高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和新人教A版

①得：①得：1+qn=82,?：qn=81,③將③代入①得q=1+2a1.④等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和要點(diǎn)自主梳理1.等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的，通常用字母表示(q^O).從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)(不為零)公比q從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù).2?等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)為a,公比為q,則它的通項(xiàng)a=..a?qn-in1n1等比中項(xiàng)3.等比中項(xiàng)：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng).@=a?b(abMO)4?等比數(shù)列的常用性質(zhì)則.a?a=a?aklmna&},{a?b},r仍是nnn則.a?a=a?aklmna&},{a?b},r仍是nnnbnm⑵若{a}為等比數(shù)列，且k+l=m+n,(k,l,m,nGN*),n⑶若｛a｝,｛b｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，貝％入a｝(入工0),nnn等比數(shù)列.fa>0,⑷單調(diào)性：寫fafa>0,⑷單調(diào)性：寫fa<0或〔0〈q<1o｛a｝是數(shù)列；遞增nfa>0,<1]0〈q〈lfa<0或fq>1o｛a｝是數(shù)列；遞減nq=lo｛a｝是—常__數(shù)列；q〈0o｛a｝是__擺動(dòng)數(shù)列.nn5?等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列｛a｝的公比為q(qM0)，其前n項(xiàng)和為S,nn當(dāng)q=1時(shí)，S=na；l—ql—qn1-qa—aq—a—aq—1—1—q?當(dāng)qMl時(shí)，S=-n6?等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為一1的等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,則S,S—S,S—S仍成等比數(shù)列，其公2nn3n2n比為.qn7?等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系是：(1)若一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則此數(shù)列是非零常數(shù)列；⑵若｛a｝是等比數(shù)列，且a>0，則｛lga｝構(gòu)成等差數(shù)列.nnn8.思想與方法：(1)等比數(shù)列的判定方法：O定義：于=q(q是不為零的常數(shù)，nWN*)o｛a｝是等比數(shù)列.TOC\o"1-5"\h\zann等比中項(xiàng)法：a2=a?a(a?a?a工0,nWN*)o｛a｝是等比數(shù)列.n+1nn+2nn+1n+2n通項(xiàng)公式：a=cqn-1(c、q均是不為零的常數(shù)，nWN*)o｛a｝是等比數(shù)列.nn等比數(shù)列的前n項(xiàng)和S是用錯(cuò)位相減法求得的，注意這種方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用.n在利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，如果不確定q與1的關(guān)系，一般要用分類討論的思想,分公比q=l和qMl兩種情況;計(jì)算等比數(shù)列前n項(xiàng)和過程中要注意整體代入的思想方法.常把qn把qn,當(dāng)成整體求解.⑷等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a=aqn-i及前n項(xiàng)和公式S」二“(qM1)共涉及TOC\o"1-5"\h\znin1—q1—q五個(gè)量a,a,q,n,S，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用.nn(5)揭示等比數(shù)列的特征及基本量之間的關(guān)系.利用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法，討論單調(diào)性時(shí)，要特別注意首項(xiàng)和公比的大小.基礎(chǔ)自測1.“b=&C”是“a、b、c成等比數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.A.3.A.若數(shù)列｛a｝的前n2.A.3.A.