電磁場與電磁波課后習題及答案六章習題解答6482

電磁場與電磁波課后習題及答案六章習題解答第六章時變電磁場6.1有一導體滑片在兩根平行的軌道上滑動，整個裝置位于正弦時變磁場Be5costmT之中，z如題6.1圖所示?；奈恢糜纱_x0.35(1cost)m定，軌道終端接有電阻，試求電流i.R0.2yiabR0.2mdcx0.7m題6.1圖解穿過導體回路abcda的磁通為BdSeBeadab5cost0.2(0.7x)zzcost[0.70.35(1cost)]0.35cost(1cost)故感應電流為1diEinRRdt10.35sint(12cost)1.75sint(12cost)mAR6.2一根半徑為a的長圓柱形介質(zhì)棒放入均勻磁場中與z軸平行。設棒以角速度繞BeB軸作等速旋轉(zhuǎn)，求介質(zhì)內(nèi)的極化強度、體積內(nèi)和z0表面上單位長度的極化電荷。解介質(zhì)棒內(nèi)距軸線距離為r處的感應電場為故介質(zhì)棒內(nèi)的極化強度為0EvBereBerBz0rPXEe(1)rBe()rB極化電荷體密度為e0rr00r00P1rr(rP)1rr()rB2P002()B0極化電荷面密度為0則介質(zhì)體積內(nèi)和表面上同單位長00Pne()rBe()aBraPr00r度的極化電荷分別為Qa212a()Ba2PiP002P00Q2a12a()BiPS6.3平行雙線傳輸線與一cdb矩形回路共面，如題6.3圖所示。題6.3圖設、、，求回路中的i1.0cos(2107t)Aa0.2mbcd0.1m感應電動勢。解由題給定的電流方向可知，雙線中的電流產(chǎn)生的磁感應強度的方向，在回路中都是垂直于紙面向內(nèi)的。故回路中的感應電動勢為EdBdSdBdSBdSdt左右dtin式中故2ri0iB左,B右02(bcdr)2r2iadrailn(bc)BdSbc00b左bsailn(bc)0iBdScdadr02(bcdr)2b右d則s0dt2aibc2dln()Ebinabcd)[1.0cos(2107t)]a2b2bdtln(041070.2ln2sin(2107t)2107V3.484sin(2107t)V6.4有一個環(huán)形線圈，導線的長度為l，分別通過以直流電源供應電壓U0和時變電源供應電壓U（t）。討論這兩種情況下導線內(nèi)的電場強度E。解設導線材料的電導率為，橫截面積為S，則導線的電阻為lRS而環(huán)形線圈的電感為L，故電壓方程為URiLdidt當U=U0時，電流i也為直流，0。故dtdillURi0JSJlES此時導線內(nèi)的切向電場為EUl0di(t)當U=U（t）時，，故0dtU(t)Ri(t)Ldi(t)RE(t)SL(E(t)S)ddtdtldE(t)dtSE(t)SLS即dE(t)lE(t)U(t)dtLSLS求解此微分方程就可得到。E(t)6.5一圓柱形電容器，內(nèi)導體半徑為a，外導體內(nèi)半徑為b，長為l。設外加電壓為，Usint0試計算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導電流。解當外加電壓的頻率不是很高時，圓柱形加直流電壓時相同（準靜態(tài)電場），即電容器兩極板間的電場分布與外的電場分布可視為EeUsint0rln(ba)r故電容器兩極板間的位移電流密度為Ucost0rln(ba)DtJedr則0rln(ba)Ucosteerddz2lidJSddrr00s2lUcostCUcostln(ba)002l式中，是長為l的圓柱形電容器的電容。Cln(ba)流過電容器的傳導電流為iCdUCUcostdtc0可見iidc6.6由麥克斯韋方程組出發(fā)，導出點電荷的電場強度公式和泊松方程。解點電荷q產(chǎn)生的電場滿足麥克斯韋方程E0和D由D得Ddd據(jù)散度定理，上式即為DdSq利用球?qū)ΨQ性，得sq4r2Der故得點電荷的電場表示式qEe4rr2由于，可取，則得EE0DE2即得泊松方程26.7試將麥克斯方程的微分形式寫成八個標量方程：（1）在直角坐標中；（2）在圓柱坐標中；（3）在球坐標中。解（1）在直角坐標中HyJDHyzzxtxHHzxHDzJyyxtHxJDyzxyEtzEHyzxyztEEzxEEHzyxtHxztyxyBBxBz0xyzyDDxDzyxyz（2）在圓柱坐標中H1HrJDzrztDrHrHzJzrt1(rH)1HrJDrtzrrzE1EHtrzzrHzEErzrt1(rE)1ErrHzrrt1BBz0rz1rr(rB)r1(rD)1DDzzrrrr（3）在球坐標系中H]JDt1rsin[(sinH)rr11H[r(rH)]JDtrsinrD1H]Jr[(rH)rrtEH1rsin][(sinE)rt11E(rE)]Ht[rsinrrH1E[(rE)]rrrtB0rsin1(r2B)1rsin(sinB)1r2rrDrsin1(r2D)1rsin1(sinD)r2rr6.8已知在空氣中，Ee0.1sin10xcos(6109tz)y求和。H提示：將E代入直角坐標中得。