材料力學(xué)第四章彎曲應(yīng)力

材料力學(xué)第四章彎曲應(yīng)力第1頁/共149頁§4-1

對稱彎曲的概念及梁的計算簡圖Ⅰ.關(guān)于彎曲的概念

受力特點：桿件在包含其軸線的縱向平面內(nèi)，承受垂直于軸線的橫向外力或外力偶作用（區(qū)別于扭轉(zhuǎn)）。變形特點：直桿的軸線在變形后變?yōu)榍€。

梁——以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。第四章彎曲應(yīng)力第2頁/共149頁彎曲變形第四章彎曲應(yīng)力第3頁/共149頁第四章彎曲應(yīng)力工程實例F2F1第4頁/共149頁縱向?qū)ΨQ面

對稱彎曲——外力作用于梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，因而變形后梁的軸線(撓曲線)是在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線。

非對稱彎曲——梁不具有縱對稱面(例如Z形截面梁)，因而撓曲線無與它對稱的縱向平面；或梁雖有縱對稱面但外力并不作用在縱對稱面內(nèi)，從而撓曲線不與梁的縱對稱面一致。第四章彎曲應(yīng)力第5頁/共149頁Ⅱ.梁的計算簡圖

對于對稱彎曲的直梁，在計算簡圖中通常用梁的軸線來代表梁。第四章彎曲應(yīng)力第6頁/共149頁(1)支座的三種基本形式1.固定端——實例如圖a，計算簡圖如圖b,c。第四章彎曲應(yīng)力(b)(c)MRFRxFRy(a)第7頁/共149頁

2.固定鉸支座——實例如圖中左邊的支座，計算簡圖如圖b，e。

3.可動鉸支座——實例如圖a中右邊的支座，計算簡圖如圖c，f。第四章彎曲應(yīng)力第8頁/共149頁懸臂梁(2)梁的三種基本形式簡支梁外伸梁第四章彎曲應(yīng)力第9頁/共149頁

在豎直荷載作用下，圖a，b，c所示梁的約束力均可由平面力系的三個獨立的平衡方程求出，稱為靜定梁。(3)靜定梁和超靜定梁

圖d，e所示梁及其約束力不能單獨利用平衡方程確定，稱為超靜定梁。第四章彎曲應(yīng)力第10頁/共149頁§4-2梁的剪力和彎矩·剪力圖和彎矩圖Ⅰ.梁的剪力和彎矩(shearingforceandbendingmoment)

圖a所示跨度為l的簡支梁其約束力為

梁的左段內(nèi)任一橫截面m－m上的內(nèi)力，由m－m左邊分離體(圖b)的平衡條件可知：第四章彎曲應(yīng)力

截面法第11頁/共149頁

它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b中所示。顯然這些內(nèi)力是m－m右邊的梁段對于左邊梁段的作用力和作用力矩。

故根據(jù)作用與反作用原理，m－m左邊的梁段對于右邊梁段(圖c)的作用力和作用力矩數(shù)值應(yīng)與上式所示相同，但指向和轉(zhuǎn)向相反。這一點也可由m－m右邊分離體的平衡條件加以檢驗：第四章彎曲應(yīng)力第12頁/共149頁從而有第四章彎曲應(yīng)力第13頁/共149頁

梁的橫截面上位于橫截面內(nèi)的內(nèi)力FS是與橫截面左右兩側(cè)的兩段梁在與梁軸相垂直方向的錯動(剪切)相對應(yīng)，故稱為剪力；梁的橫截面上作用在縱向平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩是與梁的彎曲相對應(yīng)，故稱為彎矩。第四章彎曲應(yīng)力第14頁/共149頁

為使無論取橫截面左邊或右邊為分離體，求得同一橫截面上的剪力和彎矩其正負(fù)號相同，剪力和彎矩的正負(fù)號要以其所在橫截面處梁的微段的變形情況確定，如圖。第四章彎曲應(yīng)力剪力正負(fù)號：dx微段，左端向上右端向下時，為正。反之為負(fù)。彎矩正負(fù)號：dx微段下凸為正，即下半部縱向受拉。反之為負(fù)。第15頁/共149頁綜前所述，梁某截面上的剪力和彎矩可直接從橫截面任意一側(cè)梁上的外力進(jìn)行簡化：

(1)

橫截面上的剪力在數(shù)值上等于截面左側(cè)（或右側(cè)）梁段上外力的代數(shù)和。左側(cè)梁段上向上的外力（或右側(cè)梁段上向下的外力）將引起正值的剪力；反之，則引起負(fù)值的剪力。(2)

橫截面上的彎矩在數(shù)值上等于截面左側(cè)（或右側(cè)）梁段上外力對該截面形心的力矩之代數(shù)和。第四章彎曲應(yīng)力第16頁/共149頁

1.

