2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練專題05 圓錐曲線大題拔高練（解析版）

2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）1．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為，且點(diǎn)在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)若點(diǎn)M，N在雙曲線C上，且，直線不與y軸平行，證明：直線的斜率為定值.2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)為K，則是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.3．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點(diǎn)）的面積為8，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知是軌跡C上一點(diǎn)，直線l交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為1，，求的面積.4．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的頂點(diǎn)為，，過(guò)右焦點(diǎn)作其中一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點(diǎn)，且.點(diǎn)為軸正半軸上異于點(diǎn)的任意點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于C，D兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：為定值.5．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時(shí)，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).7．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線PA與直線PB的斜率乘積為，點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)分別過(guò)，做兩條斜率存在的直線分別交于C，D兩點(diǎn)和E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求直線CD的斜率與直線EF的斜率之積．8．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，三個(gè)點(diǎn)在橢圓，橢圓外一點(diǎn)滿足，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求的值；(2)證明：直線與斜率之積為定值.9．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線：和橢圓：有共同的焦點(diǎn)F(1)求拋物線C的方程，并寫(xiě)出它的準(zhǔn)線方程(2)過(guò)F作直線交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，取得最小值10．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)在雙曲線C：（，）上，過(guò)P作x軸的平行線，分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點(diǎn)，．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線，的斜率分別為，，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)（多選只按先做給分），證明：直線l過(guò)定點(diǎn)．①；②．11．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且．過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作一條與垂直的直線，交C于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍；(3)記點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M（異于B點(diǎn)），試問(wèn)直線BM是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點(diǎn)，M在N的左側(cè)．(1)若，求l的斜率；(2)記直線的斜率分別為，證明：為定值．13．（2023·山東·煙臺(tái)二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且的焦距是橢圓的焦距的3倍．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)M，N是上異于點(diǎn)P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，為等腰直角三角形，其面積為1．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)W在過(guò)原點(diǎn)且與l平行的直線上，記直線WP，WQ的斜率分別為，，的面積為S．從下面三個(gè)條件①②③中選擇兩個(gè)條件，證明另一個(gè)條件成立．①；②；③W為原點(diǎn)O．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．15．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知拋物線（p為常數(shù)，）．(1)若直線與H只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k；(2)貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國(guó)數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了DeCasteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫(huà)法，可以畫(huà)出地物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明：．16．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，一條漸近線的傾斜角為60°，且上的點(diǎn)到的距離的最小值為1．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，，動(dòng)直線：與的右支相交于不同兩點(diǎn)，，且，過(guò)點(diǎn)作，為垂足，證明：動(dòng)點(diǎn)在定圓上，并求該圓的方程．17．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn).(1)若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；(2)已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與圓相切，求線段的最大值.18．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，直線恰為拋物的準(zhǔn)線.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)滿足：，設(shè)中點(diǎn)為.（i）求直線的斜率；（ii）設(shè)面積為，求的最大值.19．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，與拋物線交于兩點(diǎn)，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；(2)①證明：；②設(shè)，的面積分別為，，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，求.20．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)．(1)若，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，，在軸下方，點(diǎn)在，之間，且，求的面積和的面積之比．21．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B為橢圓左右兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)F是右焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線CD與橢圓交于另一點(diǎn)E，判斷直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若△為等邊三角形，且點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為，不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)（異于橢圓E的頂點(diǎn)），直線與y軸的交點(diǎn)分別為M、N，若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).24．