若數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S=3n—a，數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值是nnn3B.1C.0D.—1已知等比數(shù)列｛a｝的前三項(xiàng)依次為a—2，a+2,‘、n/、/、3a+8,則a等于8?B.8?InC.8?n—1D.8?n—1TOC\o"1-5"\h\z在等比數(shù)列｛a｝中，a>0,aa+2aa+aa=25，則a+a的值為.5nn24354635在等比數(shù)列｛a｝中，a+a=30,a+a=60,則a+a=240.n1234786?在等比數(shù)列｛a｝中，前n項(xiàng)和為S,若S=7,S=63，則公比q的值是()nn36A.2B.—2C.3D.—3題型一等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算例1⑴在等比數(shù)列｛a｝中，已知a—a=24,aa=64,求｛a｝的前8項(xiàng)和S；n6435n8(2)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為q(q>0),它的前n項(xiàng)和為40,前2n項(xiàng)和為3280,且前n項(xiàng)n中數(shù)值最大的項(xiàng)為27,求數(shù)列的第2n項(xiàng).解(1)設(shè)數(shù)列｛a｝的公比為q,由通項(xiàng)公式a=aqn-1及已知條件得：TOC\o"1-5"\h\znn1，a—a=aq3q2—1=24,①<641a?a=aq32=64.②351由②得a1q3=±8.將a1q3=—8代入①式，得q2=—2,無解，故舍去.將％q3=8代入①式，得q2=4,.：q=±2.a1—qs當(dāng)q=2時(shí)，a=1,?：S=T=255；181—qa1—q8當(dāng)q=—2時(shí)，a1=—1，???S8=1]—q=85?矛盾.(2)若q=1,則na=40,2na=3280,矛盾.a1—qn丁廠=40a1—q2n「^=3280

又?.?q〉O,???q〉l,???a〉O,｛a｝為遞增數(shù)列....a=aqn-i=27,⑤1nn1由③、④、⑤得q=3,%=1,n=4..*.a=a=1X37=2187.2n8探究提高(1)對于等比數(shù)列的有關(guān)計(jì)算問題,可類比等差數(shù)列問題進(jìn)行,在解方程組的過程中要注意“相除”消元的方法,同時(shí)要注意整體代入(換元)思想方法的應(yīng)用.(2)在涉及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)要注意對公比q是否等于1進(jìn)行判斷和討論.變式訓(xùn)練1(1)設(shè)等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,已知S=1,S=17，求｛a｝的通項(xiàng)公式.nn48na=n15a=n15?2n-i或an（－2）n－1(2)已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝中，aa+2aa+aa=100,aa—2aa+aa=36，求數(shù)列｛a｝n152637243546n的通項(xiàng)a和前n項(xiàng)和S.nn本例可將所有項(xiàng)都用a和q表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a和q的方程組求解；也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)來轉(zhuǎn)化,兩種方法目的都是消元轉(zhuǎn)化．解方法一由已知得：TOC\o"1-5"\h\z，a2q4+2a2q6+a2q8=100,①V111a2q4—2aq6+a2q8=36.②111①一②，得4a2q6=64,.?a2q6=16.③161代入①，得—+2X16+16q2=100.解得q2=4或q2=.q24又?jǐn)?shù)列｛又?jǐn)?shù)列｛a｝為正項(xiàng)數(shù)列,n.??q=2或|.當(dāng)q=2時(shí)，可得當(dāng)q=2時(shí)，可得a1=2,???a=2x2n—1=2n—2,S=4=2n—1-2n2n1—22當(dāng)q=2時(shí)，可得a1=…-…?⑴..32卩一…一…?32.?.a=32X^2jn—1=26—n?S=1=64一26—n.""1-2方法二?aa=aa=a方法二?aa=aa=a2,15243aa+2aa+aa=100,152637aa一2aa+aa=36,243546'（a＋a）2=100,35（a—a）2=36.35a+a=10,35a—a=±6.35aa2=aa,aa=aa=a2,63537465a2+2aa+&2=100,3355a2—2aa＋a2=36,3355可得'a=8,[a3=2,5..a2當(dāng)a=8,a=2時(shí)，q2=f=g=35a83'a=2,V3a=8.514.?..1亠?q>0，…q^-，由aaq28,31得a=32,.a=32X^2jn—1=26—n1122n22n32—26-以2S=■=64—26-n.n1r8當(dāng)a=2,a=8時(shí)，q2==4,且q〉0,.