2023年高考數學重點專題三輪沖刺演練專題05 圓錐曲線大題拔高練（解析版）

2023年高考數學重點專題三輪沖刺演練2023年高考數學重點專題三輪沖刺演練2023年高考數學重點專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題拔高練-新高考數學復習分層訓練（新高考通用）1．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的離心率為，且點在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)若點M，N在雙曲線C上，且，直線不與y軸平行，證明：直線的斜率為定值.2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點為，左、右頂點及上頂點分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設過的直線交橢圓于P、Q兩點，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點，l與x軸的交點為K，則是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.3．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知M是平面直角坐標系內的一個動點，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點）的面積為8，動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知是軌跡C上一點，直線l交軌跡C于P，Q兩點，直線，的斜率之和為1，，求的面積.4．（2023·浙江·永嘉中學校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的頂點為，，過右焦點作其中一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點，且.點為軸正半軸上異于點的任意點，過點的直線交雙曲線于C，D兩點，直線與直線交于點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)求證：為定值.5．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┮阎p曲線的實軸長為4，左?右頂點分別為，經過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，(1)設直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經過定點.7．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知點，，直線PA與直線PB的斜率乘積為，點的軌跡為．(1)求的方程；(2)分別過，做兩條斜率存在的直線分別交于C，D兩點和E，F兩點，且，求直線CD的斜率與直線EF的斜率之積．8．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知，，三個點在橢圓，橢圓外一點滿足，，（為坐標原點）.(1)求的值；(2)證明：直線與斜率之積為定值.9．（2023·河北衡水·衡水市第二中學校考模擬預測）已知拋物線：和橢圓：有共同的焦點F(1)求拋物線C的方程，并寫出它的準線方程(2)過F作直線交拋物線C于P，Q兩點，交橢圓E于M，N兩點，證明：當且僅當軸時，取得最小值10．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知點在雙曲線C：（，）上，過P作x軸的平行線，分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點，．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點A，B，設直線，的斜率分別為，，從下面兩個條件中選一個（多選只按先做給分），證明：直線l過定點．①；②．11．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，且．過右焦點的直線l與C交于A，B兩點，的周長為．(1)求C的標準方程；(2)過坐標原點O作一條與垂直的直線，交C于P，Q兩點，求的取值范圍；(3)記點A關于x軸的對稱點為M（異于B點），試問直線BM是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是請說明理由．12．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點，M在N的左側．(1)若，求l的斜率；(2)記直線的斜率分別為，證明：為定值．13．（2023·山東·煙臺二中?？寄M預測）已知橢圓過點，且的焦距是橢圓的焦距的3倍．(1)求的標準方程；(2)設M，N是上異于點P的兩個動點，且，試問直線是否過定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由．14．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知O為坐標原點，橢圓的左，右焦點分別為，，A為橢圓C的上頂點，為等腰直角三角形，其面積為1．(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線l交橢圓C于P，Q兩點，點W在過原點且與l平行的直線上，記直線WP，WQ的斜率分別為，，的面積為S．從下面三個條件①②③中選擇兩個條件，證明另一個條件成立．①；②；③W為原點O．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．15．