)，廣義胡克定律為第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論考慮到上式中：C12=C21，C13=C31，C23=C32，正交異性材料共有9個(gè)獨(dú)立的彈性常數(shù)。第76頁/共138頁77

思考:

圖中x軸和y軸為正交各向異性材料的彈性性能對(duì)稱軸，從該材料中一點(diǎn)處取出的單元體如圖a所示，受純剪切；變形后如圖b。試論證這種情況仍符合對(duì)稱性原則。xyxy(a)(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第77頁/共138頁78Ⅲ.各向同性材料的體應(yīng)變

材料受力而變形時(shí)其體積的相對(duì)變化稱為體應(yīng)變q。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論取三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a1，a2，a3的單元體，它在受力而變形后邊長(zhǎng)分別為a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故體應(yīng)變?yōu)榈?8頁/共138頁79將上式展開并略去高階微量e1e2，e2e3，e3e1，e1e2e3，再利用各向同性材料的廣義胡克定律得第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第79頁/共138頁80

對(duì)于以最一般形式表達(dá)的空間應(yīng)力狀態(tài)，由于單元體每一個(gè)平面內(nèi)的切應(yīng)力引起的純剪切相當(dāng)于這個(gè)平面內(nèi)的二向等值拉壓(s1＝t，s3＝－t，s2＝0），從而從上列體應(yīng)變公式中可見，它們引起的體應(yīng)變?yōu)榱恪？梢姡瑢?duì)于各向同性材料，在一般空間應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變也只與三個(gè)線應(yīng)變之和有關(guān)，即第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第80頁/共138頁81

思考:

各向同性材料制成的構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處，三個(gè)主應(yīng)力為s1＝30MPa，s2＝10MPa，s3＝-40MPa。現(xiàn)從該點(diǎn)處以平行于主應(yīng)力的截面取出邊長(zhǎng)均為a的單元體，試問：(1)變形后該單元體的體積有無變化？(2)變形后該單元體的三個(gè)邊長(zhǎng)之比有無變化？第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第81頁/共138頁82

例題7-6

邊長(zhǎng)a=0.1m的銅質(zhì)立方體置于剛性很大的鋼塊中的凹坑內(nèi)(圖a)，鋼塊與凹坑之間無間隙。試求當(dāng)銅塊受均勻分布于頂面的豎向外加荷載F=300kN時(shí)，銅塊內(nèi)的主應(yīng)力，最大切應(yīng)力，以及銅塊的體應(yīng)變。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比n＝0.34。銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦忽略不計(jì)。(a)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第82頁/共138頁83解：1.

銅塊水平截面上的壓應(yīng)力為

2.

銅塊在sy作用下不能橫向膨脹，即ex=0，ez＝0，可見銅塊的x截面和z截面上必有sx和sz存在(圖b)。(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第83頁/共138頁84按照廣義胡克定律及ex＝0和ey＝0的條件有方程：從以上二個(gè)方程可見，當(dāng)它們都得到滿足時(shí)顯然sx＝sz。于是解得第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第84頁/共138頁85由于忽略銅塊與鋼塊上凹坑之間的摩擦，所以sx，sy，sz都是主應(yīng)力，且第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論3.

銅塊內(nèi)的最大切應(yīng)力為(b)第85頁/共138頁86第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論4.

銅塊的體應(yīng)變?yōu)?b)第86頁/共138頁87§7-5

空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度

在第二章“軸向拉伸和壓縮”中已講到，應(yīng)變能密度是指物體產(chǎn)生彈性變形時(shí)單位體積內(nèi)積蓄的應(yīng)變能，并導(dǎo)出了單向拉伸或壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度計(jì)算公式：在第三章“扭轉(zhuǎn)”中講到了純剪切這種平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度：在此基礎(chǔ)上，本章講述空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第87頁/共138頁88

空間應(yīng)力狀態(tài)下，受力物體內(nèi)一點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力有可能并非按同一比例由零增至各自的最后值，例如s1先由零增至最后的值，然后s2由零增至最后的值，而s3最后才由零增至最后的值。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