不論在左側(cè)梁段上或右側(cè)梁段上，向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩。

2.

截面左側(cè)梁段上順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩，而逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶則引起負(fù)值的彎矩；截面右側(cè)梁段上的外力偶引起的彎矩其正負(fù)與之相反。第四章彎曲應(yīng)力第17頁/共149頁Ⅱ.剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖

剪力方程和彎矩方程實際上是表示梁的橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置變化的函數(shù)式，它們分別表示剪力和彎矩隨截面位置的變化規(guī)律。顯示這種變化規(guī)律的圖形則分別稱為剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應(yīng)力剪力方程和彎矩方程（表示沿梁各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律）第18頁/共149頁

例題4-1（補(bǔ)充）圖a所示懸臂梁受集度為q的滿布均布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應(yīng)力(a)第19頁/共149頁

距右端為x的任意橫截面上的剪力FS(x)和彎矩M(x)，根據(jù)截面右側(cè)梁段上的荷載有解：1.列剪力方程和彎矩方程

當(dāng)求懸臂梁橫截面上的內(nèi)力(剪力和彎矩)時，若取包含自由端截面的一側(cè)梁段來計算，則可不求出約束力。第四章彎曲應(yīng)力FS(x)第20頁/共149頁2.

作剪力圖和彎矩圖

根據(jù)剪力方程和彎矩方程作出剪力圖和彎矩圖分別如圖b和圖c。按照習(xí)慣，剪力圖中正值的剪力值繪于x軸上方，彎矩圖中正值的彎矩值則繪于x軸的下方(即彎矩值繪于梁彎曲時其受拉的邊緣一側(cè))。第四章彎曲應(yīng)力(b)(c)拋物線：凹凸？第21頁/共149頁

由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力其值為FS,max=ql，最大彎矩(按絕對值)其值為(負(fù)值)，它們都發(fā)生在固定端右側(cè)橫截面上。第四章彎曲應(yīng)力(b)(c)(a)第22頁/共149頁

例題4-2

圖a所示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。解：1.求支反力第四章彎曲應(yīng)力(a)第23頁/共149頁2.

列剪力方程和彎矩方程FS(x)第四章彎曲應(yīng)力第24頁/共149頁由圖可見，此梁橫截面上的最大剪力(按絕對值)其值為(正值，負(fù)值)，發(fā)生在兩個支座各自的內(nèi)側(cè)橫截面上；最大彎矩其值為,即d(M(x)/dx=0時，x=l/2,發(fā)生在跨中橫截面上。3.

作剪力圖和彎矩圖第四章彎曲應(yīng)力第25頁/共149頁

簡支梁受滿布荷載作用是工程上常遇到的計算情況，初學(xué)者對于此種情況下的剪力圖、彎矩圖和FS,max，Mmax的計算公式應(yīng)牢記在心！第四章彎曲應(yīng)力第26頁/共149頁

例題4-3

圖a所示簡支梁受集中荷載F作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應(yīng)力F(a)解：1.

求約束力第27頁/共149頁2.列剪力方程和彎矩方程

此梁上的集中荷載將梁分隔成AC和CB兩段，兩段內(nèi)任意橫截面同一側(cè)梁段上的外力顯然不同，可見這兩段梁的剪力方程和彎矩方程均不相同，因此需分段列出。第四章彎曲應(yīng)力FAC段梁FS(x)第28頁/共149頁CB段梁第四章彎曲應(yīng)力FFxFS(x)如截面法，保留右側(cè)梁，計算更簡便。第29頁/共149頁3.作剪力圖和彎矩圖

如圖b及圖c。由圖可見，在b>a的情況下，AC段梁在0<x<a的范圍內(nèi)任一橫截面上的剪力值最大，；集中荷載作用處(x=a)橫截面上的彎矩值最大，。第四章彎曲應(yīng)力(b)(c)第30頁/共149頁4.