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）已知曲線C的方程：，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn).(1)時(shí)，求三角形的面積；(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B的情況下，總有?如果存在，求出定點(diǎn)M；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.25．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在軸上方），且，設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，的面積為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓交于兩，點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn).(1)求橢圓及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在常數(shù)，使為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.26．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離為，虛軸長(zhǎng)為2，過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F作直線MN（不與x軸重合）與雙曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l：的垂線ME，E為垂足.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線EN過(guò)x軸上的定點(diǎn)P，若存在，求t的值及定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.27．（2023·廣東揭陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線有許多相似性質(zhì)．比如三種曲線都可以用如下方式定義（又稱圓錐曲線第二定義）：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線．當(dāng)為橢圓，當(dāng)為拋物線，當(dāng)為雙曲線．定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，常數(shù)e為圓錐曲線的離心率．依據(jù)上述表述解答下列問(wèn)題．已知點(diǎn)，直線動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為(1)求曲線的軌跡方程；(2)在拋物線中有如下性質(zhì)：如圖，在拋物線中，O為拋物線頂點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線與A，B兩點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交準(zhǔn)線l與D，C，則以為直徑的圓與相切于點(diǎn)F，以為直徑的圓與相切于中點(diǎn)．那么如圖在曲線E中是否具有相同的性質(zhì)？若有，證明它們成立；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．28．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動(dòng)點(diǎn)在上.(1)當(dāng)，且為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明：；(2)記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.29．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)分別在橢圓和直線上，，為的中點(diǎn)，若為直線與直線的交點(diǎn)．是否存在一個(gè)確定的曲線，使得始終在該曲線上？若存在，求出該曲線的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．30．（2023·江蘇南通·海安高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┠吵鞘袥Q定在夾角為30°的兩條道路EB、EF之間建造一個(gè)半橢圓形狀的主題公園，如圖所示，千米，O為AB的中點(diǎn)，OD為橢圓的長(zhǎng)半軸，在半橢圓形區(qū)域內(nèi)再建造一個(gè)三角形游樂(lè)區(qū)域OMN，其中M，N在橢圓上，且MN的傾斜角為45°，交OD于G．(1)若千米，為了不破壞道路EF，求橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)的最大值；(2)若橢圓的離心率為，當(dāng)線段OG長(zhǎng)為何值時(shí)，游樂(lè)區(qū)域的面積最大？2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練2023年高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題三輪沖刺演練【一專三練】專題05圓錐曲線大題拔高練-新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)分層訓(xùn)練（新高考通用）1．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的離心率為，且點(diǎn)在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的方程；(2)若點(diǎn)M，N在雙曲線C上，且，直線不與y軸平行，證明：直線的斜率為定值.【答案】(1)(2)直線的斜率為定值【分析】(1)根據(jù)離心率公式確定，再根據(jù)雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)即可求解；(2)利用韋達(dá)定理用坐標(biāo)表示出,進(jìn)而可求解.【詳解】（1）由題可得離心率，所以，又因?yàn)?，所以，所以雙曲線方程為，又因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，則得，，得，，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以即，得或，若，則直線的方程為，即過(guò)點(diǎn)，不符合題意，若，則，滿足，綜上直線的斜率為定值.2．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)及上頂點(diǎn)分別記為、、，且.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若直線、與直線l：分別交于M、N兩點(diǎn)，l與x軸的交點(diǎn)為K，則是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)為定值【分析】（1）首先表示，的坐標(biāo)，即可得到，，根據(jù)及，求出，即可求出，從而得解；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，即可得到直線的方程為，令求出，同理得到，則，代入計(jì)算可得.【詳解】（1）解：依題意，，，所以，，由，可得，即，解得或（舍去），故，，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去整理得，所以，，直線的方程為，令，得，同理可得，所以，故為定值.3．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點(diǎn)）的面積為8，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知是軌跡C上一點(diǎn)，直線l交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為1，，求的面積.【答案】(1)（）(2)【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知，，由題意，化簡(jiǎn)可得軌跡C的方程；（2）設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，由過(guò)點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)確定的范圍，由，解得，從而可得直線、的方程，與曲線C的方程聯(lián)立解得的坐標(biāo)，求出及點(diǎn)Q到直線的距離，即可求出的面積.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內(nèi)活動(dòng).，，動(dòng)點(diǎn)在右側(cè)，有，同理有，∵四邊形的面積為8，∴，即，所以所求軌跡C方程為（）.（2）如圖，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，在曲線C上，過(guò)點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，則或，同時(shí)或，解得或.

