基本不等式基礎(chǔ)知識梳理

b認(rèn)識基本不等 的證明過程，理解基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號2 會用基本不等 解決最大（?。┲祮栴}2重要不等式 a 基本不等 不 假如 R，那么 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號“=”）a,b是正數(shù)，那么

ab（當(dāng)且僅當(dāng) b時取等號“2重點(diǎn)解說： 2ab和a ab二者的異同2（1）成立的條件是不一樣的：前者只需求a,b都是實(shí)數(shù)，爾后者要求a,b（2）取等號“=”的條件在形式上是同樣的，都是“當(dāng)且僅 a（3） 2ab能夠變形為：

ab能夠變形為： ab() ()如圖，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC a,BC b，過點(diǎn)C作DC AB交圓于點(diǎn)D，連結(jié)AD、BD.易證RtACD~ DCB，那么CD CACB，即 ab 這個圓的半徑 ab，此中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a 時，等號成立重點(diǎn)解說：1

ab為a,b的幾何均勻數(shù).所以基2不等式可表達(dá)為：兩個正數(shù)的算術(shù)均勻數(shù)不小于它們的幾何均勻 a2

看作是正數(shù)a,b的等差中項(xiàng) ab看作是正數(shù)a,b的等比中項(xiàng)，那么基本不等式能2 考點(diǎn)二：基本不等 的證2如圖，在正方形ABCD a、b，那么正方形的邊長為 。這樣，4個直角三角形 2ab，正方形ABCD的面積為a2 b2。因?yàn)?個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：a2 2ab。當(dāng)直角三角形變成等腰直角三角形，即 ab時，正方形EFGH縮為一個點(diǎn)，這時有a2 2ab。獲得結(jié)論：假如a,b R+，那么a2 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a b時取等號“=”）特其他，假如a 0，b a、b分別取代a、b，可得：假如a0， 0,則 2ab，（當(dāng)且僅當(dāng) b時取等號“=”）往常我們把上式寫作：假 0 ∵a2 (ab)2 0，當(dāng)a b時，(a 0；

，（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號“2當(dāng)ab時， 0所以 b2 2ab，（當(dāng)且僅當(dāng) b時取等號“=”）特其他，假如a 0，b 0,我們用 a、b分別取代a、b，可得：假如 0， 0,則 2ab，（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號“=”）假如 0，

，（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號“=”）2b重點(diǎn)三、用基本不等 2

求最大（?。┰谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件 一正二定三取等 a a R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=a a R，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2a a 0；特別地 2 0 a b

a,b a 4 種類一：基本不等

2例1. 0，b0，給出以下推導(dǎo)，此中正確的 （填序號）1 的最小值為 2（2） b)( 1)的最小值 4 的最小值 2 0， 0，∴a

2

22（當(dāng)且僅當(dāng)

時取等號） 0， 0，∴ b)( 1 4（當(dāng)且僅當(dāng) b時取等號） 0，∴ a

42(a

a （當(dāng)且僅當(dāng)

1即 4 3時取等號aa0

【總結(jié)升華】在用基本不等式求函數(shù)的最值時，一定同時具備三個條件：一正二定三取等，缺一不 【變式1 ∵a, R，∴ 2a 2 b ∵x, R，∴l(xiāng)g lg lg lgy ∵aR，a0 ∵x, R， 0 ) 2 A. 【分析】①∵a, a②固然x, ，但當(dāng) (0,1)或 (0,1)時，lgx,lgy是負(fù)數(shù)，∴②的推導(dǎo)是錯誤 ③由

4 ④由 0,得y,x均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中，將整 y提出負(fù)號后， x) .選【變式2是 A.函數(shù)

的最小值為 B.函x

3的最小值為 C.函數(shù) 23x4(x0)最大值為 x

y2 4(x0)的最小值為x【分析】A選項(xiàng)中，∵ 0，∴當(dāng) 0,時由基本不等式 x當(dāng)x0時 xB選項(xiàng)中

2.Ax2 2

x

1的最小值為 （當(dāng)且僅 1時，成立可是 2，∴這是不行能的 ∴選項(xiàng)B錯誤C選項(xiàng)中，∵ 0，∴ 2 2(3 4)243，應(yīng)選項(xiàng)C正確 種類二：利用基本不等

求最2【高清講堂：基本不等式394847 b0，則 的最小值 a( A B． D． aba(a 1 4 1 即 2, 2時取等號 【變式1

0,求f(

9x

0,所以 0 由基本不等式得f( (4 (4x)(9 2(4x)( 23612 （當(dāng)且僅 即 時 取等號 故當(dāng) 時 f 獲得最大 x【變式2】已知 0，求f 的最大值x【分析】∵ 0，∴ 0∴(42(4224（x42時，等號成立xxx∴f 4 4（當(dāng)且僅 4，即 故當(dāng) 2時，f(x)的最大值為1 4的最小值 B．

【分析】∵ 0,b0114)(a1b124a92b2ab2ab2∴ 答案選【變式1】若 0, 1,求xy的最小值 【分析】∵ 0, 0∴ （281xy2 4，（281xy2∴xy 64（當(dāng)且僅當(dāng)x4，y 16時，等號成立）故當(dāng)x 4，y 16時，xy的最小值為64.1【變式2】已知x＞0，y＞0， 1，求x+y的最小值 1【分析】 y(1910xxyxyy y （當(dāng)且僅

y=3x時，取等號1 1，∴x=4 x=4y=12x+y取最小值16。 例 設(shè)x, R, y1,求證：(x)( 【證明

x2y y 25xy14x2y 25xy 4x2y 33 4 42 4【變式1】已知 【分析

3

( 2 3a （

3即 5,等號成立）a【例5】(2015 東城區(qū)期末)已知 0, 0，且 b 若 c則

1的值 1

【分析】(1)由題意可得 b

1

(2)由題意和基本不等式可 0， 0，

a

ab1

ab1 caca 2bc2ac2 【變式】 石家莊一 )已知函數(shù) m的定義域?yàn)閯?wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍mnab知足【(1)R,

3a a

n時，求 的最小值 3 0xxm4設(shè)函數(shù)g 3則m不大于g xxm4(2)(1)

1 125112515223a2ba94ab4a2bb4當(dāng)且僅當(dāng)a b時，即 2a時取等號 4b的最小值為4例 某農(nóng)場有荒棄的豬圈 留有一面舊墻長12m,現(xiàn)準(zhǔn)備在該地域從頭成立一座豬圈 平面圖為矩形112m2，估計(jì)（1）1m舊墻的花費(fèi)是建筑1m新墻花費(fèi)的25，（2）拆去1m舊墻用以改造1m50%，（3）成1m新墻的花費(fèi)是建 1m的空缺。試問：這設(shè)修復(fù)成新墻的舊墻 xm,則拆改成新墻的舊墻 x)m于是還需要建筑新墻的長

(x1) x)

設(shè)建筑1m新墻需用a元，建筑圍墻的總造價(jià) y元則 xa x)a50%(2a(7x 2

x

2時，等號成立 故拆掉改造舊墻約為 2米時，總造價(jià)最小【變式1】某游泳館銷售冬天學(xué)生游泳卡，每張卡 240元.