°.q=2.352=2=1=4=2.1.a=~X2n-1=2n-2.n2S=n2(2n-1)1.a=~X2n-1=2n-2.n2S=n2(2n-1)2-11=2n-i-2?(3)在等比數(shù)列｛a｝中,n解由題意得a+a=66,a?a=128,S=126,求n和q.1n2n-1n「a?a=a?a=128,2n-11na+a=66,1n=64,a=2n'a=2,或|a=64.，a=64,a=2,則$=na-aq—1—1-q64-2q1-q=126,解得q=2此時(shí)，a=2=64?n.n=6.'a=2,2_64q若Q1則S==126,???q=2.???a=64=2?2n-i..?.n=6.a=64,n1-qnn綜上n=6,q=2或等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用題型例2在等比數(shù)列｛等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用題型例2在等比數(shù)列｛a｝中，(1)已知n,(2)若已知aaa=8,求aaaaa的值.3452345a4a7=-512,a3+a8=124,且公比為整數(shù)，求九；=a7=a7a=-512,8a?a=-51238a＋a=12438a=-43a=1288a=-4a=-43a=1288a=-43a=1288a?a=f=-1,1q2'a=1283a=-48解之得時(shí),a=1283a=-48aq5=^=-32,a3?q=-2.?a=aq9=-1X(-2)9=512.101a11q5=F=-32,q=-23又Tq為整數(shù)，??4=—1舍去.時(shí),綜上所述：％0=512.(2)Taaa=8，又aa=a2,.a3=8,a=2.4535444?aaaaa=a5=25=32.234564探究提高在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí),要注意挖掘隱含條件,利用性質(zhì),特別是性質(zhì)“若

”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度.1,aaaa=8,求aaaa.1314151641424344”,可以減少運(yùn)算量,提高解題速度.1,aaaa=8,求aaaa.1314151641424344①②m+n=p+q，貝a?a=a?amnpq變式訓(xùn)練2(1)在等比數(shù)列｛a｝中，若aaaa=n1234aaaa=aaqaq2aq3=a4q6=1.123411111aaaa=aq12?aq13?aqn?aq15=a4?q54=8.131415161111a4?q54②三①：丁—=q48=8q16=2,a4?q6又aaaa=aq40?aqn?aq42?41424344111=a4?q166=a4?q6?q160=(a4?q6)?(q16)1o=1?2】o=1024.(2)已知等比數(shù)列｛a｝中，有aa=4a，數(shù)列｛b｝是等差數(shù)列，且b3117naq43io=1?2i0=7=a7,求屮丸的值;*.*aa=a2=4a，31177*.*a±0,.°.a=4,77???｛b｝為等差數(shù)列，n(3)在等比數(shù)列｛a｝中，a+a+a+a+a=8,且丄+丄+丄+丄+丄=2345aaaaa12345a＋aa＋aaT5十+一3aaaaa215243.*.b=4,7.b＋b=2b=8.597n12小亠口11111解由已知得-+-+-+-+-cLcLcLcLcL12345a+a+a+a+a8123452,a2a233.?.a|=4,.：a3=±2.若a3=—2,設(shè)數(shù)列的公比為q,—2—211則+—2—2q—2q2=8，即一+_+1+q+q2q2qq2q=(q+i)+G+l)+i=—4-此式顯然不成立，經(jīng)驗(yàn)證，a=2符合題意，故a=2.33求a.3題型三等比數(shù)列的定義及判定例3設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,已知a=1,S=4a+2.1+1設(shè)b=a+—2a，證明：數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列；+1求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式.n解題導(dǎo)引(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列的兩個(gè)基本方法：&0+t=q(q為與n值無關(guān)的常數(shù))(nWN*).an②a2=aa(aMO,neN*).n+1nn+2n(2)證明數(shù)列不是等比數(shù)列,可以通過具體的三個(gè)連續(xù)項(xiàng)不成等比數(shù)列來證明,也可用反證法.