但從能量守恒定律可知，彈性體內(nèi)的應(yīng)變能和應(yīng)變能密度不應(yīng)與應(yīng)力施加順序有關(guān)而只取決于應(yīng)力的最終值，因?yàn)榉駝t按不同的加載和卸載順序會(huì)在彈性體內(nèi)累積應(yīng)變能，而這就違反了能量守恒定律。第88頁/共138頁89把由主應(yīng)力和主應(yīng)變表達(dá)的廣義胡克定律代入上式，經(jīng)整理簡(jiǎn)化后得

為了便于分析，這里按一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力按同一比例由零增至最后的值這種情況，即通常所稱的比例加載或簡(jiǎn)單加載情形，來分析以主應(yīng)力顯示的空間應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性材料在線彈性且小變形條件下的應(yīng)變能密度。此時(shí)：第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第89頁/共138頁90體積改變能密度和形狀改變能密度

圖a所示單元體在主應(yīng)力作用下不僅其體積會(huì)發(fā)生改變，而且其形狀(指單元體三個(gè)邊長(zhǎng)之比)也會(huì)發(fā)生改變。這就表明，單元體內(nèi)的應(yīng)變能密度ve包含了體積改變能密度vv和形狀改變能密度vd兩部分，即ve＝vv＋vd。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第90頁/共138頁91

如果將圖a所示應(yīng)力狀態(tài)分解為圖b和圖c所示兩種應(yīng)力狀態(tài)，則可見：Ⅰ.

圖b所示三個(gè)主應(yīng)力都等于平均應(yīng)力sm＝(s1+s2+s3)/3的情況下，單元體只有體積改變而無形狀改變，其應(yīng)變能密度即是體積改變能密度，而形狀改變能密度為零。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第91頁/共138頁92

Ⅱ.

圖c所示三個(gè)主應(yīng)力分別為s1-sm，s2-sm，s3-sm的情況下，三個(gè)主應(yīng)力之和為零，單元體沒有體積改變而只有形狀改變，故該單元體的應(yīng)變能密度就是形狀改變能密度，而體積改變能密度為零。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第92頁/共138頁93由以上分析可知：(1)圖a所示單元體的體積改變能密度就等于圖b所示單元體的應(yīng)變能密度，故對(duì)圖a所示單元體有第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第93頁/共138頁94在下一節(jié)所講的強(qiáng)度理論中要運(yùn)用形狀改變能密度。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論(2)圖a所示單元體的形狀改變能密度就等于圖c所示單元體的應(yīng)變能密度，故對(duì)圖a所示單元體有第94頁/共138頁95§7-6

強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力

材料在單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度(塑性材料的屈服極限，脆性材料的強(qiáng)度極限)總可通過拉伸試驗(yàn)和壓縮試驗(yàn)加以測(cè)定；材料在純剪切這種特定平面應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度(剪切強(qiáng)度)可以通過例如圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)來測(cè)定。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

但是對(duì)于材料在一般平面應(yīng)力狀態(tài)下以及三向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度，則由于不等于零的主應(yīng)力可以有多種多樣的組合，所以不可能總是由試驗(yàn)加以測(cè)定。因而需要通過對(duì)材料破壞現(xiàn)象的觀察和分析尋求材料強(qiáng)度破壞的規(guī)律，提出關(guān)于材料發(fā)生強(qiáng)度破壞的力學(xué)因素的假設(shè)──強(qiáng)度理論，以便利用單向拉伸、壓縮以及圓筒扭轉(zhuǎn)等試驗(yàn)測(cè)得的強(qiáng)度來推斷復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的強(qiáng)度。第95頁/共138頁96材料的強(qiáng)度破壞有兩種類型；

Ⅰ.

在沒有明顯塑性變形情況下的脆性斷裂；

Ⅱ.

產(chǎn)生顯著塑性變形而喪失工作能力的塑性屈服。工程中常用的強(qiáng)度理論按上述兩種破壞類型分為Ⅰ.研究脆性斷裂力學(xué)因素的第一類強(qiáng)度理論，其中包括最大拉應(yīng)力理論和最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論；

Ⅱ.