討論

由剪力圖可見，在梁上的集中力(包括集中荷載和約束力)作用處剪力圖有突變，這是由于集中力實際上是將作用在梁上很短長度x范圍內(nèi)的分布力加以簡化所致。若將分布力看作在x范圍內(nèi)是均勻的(圖a),則剪力圖在x范圍內(nèi)是連續(xù)變化的斜直線(圖b)。從而也就可知，要問集中力作用處梁的橫截面上的剪力值是沒有意義的。第四章彎曲應(yīng)力第31頁/共149頁思考：一簡支梁受移動荷載F作用，如圖所示。試問：荷載F移動到什么位置時此梁橫截面上的最大彎矩比荷載在任何其它位置時的最大彎矩都要大？該最大彎矩又是多少？亦即要求求出對于彎矩的最不利荷載位置和絕對值最大彎矩值。第四章彎曲應(yīng)力第32頁/共149頁

例題4-4

圖a所示簡支梁在C點受矩為Me的集中力偶作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應(yīng)力解：1.

求約束力第33頁/共149頁2.列剪力方程和彎矩方程

此簡支梁的兩支座之間無集中荷載作用，故作用于AC段梁和BC段梁任意橫截面同一側(cè)的集中力相同，從而可知兩段梁的剪力方程相同，即第四章彎曲應(yīng)力xxFS(x)FS(x)第34頁/共149頁至于兩段梁的彎矩方程則不同：AC段梁：CB段梁：第四章彎曲應(yīng)力xxFS(x)FS(x)第35頁/共149頁3.作剪力圖和彎矩圖第四章彎曲應(yīng)力第36頁/共149頁如圖可見，兩支座之間所有橫截面上剪力相同，均為。在b>a的情況下，C截面右側(cè)(x=a+)橫截面上的彎矩絕對值最大，為（負(fù)值)。

彎矩圖在集中力偶作用處有突變。第四章彎曲應(yīng)力第37頁/共149頁剪力圖和彎矩圖規(guī)律：（書上P106）1、梁上外力不連續(xù)處（即在集中力、集中力偶作用處、分布載荷開始和結(jié)束處），梁的彎矩方程和彎矩圖應(yīng)該分段。在集中力偶作用處，剪力方程和剪力圖不分段。2、梁上集中力作用處，剪力圖有突變，其左右兩側(cè)橫截面上剪力的代數(shù)差，即等于集中力的值。而在彎矩圖上相應(yīng)處形成一個尖角（例題4-3）。3、在集中力偶作用處，剪力圖無變化。彎矩圖有突變，其左右兩側(cè)橫截面上彎矩的代數(shù)差，等于集中力偶（例題4-4）。

第38頁/共149頁

例題4-2

所示簡支梁受集度為q的滿布荷載作用。試作梁的剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應(yīng)力Ⅲ.彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用第39頁/共149頁例4-2中：Ⅲ.彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用第40頁/共149頁結(jié)論：將彎矩函數(shù)M(x)對x求導(dǎo)數(shù)，得到剪力函數(shù)Fs(x)；將剪力函數(shù)Fs(x)對x求導(dǎo)，得到均布載荷的集度q。第41頁/共149頁Ⅲ.彎矩、剪力與荷載集度之間的關(guān)系及其應(yīng)用M(x),FS(x)與q(x)間微分關(guān)系的導(dǎo)出

從圖a所示簡支梁的有分布荷載的區(qū)段內(nèi)，取出長為dx的梁段，如圖b所示。這里分布荷載的集度q(x)以向上為正值，且略去荷載集度在微量dx范圍內(nèi)的變化。梁的微段其左、右橫截面上的剪力和彎矩均為正值。第四章彎曲應(yīng)力第42頁/共149頁從而得：由梁的微段的平衡方程略去二階無窮小項，即得第四章彎曲應(yīng)力第43頁/共149頁

應(yīng)用這些關(guān)系時需要注意，向上的分布荷載集度為正值，反之則為負(fù)值。由以上兩個微分關(guān)系式又可得第四章彎曲應(yīng)力

若某截面的剪力FS(x)=0，根據(jù)，該截面的彎矩為極值。

第44頁/共149頁常見荷載下FS，M圖的一些特征第四章彎曲應(yīng)力外力剪力圖彎矩圖第45頁/共149頁集中力作用處集中力偶作用處第四章彎曲應(yīng)力第46頁/共149頁第47頁/共149頁利用以上結(jié)論，除可以校核已作出的剪力圖和彎矩圖是否正確外，還可以利用微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖，而不必再建立剪力方程和彎矩方程，其步驟如下：

(1)

求支座約束力；

(2)

分段確定剪力圖和彎矩圖的形狀；

(3)

求控制截面內(nèi)力，根據(jù)微分關(guān)系繪剪力圖和彎矩圖；

(4)

確定|FS|max和|M|max

。第四章彎曲應(yīng)力第48頁/共149頁

例題4-7一簡支梁在其中間部分受集度為q=100kN/m的向下的均布荷載作用，如圖a所示。試?yán)脧澗亍⒓袅εc分布荷載集度間的微分關(guān)系校核圖b及圖c所示的剪力圖和彎矩圖。第四章彎曲應(yīng)力x+-80kN80kNFSxFS

圖+164816xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE1.6m0.2m2mq(a)(b)(c)第49頁/共149頁而根據(jù)可知，AC段內(nèi)的剪力圖應(yīng)當(dāng)是水平直線。該段內(nèi)梁的橫截面上剪力的值顯然為1.