(1)證明由已知有a+a=4a+2，解得a=3a+2=5,12121故ba2a^3.121乂a=S—S=4a+2—(4a+2)=4a—4a,n＋2n＋2n＋1n＋1nn＋1n于是a—2a=2(a—2a),即b=2b.n+2n+1n+1nn+1n因此數(shù)列｛b｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.n⑵解由⑴知等比數(shù)列｛b｝中b=3,公比q=2,n1aa3所以軋+1—2an=3X2n—1，于是君—扇=4-13因此數(shù)列國是首項(xiàng)為°，公差為4的等差數(shù)列,nnnna1、3312n=2+(n—i)x4=4n_4,所以a=(3n—1)?2n-2.n變式訓(xùn)練3(1)已知數(shù)列｛a｝的前n(1)已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,數(shù)列｛b｝中，b=a,b=a—a(n±2)，且a+S=n.nnn11nnn—1nn設(shè)c=a—1，求證：｛c｝是等比數(shù)列；②求數(shù)列｛b｝的通項(xiàng)公式.nnn“(1)證明°.°a+S=n,①a+Snnn＋1一①得a—a+a=1，n＋1nn＋1?2a=a＋1，?2(a—1)=a—1，n＋1nn＋1na???丁—1-=2，?｛a—1｝是等比數(shù)列.a—12nnT首項(xiàng)c=a—1，乂a+a=1，?a=￡111112又c=a—1,???｛c｝是以一1為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列.222)-1n?=n+1.n＋1???c1=—2,公比⑵解由(1)可知cn；，an=Cn+1=1_(2)n-n，一〔一〔IK1已矢口a+2a+3a+???+na=(n—1)S+2n(nWN*)?123nn?:當(dāng)n22時(shí)，b=a—a=1—(f]n—nnn—1\2丿n、2)=(2】又b1=a1=|代入上式也符合，???bn=(2).n探究提高注意(2)問中要注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否符合n±2時(shí)的通項(xiàng)公式，能合并的必須合并.⑵已知數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)a=5,前n項(xiàng)和為S,且S=2S+n+5,nWN*.TOC\o"1-5"\h\zn1nn＋1n證明數(shù)列｛a+1｝是等比數(shù)列；n求｛a｝的通項(xiàng)公式以及S.nn①證明由已知S=2S+n+5,nGN*，可得n三2時(shí)，S=2S+n+4,n＋1nnn—1兩式相減得S—S=2(S—S)+1,＋1—1即a=2a+1,從而a+1=2(a+1),+1+1當(dāng)n=1時(shí)，S=2S+1+5,所以a+a=2a+6,1211又a=5,所以a=11，從而a+1=2(a+1),221故總有a+1=2(a+1),nGN*,n+1na+1又a=5,a+1M0,從而Ft=2,11a+1n即數(shù)列｛a+1｝是首項(xiàng)為6,公比為2的等比數(shù)列.n②解由(1)得a+1=6?2n-i,所以a=6?2n-i—1,nn6*(1—2n)于是S=6(Q)—n=6?2n—n—6.n1—2⑶設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,nn求a,a的值；23求證：數(shù)列｛S+2｝是等比數(shù)列.1111解*/a+2a+3a+???+na=(n—1)S+2n(nWN*)，?：當(dāng)n=l時(shí)，a=2X1=2；123nn1當(dāng)n=2時(shí)，a+2a=(a+a)丄4,?：a=4；12122當(dāng)n=3時(shí)，a+2a+3a=2(a+a+a)+6,?：a=8.1231233證明Ta+2a+3a丄???+na=(n—1)S+2n(nGN*)，①123nn?:當(dāng)n22時(shí)，a+2a+3a+…丄(n—1)a=(n—2)S+2(n—1)?②123n—1n—1①一②得na=(n—1)S—(n—2)S+2=n(S—S)—S+2S+2nnn—1nn—1nn—1=na—S+2S+2.nnn—1?:—S+2S+2=0,即S=2S+2,AS+2=2(S+2).nn—1nn—1nn—1S+2?.?S+2=4工0,?：S+2工0,?“"=2,1n—1S+2n—1故｛S+2｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.n點(diǎn)評：.由a=qa,qMO,并不能立即斷言｛a｝為等比數(shù)列，還要驗(yàn)證a工0.+1nn1(4)已知函數(shù)f(x)=2x+1x+2(xM2,xGR)，數(shù)列｛a｝滿足a=t(t工一2,t￡R),a=f(a),1n+1(nGN).①若數(shù)列｛a｝是常數(shù)列，求t的值;na+1②當(dāng)a=2時(shí)，記b=a+-(nGN*)，證明：數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式a.1na——1nnn解：①T數(shù)列｛a｝是常數(shù)列，?:a++1=an2t+l=t,即t=±+2，解得t=—1,或t=1.???