研究塑性屈服力學(xué)因素的第二類強(qiáng)度理論，其中包括最大切應(yīng)力理論和形狀改變能密度理論。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第96頁/共138頁97(1)

最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)

受鑄鐵等材料單向拉伸時(shí)斷口為最大拉應(yīng)力作用面等現(xiàn)象的啟迪，第一強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力中的拉伸主應(yīng)力s1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)或其它使材料發(fā)生脆性斷裂的試驗(yàn)中測(cè)定的極限應(yīng)力su時(shí)就發(fā)生斷裂。可見，第一強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為而相應(yīng)的強(qiáng)度條件則是其中，[s]為對(duì)應(yīng)于脆性斷裂的許用拉應(yīng)力，[s]＝su/n，而n為安全因數(shù)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第97頁/共138頁98

(2)最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)

從大理石等材料單軸壓縮時(shí)在伸長(zhǎng)線應(yīng)變最大的橫向發(fā)生斷裂(斷裂面沿施加壓應(yīng)力的方向，即所謂縱向)來判斷，第二強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)一點(diǎn)處的最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變e1達(dá)到該材料在單軸拉伸試驗(yàn)、單軸壓縮試驗(yàn)或其它試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)與斷裂面垂直的極限伸長(zhǎng)應(yīng)變eu時(shí)就會(huì)發(fā)生斷裂?？梢?，第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)為第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第98頁/共138頁99對(duì)應(yīng)于式中材料脆性斷裂的極限伸長(zhǎng)線應(yīng)變eu，如果是由單軸拉伸試驗(yàn)測(cè)定的(例如對(duì)鑄鐵等脆性金屬材料)，那么eu＝su/E；如果eu是由單軸壓縮試驗(yàn)測(cè)定的(例如對(duì)石料和混凝土等非金屬材料)，那么eu＝n·su/E；如果eu是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)中測(cè)定的(低碳鋼在三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下才會(huì)未經(jīng)屈服而發(fā)生脆性斷裂)，則eu與試驗(yàn)中發(fā)生脆性斷裂時(shí)的三個(gè)主應(yīng)力均有聯(lián)系。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第99頁/共138頁100亦即而相應(yīng)的強(qiáng)度條件為

按照這一理論，似乎材料在二軸拉伸或三軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下反而比單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下不易斷裂，而這與實(shí)際情況往往不符，故工程上應(yīng)用較少。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

如果eu是在單軸拉伸而發(fā)生脆性斷裂情況下測(cè)定的，則第二強(qiáng)度理論關(guān)于脆性斷裂的判據(jù)也可以便于運(yùn)用的如下應(yīng)力形式表達(dá)：第100頁/共138頁101

(3)最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)低碳鋼在單軸拉伸而屈服時(shí)出現(xiàn)滑移等現(xiàn)象，而滑移面又基本上是最大切應(yīng)力的作用面(45?

斜截面)。據(jù)此，第三強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下當(dāng)一點(diǎn)處的最大切應(yīng)力tmax達(dá)到該材料在試驗(yàn)中屈服時(shí)最大切應(yīng)力的極限值tu時(shí)就發(fā)生屈服。第三強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限ss，從而有tu＝ss/2的材料（例如低碳鋼），上列屈服判據(jù)可寫為即第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第101頁/共138頁102而相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為

從上列屈服判據(jù)和強(qiáng)度條件可見，這一強(qiáng)度理論沒有考慮復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的中間主應(yīng)力s2對(duì)材料發(fā)生屈服的影響；因此它與試驗(yàn)結(jié)果會(huì)有一定誤差(但偏于安全)。

(4)形狀改變能密度理論(第四強(qiáng)度理論)