（2023·山東濟南·一模）已知拋物線（p為常數，）．(1)若直線與H只有一個公共點，求k；(2)貝塞爾曲線是計算機圖形學和相關領域中重要的參數曲線．法國數學象卡斯特利奧對貝塞爾曲線進行了圖形化應用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點，根據對應的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點的切線，也有相應成比例的結論．如圖，A，B，C是H上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點D，E，F，證明：．16．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的傾斜角為60°，且上的點到的距離的最小值為1．(1)求的方程；(2)設點，，動直線：與的右支相交于不同兩點，，且，過點作，為垂足，證明：動點在定圓上，并求該圓的方程．17．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓過點.(1)若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；(2)已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點，若經過M，N兩點的直線與圓相切，求線段的最大值.18．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）過坐標原點作圓的兩條切線，設切點為，直線恰為拋物的準線.(1)求拋物線的標準方程；(2)設點是圓上的動點，拋物線上四點滿足：，設中點為.（i）求直線的斜率；（ii）設面積為，求的最大值.19．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知直線與拋物線交于兩點，，與拋物線交于兩點，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.(1)若直線過點，且，求直線的方程；(2)①證明：；②設，的面積分別為，，（O為坐標原點），若，求.20．（2023·湖北·荊州中學校聯(lián)考二模）已知點為拋物線上的點，，為拋物線上的兩個動點，為拋物線的準線與軸的交點，為拋物線的焦點．(1)若，求證：直線恒過定點；(2)若直線過點，，在軸下方，點在，之間，且，求的面積和的面積之比．21．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預測）已知A，B為橢圓左右兩個頂點，動點D是橢圓上異于A，B的一點，點F是右焦點．當點D的坐標為時，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點C的坐標為，直線CD與橢圓交于另一點E，判斷直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請說明理由．22．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右頂點為，左焦點到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點，且．(1)求雙曲線的方程；(2)過點的直線與雙曲線交于P，Q兩點，直線，分別與直線相交于，兩點，試問：以線段為直徑的圓是否過定點?若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．23．（2023·湖南·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若△為等邊三角形，且點在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)設橢圓E的左、右頂點分別為，不過坐標原點的直線l與橢圓E相交于A、B兩點（異于橢圓E的頂點），直線與y軸的交點分別為M、N，若，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.24．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）已知曲線C的方程：，傾斜角為的直線過點，且與曲線C相交于A，B兩點.(1)時，求三角形的面積；(2)在x軸上是否存在定點M，使直線與曲線C有兩個交點A、B的情況下，總有?如果存在，求出定點M；如果不存在，請說明理由.25．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與橢圓交于兩點（在軸上方），且，設點在軸上的射影為點，的面積為，拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，斜率為的直線過拋物線的焦點與橢圓交于兩，點，與拋物線交于兩點.(1)求橢圓及拋物線的標準方程；(2)是否存在常數，使為常數？若存在，求的值；若不存在，說明理由.26．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的右頂點到漸近線的距離為，虛軸長為2，過雙曲線C的右焦點F作直線MN（不與x軸重合）與雙曲線C相交于M，N兩點，過點M作直線l：的垂線ME，E為垂足.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)是否存在實數t，使得直線EN過x軸上的定點P，若存在，求t的值及定點P的坐標；若不存在，說明理由.27．（2023·廣東揭陽·?？寄M預測）橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線有許多相似性質．比如三種曲線都可以用如下方式定義（又稱圓錐曲線第二定義）：到定點的距離與到定直線的距離之比為常數e的點的軌跡為圓錐曲線．當為橢圓，當為拋物線，當為雙曲線．