所求實(shí)數(shù)t的值是1或一1.a+1②Ta=2,b=~，.:b=3,b1na—11n+1n經(jīng)岀+1T=2n+^=3沖，即b=3b(nGN*).a—12a+1a—1n+1n'/n+1n'——1na+2n題型四等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例4已知等差數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)a=1,公差d>0,且第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)分別是等比n1數(shù)列｛b｝的第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng).n⑴求數(shù)列｛a｝與｛b｝的通項(xiàng)公式；nn(2)設(shè)數(shù)列｛c｝對nGN*均有亍+廿亡=a成立，求c+c+c+c.一小小小一…1232013bn+1n解(1)由已知有a=1+d,a=1+4d,a=l+13d,?.(l+4d)2=(l+d)(l+13d).解得…"……2514d=2(Td>0)=l+(n—l)?2=2n—1.n又b=a=3,b=a=9,2235???數(shù)列｛b｝的公比為3,n?b=3?3n—2=3nT.nzx,ccc(2)由寸+^+???+p=abbbi12ncc」得當(dāng)n22時(shí)，亍+訂+???+□

n+1bbb12]cz=a.Inn—1兩式相減得：n±2時(shí),cn=abn+1nn—a=2.?c=2b=2?3n—1(n三2).c又當(dāng)n=1時(shí)，b1=a2,n=1??c—3.?.c—1n2?3n—1n±2776—2X32013.°.c+c+cc=3+=3+(—3+32013)=32013.12320131—3探究提高在解決等差、等比數(shù)列的綜合題時(shí)，重點(diǎn)在于讀懂題意，靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式?本題第(1)問就是用基本量公差、公比求解；第(2)問在作差a—a時(shí)要注意n±2.n+1naaa變式訓(xùn)練4已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,一1+—=一，且a+?a<0(n^N*).n121十a(chǎn)a十a(chǎn)n+1nn+1n+1n(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；n⑵若b=a2+—a2,試問數(shù)列｛b｝中是否存在三項(xiàng)能按某種順序構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求+1出滿足條件的等差數(shù)列；若不存在，說明理由.解(1)由a=，a+?a<0知，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a<0；當(dāng)口為奇數(shù)時(shí),12n+1nn,3a—aa,3a—aa>0.由'nn1+an+11—an+1a+an+1n得3(比+1—a2)=1—a2.+1故&=n(nGN*).故&=n(nGN*).(2)由⑴知b=ann+1—a2=1—n?+1-1+143即4比一3a2=1，所以4(比一1)=3(a2—1)，即數(shù)列｛a2—1｝是以a2—1=—:為首項(xiàng),+1nn+1nn14公比的等比數(shù)列.所以an—1=—3Qjn—1=—(^4jn，a2=1—[4),則對于任意的nGN*，b>b.nn+1假設(shè)數(shù)列｛b｝中存在三項(xiàng)b,b，b(r〈s〈t)成等差數(shù)列，則b>b>b，nrstrst即只能有2bs=br+bt成立，所以2?4〔4)=4〔4)+4〔4)，2?G)=e)+[4)，所以2?3s?4t-s=3r?4t-r+3t,因?yàn)閞〈s〈t,所以t—s〉0,t—r>0,所以2?3s?4t-s是偶數(shù)，3r?4t-r+3t是奇數(shù)，而偶數(shù)與奇數(shù)不可能相等，因此數(shù)列｛b｝中n任意三項(xiàng)不可能構(gòu)成等差數(shù)列.失誤與防范1.在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，必須注意對q=1與qH1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情2.在求解與等比數(shù)列有關(guān)的問題時(shí)，除了要靈活地運(yùn)用定義和公式外，還要注意性質(zhì)的應(yīng)用，以減少運(yùn)算量而提高解題速度.形而導(dǎo)致解題失誤.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（1）一、選擇題1.在等比數(shù)列｛a｝中，a=2,1.在等比數(shù)列｛a｝中，a=2,前n項(xiàng)和為S,若數(shù)列｛a+1｝也是等比數(shù)列，則S等于（n1nnnC.2nA.2n＋1－2B.3nD.3n－12.在等比數(shù)列｛a｝中，a3=7,前3項(xiàng)之和蔦=21,1十1b.―。c.1或一。則公比q的值為()A.1D.－13?若等比數(shù)列｛a｝滿足aa=16，則公比為nnn-1A.2B.4C.8D.164.記等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,若SA.2B.4C.8D.164.記等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,若S=2,nn3A.