，解得或（舍去）.時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得.直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得，，點(diǎn)Q到直線的距離

，.方法二：，，，則，.4．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的頂點(diǎn)為，，過(guò)右焦點(diǎn)作其中一條漸近線的平行線，與另一條漸近線交于點(diǎn)，且.點(diǎn)為軸正半軸上異于點(diǎn)的任意點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交雙曲線于C，D兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意表示出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求出縱坐標(biāo)，表示面積即可求解；（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理證明求解.【詳解】（1）設(shè)雙曲線，易知.由題意可知：為等腰三角形，則，代入得：，則，又，則解得，則雙曲線.（2）設(shè)直線的方程為：，（且），，.聯(lián)立，消得：，，，，①，②聯(lián)立①②，解得：.又，同理，，把它們代入，得，故，得證.5．（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┮阎p曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時(shí)，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）法一：根據(jù)實(shí)軸長(zhǎng)，求得a值，根據(jù)題意，求得，可得b值，即可得曲線C方程，設(shè)直線方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，代入，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.法二：由題意，求得a，b的值，即可得曲線C方程，設(shè)方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，代入，化簡(jiǎn)整理，即可得答案.（2）法一：因?yàn)椋鶕?jù)二倍角的正切公式，結(jié)合及，化簡(jiǎn)計(jì)算，可得，進(jìn)而可得方程，與曲線C聯(lián)立，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線的方程，根據(jù)面積公式，即可得答案.法二：設(shè)，由，結(jié)合二倍角正切公式，可得的值，進(jìn)而可得直線方程，與曲線C聯(lián)立，可得，同理可得，代入面積公式，即可得答案.【詳解】（1）法一：因?yàn)?，所以，令得，所以，解得，所以的方程為顯然直線與軸不垂直，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則.因?yàn)椋?法二：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設(shè)方程為，聯(lián)立，可得，，，，.（2）法一：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即，（※）將代入（※）得，因?yàn)樵谳S上方，所以，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，所以的面積為.法二：設(shè)，由，可得，，解得，方程，聯(lián)立，可得，解得，同理聯(lián)立，解得，.6．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進(jìn)而求解；（2）設(shè)方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對(duì)稱性知以為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn)，進(jìn)而得到，進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)軸時(shí)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設(shè)方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對(duì)稱性知以為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn)，令，可得，而，，對(duì)恒成立，，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)；方法二：設(shè)方程為，由對(duì)稱性知以為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn).設(shè)以為直徑的圓過(guò)，，而，，，即對(duì)恒成立，，即以為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn).7．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，直線PA與直線PB的斜率乘積為，點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)分別過(guò)，做兩條斜率存在的直線分別交于C，D兩點(diǎn)和E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且，求直線CD的斜率與直線EF的斜率之積．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，利用題意得到，化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)直線為：，直線為：，分別與聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可求得，代入即可求解【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)橹本€PA與直線PB的斜率乘積為，所以，整理得點(diǎn)的軌跡為為（2）設(shè)直線為：①設(shè)直線為：②將①與曲線聯(lián)立得：，設(shè)，，，，所以，將②與曲線聯(lián)立得：，設(shè)，，，，所以，所以，解得，所以8．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，三個(gè)點(diǎn)在橢圓，橢圓外一點(diǎn)滿足，，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求的值；(2)證明：直線與斜率之積為定值.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)向量關(guān)系用表示，代入橢圓方程即可求解；（2）用表示，代入斜率公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)?，所以解得，又因?yàn)椋越獾?，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即.（2）設(shè)直線與斜率分別為，是定值.9．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：和橢圓：有共同的焦點(diǎn)F(1)求拋物線C的方程，并寫(xiě)出它的準(zhǔn)線方程(2)過(guò)F作直線交拋物線C于P，Q兩點(diǎn)，交橢圓E于M，N兩點(diǎn)，證明：當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，取得最小值【答案】(1)拋物線方程為，準(zhǔn)線為.(2)證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)橢圓中“”的關(guān)系求出焦點(diǎn)，根據(jù)共焦點(diǎn)即可求解；(2)利用韋達(dá)定理分別表示出，即可證明.【詳解】（1）根據(jù)橢圓：可得，所以，則橢圓的右焦點(diǎn)也為拋物線的焦點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線方程為，準(zhǔn)線為.