【大學】有限長單位沖激響應（FIR）數(shù)字濾波器的設計方法

第六章有限長單位沖激響應（FIR）數(shù)字濾波器的設計方法(2)1編輯ppt6.3窗函數(shù)設計法顧名思義，窗函數(shù)設計法就是利用加窗技術來設計線性相位FIR濾波器的。加窗處理是在時域進行的，是一種時域設計方法。其基本思想是，在給定理想線性相位FIR濾波器的頻率響應函數(shù)Hd(ej)的前提下，用有限長的一個h(n)去逼近理想的hd(n)。這種逼近可以看成是對hd(n)進行加窗截斷處理而得到的。2編輯ppt設計方法已知理想濾波器的頻率響應Hd(ej)（一般為具有矩陣形狀的頻率響應特性）。要求設計一個FIR濾波器響應逼近Hd(ej)是一個無限長序列，若用有限長的h(n)去逼近它就要對hd(n)作加窗截斷處理。設所用的窗函數(shù)為w(n)則有由于3編輯ppt設計方法由上式可以看到，在衡量h(n)與hd(n)的相似程度時，w(n)函數(shù)起到了關鍵作用。我們最直接所能夠想到的窗函數(shù)為矩形窗函數(shù)。下面就以矩形窗函數(shù)為加窗函數(shù)，以低通濾波器為例來分析窗函數(shù)的設計方法設低通濾波器的通帶截止頻率為c，低通濾波器的群時延為α，此時的Hd(ej)如下在通帶內(nèi)|Hd(ej)|=1，相位為線性相位-α，Hd(ej)對應的hd(n)為4編輯ppt設計方法hd(n)是一個中心點在α的偶對稱無限長的非因果序列令

w(n)=RN(n)則

h(n)=hd(n)RN(n)思考：hd(n)為線性相位，而要求設計的h(n)也應滿足線性相位的要求?；仡櫳瞎?jié)中關于線性相位FIRFilter的單位樣值響應h(n)的約束條件，可知h(n)必須是偶對稱的，對稱中心應為長度的一半，即(N-1)/2，因而必須要求α=(N-1)/2，這樣的h(n)才是具有線性相位頻率特性的5編輯ppt設計方法故有將（6-27）式的hd(n)代入上式可得6編輯ppt設計方法這里，由于α=(N-1)/2，故h(n)是滿足線性相位約束條件的得到了h(n)，就可以通過傅氏分析，找出所求FIR濾波器的頻率特性下面就來求解h(n)對應的頻率響應函數(shù)H(ej)，并比較H(ej)和Hd(ej)的異同由（6-25）式可得由式（6-30）式可知，H(ej)逼近Hd(ej)的程度關鍵取決于W(ej)即取決于窗函數(shù)的頻譜特性7編輯ppt設計方法若w(n)=RN(n)，有其中將Hd(ej)也寫成(6-31)的形式，可得其中8編輯ppt設計方法將(6-31)、(6-32)式代入(6-30)式可得(6-33)式說明：實際FIR濾波器的幅度函數(shù)H()是理想FIR濾波器幅度函數(shù)Hd()與窗函數(shù)WR()的卷積下面用圖示的方法，說明矩形窗函數(shù)設計低通濾波器的H()9編輯ppt設計方法1、圖8(a)表示理想低通濾波器的幅度函數(shù)2、圖8(b)表示矩形窗的幅度函數(shù)3、圖8(c)表示Hd()和WR()在=c處的卷積情況，可以看到WR(-θ)的左半部分與Hd(θ)重合而右半部分不重合（對應圖8(f)的c點）4、圖8(d)表示Hd()*WR()在=c-2π/N處的情況，可以看到WR()的主瓣和左半部分旁瓣與Hd(θ)重合而右半部分旁瓣不與之重合（對應圖8(f)的1點）5、圖8(e)表示Hd()*WR()在=c+2π/N處的情況，可以看到WR()的左半部分旁瓣與Hd(θ)重合而主瓣和右半部分旁瓣不與之重合（對應圖8(f)的2點）6、圖8(f)表示Hd()*WR()對H(0)歸一化的結(jié)果。其中H(0)為圖8(a)和圖8(b)相重合部分相加的結(jié)果10編輯ppt設計方法理想頻率特性的通帶截止頻率處由不連續(xù)點變成了連續(xù)點在c兩邊1=c-2π/N和2=c+2π/N出現(xiàn)了峰值點和谷底點在c附近形成了一個過渡帶，其中峰值點1到谷值點2的寬度為=4π/N在通帶和阻帶都產(chǎn)生了波動，形成了波紋。波動的幅度取決于WR(θ)的旁瓣大小，波動快慢取決于旁瓣數(shù)量。由圖可見，通過加窗處理，將理想的低通特性[圖8(a)]變成了圖8(f)的形式，具體為11編輯ppt設計方法下面的問題是：可否通過改變參數(shù)N來改變上述所提到的波動呢？答案是：隨著

