第二節(jié)離散型隨機變量及其概率分布

第二節(jié)離散型隨機變量及其概率分布第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一一、離散型隨機變量的概率分布

從中任取3個球，取到的白球數(shù)X是一個隨機變量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個值的概率為引例這樣，我們就掌握了X這個隨機變量取值的概率規(guī)律.且第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一一、離散型隨機變量的概率分布研究離散型隨機變量概率分布，即尋找隨機變量所有可能的取值以及取每個值所對應(yīng)的概率。1、離散型隨機變量的定義分布函數(shù)可以研究離散型隨機變量的概率分布，除此之外，針對離散型特點，我們引入研究離散型隨機變量的重要工具——概率分布律（列）第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一一、離散型隨機變量的概率分布2、離散型隨機變量的概率分布

定義：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機變量X的分布律.概率分布列概率分布陣第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一一、離散型隨機變量的概率分布3、性質(zhì)用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律注意：只有離散型才有概率分布列。思考：下列兩個等式一樣么？第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即例1設(shè)隨機變量X的分布律為k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.一、離散型隨機變量的概率分布第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一例2

某籃球運動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取值為0,1,2

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81一、離散型隨機變量的概率分布即第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一一、離散型隨機變量的概率分布例3

設(shè)隨機變量X的分布列為求：常數(shù)a，P(X<1)，P(-2<X≤0)，P(X≥2).解：由歸一性得P(X<1)P(-2<X≤0)=P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)=5/8=P(X=-1)+P(X=0)=1/2P(X≥2)=P(X=2)=1/4第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一一、離散型隨機變量的概率分布小結(jié)：即：離散型隨機變量落入任何區(qū)間內(nèi)的概率，等于該區(qū)間內(nèi)所有正概率點對應(yīng)概率之和。第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)1

某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求射擊發(fā)數(shù)X的分布律.解:X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是一、離散型隨機變量的概率分布分布律為第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一二、離散型隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)同樣可以描述隨機變量落入任意區(qū)間的概率，那么分布函數(shù)與離散型分布列有什么關(guān)系呢？第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一二、離散型隨機變量的分布函數(shù)當(dāng)

x<0時，{X

x}=，故

F(x)=0例4設(shè)隨機變量X

的分布律為當(dāng)

0x<1時，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X

的分布函數(shù)F(x).第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一當(dāng)

1x<2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當(dāng)

x2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1二、離散型隨機變量的分布函數(shù)第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一故特點：下面我們從圖形上來看一下.1.分段函數(shù)2.右連續(xù)3.X取值點為分界點4.分段區(qū)間左閉右開二、離散型隨機變量的分布函數(shù)第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一的分布函數(shù)圖二、離散型隨機變量的分布函數(shù)特點：階梯曲線在xk

處有跳躍跳躍值為P{X=xk

}=pkX第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一二、離散型隨機變量的分布函數(shù)總結(jié)：設(shè)離散型隨機變量

X

的分布律為P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)是X

取的諸值xk

的概率之和.則其分布函數(shù)為第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一例5

一個靶子是半徑為2m的圓盤,設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,并設(shè)射擊都能中靶,以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量X的分布函數(shù).解二、離散型隨機變量的分布函數(shù)第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一于是故X的分布函數(shù)為其圖形為一連續(xù)曲線二、離散型隨機變量的分布函數(shù)第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一二、離散型隨機變量的分布函數(shù)練習(xí)2

設(shè)隨機變量X的分布列為求：F(x).第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布1、單點分布（或退化分布）若隨機變量X的全部可能取值為常數(shù)c，即“X=c”是必然事件，其概率分布為P(X=c)=1則稱X服從單點分布(或退化分布).例如，從一批全是合格品的產(chǎn)品中，任取c件進行合格性檢查，若以X表示所取到的合格品數(shù)，則“X=c”是必然事件，其概率分布為P(X=c)=1.第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布2、兩點分布（或0-1分布、伯努利分布）設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值,它的分布律為則稱X服從(0-1)

分布或兩點分布.第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布例如

200件產(chǎn)品中，有190件合格品,10件不合格品，現(xiàn)從中隨機抽取一件，若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機變量X服從兩點分布.

兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結(jié)果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布3、獨立重復(fù)試驗與二項分布（1）獨立重復(fù)試驗擲骰子：“擲出4點”，“未擲出4點”抽驗產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”

設(shè)在一次試驗E中只考慮兩個互逆的結(jié)果：A或這樣的試驗E稱為貝努利試驗

.（兩點分布）

將伯努利試驗E獨立地重復(fù)地進行n次,則稱這一串重復(fù)的獨立試驗為n重貝努利試驗

.“重復(fù)”是指這n

次試驗中P(A)=p保持不變.“獨立”是指各次試驗的結(jié)果互不影響.第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布例如：某射手獨立向目標連續(xù)射擊4次，每次的命中率均為0.8，求其恰好命中3次的概率。分析：該實驗為4重貝努利第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布

由此可見，n重貝努利試驗中，所研究的事件在多次試驗中“恰好發(fā)生k次”的概率，對于研究試驗序列各種復(fù)雜的結(jié)果有著重要的意義。第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布

用X表示n重貝努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則且兩兩互不相容.共有（2）二項分布第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一稱這樣的分布為二項分布，記為三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布二項分布描述的是n重貝努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律.第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一例6

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.解:

因為這是有放回地取3次，因此這3次試驗的條件完全相同且獨立，它是貝努利試驗.依題意，每次試驗取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為則X~B(3,0.05)，三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一若將本例中的“有放回”改為“無放回”,那么各次試驗條件就不同了,此試驗就不是伯努利試驗.此時,只能用古典概型求解.注意：三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一分析

這是不放回抽樣.但由于這批元件的總數(shù)很大,且抽查元件的數(shù)量相對于元件的總數(shù)來說又很小,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來處理.例7三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布把檢查一只元件是否為一級品看成是一次試驗，檢查20只元件相當(dāng)于做20重貝努利試驗.第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一解：三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一注意：P(X=4)最大。三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一一般地，若在k0處，概率P{X=k}達到最大（稱k0為隨機變量X的最可能值），則k0應(yīng)滿足解上述不等式得(n+1)p-1≤k0≤(n+1)p

。因為k0必須為整數(shù)，所以當(dāng)(n+1)p為整數(shù)，其它，本例中，n=20，p=0.2,所以，(n+1)p=4.2,故k0=4。三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布二項分布與兩點分布的關(guān)系二項分布兩點分布1、2、第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布

練習(xí)4

某人進行射擊，設(shè)每次擊中的概率為0.02，獨立射擊400次，求至少擊中兩次的概率是多少？

解：這是一個獨立重復(fù)試驗概型，設(shè)擊中的次數(shù)為X，則它服從參數(shù)為n=400，p=0.02的二項分布，即X～B(400，0.02)，其概率分布為第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布4、泊松分布泊松分布是1837年法國數(shù)學(xué)家泊松（Poisson）作為二項分布的近似計算機引入的。近年來日益顯示其重要性，即它不僅是二項分面的泊松近似，它本身就是一種重要的分布。若隨機變量X全部可能取值為一切非負整數(shù)，且第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個數(shù)的情況時,他們做了2608次觀察(每次時間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X

服從泊松分布.在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學(xué)及公用事業(yè)的排隊等問題中,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一,則對固定的

k，有設(shè)Possion定理:Poisson定理說明，若X~b(n,p),當(dāng)n很大p很小時，

歷史上，泊松分布是作為二項分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的.二項分布與泊松分布的關(guān)系三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布二項分布

泊松分布第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布在本節(jié)練習(xí)3中，如果射手命中率是0.01，連續(xù)射擊400次，擊中至少兩次的概率為由于n=400較大，p=0.01較小，因此可用泊松分布近似計算，即于是第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布

例8

某商店出售某種貴重商品，根據(jù)以往經(jīng)驗，每月銷售量X服從參數(shù)λ=3的泊松分布，問在月初進貨時要庫存多少件此商品，才能以99％的概率充分滿足顧客的需要？解：設(shè)月初庫存k件，則即查表，得k+1=9，即k=8.第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)5

獨立射擊5000次,命中率為0.001,解

(1)k=[(n+1)p]=[(5000+1)0.001]=5求(1)最可能命中次數(shù)及相應(yīng)的概率；命中次數(shù)不少于1次的概率.(至少命中1次的概率)三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

(2)令X表示命中次數(shù),則X~B(5000,0.001)三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一解令X表示命中次數(shù),則

令

此結(jié)果與用二項分布算得的結(jié)果0.9934僅相差萬分之一.利用Poisson定理再求練習(xí)4X~B(5000,0.001)三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布小概率事件雖不易發(fā)生，但重復(fù)次數(shù)多了，就成大概率事件.啟示第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一三、幾種常見離散型隨機變量的概率分布5、超幾何分布在抽樣理論中(1)有放回抽取，抽取的次品數(shù)服從二項分布（參數(shù)n為抽取數(shù)，p是次品率）.(2)無放回抽取，抽得的次品數(shù)服從超幾何分布（N為產(chǎn)品總數(shù)，M為次品總數(shù)，n