高等數學(數二)

高等數學一對一講義年數學二考試大綱考試科目：高等數學、線性代數考試形式和試卷結構一、試卷滿分及考試時間：試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘．二、答題方式：答題方式為閉卷、筆試．三、試卷內容結構：高等教學約78％線性代數約22%四、試卷題型結構試卷題型結構為：單項選擇題8小題，每小題4分，共32分填空題6小題，每小題4分，共24分解答題（包括證明題）9小題，共94分高等數學一、函數、極限、連續(xù)考試內容函數的概念及表示法函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性復合函數、反函數、分段函數和隱函數基本初等函數的性質及其圖形初等函數函數關系的建立數列極限與函數極限的定義及其性質函數的左極限與右極限無窮小量和無窮大量的概念及其關系無窮小量的性質及無窮小量的比較極限的四則運算極限存在的兩個準則：單調有界準則和夾逼準則兩個重要極限：，函數連續(xù)的概念函數間斷點的類型初等函數的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質考試要求1．理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立應用問題的函數關系．2．了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性．3．理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念．4．掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念．5．理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左極限、右極限之間的關系．6．掌握極限的性質及四則運算法則．7．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法．8．理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限．9．理解函數連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數間斷點的類型．10．了解連續(xù)函數的性質和初等函數的連續(xù)性，理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會應用這些性質．二、一元函數微分學考試內容導數和微分的概念導數的幾何意義和物理意義函數的可導性與連續(xù)性之間的關系平面曲線的切線和法線導數和微分的四則運算基本初等函數的導數復合函數、反函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法高階導數一階微分形式的不變性微分中值定理洛必達（L'Hospital）法則函數單調性的判別函數的極值函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線函數圖形的描繪函數的最大值與最小值弧微分曲率的概念曲率圓與曲率半徑考試要求1．理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系．2．掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本初等函數的導數公式．了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分．3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的高階導數．4．會求分段函數的導數，會求隱函數和由參數方程所確定的函數以及反函數的導數．5．理解并會用羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并會用柯西(Cauchy）中值定理．6．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法．7．理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其應用．8．會用導數判斷函數圖形的凹凸性（注：在區(qū)間內，設函數具有二階導數．當時，的圖形是凹的；當時，的圖形是凸的），會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸近線，會描繪函數的圖形．9．了解曲率、曲率圓和曲率半徑的概念，會計算曲率和曲率半徑．三、一元函數積分學考試內容：原函數和不定積分的概念不定積分的基本性質基本積分公式定積分的概念和基本性質定積分中值定理積分上限的函數及其導數牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分反常（廣義）積分定積分的應用考試要求：1．理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念．2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理，掌握換元積分法與分部積分法．3．會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分．4．理解積分上限的函數，會求它的導數，掌握牛頓一萊布尼茨公式．5．了解反常積分的概念，會計算反常積分．6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、功、引力、壓力、質心、形心等）及函數的平均值．四、多元函數微積分學考試內容：多元函數的概念二元函數的幾何意義二元函數的極限與連續(xù)的概念有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質多元函數的偏導數和全微分多元復合函數、隱函數的求導法二階偏導數多元函數的極值和條件極值、最大值和最小值二重積分的概念、基本性質和計算考試要求：1．了解多元函數的概念，了解二元函數的幾何意義．2．了解二元函數的極限與連續(xù)的概念，了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數的性質．三、向量考試內容：向量的概念向量的線性組合和線性表示向量組的線性相關與線性無關向量組的極大線性無關組等價向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關系向量的內積線性無關向量組的的正交規(guī)范化方法考試要求：1．理解維向量、向量的線性組合與線性表示的概念．2．理解向量組線性相關、線性無關的概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法．3．了解向量組的極大線性無關組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩．4．了解向量組等價的概念，了解矩陣的秩與其行（列）向量組的秩的關系．5．了解內積的概念，掌握線性無關向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法．四、線性方程組考試內容：線性方程組的克拉默（Cramer）法則齊次線性方程組有非零解的充分必要條件非齊次線性方程組有解的充分必要條件線性方程組解的性質和解的結構齊次線性方程組的基礎解系和通解非齊次線性方程組的通解考試要求：1．會用克拉默法則．2．理解齊次線性方程組有非零解的充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件．3．理解齊次線性方程組的基礎解系及通解的概念，掌握齊次線性方程組基礎解系和通解的求法．4．理解非齊次線性方程組的解的結構及通解的概念．5．會用初等行變換求解線性方程組．五、矩陣的特征值及特征向量考試內容：矩陣的特征值和特征向量的概念、性質相似矩陣的概念及性質矩陣可相似對角化的充分必要條件及相似對角矩陣實對稱矩陣的特征值、特征向量及其相似對角矩陣考試要求：1．