N

值得增大，可以改變窗譜函數(shù)的主瓣和旁瓣寬度，即可改變波動的快慢，但N

增加并不改變主瓣和旁瓣的相對比例，這是因為在主瓣附近，較小時而主瓣和旁瓣的相對比例是由sinx/x來決定的。故隨著N的增加這一比例并不變化，即N的增加并不會改變肩峰的相對值，矩形窗其肩峰的相對值總是8.95%這種現(xiàn)象通常被稱為Gibbs效應或Gibbs振蕩另：隨N的增加，過渡帶的寬度也會逐漸減小，這是因為△=4π/N12編輯ppt設計方法以上介紹的是窗函數(shù)為矩形窗時的設計方法。矩形窗截斷造成的波紋肩峰為8.95%。此時對應的阻帶最小，衰減為20log10(8.95%)=-20db，這個阻帶衰減量在很多工程領域都是不夠的。為了改變這一情況，以及其它一些問題，有必要尋找其它的加窗方式13編輯ppt各種窗函數(shù)我們看到上述矩形加窗設計法設計的低通濾波器的阻帶衰減不夠大的問題的核心是采用了矩形窗函數(shù)，要使阻帶衰減變大，則需要考慮其它形式的加窗另：我們也希望得到的低通濾波器頻譜有如下特性窗譜的主瓣盡量窄，這可有效地減小過渡帶的寬度，獲得更陡峭的過渡帶盡量減小窗譜第一旁瓣（最大旁瓣）的相對幅度，也就是將能量盡量集中于主瓣內(nèi)，這樣不僅能使肩峰和波紋減小，也可增大阻帶的衰減14編輯ppt各種窗函數(shù)上述兩條件是相互制約的，不能同時得到滿足增加主瓣寬度會加大阻帶衰減，減小波紋，但會使過渡帶變寬減小主瓣寬度會減小阻帶衰減，增大波紋，但會使過渡帶變窄下面介紹幾種工程常用的加窗函數(shù)15編輯ppt各種窗函數(shù)

——三角形(Bartlett)窗三角形(Bartlett)窗對應的窗譜為16編輯ppt各種窗函數(shù)

——三角形(Bartlett)窗當N>>1時該窗函數(shù)的主瓣寬度為8π/N，比相應時域長度的矩形窗的主瓣寬度寬一倍17編輯ppt各種窗函數(shù)

——漢寧(Hanning)窗(又稱升余弦窗)

2、漢寧(Hanning)窗(又稱升余弦窗)對應的窗譜函數(shù)為：當N>>1時18編輯ppt各種窗函數(shù)

——漢寧(Hanning)窗(又稱升余弦窗)

W()利用WR()，WR(-2/N)，WR(+2/N)這三個矩形窗譜的旁瓣相互抵消作用，使能量更集中在主瓣，其主瓣寬度也為8/N。這種旁瓣相互抵消作用見書中P349圖7－919編輯ppt各種窗函數(shù)

海明(Hamming)窗(改進升余弦窗)對(6-36)的升余弦窗加以改進，可以得到旁瓣更小的效果此時的窗函數(shù)為對應的窗譜函數(shù)的幅度函數(shù)為20編輯ppt各種窗函數(shù)

海明(Hamming)窗(改進升余弦窗)N>>1時這種窗函數(shù)可使99.963%的能量集中在窗譜主瓣內(nèi)，與漢寧窗相比，主瓣寬度同為8π/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的1%21編輯ppt各種窗函數(shù)