（2）由題可得，直線的斜率不等于0，所以設(shè)，設(shè)，聯(lián)立整理得，所以，所以，設(shè)，聯(lián)立整理得，所以，所以所以,所以，因?yàn)闉槌?shù)，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，此時(shí)的方程為垂直于軸,所以命題得證.10．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)在雙曲線C：（，）上，過(guò)P作x軸的平行線，分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點(diǎn)，．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)直線，的斜率分別為，，從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)（多選只按先做給分），證明：直線l過(guò)定點(diǎn)．①；②．【答案】(1)(2)選①直線過(guò)定點(diǎn)；選②直線過(guò)定點(diǎn)【分析】（1）求出雙曲線的漸近線，得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用及點(diǎn)在雙曲線上可得方程；（2）選擇兩個(gè)條件都是先聯(lián)立方程，得出韋達(dá)定理，結(jié)合斜率之和或者之積得到的關(guān)系式，從而可得定點(diǎn).【詳解】（1）由題意可知：點(diǎn)在雙曲線上，所以；過(guò)做軸的平行線，與相交于兩點(diǎn)，那么兩點(diǎn)可求：；所以，所以；代入，可知，所以雙曲線的方程為.（2）選①：由題意可知，直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,設(shè)，聯(lián)立方程:得，所以，即；由條件所以，所以，整理可得，代入韋達(dá)定理得，即，解得或；當(dāng)時(shí)，，則直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，則直線過(guò)定點(diǎn)，不合題意；綜上可得，直線過(guò)定點(diǎn).選②：由題意可知，直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,設(shè)，聯(lián)立方程:得，所以，即；由條件，得即，整理可得代入韋達(dá)定理，整理可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，則直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，則直線過(guò)定點(diǎn)，不合題意；綜上可得，直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是利用韋達(dá)定理把或進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后把求解方程得出的關(guān)系式，從而可得定點(diǎn)，定點(diǎn)問(wèn)題雖然運(yùn)算過(guò)程繁瑣，但是求解思路較為明確.11．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，且．過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作一條與垂直的直線，交C于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍；(3)記點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M（異于B點(diǎn)），試問(wèn)直線BM是否過(guò)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求，即可得，換元結(jié)合二次函數(shù)運(yùn)算求解，注意討論直線l是否與x軸重合；（3）根據(jù)題意求直線BM的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)整理即可得結(jié)果，注意討論直線l是否與x軸重合.【詳解】（1）由題意可得，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由（1）可知：，則有：當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)，則，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，消去x得，則，故，聯(lián)立直線與橢圓C的方程，消去y得，設(shè)，則，故，可得，令，則，故，∵的對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，且，∴，故；當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，則，故；綜上所述：的取值范圍為.（3）過(guò)定點(diǎn)，理由如下：當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)，則，由（2）可得：，則直線的斜率，故直線的方程，即，對(duì)，可得直線的方程過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，則直線即為x軸也過(guò)；綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）解決圓錐曲線中范圍問(wèn)題的方法：一般題目中沒(méi)有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．（2）動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)．12．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B．直線l與C相切，且與圓交于M，N兩點(diǎn)，M在N的左側(cè)．(1)若，求l的斜率；(2)記直線的斜率分別為，證明：為定值．【答案】(1)；(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)圓弦長(zhǎng)公式，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式、橢圓切線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)直線l不存在斜率時(shí)，方程為，顯然與圓也相切，不符合題意，設(shè)直線l的斜率為，方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，因?yàn)橹本€l與C相切，所以有，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，因?yàn)椋杂?；?），由，設(shè)，則有，，，把，代入上式，得，而，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合橢圓切線的性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.13．（2023·山東·煙臺(tái)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且的焦距是橢圓的焦距的3倍．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)M，N是上異于點(diǎn)P的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，試問(wèn)直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，利用直線與橢圓的交點(diǎn)以及列方程，整理后可求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意得，化簡(jiǎn)得①，又過(guò)點(diǎn)．