勾股定理證明方法

勾股定理證明方法1.S梯形ABCD=(a+b)2=(a2+2ab+b2)，①又TS梯形ABCD二SAAED+SAEBC+SACED二ab+ab+c2=(2ab+c2)02.如圖已知，如圖四邊形ABCD、四邊形EFGH都是正方形，設(shè)AD=c,AE=a,DE=b,△AED.△BHA、ACGB、ADFC是四個(gè)全等的三角形.解???四邊形ABCD是正方形，AD=AB=BC=CD=c.?.?AE=a,AAED、ABHA、ACGB、ADFC是四個(gè)全等的三角形，.??AE=BH=CG=DF=a..??EF=b—a.又??四邊形EFGH是正方形，.??EF=FG=GH=HE=b—a.??正方形ABCD的面積S1=c2，正方形EFGH的面積S2二(b—a)2，^AED的面積S3=(1/2)*a*b，S2+4*S3=S1，.(b—a)X2+4*(1/2)*a*b=c"2，即a'+b'W.化簡(jiǎn)得:c2二a?+b24?以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角三角形的面積等于二分之一ab.把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上.?/RtAHAE9RtAEBF,.??ZAHE二ZBEF.?/ZAEH+ZAHE二90°,

.??ZAEH+ZBEF二90°..??ZHEF二180°—90°二90°..四邊形EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.它的面積等于c?.JRtAGDH9RtAHAE,.ZHGD二ZEHA.JZHGD+ZGHD二90°,.ZEHA+ZGHD二90°.又JZGHE二90°,.ZDHA二90°+90°二180°.abHba.ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的正方形，它的面積等于abHba(a+b)2ab+c2.a2+b2=c2(a+b)2ab+c2.a2+b2=c2..5?以a、b為直角邊（b>a）,以c為斜邊作四個(gè)全等的直角三角形，則每個(gè)直角1ab

三角形的面積等于2 .把這四個(gè)直角三角形拼成如圖所示形狀.JRtADAH9RtAABE,.ZHDA二ZEAB.JZHAD+ZHAD二90°，.ZEAB+ZHAD二90°，.??ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形，它的面積等于c2.JEF二FG=GH=HE二b—a,ZHEF二90°.???EFGH是一個(gè)邊長(zhǎng)為b—a的正方形，它的面積等于9-W.4x丄ab+(b-c2?a2+b2=c2.6?做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使D、E、F在一條直線上.過(guò)C作AC的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)P.JD、E、F在一條直線上,且RtAGEF9RtAEBD,.ZEGF二ZBED，JZEGF+ZGEF二90°，.ZBED+ZGEF二90°，.ZBEG二180°—90°二90°.

又???AB二BE二EG二GA二c,???ABEG是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形..??ZABC+ZCBE二90°.?/RtAABC9RtAEBD,.??ZABC二ZEBD..??ZEBD+ZCBE二90°.即 ZCBD二90°.又???ZBDE二90°,ZBCP二90°,BC二BD二a..BDPC是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.同理,HPFG是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.設(shè)多邊形GHCBE的面積為S,則a2+b2=S+2x丄ab,21ab做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(b>a)，斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點(diǎn)在一條直線上.過(guò)點(diǎn)Q作QP〃BC，交AC于點(diǎn)P.baAcPbMcNaBA二c，過(guò)點(diǎn)B作BM丄PQ，垂足為M；再過(guò)點(diǎn)F作FN丄PQ，垂足為baAcPbMcNaBA二c，?/ZBCA二90°，QP〃BC,.ZMPC二90°，?/BM丄PQ,.ZBMP二90°，.??BCPM是一個(gè)矩形，即ZMBC二90°.?ZQBM+ZMBA二ZQBA二90°，ZABC+ZMBA二ZMBC二90°，.ZQBM二ZABC，又???ZBMP二90°,ZBCA二90°,BQ.RtABMQ9RtABCA.同理可證RtAQNF9RtAAEF.做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、CD.過(guò)C作CL丄DE,交AB于點(diǎn)M,交DE于點(diǎn)L.?AF二AC，AB二AD，ZFAB二ZGAD，.AFAB9AGAD，

a2???AFAB的面積等于2 ,AGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，a2???AFAB的面積等于2 ,AGAD的面積等于矩形ADLM的面積的一半，/.矩形ADLM的面積二a2同理可證，矩形MLEB的面積=b2EDKF二矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積//.//.Lc如圖，在RtAABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長(zhǎng)度分別為a、b,斜邊AB的長(zhǎng)為c,過(guò)點(diǎn)C作CD丄AB，垂足是D.在AADC和AACB中，?/ZADC二ZACB二90°,ZCAD二ZBAC，.??AADCsAACB.AD:AC二AC:AB，即AC2=AD?AB同理可證，ACDBsAACB，從而有BC2二BD?AB.AC2+BC2二（AD+DB）?AB二AB2即a2+b2二c2做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(b>a),斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.過(guò)A作AF丄AC，AF交GT于F，AF交DT于R.過(guò)B作BP丄AF，垂足為P.AF于H.?/ZBAD二90°，ZPAC二90°，.??ZDAH二ZBAC.又???ZDHA二90°，ZBCA二90°，AD二AB二c，.??RtADHA9RtABCA..DH二BC二a，AH二AC二b.由作法可知，PBCA是一個(gè)矩形，所以RtAAPB9RtABCA.即PB二CA二b，AP=a,從而PH二b—a.?RtADGT9RtABCA,RtADHA9RtABCA..RtADGT9RtADHA.

.??DH二DG二a,ZGDT二ZHDA.又???ZDGT二90°,ZDHF二90°,ZGDH二ZGDT+ZTDH二ZHDA+ZTDH二90°,???DGFH是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形..??GF二FH二a.TF丄AF,TF二GT—GF二b—a.???TFPB是一個(gè)直角梯形，上底TF二b—a,下底BP二b,高FP=a+(b—a).用數(shù)字表示面積的編號(hào)(如圖),則以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積為c2=S+S+S+S+S12345S+