注意到三向等值壓縮時(shí)材料不發(fā)生或很難發(fā)生屈服，第四強(qiáng)度理論認(rèn)為，在任何應(yīng)力狀態(tài)下材料發(fā)生屈服是由于一點(diǎn)處的形狀改變能密度vd達(dá)到極限值vdu所致。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第102頁/共138頁103于是，第四強(qiáng)度理論的屈服判據(jù)為對(duì)于由單軸拉伸試驗(yàn)可測(cè)定屈服極限ss的材料，注意到試驗(yàn)中s1＝ss，s2＝s3＝0，而相應(yīng)的形狀改變能密度的極限值為故屈服判據(jù)可寫為第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第103頁/共138頁104此式中，s1，s2，s3是構(gòu)成危險(xiǎn)點(diǎn)處的三個(gè)主應(yīng)力，相應(yīng)的強(qiáng)度條件則為

這個(gè)理論比第三強(qiáng)度理論更符合已有的一些平面應(yīng)力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果，但在工程實(shí)踐中多半采用計(jì)算較為簡(jiǎn)便的第三強(qiáng)度理論。亦即第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第104頁/共138頁105(5)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力

上述四個(gè)強(qiáng)度理論所建立的強(qiáng)度條件可統(tǒng)一寫作如下形式：式中，sr是根據(jù)不同強(qiáng)度理論以危險(xiǎn)點(diǎn)處主應(yīng)力表達(dá)的一個(gè)值，它相當(dāng)于單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度條件s≤[s]中的拉應(yīng)力s，通常稱sr為相當(dāng)應(yīng)力。表7-1示出了前述四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第105頁/共138頁106相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式強(qiáng)度理論名稱及類型

第一類強(qiáng)度理論(脆性斷裂的理論)

第二類強(qiáng)度理論(塑性屈服的理論)

第一強(qiáng)度理論──最大拉應(yīng)力理論

第二強(qiáng)度理論──最大伸長(zhǎng)線應(yīng)變理論

第三強(qiáng)度理論──最大切應(yīng)力理論

第四強(qiáng)度理論──形狀改變能密度理論表7-1四個(gè)強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第106頁/共138頁107*§7-7

莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力

莫爾強(qiáng)度理論不以某一力學(xué)因素(正應(yīng)力，線應(yīng)變，切應(yīng)力，形狀改變能密度)達(dá)到其極限值作為材料發(fā)生強(qiáng)度破壞的判據(jù)，而直接以材料在某些應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果所建立的帶有經(jīng)驗(yàn)性的強(qiáng)度理論。在該理論中也不考慮中間主應(yīng)力s2對(duì)材料強(qiáng)度的影響。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第107頁/共138頁108

按照材料在某些應(yīng)力狀態(tài)下破壞時(shí)的主應(yīng)力s1,s3可作出一組應(yīng)力圓——極限應(yīng)力圓(如圖)，這組極限應(yīng)力圓有一條公共包絡(luò)線(即極限包絡(luò)線，一般情況下為曲線，如圖中的曲線ABC和與它對(duì)稱的另一曲線)。Ⅰ.莫爾強(qiáng)度理論的基本觀點(diǎn)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第108頁/共138頁109

在工程應(yīng)用中，往往根據(jù)單軸拉伸和單軸壓縮的強(qiáng)度試驗(yàn)結(jié)果作兩個(gè)極限應(yīng)力圓定出公切線(直線)作為極限包絡(luò)線。

莫爾強(qiáng)度理論認(rèn)為，對(duì)于某一給定的應(yīng)力狀態(tài)(s1,s2,s3)如果由s1與s3所作應(yīng)力圓與上述極限包絡(luò)線相切或相交，則表示材料要發(fā)生強(qiáng)度破壞。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第109頁/共138頁110Ⅱ.莫爾強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件

在強(qiáng)度計(jì)算中需引入安全因數(shù)，故以材料在單軸拉伸時(shí)的許用拉應(yīng)力[st]和單軸壓縮時(shí)的許用壓應(yīng)力[sc]分別作出許用應(yīng)力圓，并以它們的公切線（許用包絡(luò)線）作為建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下強(qiáng)度條件的依據(jù)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

任何復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，以主應(yīng)力s1，s3作出的應(yīng)力圓都不得與許用包絡(luò)線相交，而強(qiáng)度條件則以該應(yīng)力圓與許用包絡(luò)線相切的條件來建立。第110頁/共138頁111