——布拉克曼(blackman)窗又稱二階升余弦窗對應的窗譜函數(shù)的幅度函數(shù)為此時主瓣寬度為12π/N，為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，書中P351給出了各種加窗函數(shù)的設計效果22編輯ppt各種窗函數(shù)一般來講，窗函數(shù)的主瓣寬度越大，則更容易獲得好的阻帶衰減，但同時其過渡帶也會展寬跟Gibbs現(xiàn)象相似的道理，不能通過改變參數(shù)N來改善最小阻帶衰減，最小阻帶衰減只由所采用的窗函數(shù)形式來決定23編輯ppt窗函數(shù)的設計步驟步驟：已知理想的頻率響應函數(shù)Hd(ej)求解hd(n)=IDTFT[Hd(ej)]按照設計指標，選擇符合要求的窗函數(shù)形式及參數(shù)N的大小求所設計的FIR濾波器的單位樣值相應h(n)=hd(n)w(n),n=0,1,2,….,N-1求H(ej)=DTFT[h(n)]，檢驗是否符合要求。若不符合，則改變參數(shù)N或選擇其它窗函數(shù)重新設計窗函數(shù)法的優(yōu)點是簡單，有閉式解，比較實用；缺點是通帶、阻帶的截止頻率不易控制24編輯ppt窗函數(shù)的設計步驟-設計舉例圖9例：設計線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為Ωs=2π×1.5×104(rad/s)，通帶起始頻率為Ωp=2π×1.5×103(rad/s)，阻帶起始頻率為Ωst=2π×3×103(rad/s)，阻帶衰減不小于-50dB。該低通濾波器對應的模擬低通濾波的幅頻特性如圖9所示25編輯ppt解：求出理想低通濾波器的通帶截止頻率Ωc將各頻率劃分為數(shù)字域頻率根據(jù)圖中理想低通濾波器的頻響函數(shù)求出hd(n)其中τ為線性相位所必須的群延時，應為τ=(N-1)/226編輯ppt根據(jù)阻帶衰減來確定窗函數(shù)，由過渡帶寬度確定N，由書上表7-3可選海明窗所要求的過渡帶寬而海明窗過渡帶寬滿足故由海明窗w(n)滿足FIRFilter的h(n)求H(ej)=DTFT[h(n)]，看是否滿足指標，若不滿足，則可改變參數(shù)N或窗函數(shù)形式重新進行設計和驗證27編輯ppt6.4頻率抽樣設計法與窗函數(shù)設計法在時域使h(n)近似逼近hd(n)不同的是，頻率抽樣法是以頻率出發(fā)，把給定的理想頻率響應Hd(ej)加以等間隔抽樣將Hd(k)作為實際FIR數(shù)字濾波器的頻率特性抽樣值H(k)由H(k)作IDFT求出有限長序列h(n)28編輯ppt6.4頻率抽樣設計法根據(jù)第三章介紹的頻率抽樣定理可知，由N個頻率抽樣值H(k)同樣可求出FIRFilter的系統(tǒng)函數(shù)H(z)和頻響函數(shù)H(ej)，這個H(z)和H(ej)將逼近Hd(z)和Hd(ej)H(z)的內(nèi)插公式為29編輯ppt6.4頻率抽樣設計法由內(nèi)插公式可以看到，在各抽樣點處有H(ej2π/N)=H(k)=Hd(k)=Hd(ej2πk/N)，即在各抽樣點上，濾波器的實際頻率響應是和理想濾波響應數(shù)值嚴格相等的，各抽樣點之間的頻響會有一定的誤差。誤差的大小是和理想濾波器頻響的變化有關的。若Hd(ej)變化緩慢，則誤差較小。若Hd(ej)變化劇烈，則誤差較大。如書上P360圖7-16的例子所示。圖7-16(a)在c處Hd(ej)變化劇烈故引入了較大誤差，圖7-16(b)在c處由于Hd(ej)變化緩慢，故誤差較小30編輯ppt減小設計誤差的方法當理想Hd(ej)在某些頻點（如通帶截止頻率處）變化劇烈時，會引起較大的設計誤差。一種減小這種誤差的方法是對Hk在這些頻點附近增加過渡點通過增加過渡點可有效減小由H(k)內(nèi)插得到的H(ej)在c附近的波動，從而減小設計誤差。但過渡點的增加會使設計的濾波器的過渡帶增大，同時過渡點的增加會使參數(shù)N增大，這樣會增加設備的成本。故這種方法較適用于窄帶濾波器的設計[通帶短，點數(shù)少N]，該方法便于在頻率域觀察設計結(jié)果，比較直觀31編輯ppt6.5IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)的極點可位于單位圓內(nèi)任意位置，故可用較低的階數(shù)獲得高的選擇性，所用的存貯單元少，經(jīng)濟高效但它的相位無法保證是線性相位而且一