理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質，會求矩陣特征值和特征向量．2．理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充分必要條件，會將矩陣化為相似對角矩陣．3．理解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質．六、二次型考試內容：二次型及其矩陣表示合同變換與合同矩陣二次型的秩慣性定理二次型的標準形和規(guī)范形用正交變換和配方法化二次型為標準形二次型及其矩陣的正定性考試要求：1．了解二次型的概念，會用矩陣形式表示二次型，了解合同變換與合同矩陣的概念．2．了解二次型的秩的概念，了解二次型的標準形、規(guī)范形等概念，了解慣性定理，會用正交變換和配方法化二次型為標準形．3．理解正定二次型、正定矩陣的概念，并掌握其判別法．高等數學大體框架1．一元函數微積分學（1）一元函數的概念、極限和連續(xù)（基礎）；（2）一元函數微分學：導數和微分、導數的應用；（3）一元函數積分學：不定積分、定積分、定積分的應用。2．多元函數微積分學（1）多元函數的概念、極限和連續(xù)；（2）多元函數微分學：偏導數、全微分、應用、極值；（3）多元函數積分學：二重積分及其應用．3．常微分方程一階（可分離變量、齊次方程、一階線性）；高階（二階常系數線性）．第一章函數、極限、連續(xù)第一節(jié)函數1．基本概念鄰域與去心鄰域：設SKIPIF1<0是任一正數，稱開區(qū)間SKIPIF1<0為點SKIPIF1<0的SKIPIF1<0鄰域，記作SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0的SKIPIF1<0鄰域去掉中心SKIPIF1<0后，成為SKIPIF1<0的去心SKIPIF1<0領域，記作SKIPIF1<0．函數：設數集SKIPIF1<0，若每個SKIPIF1<0，按對應法則SKIPIF1<0，總有唯一確定的值SKIPIF1<0與之對應，這個值稱為函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的函數值，記作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．三種特殊的函數：（1）符號函數SKIPIF1<0，特別地SKIPIF1<0．（2）狄利克雷（Dirichlet）函數SKIPIF1<0．（3）取整函數SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．2．函數的幾種特性（1）有界性設SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有上界；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有下界；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0有界；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0無界．（2）單調性設SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調增加；若有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調減少．（3）奇偶性設函數SKIPIF1<0的定義域SKIPIF1<0關于原點對稱．SKIPIF1<0，若有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為偶函數；若有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為奇函數．奇偶函數的基本運算性質：奇函數的代數和是奇函數，偶函數的代數和是偶函數；奇函數與偶函數的乘積是奇函數；偶數個奇（或偶）函數之積是偶函數，奇數個奇函數之積是奇函數．（4）周期性設SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為周期函數，SKIPIF1<0為周期．3．常見函數（1）反函數設SKIPIF1<0為單調函數，由SKIPIF1<0解出SKIPIF1<0，稱SKIPIF1<0為函數SKIPIF1<0的反函數，記作SKIPIF1<0．（2）復合函數設函數SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有定義，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為復合函數．（3）基本初等函數（5類）冪函數：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是常數）；指數函數：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）；對數函數：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）；三角函數：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；反三角函數：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（4）初等函數由常數和基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而構成的式子稱為初等函數．（5）冪指函數SKIPIF1<0，在后期求導和求極限的過程中，一般將函數轉化為：SKIPIF1<0．第二節(jié)極限考研數學中求極限的題目不少于10分，至少有一道大題．1．極限的定義（1）數列極限SKIPIF1<0定義：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．例1（2014年數三）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0充分大時有（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0（2）函數極限①自變量趨于有限值SKIPIF1<0定義：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．左極限SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．右極限SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．②自變量趨于無窮大SKIPIF1<0定義：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．2．極限的性質（1）數列極限的基本性質①（唯一性）極限若存在必唯一．②（有界性）若SKIPIF1<0存在，則SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，反之不對．若數列SKIPIF1<0無界，則SKIPIF1<0一定發(fā)散．③（保號性）SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，都有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．SKIPIF1<0：若數列SKIPIF1<0從某項起有SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．④（收斂列與子列極限的關系）若SKIPIF1<0，則它的任一子列極限存在且為SKIPIF1<0．使用較多的是：若數列SKIPIF1<0有兩個子列收斂于不同的極限，則數列SKIPIF1<0是發(fā)散的．SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例2設SKIPIF1<0，研究SKIPIF1<0是否存在．（2）函數極限的基本性質①（唯一性）極限若存在必唯一．