定點為焦點，定直線為對應的準線，常數e為圓錐曲線的離心率．依據上述表述解答下列問題．已知點，直線動點滿足到點F的距離與到定直線l的距離之比為(1)求曲線的軌跡方程；(2)在拋物線中有如下性質：如圖，在拋物線中，O為拋物線頂點，過焦點F的直線交拋物線與A，B兩點，連接，并延長交準線l與D，C，則以為直徑的圓與相切于點F，以為直徑的圓與相切于中點．那么如圖在曲線E中是否具有相同的性質？若有，證明它們成立；若沒有，說明理由．28．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知直線與拋物線交于，兩點，且與軸交于點，過點，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動點在上.(1)當，且為線段的中點時，證明：；(2)記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實數，使得？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.29．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上且．(1)求橢圓的方程；(2)點分別在橢圓和直線上，，為的中點，若為直線與直線的交點．是否存在一個確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請說明理由．30．（2023·江蘇南通·海安高級中學校考一模）某城市決定在夾角為30°的兩條道路EB、EF之間建造一個半橢圓形狀的主題公園，如圖所示，千米，O為AB的中點，OD為橢圓的長半軸，在半橢圓形區(qū)域內再建造一個三角形游樂區(qū)域OMN，其中M，N在橢圓上，且MN的傾斜角為45°，交OD于G．(1)若千米，為了不破壞道路EF，求橢圓長半軸長的最大值；(2)若橢圓的離心率為，當線段OG長為何值時，游樂區(qū)域的面積最大？2023年高考數學重點專題三輪沖刺演練2023年高考數學重點專題三輪沖刺演練2023年高考數學重點專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題拔高練-新高考數學復習分層訓練（新高考通用）1．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的離心率為，且點在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)若點M，N在雙曲線C上，且，直線不與y軸平行，證明：直線的斜率為定值.【答案】(1)(2)直線的斜率為定值【分析】(1)根據離心率公式確定，再根據雙曲線經過點即可求解；(2)利用韋達定理用坐標表示出,進而可求解.【詳解】（1）由題可得離心率，所以，又因為，所以，所以雙曲線方程為，又因為雙曲線過點，所以，解得，所以雙曲線方程為.（2）設直線的方程為，聯(lián)立得，則得，，得，，，因為，所以，所以，即，所以，所以即，得或，若，則直線的方程為，即過點，不符合題意，若，則，滿足，綜上直線的斜率為定值.2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點為，左、右頂點及上頂點分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設過的直線交橢圓于P、Q兩點，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點，l與x軸的交點為K，則是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請說明理由.【答案】(1)(2)為定值【分析】（1）首先表示，的坐標，即可得到，，根據及，求出，即可求出，從而得解；（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，即可得到直線的方程為，令求出，同理得到，則，代入計算可得.【詳解】（1）解：依題意，，，所以，，由，可得，即，解得或（舍去），故，，所以橢圓的方程為.（2）解：設直線的方程為，，，聯(lián)立，消去整理得，所以，，直線的方程為，令，得，同理可得，所以，故為定值.3．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知M是平面直角坐標系內的一個動點，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點）的面積為8，動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知是軌跡C上一點，直線l交軌跡C于P，Q兩點，直線，的斜率之和為1，，求的面積.【答案】(1)（）(2)【分析】（1）設動點，由題意知，，由題意，化簡可得軌跡C的方程；（2）設直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，由過點T直線與曲線C有兩個交點確定的范圍，由，解得，從而可得直線、的方程，與曲線C的方程聯(lián)立解得的坐標，求出及點Q到直線的距離，即可求出的面積.【詳解】（1）設動點，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內活動.，，動點在右側，有，同理有，∵四邊形的面積為8，∴，即，所以所求軌跡C方程為（）.（2）如圖，設直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，在曲線C上，過點T直線與曲線C有兩個交點，則或，同時或，解得或.

，解得或（舍去）.時，直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得.直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得，，點Q到直線的距離

