概率與概率分布

概率與概率分布第1頁/共38頁§5.4.4正態(tài)分布第2頁/共38頁

正態(tài)分布在北京市場(chǎng)上的精制鹽很多是一公斤袋裝，上面標(biāo)有“凈含量1kg”的字樣。但當(dāng)你用稍微精確一些的天平稱那些袋裝鹽的重量時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)有些可能會(huì)重些，有些可能會(huì)輕些；但都是在1kg左右。多數(shù)離1kg不遠(yuǎn)，離1kg越近就越可能出現(xiàn)，離1kg越遠(yuǎn)就越不可能。一般認(rèn)為這種重量分布近似地服從最常用的正態(tài)分布(normaldistribution，又叫高斯分布，Gaussiandistribution)。第3頁/共38頁正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布的變量很常見，象測(cè)量誤差、商品的重量或尺寸、某年齡人群的身高和體重等等。在一定條件下，許多不是正態(tài)分布的樣本均值在樣本量很大時(shí)，也可用正態(tài)分布來近似。第4頁/共38頁正態(tài)分布

(normaldistribution)1. 描述連續(xù)型隨機(jī)變量的最重要的分布2. 可用于近似離散型隨機(jī)變量的分布例如:二項(xiàng)分布3. 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)xf(x)第5頁/共38頁正態(tài)分布正態(tài)分布的密度曲線是一個(gè)對(duì)稱的鐘型曲線（最高點(diǎn)在均值處）。正態(tài)分布也是一族分布，各種正態(tài)分布根據(jù)它們的均值和標(biāo)準(zhǔn)差不同而有區(qū)別。一個(gè)正態(tài)分布用N(m,s)表示；其中m為均值，而s為標(biāo)準(zhǔn)差。也常用N(m,s2)來表示，這里s2為方差（標(biāo)準(zhǔn)差的平方）。第6頁/共38頁正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布N(0,1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardnormaldistribution)。任何具有正態(tài)分布N(m,s)的隨機(jī)變量X都可以用簡(jiǎn)單的變換（減去其均值m，再除以標(biāo)準(zhǔn)差s）：Z=(X-m)/s，而成為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量。這種變換和標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的意義類似。第7頁/共38頁兩條正態(tài)分布的密度曲線。左邊是N(-2,0.5)分布，右邊是N(0,1)分布

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和對(duì)正態(tài)曲線的影響xf(x)CAB第9頁/共38頁概率密度函數(shù)f(x)=隨機(jī)變量X的頻數(shù)

=總體方差

=3.14159;e=2.71828x=隨機(jī)變量的取值(-<x<)

=總體均值第10頁/共38頁正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)在x

的上方，即f(x)>0正態(tài)曲線的最高點(diǎn)在均值，它也是分布的中位數(shù)和眾數(shù)正態(tài)分布是一個(gè)分布族，每一特定正態(tài)分布通過均值的標(biāo)準(zhǔn)差來區(qū)分。決定曲線的高度，決定曲線的平緩程度，即寬度第11頁/共38頁正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)曲線f(x)相對(duì)于均值對(duì)稱，尾端向兩個(gè)方向無限延伸，且理論上永遠(yuǎn)不會(huì)與橫軸相交正態(tài)曲線下的總面積等于1隨機(jī)變量的概率由曲線下的面積給出第12頁/共38頁正態(tài)分布當(dāng)然，和所有連續(xù)變量一樣，正態(tài)變量落在某個(gè)區(qū)間的概率就等于在這個(gè)區(qū)間上，密度曲線下面的面積。比如，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量落在區(qū)間(0.51,1.57)中的概率，就是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線下面在0.51和1.57之間的面積。很容易得到這個(gè)面積等于0.24682；也就是說，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量在區(qū)間(0.51,1.57)中的概率等于0.24682。如果密度函數(shù)為f(x)，那么這個(gè)面積為積分第13頁/共38頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量在區(qū)間(0.51,1.57)中的概率第14頁/共38頁