—3B.5C.—31因?yàn)榈缺葦?shù)列｛a｝中有S=2,S=18,n36a〔（1—q6）SS=18，貝抵10等于（5D.33a(1—qio)1－qS1—q18S即S"=a(1—q3)=1+q3=T=9，故q=2，從而宅―a(1—qQ3—15—11－q1—q=1-q5=1-25=33.5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，a=3,前三項(xiàng)的和S=21,則a+a+a等于(n13345A.33B.72C.84D.189C[由題可設(shè)等比數(shù)列的公比為q,3(1—q3)則~'=21n1+q+q2=7nq?+q—6=0n(q+3)(q—2)=0,1—q根據(jù)題意可知q〉0,故q=2.所以a3+a4+a5=q2S3=4X21=84.]二、填空題在等比數(shù)列｛a｝中，a=1,n1在數(shù)列｛a｝中，已知a=1,n1公比q=2,若a=64，則n的值為7n'a2(ann—1+a-Ia+a)(n±2,n^N*)，這個(gè)數(shù)列的通n－2項(xiàng)公式是n=1〔項(xiàng)公式是n=12X3n-2S+成等差數(shù)列，則q的值為n-2n-1n&設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比q,前nS+成等差數(shù)列，則q的值為n-2n-1nTOC\o"1-5"\h\znn1－2設(shè)｛a｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a=1,a=16，則數(shù)列｛a｝前7項(xiàng)的和為n15n解析???公比q4=^=16，且q〉0,???q=2,???S=1—：=127.a71—21在等比數(shù)列｛a｝中，公比q=2,前99項(xiàng)的和S=30,則a-a-a+???+&=n9936999解析?數(shù)列a,a,a,?數(shù)列a,a,a,…，a也成等比數(shù)列且公比為8,69994a(1—833)4a(299—1)4120?.a+a+a+…—a=1=1=~X30=369991—8777三、解答題已知等差數(shù)列｛a｝滿足a=2,a=8.n25991求｛a｝的通項(xiàng)公式；n各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛b｝中，b=1,b+b=a，求｛b｝的前n項(xiàng)和T.TOC\o"1-5"\h\zn1234nn(1)a=2n—2(2)T=2n—1是nn是12.S是無窮等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，且公比q工1,已知1nn2S2和3S3的等比中項(xiàng).求S和S；3求此數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和公式;n⑶求數(shù)列｛S｝的前n項(xiàng)和.n=2,3S3=36.整理得f3S+2S233S12=12,2S3=36.解得3S2=2S3=6,CS=2,2S=3.13可解得q=—f，a1=4.(3)由(2)得S+S12n13.已知｛a｝是公差不為零的等差數(shù)列，a=1,且a,a,a成等比數(shù)列.n1139⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)；n⑵求數(shù)列｛2a｝的前n項(xiàng)和S.nn(1)由題設(shè)知公差dMO,由a=1,a,a,a成等比數(shù)列,11391+2d1+8d11+2d，解得d=1或d=0(舍去)?故｛a｝的通項(xiàng)a=1+(n—1)X1=n.nn⑵由(1)知2a=2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式,n2(1—2n)得S=2+22+23+???+2n==2n+i—2.)n1—2a+a14?已知數(shù)列｛an｝滿足ai=1，a2=2,叮2=^6*N*?(1)令b=a+—a，證明：｛b｝是等比數(shù)列；(2)求｛a｝的通項(xiàng)公式.+1解(1)證明b1=a2—ai=1，11111111111111111111a＋a1當(dāng)口三2時(shí)，耳二軋+1—軋=十廠—軋=—2(軋一軋—1)=???叫是首項(xiàng)為1，公比為-2的等比數(shù)列.n－1，n－1，(2)解由(1)知b=a—ann＋1n當(dāng)n三2時(shí)，a=a+(a—a)+(a—a)+???+(a—a)n12132nn-1=1＋1＋1—+???+n—2=1+一=1＋1＋1—+???+n—2=1+一1—n—115.設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S，已知S=2a—2+1(nWN*).nnnn求數(shù)列｛a」的通項(xiàng)公式；設(shè)b=log2，數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和為B，若存在整數(shù)m，使對任意nwN*且n±2,nn+1

mnn+1