，.方法二：，，，則，.4．（2023·浙江·永嘉中學校聯(lián)考模擬預測）已知雙曲線的頂點為，，過右焦點作其中一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點，且.點為軸正半軸上異于點的任意點，過點的直線交雙曲線于C，D兩點，直線與直線交于點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意表示出點的橫坐標，求出縱坐標，表示面積即可求解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據韋達定理證明求解.【詳解】（1）設雙曲線，易知.由題意可知：為等腰三角形，則，代入得：，則，又，則解得，則雙曲線.（2）設直線的方程為：，（且），，.聯(lián)立，消得：，，，，①，②聯(lián)立①②，解得：.又，同理，，把它們代入，得，故，得證.5．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）已知雙曲線的實軸長為4，左?右頂點分別為，經過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，(1)設直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）法一：根據實軸長，求得a值，根據題意，求得，可得b值，即可得曲線C方程，設直線方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據韋達定理，可得表達式，代入，化簡整理，即可得答案.法二：由題意，求得a，b的值，即可得曲線C方程，設方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據韋達定理，可得表達式，代入，化簡整理，即可得答案.（2）法一：因為，根據二倍角的正切公式，結合及，化簡計算，可得，進而可得方程，與曲線C聯(lián)立，可得M點坐標，即可得直線的方程，根據面積公式，即可得答案.法二：設，由，結合二倍角正切公式，可得的值，進而可得直線方程，與曲線C聯(lián)立，可得，同理可得，代入面積公式，即可得答案.【詳解】（1）法一：因為，所以，令得，所以，解得，所以的方程為顯然直線與軸不垂直，設其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當時，，設，則.因為，所以.法二：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設方程為，聯(lián)立，可得，，，，.（2）法一：因為，所以，又因為，所以，即，（※）將代入（※）得，因為在軸上方，所以，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，所以的面積為.法二：設，由，可得，，解得，方程，聯(lián)立，可得，解得，同理聯(lián)立，解得，.6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據題意，可得，，進而求解；（2）設方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，進而得到，進而求解.【詳解】（1）當軸時，兩點的橫坐標均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，令，可得，而，，對恒成立，，以為直徑的圓經過定點；方法二：設方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點.設以為直徑的圓過，，而，，，即對恒成立，，即以為直徑的圓經過定點.7．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，已知點，，直線PA與直線PB的斜率乘積為，點的軌跡為．(1)求的方程；(2)分別過，做兩條斜率存在的直線分別交于C，D兩點和E，F兩點，且，求直線CD的斜率與直線EF的斜率之積．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，利用題意得到，化簡即可；（2）設直線為：，直線為：，分別與聯(lián)立，利用韋達定理和弦長公式可求得，代入即可求解【詳解】（1）設，因為直線PA與直線PB的斜率乘積為，所以，整理得點的軌跡為為（2）設直線為：①設直線為：②將①與曲線聯(lián)立得：，設，，，，所以，將②與曲線聯(lián)立得：，設，，，，所以，所以，解得，所以8．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知，，三個點在橢圓，橢圓外一點滿足，，（為坐標原點）.(1)求的值；(2)證明：直線與斜率之積為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設，根據向量關系用表示，代入橢圓方程即可求解；（2）用表示，代入斜率公式即可求解.【詳解】（1）設，因為，所以解得，又因為，所以解得，因為點在橢圓上，所以，即.（2）設直線與斜率分別為，是定值.9．（2023·河北衡水·衡水市第二中學?？寄M預測）已知拋物線：和橢圓：有共同的焦點F(1)求拋物線C的方程，并寫出它的準線方程(2)過F作直線交拋物線C于P，Q兩點，交橢圓E于M，N兩點，證明：當且僅當軸時，取得最小值【答案】(1)拋物線方程為，準線為.(2)證明見解析【分析】(1)根據橢圓中“”的關系求出焦點，根據共焦點即可求解；(2)利用韋達定理分別表示出，即可證明.【詳解】（1）根據橢圓：可得，所以，則橢圓的右焦點也為拋物線的焦點，所以，解得，所以拋物線方程為，準線為.（2）由題可得，直線的斜率不等于0，所以設，設，聯(lián)立整理得，所以，所以，設，聯(lián)立整理得，所以，所以所以,所以，因為為常數，所以當，即時，取得最小值，此時的方程為垂直于軸,所以命題得證.10．