校核剪力圖

解：此梁的荷載及約束力均與跨中對稱，故知約束力FA，F(xiàn)B為第四章彎曲應(yīng)力+-80kN80kNFSxFS

圖yFAFBABCDE1.6m0.2m2mq

該梁的AC段內(nèi)無荷載，第50頁/共149頁

對于該梁的CD段，分布荷載的集度q為常量，且因荷載系向下而在微分關(guān)系中應(yīng)為負(fù)值，即q=-100kN/m。第四章彎曲應(yīng)力+-80kN80kNFSxFS

圖yFAFBABCDE1.6m0.2m2mq根據(jù)可知CD段內(nèi)的剪力圖應(yīng)為向右下方傾斜的斜直線。由于C點處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故斜直線左端的縱坐標(biāo)確為80kN。根據(jù)斜直線的斜率為，可證實D截面處的剪力確應(yīng)為第51頁/共149頁

對于該梁的DB段，梁上無荷載，故剪力圖應(yīng)該是水平直線；且由于D點處無集中力作用，剪力圖在該處無突變，故該水平直線的縱坐標(biāo)確為-80kN。經(jīng)過校核，支座B偏左橫截面上的剪力就是第四章彎曲應(yīng)力+-80kN80kNFSxFS

圖yFAFBABCDE1.6m0.2m2mq第52頁/共149頁2.

校核彎矩圖這與圖中所示相符。

該梁的AC段內(nèi)，剪力為常量，因而根據(jù)常量可知此段梁的彎矩圖應(yīng)為斜率為的正值的斜直線。據(jù)此，由支座A處橫截面上的彎矩為零可知C截面處的彎矩為第四章彎曲應(yīng)力+-80kN80kNFSxFS

圖+164816xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE1.6m0.2m2mq第53頁/共149頁

對于該梁的CD段，根據(jù)可知：

彎矩圖是如圖(c)中所示曲率為負(fù)(即向下凸)的二次曲線。因為梁上C點處無集中力偶作用，故彎矩圖在C截面處應(yīng)該沒有突變；第四章彎曲應(yīng)力+-80kN80kNFSxFS

圖+164816xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE1.6m0.2m2mq第54頁/共149頁

由于C截面處剪力無突變，故CD段的彎矩圖在C處的切線的斜率應(yīng)該與AC段梁彎矩圖在C處的斜率相等，即兩段梁的彎矩圖在C處應(yīng)光滑連接。第四章彎曲應(yīng)力+-80kN80kNFSxFS

圖+164816xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE1.6m0.2m2mq第55頁/共149頁

在剪力為零的跨中截面E處，彎矩圖切線的斜率為零，而彎矩有極限值，其值為同樣，根據(jù)可知，這些均與圖(c)中所示相符。第四章彎曲應(yīng)力+-80kN80kNFSxFS

圖+164816xMM圖（kN·m）第56頁/共149頁

對于該梁的DB段，由于剪力為負(fù)值的常量，故彎矩圖應(yīng)該是斜率為負(fù)的斜直線。因為梁上D點處無集中力偶作用，故彎矩圖在D截面處不應(yīng)有突變，再考慮B支座處彎矩為零，即可證實圖(c)中此段梁的彎矩圖也無誤。第四章彎曲應(yīng)力+-80kN80kNFSxFS

圖+164816xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE1.6m0.2m2mq第57頁/共149頁已知：圖中梁的約束力為思考（見習(xí)題4-5）：試指出圖（a）和圖（b）所示梁各自的剪力圖和彎矩圖中的錯誤。正確答案：第四章彎曲應(yīng)力(a)第58頁/共149頁圖中梁的約束力為正確答案：第四章彎曲應(yīng)力(b)第59頁/共149頁Ⅳ.