所以②，聯(lián)立①②解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，所以，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，化?jiǎn)得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為恒過(guò)點(diǎn)（舍去）；當(dāng)時(shí)，直線的方程為恒過(guò)點(diǎn)，此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，所以．由，得，所以，所以，解得或（舍去），此時(shí)直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn)，綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．14．（2023·山東青島·統(tǒng)考一模）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，為等腰直角三角形，其面積為1．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)W在過(guò)原點(diǎn)且與l平行的直線上，記直線WP，WQ的斜率分別為，，的面積為S．從下面三個(gè)條件①②③中選擇兩個(gè)條件，證明另一個(gè)條件成立．①；②；③W為原點(diǎn)O．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)即可求出a、b、c，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)(i)選②③為條件：設(shè)，分l斜率存在和不存在兩種情況討論.l斜率存在時(shí)，設(shè)l為，由可得(*)，聯(lián)立直線l與橢圓的方程，得，代入(*)可得k和t的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出O到l的距離d，根據(jù)即可求出S；(ii)選①③為條件：設(shè)，分l斜率存在和不存在兩種情況討論.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出到直線的距離d，根據(jù)可得k和t的關(guān)系，表示出，根據(jù)即可求出；(iii)選①②為條件：設(shè)，分l斜率存在和不存在兩種情況討論.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，直線l的方程為：，聯(lián)立直線和橢圓方程可得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求出|PQ|，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出W到直線的距離d，根據(jù)可得k和t的關(guān)系，表示出，根據(jù)即可求出W的坐標(biāo)．【詳解】（1）記，由題意知：，∴，解得，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）(i)選②③為條件：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由，可得，此時(shí)直線的方程為，與聯(lián)立，解得，∴．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，則，即，將代入得：，∴，∴，∴，即．，∵點(diǎn)到直線的距離，∴，綜上，①成立．(ii)選①③為條件：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則由，可得，又，解得，∴；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，將代入得：，∴，，∵點(diǎn)到直線的距離，∴，即，∵，∴．綜上，②成立．(iii)選①②為條件：設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則，∴，又，解得，∴，∴，∴為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，直線l的方程為：，將帶入得：，∴，，點(diǎn)到直線的距離，∴，即，∵，，則由，即，得：，即，∵，∴，即．綜上，③成立．15．（2023·山東濟(jì)南·一模）已知拋物線（p為常數(shù)，）．(1)若直線與H只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k；(2)貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國(guó)數(shù)學(xué)象卡斯特利奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了DeCasteljau算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫(huà)法，可以畫(huà)出地物線．反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，消去后利用判別式求得的值.（2）求得過(guò)三點(diǎn)的切線方程，進(jìn)而求得的恒坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的知識(shí)證得結(jié)論成立.【詳解】（1）將代入，化簡(jiǎn)得（*），方程（*）的判別式，化簡(jiǎn)得，即．（2）設(shè)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，，，，解得，故切線方程為，，，即，同理可求得拋物線上過(guò)點(diǎn)B，C的切線方程分別為：，，由過(guò)的切線方程兩兩聯(lián)立，可以求得交點(diǎn)D，E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)分別為：，，，注意到結(jié)論中線段長(zhǎng)度的比例可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比例，得，命題得證．16．（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，一條漸近線的傾斜角為60°，且上的點(diǎn)到的距離的最小值為1．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，，動(dòng)直線：與的右支相交于不同兩點(diǎn)，，且，過(guò)點(diǎn)作，為垂足，證明：動(dòng)點(diǎn)在定圓上，并求該圓的方程．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，【分析】(1)根據(jù)漸近線斜率及到焦點(diǎn)距離最值列式求解即可.(2)根據(jù)角相等得出向量夾角相等，進(jìn)而得出m,k的關(guān)系得出定點(diǎn)，最后根據(jù)垂直關(guān)系得出圓的方程.【詳解】（1）設(shè),則由已知得,解得,所以的方程.（2）由(1)得,,設(shè)，則于是,同理,由，得即即,整理得，因?yàn)?，所?所以的方程可化為因此過(guò)定點(diǎn).又因?yàn)榇棺銥?所以動(dòng)點(diǎn)在以為直徑的圓上，該圓的方程為.17．（2023·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓過(guò)點(diǎn).(1)若橢圓E的離心率，求b的取值范圍；(2)已知橢圓E的離心率，M，N為橢圓E上不同兩點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線與圓相切，求線段的最大值.【答案】(1)(2)2【分析】（1）把點(diǎn)代入橢圓方程，可得，由，可求b的取值范圍；（2）由離心率和（1）中結(jié)論，求得橢圓方程，分類討論直線的位置，聯(lián)立方程組，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合不等式的性質(zhì)求的最大值.【詳解】（1）∵在橢圓，∴，有，所以，又∵，所以，∵，∴；（2）由（1）可知，又，所以，橢圓.因?yàn)橹本€與相切，故.若直線的斜率不存在，不妨設(shè)直線為：，代入橢圓方程可得此時(shí)線段.若直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為：.由直線與相切，故，可得：.聯(lián)立得，所以，線段.又因?yàn)?，所?當(dāng)且僅當(dāng)，故當(dāng)時(shí)，的最大值為2.