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知點在雙曲線C：（，）上，過P作x軸的平行線，分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點，．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點A，B，設直線，的斜率分別為，，從下面兩個條件中選一個（多選只按先做給分），證明：直線l過定點．①；②．【答案】(1)(2)選①直線過定點；選②直線過定點【分析】（1）求出雙曲線的漸近線，得到兩點的坐標，利用及點在雙曲線上可得方程；（2）選擇兩個條件都是先聯(lián)立方程，得出韋達定理，結合斜率之和或者之積得到的關系式，從而可得定點.【詳解】（1）由題意可知：點在雙曲線上，所以；過做軸的平行線，與相交于兩點，那么兩點可求：；所以，所以；代入，可知，所以雙曲線的方程為.（2）選①：由題意可知，直線與雙曲線C交于不同的兩點A,B,設，聯(lián)立方程:得，所以，即；由條件所以，所以，整理可得，代入韋達定理得，即，解得或；當時，，則直線過定點；當時，，則直線過定點，不合題意；綜上可得，直線過定點.選②：由題意可知，直線與雙曲線C交于不同的兩點A,B,設，聯(lián)立方程:得，所以，即；由條件，得即，整理可得代入韋達定理，整理可得，即，解得或，當時，，則直線過定點；當時，，則直線過定點，不合題意；綜上可得，直線過定點.【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵是利用韋達定理把或進行轉化，然后把求解方程得出的關系式，從而可得定點，定點問題雖然運算過程繁瑣，但是求解思路較為明確.11．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，且．過右焦點的直線l與C交于A，B兩點，的周長為．(1)求C的標準方程；(2)過坐標原點O作一條與垂直的直線，交C于P，Q兩點，求的取值范圍；(3)記點A關于x軸的對稱點為M（異于B點），試問直線BM是否過定點？若是，請求出定點坐標；若不是請說明理由．【答案】(1)(2)(3)過定點，定點為【分析】（1）根據題意列式求解，即可得結果；（2）根據題意設直線的方程，與橢圓聯(lián)立，結合韋達定理求，即可得，換元結合二次函數運算求解，注意討論直線l是否與x軸重合；（3）根據題意求直線BM的方程，結合韋達定理化簡整理即可得結果，注意討論直線l是否與x軸重合.【詳解】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的標準方程.（2）由（1）可知：，則有：當直線l不與x軸重合時，設，則，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，消去x得，則，故，聯(lián)立直線與橢圓C的方程，消去y得，設，則，故，可得，令，則，故，∵的對稱軸為，則在上單調遞減，且，∴，故；當直線l與x軸重合時，則，故；綜上所述：的取值范圍為.（3）過定點，理由如下：當直線l不與x軸重合時，設，則，由（2）可得：，則直線的斜率，故直線的方程，即，對，可得直線的方程過定點；當直線l與x軸重合時，則直線即為x軸也過；綜上所述：直線過定點.【點睛】方法點睛：（1）解決圓錐曲線中范圍問題的方法：一般題目中沒有給出明確的不等關系，首先需要根據已知條件進行轉化，利用圓錐曲線的幾何性質及曲線上點的坐標確定不等關系；然后構造目標函數，把原問題轉化為求函數的值域或引入參數根據參數范圍求解，解題時應注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉化．（2）動直線l過定點問題的解法：設動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點．12．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點，M在N的左側．(1)若，求l的斜率；(2)記直線的斜率分別為，證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明過程見解析.【分析】（1）根據圓弦長公式，結合點到直線距離公式、橢圓切線的性質進行求解即可；（2）根據直線斜率公式，結合一元二次方程根與系數關系進行求解即可.【詳解】（1）當直線l不存在斜率時，方程為，顯然與圓也相切，不符合題意，設直線l的斜率為，方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，因為直線l與C相切，所以有，圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線的距離為，因為，所以有；（2），由，設，則有，，，把，代入上式，得，而，所以.【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數關系，結合橢圓切線的性質進行求解是解題的關鍵.13．（2023·山東·煙臺二中校考模擬預測）已知橢圓過點，且的焦距是橢圓的焦距的3倍．(1)求的標準方程；(2)設M，N是上異于點P的兩個動點，且，試問直線是否過定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由．【答案】(1)(2)直線恒過定點，定點的坐標為【分析】（1）根據已知條件求得，從而求得的標準方程.（2）根據直線的斜率是否存在進行分類討論，利用直線與橢圓的交點以及列方程，整理后可求得定點坐標.【詳解】（1）由題意得，化簡得①，又過點．所以②，聯(lián)立①②解得，所以的標準方程為．（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立得，所以，，因為，所以，所以，即，所以，化簡得，即，所以或，當時，直線的方程為恒過點（舍去）；當時，直線的方程為恒過點，此時直線恒過點；當直線的斜率不存在時，設，則，所以．