按疊加原理作彎矩圖（簡介）第四章彎曲應(yīng)力第60頁/共149頁(1)在小變形情況下求梁的約束力、剪力和彎矩時，我們都是按梁未變形時的原始尺寸進(jìn)行計算的，例如對于圖a所示懸臂梁，其剪力方程和彎矩方程分別為第四章彎曲應(yīng)力(a)第61頁/共149頁

這就是說，在小變形情況下，此梁橫截面上的剪力和彎矩分別等于集中荷載F和均布荷載q單獨作用時(圖b和圖c)相應(yīng)內(nèi)力的代數(shù)和疊加。因此該梁的剪力圖和彎矩圖也就可以利用疊加的方法作出。（工程上可查表附錄IV)第四章彎曲應(yīng)力(b)(c)(a)第62頁/共149頁

(2)

疊加原理當(dāng)所求參數(shù)(約束力、內(nèi)力、應(yīng)力或位移)與梁上(或結(jié)構(gòu)上)荷載成線性關(guān)系時，由幾項荷載共同作用所引起的某一參數(shù)之值，就等于每項荷載單獨作用時所引起的該參數(shù)值的疊加。第四章彎曲應(yīng)力第63頁/共149頁例題4-10：按疊加原理做圖（a）簡支梁的彎矩圖（查附錄IV）第64頁/共149頁第65頁/共149頁剪力圖快速畫法口訣

外伸端，自由端，沒有F力作零點；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第66頁/共149頁剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第67頁/共149頁剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第68頁/共149頁第四章彎曲應(yīng)力F(b)(c)剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第69頁/共149頁第四章彎曲應(yīng)力剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第70頁/共149頁第四章彎曲應(yīng)力x+-80kN80kNFSxFS

圖+164816xMM圖（kN·m）yFAFBABCDE1.6m0.2m2mq剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第71頁/共149頁第四章彎曲應(yīng)力剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第72頁/共149頁第四章彎曲應(yīng)力剪力圖快速畫法口訣外伸端，自由端，沒有F力作零點；無力梁段水平線，集中力偶同樣看；均布荷載對斜線，小q正負(fù)定增減；集中力處有突變，左順右逆畫豎線；增多少？降多少？集中橫力作參考。第73頁/共149頁彎矩圖快速畫法口訣彎矩圖，較復(fù)雜，對照剪圖來畫它；自由端，鉸支端，沒有力偶作零點；剪圖水平彎圖斜，剪力正負(fù)定增減；天上下雨池水滿，向上射出弓上箭；剪圖軸線交叉點，彎矩圖上極值點；均載邊界無橫力，光滑吻接無痕跡；集中力處有轉(zhuǎn)折，順著外力折個尖；集中力偶有突變，反著力偶符號彎；升多少？降多少？集中力偶作參考。第74頁/共149頁§4-3

平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖Ⅰ.平面剛架

平面剛架——由同一平面內(nèi)不同方向的桿，桿端相互間剛性連接的結(jié)構(gòu)。

平面剛架桿件的內(nèi)力——當(dāng)荷載作用于剛架所在平面內(nèi)時，桿件橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外，還會有軸力。第四章彎曲應(yīng)力第75頁/共149頁

作剛架內(nèi)力圖的方法和步驟與梁相同，但因剛架是由不同方向的桿件組成，習(xí)慣上按下列約定：

彎矩圖，畫在各桿的受拉一側(cè)，不注明正、負(fù)號；

剪力圖及軸力圖，可畫在剛架軸線的任一側(cè)（通常正值畫在剛架外側(cè)），但須注明正負(fù)號；

剪力和軸力的正負(fù)號仍與前述規(guī)定相同。第四章彎曲應(yīng)力第76頁/共149頁

例題4-11

試作圖a所示剛架的內(nèi)力圖(即作出組成剛架的各桿的內(nèi)力圖)。第四章彎曲應(yīng)力(a)第77頁/共149頁各桿的內(nèi)力方程為：CB桿：(桿的外側(cè)受拉)(桿的外側(cè)受拉)BA桿：

解：此剛架的C點為自由端，故求內(nèi)力時如取包含自由端的那部分分離體作為研究對象，則可不求固定端A處的約束力。第四章彎曲應(yīng)力(a)第78頁/共149頁

繪內(nèi)力圖時，軸力圖和剪力圖可畫在各桿的任一側(cè)，但需注明正負(fù)號(圖b及圖c)；彎矩圖則畫在桿件彎曲時受拉的一側(cè)(圖d)。第四章彎曲應(yīng)力(a)第79頁/共149頁Ⅱ.平面曲桿