②（局部有界性）若SKIPIF1<0存在，則SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．③（局部保號性）SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，使得當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．SKIPIF1<0：若在SKIPIF1<0的某去心領域內SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）．SKIPIF1<0：若SKIPIF1<0，則則SKIPIF1<0，使得當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0．④（函數極限與數列極限的關系）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．（會使用，不要求記憶定理）（3）極限運算法則（四則運算法則）如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（數列的極限四則運算法則類似）（復合函數的極限運算法則）設函數SKIPIF1<0是由函數SKIPIF1<0與函數SKIPIF1<0復合而成，SKIPIF1<0定義在SKIPIF1<0內，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（4）極限存在準則①（夾逼準則）SKIPIF1<0：設SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.SKIPIF1<0：設SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.例3求SKIPIF1<0.例4求SKIPIF1<0.②（單調有界定理）單調有界數列必有極限.單調遞增有上界，數列極限存在；單調遞減有下界，數列極限存在.例5數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…的極限存在.3．兩個重要極限和一些重要結論（1）兩個重要極限:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0型）.例6求SKIPIF1<0.例7求SKIPIF1<0.（2）重要結論①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.例8求SKIPIF1<0.⑤漸近線的求法垂直漸近線：若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的垂直漸近線.斜近線：若SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0的斜漸近線SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.例9求曲線SKIPIF1<0的漸近線.3．無窮小與無窮大（1）基本定義若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為無窮?。蝗鬝KIPIF1<0，則SKIPIF1<0為無窮大.二者的聯(lián)系：在自變量的同一變化過程中，若SKIPIF1<0為無窮大，則SKIPIF1<0為無窮??；若SKIPIF1<0為無窮小，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為無窮大.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是比SKIPIF1<0高階無窮?。ǖ碗A無窮?。蝗鬝KIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是同階無窮小（SKIPIF1<0，則為等價無窮?。蝗鬝KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是關于SKIPIF1<0是的SKIPIF1<0階無窮小.（2）無窮小的性質①無窮小的基本性質有限個無窮小的和、差、積還是無窮小；有界函數與無窮小之積是無窮小；常數與無窮小之積是無窮小.②等價無窮小的性質（自反性）SKIPIF1<0.（對稱性）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（傳遞性）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.（替換性）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0存在，則SKIPIF1<0.（重要性質）SKIPIF1<0.③常用等價無窮小當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例10求SKIPIF1<0.第三節(jié)連續(xù)1．基本概念（1）函數的連續(xù)性函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處連續(xù)SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0左連續(xù)；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0右連續(xù).例11設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0處連續(xù)，求SKIPIF1<0.（2）基本性質①四則運算性質：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均在SKIPIF1<0連續(xù)，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）都在SKIPIF1<0連續(xù).②反函數連續(xù)：若函數SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調增加（或單調減少）且連續(xù)，則它的反函數SKIPIF1<0在對應的區(qū)間SKIPIF1<0上單調增加（或單調減少）且連續(xù).③復合函數連續(xù)：若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0連續(xù)，且SKIPIF1<0，而函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處連續(xù)，則復合函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處連續(xù).④初等函數連續(xù)性：一切初等函數在其定義區(qū)間內都是連續(xù)的.（3）函數的間斷點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0間斷點的三種情形：SKIPIF1<0：在SKIPIF1<0沒有定義；SKIPIF1<0；雖在SKIPIF1<0有定義，但SKIPIF1<0不存在；SKIPIF1<0：雖在SKIPIF1<0有定義，且SKIPIF1<0存在，但SKIPIF1<0.①第一類間斷點：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0都存在可去間斷點：SKIPIF1<0；跳躍間斷點：SKIPIF1<0.②第二類間斷點：SKIPIF1<0與SKIPIF1<0至少有一個不存在例12討論SKIPIF1<0的間斷點，并判斷類型.2．閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質一般用于證明題.（有界性與最大最小值定理）閉區(qū)間上連續(xù)函數有界且一定能取得最大值和最小值.（零點定理）設函數SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0