m都有B—B>成立，求m的最大值；3nn20解：(1)由S=2a—2n+1，得S=2a—2n(n三2).nnn—1n—1兩式相減，得a=2a—2a—2n，即a—2a=2料(n22).aa于疋H一需nnn一1aa于疋H一需=1，所以數(shù)列｛n｝是公差為1的等差數(shù)列.2n又S=2a一22，所以a=411a所以~n=2+(n—1)=n+1，故a=(n+1)?2n.2nn(2)因?yàn)閎二log2(2)因?yàn)閎二log2二log2二-，則B-B二n2nnn+11令f(n)=―7++Ln+1n+23n1+—.3n+右，則3nf(n+1)f(n+1)=-^++Ln+2n+3+丄+_!++3n3n+13n+23n+31所以1所以f(n+1)—f(n)=?+_!++—3n+13n+23n+3n+117171717112112=1>1=03n+13n+23n+33n+33n+33n+3即f(n+1)>f(n)，所以數(shù)列｛f(n)｝為遞增數(shù)列.所以當(dāng)n三2時(shí)，f(n)的最小值為f(2)二|+4+5+6二20345620m19據(jù)題意，20<20，即m<19?乂m為整數(shù)，故m的最大值為18.據(jù)題意，等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和(2)()一、選擇題()1?已知｛an｝是等比數(shù)列，a2=2,a5=4,則a2+a2a3+…+anan+1等于A.16(1－4－n)A.16(1－4－n)B.16(1－2－n)c.32(i—4—n)D.^d—n)2．已知方程(X2—mx+2)(X2—nx+2)=0的四個(gè)根組成以*為首項(xiàng)的等比數(shù)列，貝咱=().2．A.3卡2B.2或32c.3D．以上都不對解析設(shè)a,b，A.3卡2B.2或32c.3D．以上都不對解析設(shè)a,b，c，d是方程(X2—mx+2)(X2—nx+2)=0的四個(gè)根，不妨設(shè)aVcVdVb，則19a?b=c?d=2,a=2故b=4，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得至I」：c=1，d=2，貝貝m=a+b=?,9』3』2n=c+d=3,或時(shí)c+d"，n=a+b=2,則廠2或3.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)x,yWR，都有f(x)?f(y)=f(x+y)，若a=2,a=f(n)(n^N*),貝燉列｛a｝的前n項(xiàng)和S的取值范圍是12nnn()A.\，21B.2,2D.4.設(shè)｛a｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S為其前n項(xiàng)和.已知aa=1,S=7,貝VS等于nn2435()243515A，?3133???｛a｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且aa=1,n24?:設(shè)｛a｝的公比為q,則q>0,且a2=1,即a=1.n33?S=7,?：a+a+a=丄+丄+1=7,即6q2—q—1=0.123q2q故q=2或q=—3(舍去)，?：％=*=4.3131STOC\o"1-5"\h\z設(shè)S為等比數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，8a+a=0,則等于()nn25S2A.—llB.—8C.5D.11T,1725可知T17A由8&2+85=0,得8aiq+aiq4=0,所以q=—2,則s5T,1725可知T17等比數(shù)列｛a｝前n項(xiàng)的積為T,若aaa是一個(gè)確定的常數(shù)，那么數(shù)列T,T,nn36181013中也是常數(shù)的項(xiàng)是()A.TB.TC.TD.T10131725aaa=a3q解析???等比數(shù)列｛a｝的前3項(xiàng)之和為21,公比q=4,.n不妨設(shè)首項(xiàng)為a，?則a+^q+^q2=a解析???等比數(shù)列｛a｝的前3項(xiàng)之和為21,公比q=4,.n不妨設(shè)首項(xiàng)為a，?則a+^q+^q2=a(1+4+16)=21^=21,a^=1,/.a=1X4n—1=4n—1?n三、解答題已知等比數(shù)列｛a｝的公比q〉1,a與a的等比中項(xiàng)是4邁，a和a的等差中項(xiàng)為6,數(shù)列423｛b｝滿足b=loga.n⑴求｛a｝的通項(xiàng)公式；(2)求｛b｝的前n項(xiàng)和.nn(1)a=2nn(2)解*.*b=loga,a=2n,/.b=n.n2nnnnn+1.*.｛b｝的前n項(xiàng)和S=1+2+3+…+n=nn2設(shè)數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,且(3—m)S+2ma=m+3(n^N*)，其中m為常數(shù)，mH—3nnnn且mM0.(1)求證：｛a｝是等比數(shù)列；n⑵若數(shù)列｛a｝的公比q=f(m),數(shù)列｛b｝滿足b=a,b=f(b)(nGN*,n22),求證：nn11n2n—1f1〕［為等差數(shù)列，并求bn.、n為定值.a+aa+a=b,1