根據(jù)圖中的幾何關(guān)系可見，任意應(yīng)力狀態(tài)下以s1,s3所作應(yīng)力圖與許用包絡(luò)線相切時(shí)有(a)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第111頁/共138頁112其中：需要注意的是，以上各式中[sc]是指絕對(duì)值，s1,s3是指代數(shù)值。(b)第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第112頁/共138頁113將式(b)所列關(guān)系代入式(a)得根據(jù)此式導(dǎo)出的條件可知，式中的s1,s3實(shí)際上是所研究的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下剛好滿足強(qiáng)度要求的值，因而莫爾強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件應(yīng)為相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式于是為第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第113頁/共138頁114

顯然，當(dāng)材料的許用拉,壓應(yīng)力相等時(shí)，

srM=sr3=s1-s3從這個(gè)意義上來說，莫爾強(qiáng)度理論是第三強(qiáng)度理論的發(fā)展，因?yàn)槟獱枏?qiáng)度理論可以考慮[st]≠[sc]的情況。

莫爾強(qiáng)度理論的不足之處在于，它沒有考慮不同應(yīng)力狀態(tài)下材料強(qiáng)度破壞的類型可能不同，例如對(duì)于鑄鐵一類脆性材料，莫爾強(qiáng)度理論中作出許用包絡(luò)線的[st]和[sc]就是對(duì)應(yīng)于沿橫截面脆性斷裂和沿斜截面剪斷兩種不同破壞類型的。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第114頁/共138頁115§7-8

各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用

前述各種強(qiáng)度理論是根據(jù)下列條件下材料強(qiáng)度破壞的情況作出的假設(shè)，它們也是應(yīng)用這些強(qiáng)度理論的條件：常溫(室溫)，靜荷載(徐加荷載)，材料接近于均勻,連續(xù)和各向同性。

需要注意同一種材料其強(qiáng)度破壞的類型與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第115頁/共138頁116第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論

帶尖銳環(huán)形深切槽的低碳鋼試樣，由于切槽根部附近材料處于接近三向等值拉伸的應(yīng)力狀態(tài)而發(fā)生脆性斷裂。對(duì)于像低碳鋼一類的塑性材料，除了處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)外，不會(huì)發(fā)生脆性斷裂。第116頁/共138頁117

圓柱形大理石試樣，在軸向壓縮并利用液體徑向施壓時(shí)會(huì)產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效。第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第117頁/共138頁118純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下許用應(yīng)力的推算純剪切平面應(yīng)力狀態(tài)下

低碳鋼一類的塑性材料，純剪切和單軸拉伸應(yīng)力狀態(tài)下均發(fā)生塑性的屈服，故可用單軸拉伸許用應(yīng)力[s]按第三或第四強(qiáng)度理論推算許用切應(yīng)力[t]。按第三強(qiáng)度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件為可見亦即第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第118頁/共138頁119按第四強(qiáng)度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件為可見

在大部分鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中就是按[t]=0.577[s]然后取整數(shù)來確定低碳鋼的許用切應(yīng)力的。例如規(guī)定[s]＝170MPa，而[t]＝100MPa。亦即第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第119頁/共138頁120

鑄鐵一類的脆性材料，純剪切(圓桿扭轉(zhuǎn))和單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)下均發(fā)生脆性斷裂，故可用單軸拉伸許用應(yīng)力[st]按第一或第二強(qiáng)度理論推算許用切應(yīng)力[t]。按第一強(qiáng)度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件為第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論可見第120頁/共138頁121按第二強(qiáng)度理論，純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件為因鑄鐵的泊松比n≈0.25，于是有可見亦即第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第121頁/共138頁122

思考:

試按第四強(qiáng)度理論分析比較某塑性材料在圖(a)和圖(b)兩種應(yīng)力狀態(tài)下的危險(xiǎn)程度。已知s和t的數(shù)值相等。如果按第三強(qiáng)度理論分析，那么比較的結(jié)果又如何？答案：按第