正態(tài)分布我們有必要引進(jìn)總體的下側(cè)分位數(shù)、上側(cè)分位數(shù)以及相應(yīng)的尾概率的概念。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，a下側(cè)分位數(shù)（又稱為a分位數(shù)，a-quantile）定義為數(shù)xa，它滿足關(guān)系這里的a又稱為下（左）側(cè)尾概率（lower/lefttailprobability）第15頁/共38頁正態(tài)分布而a上側(cè)分位數(shù)（又稱a上分位數(shù)，a-upperquantile）定義為數(shù)xa，它滿足關(guān)系這里的a也稱為上（右）側(cè)尾概率（upper/righttailprobability）。第16頁/共38頁正態(tài)分布對(duì)于非連續(xù)型的分布，分位數(shù)的定義稍微復(fù)雜一些；顯然，對(duì)于連續(xù)分布，a上側(cè)分位數(shù)等于(1－a)下側(cè)分位數(shù)，而(1－a)下側(cè)分位數(shù)等于a上側(cè)分位數(shù)。第17頁/共38頁正態(tài)分布通常用za表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的a上側(cè)分位數(shù)，即對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量Z，有P(Z>za)=a。圖4.6表示了0.05上側(cè)分位數(shù)za=z0.05及相應(yīng)的尾概率（a=0.05）。第18頁/共38頁N(0,1)分布右側(cè)尾概率P(z>za)=a的示意圖第19頁/共38頁正態(tài)分布的概率概率是曲線下的面積!abxf(x)第20頁/共38頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(standardizethenormaldistribution)一般的正態(tài)分布取決于均值和標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算概率時(shí)，每一個(gè)正態(tài)分布都需要有自己的正態(tài)概率分布表，這種表格是無窮多的若能將一般的正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，計(jì)算概率時(shí)只需要查一張表第21頁/共38頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)任何一個(gè)一般的正態(tài)分布，可通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)第22頁/共38頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布xms一般正態(tài)分布=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第23頁/共38頁標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用將一個(gè)一般的轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布計(jì)算概率時(shí)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率分布表對(duì)于負(fù)的x

，可由(-x)x得到對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即X~N(0,1)，有P(aXb)baP(|X|a)2a1對(duì)于一般正態(tài)分布，即X~N(,)，有第24頁/共38頁標(biāo)準(zhǔn)化的例子

P(5X

6.2)

x=5=10一般正態(tài)分布6.2=1Z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布00.120.0478第25頁/共38頁標(biāo)準(zhǔn)化的例子

P(2.9

X

7.1)

一般正態(tài)分布0.1664.0832.0832標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第26頁/共38頁正態(tài)分布

(例題分析)【例5.21】設(shè)X~N(0，1)，求以下概率：

(1)P(X<1.5)；(2)P(X>2)；(3)P(-1<X

3)；(4)P(|X|2)

解：(1)P(X<1.5)=(1.5)=0.9332(2)P(X>2)=1-P(X

2)=1-0.9972=0.0228(3)P(-1<X

3)=P(X

3)-P(X<-1)=(3)-(-1)=(3)–[1-(1)]=0.9987-(1-0.8413)=0.84(4)P(|X|2)=P(-2

X|2)=(2)-(-2)=(2)-[1-(2)]=2(2)-1=0.9545第27頁/共38頁正態(tài)分布

(例題分析)【例5.22】設(shè)X~N(5，32)，求以下概率

(1)P(X

10)；(2)P(2<X

<10)

解：(1)(2)第28頁/共38頁用Excel計(jì)算正態(tài)分布的概率值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：函數(shù)NormsDist(z)2.正態(tài)分布：函數(shù)NormDist(x,μ,σ,0或1)第29頁/共38頁正態(tài)分布

(例題分析)【例5.23】已知X~N(10，0.22)，求以下概率:(1)P(X<9.4)；(2)P(9.5<X

<10.5)是否大于95%?

解：(1)

故該批零件的質(zhì)量要求可以得到保證第30頁/共38頁3σ準(zhǔn)則1.當(dāng)X服從正態(tài)分布時(shí):P{|x-3μ|≤3σ}=0.99732.因?yàn)閨x-3μ|>3σ的概率（=0.0027）很少,因此可以認(rèn)為X的值幾乎落在區(qū)間（X±3σ）內(nèi)。（因?yàn)樾「怕适录遣豢赡馨l(fā)生的）3.3σ準(zhǔn)則在質(zhì)量控制中有著廣泛的應(yīng)用:如剔除異常值,控制圖第31頁/共38頁§5.4.5二項(xiàng)分布的正態(tài)近似第32頁/共38頁二項(xiàng)分布的正態(tài)近似根據(jù)德莫佛—拉普拉斯定理，當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量X近似服從正態(tài)分布：

N{np,np(1-p)}對(duì)于一個(gè)二項(xiàng)隨機(jī)變量X，當(dāng)n很大時(shí)，求P(x1Xx2)時(shí)可用正態(tài)分布近似為第33頁/共38頁為什么概率是近似的.0.1.2.30246810xP(x)正態(tài)曲線增加的概率正態(tài)曲線減少的概率二項(xiàng)概率：矩形的面積正態(tài)概率：曲線下從3.5到4.5的面積增加的部分與減少的部分不一定相等第34頁/共38頁二項(xiàng)分布的正態(tài)近似

（實(shí)例）【例5.24】100臺(tái)機(jī)床彼此獨(dú)立地工作，每臺(tái)機(jī)床的實(shí)際工作時(shí)間占全部工作時(shí)間的80%。求

(1)任一時(shí)刻有70～80臺(tái)機(jī)床在工作的概率

(2)任一時(shí)刻有80臺(tái)以上機(jī)床在工作