綜上所述：當(dāng)時(shí)，線段的最大值2.18．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，直線恰為拋物的準(zhǔn)線.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)滿足：，設(shè)中點(diǎn)為.（i）求直線的斜率；（ii）設(shè)面積為，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）0；（ii）48【分析】（1）設(shè)直線與軸交于，由幾何性質(zhì)易得：，即可解決；（2）設(shè)，（i）中，由于中點(diǎn)在拋物線上，得，將，代入聯(lián)立得點(diǎn)縱坐標(biāo)為，即可解決；（ⅱ）由（i）得點(diǎn)，，又點(diǎn)在圓上，得，可得：即可解決.【詳解】（1）設(shè)直線與軸交于.由幾何性質(zhì)易得：與相似，所以，，即：，解得：.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)（i）由題意，中點(diǎn)在拋物線上，即，又，將代入，得：，同理：，有，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以直線的斜率為0.（ⅱ）因?yàn)椋渣c(diǎn)，此時(shí)，，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，有，即，代入上式可得：，由，所以時(shí)，取到最大價(jià).所以的最大值為48.19．（2023·江蘇·統(tǒng)考一模）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，與拋物線交于兩點(diǎn)，，其中A，C在第一象限，B，D在第四象限.(1)若直線過(guò)點(diǎn)，且，求直線的方程；(2)①證明：；②設(shè)，的面積分別為，，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若，求.【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)解析；②【分析】（1）設(shè)，，設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線，利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間距離公式，代入，可以求解的值，進(jìn)而可以求出直線的方程；（2）設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線，利用韋達(dá)定理，①代入中，即可證明；②代入中，可用分別表示，根據(jù)求出比值即可.【詳解】（1）設(shè)，，，，其中，，設(shè)，聯(lián)立，整理得，則，，，解得，則.（2）設(shè)，①聯(lián)立，整理得，則，，聯(lián)立，整理得，則，，則，即證.②，則，，其中，，解得，則，，，則.20．（2023·湖北·荊州中學(xué)校聯(lián)考二模）已知點(diǎn)為拋物線上的點(diǎn)，，為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)．(1)若，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，，在軸下方，點(diǎn)在，之間，且，求的面積和的面積之比．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）根據(jù)，可得，,利用韋達(dá)定理求解；（2）方法一：利用直線與拋物線的位置關(guān)系，利用韋達(dá)定理可得，，從而可求解；方法二：結(jié)合可得，利用韋達(dá)定理和向量夾角的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，，將代入拋物線方程得聯(lián)立,∵∴,,或,若，直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)，不合題意舍；若，直線的方程為，恒過(guò)定點(diǎn)．（2）方法1：設(shè)直線的方程為，，不妨設(shè)直線的傾斜角為，則∴，，,∵，∴,∵∴，，共線，∴．方法2：設(shè)直線的方程為，，,∵，，，，∴由于直線過(guò)點(diǎn)，，在軸下方，∴代入得，,∴∵∴，，共線，∴.21．（2023·湖北武漢·華中師大一附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知A，B為橢圓左右兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)D是橢圓上異于A，B的一點(diǎn)，點(diǎn)F是右焦點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為時(shí)，．(1)求橢圓的方程．(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線CD與橢圓交于另一點(diǎn)E，判斷直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上，如果是，求出該直線方程；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線上【分析】（1）由題意表示出，，可得，再由橢圓的定義求出，即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)，，的直線方程為，與橢圓聯(lián)立，由韋達(dá)定理得，，化積為和得，表示出直線AD和直線BE的方程的方程，計(jì)算可得，即可證明直線AD與直線BE的交點(diǎn)P是否在一定直線上【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，，，解得，∴，∴，，，∴橢圓的方程為．（2）由題設(shè)，直線DE斜率一定存在，設(shè)的直線方程為．聯(lián)立橢圓方程，消去得．設(shè)，，則，．∴，又，，∴直線AD的方程為，直線BE的方程為．聯(lián)立得，∴．又∵，∴．∴直線AD與直線BE的交點(diǎn)在定直線上．22．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考二模）已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)：以線段為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)和．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解，進(jìn)而聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)圓的對(duì)稱性可判斷若有定點(diǎn)則在軸上，進(jìn)而根據(jù)垂直關(guān)系得向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）∵雙曲線的左焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，而，∴．∴雙曲線的方程為．依題意直線的方程為．由消去y整理得：，依題意：，，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，則．∵，∴．∴，∴．即，解得或（舍去），且時(shí)，，∴雙曲線的方程為．（2）依題意直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為．由消去整理得：，∴，．設(shè)，，則，．直線的方程為，令得：，∴．同理可得．由對(duì)稱性可知，若以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在軸上，設(shè)該定點(diǎn)為，則，，故．解得或．故以線段為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)和．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的對(duì)稱性可判斷定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)求解就可，對(duì)計(jì)算能力要求較高.23．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，若△為等邊三角形，且點(diǎn)在橢圓E上.