由，得，所以，所以，解得或（舍去），此時直線的方程為，恒過點，綜上，直線恒過定點，定點的坐標為．14．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知O為坐標原點，橢圓的左，右焦點分別為，，A為橢圓C的上頂點，為等腰直角三角形，其面積為1．(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線l交橢圓C于P，Q兩點，點W在過原點且與l平行的直線上，記直線WP，WQ的斜率分別為，，的面積為S．從下面三個條件①②③中選擇兩個條件，證明另一個條件成立．①；②；③W為原點O．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】(1)根據橢圓的幾何性質即可求出a、b、c，從而可得橢圓的標準方程；(2)(i)選②③為條件：設，分l斜率存在和不存在兩種情況討論.l斜率存在時，設l為，由可得(*)，聯(lián)立直線l與橢圓的方程，得，代入(*)可得k和t的關系，根據弦長公式求出|PQ|，根據點到直線距離公式求出O到l的距離d，根據即可求出S；(ii)選①③為條件：設，分l斜率存在和不存在兩種情況討論.當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，根據弦長公式求出|PQ|，根據點到直線距離公式求出到直線的距離d，根據可得k和t的關系，表示出，根據即可求出；(iii)選①②為條件：設，分l斜率存在和不存在兩種情況討論.當直線l的斜率存在時，設，直線l的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，根據弦長公式求出|PQ|，根據點到直線距離公式求出W到直線的距離d，根據可得k和t的關系，表示出，根據即可求出W的坐標．【詳解】（1）記，由題意知：，∴，解得，∴，∴橢圓的標準方程為：．（2）(i)選②③為條件：設，當直線的斜率不存在時，根據橢圓的對稱性不妨設點在第一象限，則由，可得，此時直線的方程為，與聯(lián)立，解得，∴．當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，則，即，將代入得：，∴，∴，∴，即．，∵點到直線的距離，∴，綜上，①成立．(ii)選①③為條件：設，當直線的斜率不存在時，根據橢圓的對稱性不妨設點在第一象限，則由，可得，又，解得，∴；當直線的斜率存在時，設直線的方程為：，將代入得：，∴，，∵點到直線的距離，∴，即，∵，∴．綜上，②成立．(iii)選①②為條件：設，當直線的斜率不存在時，根據橢圓的對稱性不妨設點在第一象限，則，∴，又，解得，∴，∴，∴為坐標原點，滿足題意；當直線l的斜率存在時，設，直線l的方程為：，將帶入得：，∴，，點到直線的距離，∴，即，∵，，則由，即，得：，即，∵，∴，即．綜上，③成立．15．（2023·山東濟南·一模）已知拋物線（p為常數，）．(1)若直線與H只有一個公共點，求k；(2)貝塞爾曲線是計算機圖形學和相關領域中重要的參數曲線．法國數學象卡斯特利奧對貝塞爾曲線進行了圖形化應用的測試，提出了DeCasteljau算法：已知三個定點，根據對應的比例，使用遞推畫法，可以畫出地物線．反之，已知拋物線上三點的切線，也有相應成比例的結論．如圖，A，B，C是H上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點D，E，F，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，消去后利用判別式求得的值.（2）求得過三點的切線方程，進而求得的恒坐標，根據拋物線的知識證得結論成立.【詳解】（1）將代入，化簡得（*），方程（*）的判別式，化簡得，即．（2）設，設拋物線在點處的切線方程為，由消去并化簡得，，，，解得，故切線方程為，，，即，同理可求得拋物線上過點B，C的切線方程分別為：，，由過的切線方程兩兩聯(lián)立，可以求得交點D，E，F的橫坐標分別為：，，，注意到結論中線段長度的比例可以轉化為點的橫坐標的比例，得，命題得證．16．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：（，）的右焦點為，一條漸近線的傾斜角為60°，且上的點到的距離的最小值為1．(1)求的方程；(2)設點，，動直線：與的右支相交于不同兩點，，且，過點作，為垂足，證明：動點在定圓上，并求該圓的方程．【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】(1)根據漸近線斜率及到焦點距離最值列式求解即可.(2)根據角相等得出向量夾角相等，進而得出m,k的關系得出定點，最后根據垂直關系得出圓的方程.【詳解】（1）設,則由已知得,解得,所以的方程.（2）由(1)得,,設，則于是,同理,由，得即即,整理得，因為，所以,所以的方程可化為因此過定點.又因為垂足為,所以動點在以為直徑的圓上，該圓的方程為.17．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預測）已知橢圓過點.(1)若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；(2)已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點，若經過M，N兩點的直線與圓相切，求線段的最大值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）把點代入橢圓方程，可得，由，可求b的取值范圍；（2）由離心率和（1）中結論，求得橢圓方程，分類討論直線的位置，聯(lián)立方程組，利用弦長公式結合不等式的性質求的最大值.【詳解】（1）∵在橢圓，∴，有，所以，又∵，所以，∵，∴；（2）由（1）可知，又，所以，橢圓.因為直線與相切，故.