平面曲桿的橫截面系指曲桿的法向截面(亦即圓弧形曲桿的徑向截面)。當(dāng)荷載作用于曲桿所在平面內(nèi)時，其橫截面上的內(nèi)力除剪力和彎矩外也會有軸力。第四章彎曲應(yīng)力第80頁/共149頁§4-4

梁橫截面上的正應(yīng)力·梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件

純彎曲

━━梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對應(yīng)的正應(yīng)力。第四章彎曲應(yīng)力MeM第81頁/共149頁

橫力彎曲

━━梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。第四章彎曲應(yīng)力第82頁/共149頁Ⅰ.純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力計算公式的推導(dǎo)

(1)

幾何方面━━藉以找出與橫截面上正應(yīng)力相對應(yīng)的縱向線應(yīng)變在該橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律。表面變形情況在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：第四章彎曲應(yīng)力第83頁/共149頁

1.彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；第四章彎曲應(yīng)力第84頁/共149頁

2.相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。第四章彎曲應(yīng)力第85頁/共149頁

根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：平面假設(shè)梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實。第四章彎曲應(yīng)力第86頁/共149頁

橫截面的轉(zhuǎn)動使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層

(圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉(zhuǎn)動的軸━━中性軸。第四章彎曲應(yīng)力（f)第87頁/共149頁令中性層的曲率半徑為r(如圖c)，則根據(jù)曲率的定義有縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律

圖c為由相距dx的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動了角dq。梁的橫截面上距中性軸z為任意距離y處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為第四章彎曲應(yīng)力(c)第88頁/共149頁

即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向線應(yīng)變e與該點至中性軸的距離

y成正比。第四章彎曲應(yīng)力(c)彎曲變形第89頁/共149頁

小變形時純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認(rèn)為梁內(nèi)各點均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。

(2)物理方面━━藉以由縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律找出橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律。

假如梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時（如低碳鋼），有

這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。第四章彎曲應(yīng)力M第90頁/共149頁

(3)靜力學(xué)方面━━藉以找出確定中性軸位置的條件以及橫截面上正應(yīng)力的計算公式。

由于梁上僅有外力偶Me的作用，梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA(圖d)不可能組成軸力()，也不可能組成對于與中性軸垂直的y軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩()，只能組成對于中性軸z的內(nèi)力偶矩，即第四章彎曲應(yīng)力(d)第91頁/共149頁將代入上述三個靜力學(xué)條件，有(a)(b)(c)第四章彎曲應(yīng)力第92頁/共149頁

其中

為截面對于z軸的靜矩或一次矩，其單位為m3。

為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。

為截面對于z軸的慣性矩或二次軸矩，其單位為m4。第四章彎曲應(yīng)力第93頁/共149頁

由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而該兩式要求：1.橫截面對于中性軸z的靜矩等于零，；顯然這是要求中性軸

z通過橫截面的形心；

2.橫截面對于

y軸和

z軸的慣性積等于零，；在對稱彎曲情況下，y軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。(a)(b)(c)第四章彎曲應(yīng)力第94頁/共149頁由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為

上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁包含在中性層內(nèi)的那根軸線將彎成圓弧。

將上式代入得出的式子即得彎曲正應(yīng)力計算公式：(c)第四章彎曲應(yīng)力第95頁/共149頁

應(yīng)用此式時，如果如圖中那樣取y軸向下為正的坐標(biāo)系來定義式中y的正負(fù)，則在彎矩M按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的y看作求應(yīng)力的點離中性軸z的距離。第四章彎曲應(yīng)力第96頁/共149頁

中性軸z

為橫截面對稱軸的梁(圖a，b)其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸z不是橫截面對稱軸的梁(圖c)，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。第四章彎曲應(yīng)力dzyo(b)yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)第97頁/共149頁

中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)，其單位為m3。hbzyodzyo第四章彎曲應(yīng)力第98頁/共149頁

中性軸

z不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為第四章彎曲應(yīng)力第99頁/共149頁Ⅱ.純彎曲理論的推廣

工程中實際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對于梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實際上都不再成立。但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當(dāng)其跨長與截面高度之比大于5時，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%，故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時的正應(yīng)力計算公式用于橫力彎曲情況，即第四章彎曲應(yīng)力第100頁/共149頁

例題4-13

圖a所示簡支梁由56a號工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險截面上的最大正應(yīng)力smax和同一橫截面上翼緣與腹板交界處a點處(圖b)的正應(yīng)力sa。第四章彎曲應(yīng)力第101頁/共149頁