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為，不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)（異于橢圓E的頂點(diǎn)），直線與y軸的交點(diǎn)分別為M、N，若，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)(2)點(diǎn)或【分析】（1）由已知條件，橢圓的定義及的關(guān)系可知和，再設(shè)出橢圓的方程，最后將點(diǎn)代入橢圓的方程即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，，由直線的方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由的方程即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知條件可知，分直線的斜率存在和直線的斜率不存在兩種情況分別求解，得出直線的方程，即可判斷出直線恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）∵△為等邊三角形，且，∴，又∵，∴，設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入橢圓方程得，解得，所以橢圓E的方程為.（2）由已知得，設(shè)，,則直線的斜率為，直線的方程為，即點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，直線的方程為，即點(diǎn)坐標(biāo)為,∵,∴,∴，又∵，，∴，即，整理得，①若直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，其中，，，即，，，所以或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)，②若直線的斜率不存在時(shí)，由得，即，解得或，此時(shí)直線的方程為或，所以此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)或，綜上所述，直線恒過(guò)點(diǎn)或.24．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考二模）已知曲線C的方程：，傾斜角為的直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線C相交于A，B兩點(diǎn).(1)時(shí)，求三角形的面積；(2)在x軸上是否存在定點(diǎn)M，使直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B的情況下，總有?如果存在，求出定點(diǎn)M；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由題意可知三角形以線段AB為底時(shí)，高，傾斜角為90°的直線l方程為，求出A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可求出，得到三角形的面積；（2）設(shè)直線l的方程為：，，，聯(lián)立，可得，根據(jù)韋達(dá)定理求出斜率的范圍，由得軸平分，所以，即，根據(jù)韋達(dá)定理整理可得：，解得，當(dāng)斜率不存在時(shí)，依然滿足，可知定點(diǎn)存在，且.【詳解】（1）由可知曲線是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，過(guò)焦點(diǎn)，傾斜角為90°的直線l方程為，當(dāng)時(shí),所以.（2）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，整理得，因?yàn)橹本€l與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，，所以，解得或，由得軸平分，所以，，，則，，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，則，，，即，展開(kāi)可得，因?yàn)樾甭蔾的取值范圍為，所以，即，整理可得：，即，得，當(dāng)時(shí)，由曲線的對(duì)稱性可知成立，所以軸上存在定點(diǎn)，總有.25．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在軸上方），且，設(shè)點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn)，的面積為，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，斜率為的直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓交于兩，點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn).(1)求橢圓及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在常數(shù)，使為常數(shù)？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)，(2)存在，【分析】（1）設(shè)，由解得，利用可得，再求得的值，即可得橢圓C方程，由拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合，即可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為，，分別讓直線與橢圓、拋物線聯(lián)立，得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，從而得弦長(zhǎng)，即可求得的值.【詳解】（1）由題意可設(shè)，可得，所以，所以，，所以，所以，點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以橢圓C方程為，所以，即，所以拋物線E方程為.（2）設(shè).直線l的方程為，與橢圓C的方程聯(lián)立得，則恒成立，所以則.直線l的方程為，與拋物線E的方程聯(lián)立得...要使為常數(shù)，則，得.故存在，使為常數(shù).26．（2023·湖南常德·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的距離為，虛軸長(zhǎng)為2，過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F作直線MN（不與x軸重合）與雙曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線l：的垂線ME，E為垂足.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)t，使得直線EN過(guò)x軸上的定點(diǎn)P，若存在，求t的值及定點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)存在，，【分析】（1）根據(jù)題意得到，，再解方程即可得到答案.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線，，則，與橢圓聯(lián)立得到，，得到直線EN：，從而得到，即可得到答案.【詳解】（1）由題可知虛軸長(zhǎng)為，所以，右頂點(diǎn)到漸近線的距離，由①②解得：所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線，，則，聯(lián)立，消x得.則，.直線EN：，令得：，又，.∴.當(dāng)，即時(shí)，為定值所以存在實(shí)數(shù)，使得直線EN過(guò)定點(diǎn).27．（2023·廣東揭陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線有許多相似性質(zhì)．比如三種曲線都可以用如下方式定義（又稱圓錐曲線第二定義）：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線．當(dāng)為橢圓，當(dāng)為拋物線，當(dāng)為雙曲線．定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，常數(shù)e為圓錐曲線的離心率．依據(jù)上