若直線的斜率不存在，不妨設直線為：，代入橢圓方程可得此時線段.若直線的斜率存在，可設直線的方程為：.由直線與相切，故，可得：.聯(lián)立得，所以，線段.又因為，所以.當且僅當，故當時，的最大值為2.綜上所述：當時，線段的最大值2.18．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）過坐標原點作圓的兩條切線，設切點為，直線恰為拋物的準線.(1)求拋物線的標準方程；(2)設點是圓上的動點，拋物線上四點滿足：，設中點為.（i）求直線的斜率；（ii）設面積為，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）0；（ii）48【分析】（1）設直線與軸交于，由幾何性質易得：，即可解決；（2）設，（i）中，由于中點在拋物線上，得，將，代入聯(lián)立得點縱坐標為，即可解決；（ⅱ）由（i）得點，，又點在圓上，得，可得：即可解決.【詳解】（1）設直線與軸交于.由幾何性質易得：與相似，所以，，即：，解得：.所以拋物線的標準方程為：.（2）設（i）由題意，中點在拋物線上，即，又，將代入，得：，同理：，有，此時點縱坐標為，所以直線的斜率為0.（ⅱ）因為，所以點，此時，，，所以，又因為點在圓上，有，即，代入上式可得：，由，所以時，取到最大價.所以的最大值為48.19．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知直線與拋物線交于兩點，，與拋物線交于兩點，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.(1)若直線過點，且，求直線的方程；(2)①證明：；②設，的面積分別為，，（O為坐標原點），若，求.【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）設，，設，聯(lián)立直線和拋物線，利用韋達定理和兩點間距離公式，代入，可以求解的值，進而可以求出直線的方程；（2）設，聯(lián)立直線和拋物線，利用韋達定理，①代入中，即可證明；②代入中，可用分別表示，根據求出比值即可.【詳解】（1）設，，，，其中，，設，聯(lián)立，整理得，則，，，解得，則.（2）設，①聯(lián)立，整理得，則，，聯(lián)立，整理得，則，，則，即證.②，則，，其中，，解得，則，，，則.20．（2023·湖北·荊州中學校聯(lián)考二模）已知點為拋物線上的點，，為拋物線上的兩個動點，為拋物線的準線與軸的交點，為拋物線的焦點．(1)若，求證：直線恒過定點；(2)若直線過點，，在軸下方，點在，之間，且，求的面積和的面積之比．【答案】(1)證明見解析(2)4【分析】（1）根據，可得，,利用韋達定理求解；（2）方法一：利用直線與拋物線的位置關系，利用韋達定理可得，，從而可求解；方法二：結合可得，利用韋達定理和向量夾角的坐標表示即可求解.【詳解】（1）設直線的方程為，，將代入拋物線方程得聯(lián)立,∵∴,,或,若，直線的方程為，恒過定點，不合題意舍；若，直線的方程為，恒過定點．（2）方法1：設直線的方程為，，不妨設直線的傾斜角為，則∴，，,∵，∴,∵∴，，共線，∴．方法2：設直線的方程為，，,∵，，，，∴由于直線過點，，在軸下方，∴代入得，,∴∵∴，，共線，∴.21．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預測）已知A，B為橢圓左右兩個頂點，動點D是橢圓上異于A，B的一點，點F是右焦點．當點D的坐標為時，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點C的坐標為，直線CD與橢圓交于另一點E，判斷直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)直線AD與直線BE的交點在定直線上【分析】（1）由題意表示出，，可得，再由橢圓的定義求出，即可求出橢圓的方程；（2）設，，的直線方程為，與橢圓聯(lián)立，由韋達定理得，，化積為和得，表示出直線AD和直線BE的方程的方程，計算可得，即可證明直線AD與直線BE的交點P是否在一定直線上【詳解】（1）設橢圓的右焦點為，左焦點為，，，解得，∴，∴，，，∴橢圓的方程為．（2）由題設，直線DE斜率一定存在，設的直線方程為．聯(lián)立橢圓方程，消去得．設，，則，．∴，又，，∴直線AD的方程為，直線BE的方程為．聯(lián)立得，∴．又∵，∴．∴直線AD與直線BE的交點在定直線上．22．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右頂點為，左焦點到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點，且．(1)求雙曲線的方程；(2)過點的直線與雙曲線交于P，Q兩點，直線，分別與直線相交于，兩點，試問：以線段為直徑的圓是否過定點?若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)以線段為直徑的圓過定點和．【分析】（1）根據點到直線的距離公式即可求解，進而聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據弦長公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程得韋達定理，根據圓的對稱性可判斷若有定點則在軸上，進而根據垂直關系得向量的坐標運算，即可求解.【詳解】（1）∵雙曲線的左焦點到雙曲線的一條漸近線的距離為，而，∴．∴雙曲線的方程為．依題意直線的方程為．由消去y整理得：，依題意：，，點A，B的橫坐標分別為，則．∵，∴．∴，∴．即，解得或（舍去），且時，，∴雙曲線的方程為．（2）依題意直線的斜率不等于0，設直線的方程為．由消去整理得：，∴，．設，，則，．直線的方程為，令得：，∴．同理可得．由對稱性可知，若以線段為直徑的圓過定點，則該定點一定在軸上，設該定點為，則，，故．