matlab最佳平方逼近-2023修改整理

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最佳平方靠近實驗

任兵（202220302025）

一、問題講述

求函數(shù)f(x)=exp(x)在[-1，1]上的二、三次最佳平方靠近多項式。二、問題分析

由教材定義6.5有：對于給定的函數(shù)],[)(baCxf∈，假如存在

*01(){(),(),,()}nSxSpanxxx???∈

使得

[]22

*

()()()min()()()b

b

a

a

axb

xfxSxdxxfxsxdx

ρρ≤≤??-=-???

?

則稱S*(x)是f(x)在集合01{(),(),,()}nSpanxxx???中的最佳平方靠近函數(shù)。

明顯，求最佳平方靠近函數(shù))()(0**

xaxSjn

jj??=∑=的問題可歸結為求它的系數(shù)

*

*1*0,,,n

aaa，使多元函數(shù)dxxaxfxaaaIjnjjb

a

n2

010)()()(),,,(??

?

???-=∑?

=?ρ

取得微小值，也即點(*

*1*0,,,n

aaa)是I(a0,…，an)的極點。因為I(a0,a1,…，an)是關于a0,a1,…，an的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)取得極值的須要條件，

0=??k

aI

(k=0,1,2,…,n)即

[]0

)()()()(20=-??

????-=??∑?=dxxxaxfxaI

kjnjjbak??ρ

得方程組

)

,,2,1,0(,

)()()()()()(0

nkdxxxfxdx

xxxakb

a

jkb

a

n

jj==??∑=?ρ??ρ

如采納函數(shù)內積記號

,

)()()(),(,

)()()(),(dxxxfxfdxxxxkq

a

kjkb

a

jk?ρ???ρ????==

那么，方程組可以簡寫為

(,)(,)

(0,1,2,,)n

k

j

j

kja

fkn???===∑(1)

這是一個包含n+1個未知元a0,a1,…,an的n+1階線性代數(shù)方程組，寫成矩陣形式為

000100010111110

1(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnafafaf?????????????????????????

?????

???=??????

??????…………（2）此方程組叫做求aj(j=0,1,2,…,n)的法方程組。

明顯，其系數(shù)行列式就是克萊姆行列式Gn=Gn(?0,?1,…,?n)。因為?0,

?1,…,?n線性無關，故Gn≠0，于是上述方程組存在唯一解

),,1,0(*

nkaakk==。從而絕對了函數(shù)f(x)在01{(),(),,()}nSpanxxx???中如

果存在最佳平方靠近函數(shù)，則必是

*

*0()()n

jjjSxax?==∑……………...

（3）三、試驗程序

1、最佳平方靠近算法

（1）輸入被靠近函數(shù)f(x)和對應的靠近區(qū)間[a,b]并挑選靠近函數(shù)系{∮（x）}

和權函數(shù)；

（2）解方程組（1）或（2），其中方程組的系數(shù)矩陣和右端的項由式（3）得

到；

（3）由式（3）得到函數(shù)的最佳平方靠近。2、將上述算法編寫成MATLAB程序共需三個程序：（1）第一個程序（函數(shù)名：squar_approx.m）計算最佳靠近函數(shù)的系數(shù)，源代碼如下：

functionS=squar_approx(a,b,n)％定義靠近函數(shù)

globali;globalj;％全局變量

ifnargin>clear

>>S=squar_approx(-1,1,2)

S=

0.9963

1.1036

0.5367

繪制兩者的圖形：

>>fun='exp(x)';

>>fplot(fun,[-1,1])

>>holdon

>>xi=-1:0.1:1;

>>yi=polyval(S,xi);

>>plot(xi,yi,'r:')

得到如下結果：

原函數(shù)exp(x)

二次靠近

（3）當求的是三次靠近時得到如下結果

>>S=squar_approx(-1,1,3)

S=

0.9963

0.9980

0.5367

0.1761

繪制圖形如下：

>>fun='exp(x)';

>>fplot(fun,[-1,1])

>>holdon

>>xi=-1:0.1:1;

>>yi=polyval(S,xi);

>>plot(xi,yi,'r:')

得到