解：在不考慮梁的自重()的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險截面，相應(yīng)的最大彎矩值為第四章彎曲應(yīng)力第102頁/共149頁由型鋼規(guī)格表查得56a號工字鋼截面于是有危險截面上點a處的正應(yīng)力為第四章彎曲應(yīng)力第103頁/共149頁

該點處的正應(yīng)力sa亦可根據(jù)直梁橫截面上的正應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按直線變化的規(guī)律，利用已求得的該橫截面上的smax=160MPa來計算：第四章彎曲應(yīng)力第104頁/共149頁顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)檫h(yuǎn)小于外加荷載F所引起的最大正應(yīng)力。

如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)榈谒恼聫澢鷳?yīng)力第105頁/共149頁Ⅲ.梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應(yīng)力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可以忽略不計。因此可以認(rèn)為梁的危險截面上最大正應(yīng)力所在各點是處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。于是可按單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件形式來建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：式中，[s]為材料的許用彎曲正應(yīng)力。第四章彎曲應(yīng)力第106頁/共149頁對于中性軸為橫截面對稱軸的梁，上述強(qiáng)度條件可寫作

由拉、壓許用應(yīng)力[st]和[sc]不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，其橫截面上的中性軸往往不是對稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力st,max和最大工作壓應(yīng)力sc,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力[st]和許用壓應(yīng)力[sc]。第四章彎曲應(yīng)力第107頁/共149頁

例題4-16

圖a所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁，該截面對于中性軸z的慣性矩Iz=5493×104mm4。已知圖a中，b=2m。鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]=30MPa，許用壓應(yīng)力[sc]=90MPa。試求梁的許可荷載[F]。第四章彎曲應(yīng)力(a)(b)第108頁/共149頁

解：最大負(fù)彎矩所在B截面處，若截面的上邊緣處最大拉應(yīng)力st,max達(dá)到[st]，則下邊緣處最大壓應(yīng)力sc,max為根據(jù)可知此sc,max并未達(dá)到許用壓應(yīng)力[sc]，也就是說，就B截面而言，梁的強(qiáng)度由最大拉應(yīng)力控制。第四章彎曲應(yīng)力第109頁/共149頁最大正彎矩在C截面處，若截面的下邊緣處最大拉應(yīng)力st,max達(dá)到[st]，則上邊緣處的最大壓應(yīng)力sc,max為，它遠(yuǎn)小于[sc]。故就C截面而言，梁的強(qiáng)度也由最大拉應(yīng)力控制。第四章彎曲應(yīng)力第110頁/共149頁

由以上分析可知，該梁的強(qiáng)度條件系受最大拉應(yīng)力控制。至于究竟是B截面上還是C截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度，可進(jìn)一步分析如下：顯然，B截面上的最大拉應(yīng)力控制了梁的強(qiáng)度。B截面：C截面：第四章彎曲應(yīng)力第111頁/共149頁

當(dāng)然，這個許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的，但即使考慮自重，許可荷載也不會減少很多。

于是由B截面上最大拉應(yīng)力不得超過鑄鐵的許用拉應(yīng)力[st]的條件來求該梁的許可荷載[F]：由此得F≤19200N，亦即該梁的許可荷載為[F]=19.2kN。第四章彎曲應(yīng)力第112頁/共149頁dx§4-5

梁橫截面上的切應(yīng)力·梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件Ⅰ.

梁橫截面上的切應(yīng)力(1)矩形截面梁從發(fā)生橫力彎曲的梁中取出長為dx的微段，如圖所示。第四章彎曲應(yīng)力hbzyO第113頁/共149頁由于m－m和n－n上的彎矩不相等，故兩截面上對應(yīng)點處的彎曲正應(yīng)力s1和s2不相等。因此，從微段中用距離中性層為y且平行于它的縱截面AA1B1B假想地截出的體積元素mB1(圖a及圖b)，其兩個端面mm'A1A上與正應(yīng)力對應(yīng)的法向內(nèi)力F*N1和F*N2也不相等。第四章彎曲應(yīng)力第114頁/共149頁它們分別為第四章彎曲應(yīng)力式中，為面積A*(圖b)對中性軸z的靜矩；A*為橫截面上距中性軸z為y的橫線AA1和BB1以外部分的面積(圖b中的陰影線部分)。第115頁/共149頁即由于，故縱截面AA1B1B上有切向內(nèi)力dF'S(圖b)：第四章彎曲應(yīng)力第116頁/共149頁