解得或．故以線段為直徑的圓過定點和．【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是根據圓的對稱性可判斷定點在坐標軸上，結合向量垂直的坐標運算化簡求解就可，對計算能力要求較高.23．（2023·湖南·模擬預測）已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，若△為等邊三角形，且點在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)設橢圓E的左、右頂點分別為，不過坐標原點的直線l與橢圓E相交于A、B兩點（異于橢圓E的頂點），直線與y軸的交點分別為M、N，若，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.【答案】(1)(2)點或【分析】（1）由已知條件，橢圓的定義及的關系可知和，再設出橢圓的方程，最后將點代入橢圓的方程即可求解；（2）設點，，由直線的方程即可求出點的坐標，由的方程即可求出點的坐標，由已知條件可知，分直線的斜率存在和直線的斜率不存在兩種情況分別求解，得出直線的方程，即可判斷出直線恒過定點的坐標.【詳解】（1）∵△為等邊三角形，且，∴，又∵，∴，設橢圓的方程為，將點代入橢圓方程得，解得，所以橢圓E的方程為.（2）由已知得，設，,則直線的斜率為，直線的方程為，即點坐標為，直線的斜率為，直線的方程為，即點坐標為,∵,∴,∴，又∵，，∴，即，整理得，①若直線的斜率存在時,設直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，其中，，，即，，，所以或，當時，直線的方程為，此時直線恒過點，當時，直線的方程為，此時直線恒過點，②若直線的斜率不存在時，由得，即，解得或，此時直線的方程為或，所以此時直線恒過點或，綜上所述，直線恒過點或.24．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）已知曲線C的方程：，傾斜角為的直線過點，且與曲線C相交于A，B兩點.(1)時，求三角形的面積；(2)在x軸上是否存在定點M，使直線與曲線C有兩個交點A、B的情況下，總有?如果存在，求出定點M；如果不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由題意可知三角形以線段AB為底時，高，傾斜角為90°的直線l方程為，求出A，B兩點的縱坐標，即可求出，得到三角形的面積；（2）設直線l的方程為：，，，聯(lián)立，可得，根據韋達定理求出斜率的范圍，由得軸平分，所以，即，根據韋達定理整理可得：，解得，當斜率不存在時，依然滿足，可知定點存在，且.【詳解】（1）由可知曲線是以，為焦點，實軸長為4的雙曲線的右支，過焦點，傾斜角為90°的直線l方程為，當時,所以.（2）設直線l的方程為：，聯(lián)立方程，整理得，因為直線l與曲線C有兩個交點，設，，所以，解得或，由得軸平分，所以，，，則，，假設在軸上存在定點，則，，，即，展開可得，因為斜率k的取值范圍為，所以，即，整理可得：，即，得，當時，由曲線的對稱性可知成立，所以軸上存在定點，總有.25．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，已知直線與橢圓交于兩點（在軸上方），且，設點在軸上的射影為點，的面積為，拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，斜率為的直線過拋物線的焦點與橢圓交于兩，點，與拋物線交于兩點.(1)求橢圓及拋物線的標準方程；(2)是否存在常數，使為常數？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)，(2)存在，【分析】（1）設，由解得，利用可得，再求得的值，即可得橢圓C方程，由拋物線的焦點與橢圓的焦點重合，即可得拋物線的標準方程；（2）設直線的方程為，，分別讓直線與橢圓、拋物線聯(lián)立，得交點坐標關系，從而得弦長，即可求得的值.【詳解】（1）由題意可設，可得，所以，所以，，所以，所以，點P坐標代入橢圓方程得，所以橢圓C方程為，所以，即，所以拋物線E方程為.（2）設.直線l的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立得，則恒成立，所以則.直線l的方程為，與拋物線E的方程聯(lián)立得...要使為常數，則，得.故存在，使為常數.26．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的右頂點到漸近線的距離為，虛軸長為2，過雙曲線C的右焦點F作直線MN（不與x軸重合）與雙曲線C相交于M，N兩點，過點M作直線l：的垂線ME，E為垂足.(1)求雙曲線C的標準方程；(2)是否存在實數t，使得直線EN過x軸上的定點P，若存在，求t的值及定點P的坐標；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)存在，，【分析】（1）根據題意得到，，再解方程即可得到答案.（2）假設存在實數，使得直線過定點，設直線，，則，與橢圓聯(lián)立得到，，得到直線EN：，從而得到，即可得到答案.【詳解】（1）由題可知虛軸長為，所以，右頂點到漸近線的距離，由①②解得：所以雙曲線的標準方程為.（2）假設存在實數，使得直線過定點，設直線，，則，聯(lián)立，消x得.則，.直線EN：，令得：，又，.∴.當，即時，為定值所以存在實數，使得直線EN過定點.27．（2023·廣東揭陽·?？寄M預測）橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線有許多相似性質．比如三種曲線都可以用如下方式定義（又稱圓錐曲線第二定義）：到定點的距離與到定直線的距離之比為常數e的點的軌跡為圓錐曲線．當為橢圓，當為拋物線，當為雙曲線．定點為焦點，定直線為對應的準線，常數e為圓錐曲線的離心率．依據上