為確定離中性軸z為y的這個縱截面上與切向內(nèi)力dF'S對應(yīng)的切應(yīng)力t'，先分析橫截面與該縱截面的交線AA1處橫截面上切應(yīng)力t的情況：第四章彎曲應(yīng)力第117頁/共149頁

1.由于梁的側(cè)面為自由表面(圖a和圖b中的面mABn為梁的側(cè)表面的一部分)，其上無切應(yīng)力，故根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，橫截面上側(cè)邊處的切應(yīng)力必與側(cè)邊平行；

2.對稱彎曲時，對稱軸y處的切應(yīng)力必沿y軸方向，亦即與側(cè)邊平行。第四章彎曲應(yīng)力第118頁/共149頁從而對于狹長矩形截面可以假設(shè)：1.橫截面上各點處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行；2.橫截面上距中性軸等遠(yuǎn)處的切應(yīng)力大小相等。zyy第四章彎曲應(yīng)力第119頁/共149頁

于是根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，距中性層為y的縱截面AA1B1B上在與橫截面的交線AA1處各點的切應(yīng)力t'均與橫截面正交，且大小相等。至于t'在dx長度內(nèi)可以認(rèn)為沒有變化。這也就是認(rèn)為，縱截面AA1B1B上的切應(yīng)力t'在該縱截面范圍內(nèi)是沒有變化的。于是有第四章彎曲應(yīng)力第120頁/共149頁

以上式代入前已得出的式子得

根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，梁的橫截面上距中性軸z的距離為y處的切應(yīng)力t必與t'互等，從而亦有第四章彎曲應(yīng)力第121頁/共149頁矩形截面梁橫力彎曲時切應(yīng)力計算公式zyyy1式中，F(xiàn)S為橫截面上的剪力；Iz為整個橫截面對于中性軸的慣性矩；b為矩形截面的寬度(與剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*為橫截面上求切應(yīng)力t的點處橫線以外部分面積對中性軸的靜矩，。第四章彎曲應(yīng)力

上式就是矩形截面等直梁在對稱彎曲時橫截面上任一點處切應(yīng)力的計算公式。第122頁/共149頁橫截面上切應(yīng)力的變化規(guī)律

前已講到，等直的矩形截面梁橫力彎曲時，在對稱彎曲情況下距中性軸等遠(yuǎn)處各點處的切應(yīng)力大小相等?，F(xiàn)在分析橫截面上切應(yīng)力t在與中性軸垂直方向的變化規(guī)律。

上述切應(yīng)力計算公式中，F(xiàn)S在一定的橫截面上為一定的量，Iz和b也是一定的，可見t沿截面高度(即隨坐標(biāo)y)的變化情況系由部分面積的靜矩Sz*與坐標(biāo)y之間的關(guān)系確定。第四章彎曲應(yīng)力第123頁/共149頁bhdy1yyzOy1第四章彎曲應(yīng)力第124頁/共149頁可見：1.

t

沿截面高度系按二次拋物線規(guī)律變化；

2.

同一橫截面上的最大切應(yīng)力tmax在中性軸處(y=0):第四章彎曲應(yīng)力等于1.5倍的平均切應(yīng)力第125頁/共149頁(4)

工字形截面梁1.腹板上的切應(yīng)力其中第四章彎曲應(yīng)力第126頁/共149頁

可見腹板上的切應(yīng)力在與中性軸z垂直的方向按二次拋物線規(guī)律變化。第四章彎曲應(yīng)力第127頁/共149頁2.在腹板與翼緣交界處：在中性軸處：

對于軋制的工字鋼，上式中的就是型鋼表中給出的比值，此值已把工字鋼截面的翼緣厚度變化和圓角等考慮在內(nèi)。第四章彎曲應(yīng)力第128頁/共149頁3.翼緣上的切應(yīng)力

翼緣橫截面上平行于剪力FS的切應(yīng)力在其上、下邊緣處為零(因為翼緣的上、下表面無切應(yīng)力)，可見翼緣橫截面上其它各處平行于FS的切應(yīng)力不可能大，故不予考慮。分析表明，工字形截面梁的腹板承擔(dān)了整個橫截面上剪力FS的90%以上。第四章彎曲應(yīng)力第129頁/共149頁圖a中所示上、下翼緣左半部分和右半部分橫截面上與腹板橫截面上的切應(yīng)力指向是正確的，即它們構(gòu)成了“切應(yīng)力流”。第四章彎曲應(yīng)力第130頁/共149頁

例題4-17

參見例題4-13，對于由56a號工字鋼制成的如圖a所示簡支梁，試求梁的橫截面上的最大切應(yīng)力tmax和同一橫截面上