解電場E應滿足波動方程的波方程，可求2E02Et002將已知的EeE代入方程，得yy2E2E2Ey0t2yz2yx200式中2Ey0.1(10)2sin10xcos(6109tz)x22Ez2y0.1sin10x[2cos(6109tz)]2Et2y0.1sin10x[(6109)2cos(6109tz)]0000故得則(10)(6109)20220030054.41rad/m由HtE0得EyeEHt11E[ey]zxzx001[e0.1sin10xsin(6109tz)x0e0.110cos10xcos(6109tz)]將上式對時間t積分，得z1Η610[e0.1sin10xcos(6109tz]9x0ecos10xsin(6109tz)ze2.3104sin10xcos(6109t54.41z)xe1.33104cos10xsin(6109t54.41z)A/mz6.9已知自由空間中球面波的電場為EΕe0sincos(tkr)r求H和k。解可以和前題一樣將E代入波動方程來確定k，也可以直接由麥克斯韋方程求與E相伴的磁場H。而此磁場又要產(chǎn)生與之相伴的電場，得。將兩個電場比較，即同樣據(jù)麥克斯韋方程求可確定k的值。兩種方法本質(zhì)上是一樣的。由HtE0得Ht1e(rE)1Err001rr[Esincos(tkr)]e00keEsinsin(tkr)0r將上式對時間t積分，得0krHeEsincos(tkr)0（1）0將式（1）代入EHt0得E1Ht0(rsinH)][e1(rsinH)e1rsinr1rr2sin012kE0r2k2Esin0rsin(tkr)cos(tkr)eer將上式對時間t積分，得00012kE0k2E20rsincos(tkr)E2sin(tkr)er2r（2）e000將已知的EEe0sincos(tkr)r與式（2）比較，可得1含項的E分量應略去，且，即kr2r200k將代入式（1），得00k00HeEsincos(tkr)000r0Ee0sincos(tkr)A0r06.10試推導在線性、無損耗、各向同性的非均勻媒質(zhì)中用E和B表示麥克斯韋方程。解注意到非均勻媒質(zhì)的參數(shù)是空間坐,標的函數(shù)，因此B11H()()BB1BB12而tD(E)EtJJJt因此，麥克斯韋第一方程HJDt變?yōu)镋1BJtB又D(E)EE故麥克斯韋第四方程變?yōu)镈1EE則在非均勻媒質(zhì)中，用E和B表示的麥克斯韋方程組為E1BJtBEBtB1EE6.11寫出在空氣和的理想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件。解空氣和理想導體分界面的邊界條件nH1l為abcnE0nHJh根據(jù)電磁對偶原理，采用sd以下對偶形式H2題6.12圖EHHEJJ即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條sms件nH0nEJms式中，J為表面磁流密度。ms6.12提出推導nHJ的詳細步驟。解如題6.12圖所，設第2區(qū)為理想導1s示體（）。在分界面上取閉合路徑2。對該閉合路徑應用麥克abcda,abcdl,bcdah0斯韋第一方程可得HlHlHlHlaHdlddddbcdabcdCDHlHllim(JdSdS)t2h0（1）SSD因為為有限值，故上式中tlimDtdS0h0而(1)式中的另一項SlimJdSh0為閉合路徑所包圍的傳導電流。取N為閉合路S徑所圍面積的單位矢量（其指向與閉合路徑的繞行方向成右手螺旋關系），則有l(wèi)imJdSJNlsh0因Sl(Nn)l故式（1）可表示為（2）(HH)(Nn)lJNl12s應用矢量運算公式A(BC)(CA)B，式（2）變?yōu)閇nHH]NJN故得12sn(HH)J（3）12s由于理想導體的電導率，故必有，E0,H0222故式（3）變?yōu)閚HJ1s6.13在由理想導電壁（）限定的區(qū)域0xa內(nèi)存在一個由以下各式表示的電磁場：EHy()sin(x)sin(kzt)a0aHHk(a)sin(x)sin(kzt)x0aHHcos(x)cos(kzt)z0a這個電磁場滿足的邊界條件如何？導電壁上的電流密度的值如何？xa解如題6.13圖所示，應用理想導體的邊界條件可以得出o在x=0處，E0,H0題6.13圖yxHHcos(kzt)在x=a處，z0E0,H0yxHHcos(kzt)上述結(jié)果表明，在理想導體的表面，不存在電場z0的切向分量E和磁場的法向分量H。yx另外，在x=0的表面上，電流密度為JnH|e(eHeH)|x0sx0xxxzzeeHeHcos(kzt)在x=a的表面上，電流密度則為x0xzzy0JnH|e(eHeH)|xasxaxxxzzeeHeHcos(kzt)xzzxay06.14海水的電導率，在頻率f=1GHz4S/m時的相對介電常數(shù)。如果把海水視為一等效81r的電介質(zhì)，寫出H的微分方程。對于良導體，例如銅，，比較在f=1GHz時的位1,5.710S/m7r移電流和傳導電流的幅度。可以看出，即使在微波頻率下，良導體中的位移電流也是可以忽略的。寫出H的微分方程。解對于海水，H的微分方程為HJjDEjEj(j)E即把海水視為等效介電常數(shù)為j的電介質(zhì)。c代入給定的參數(shù)，得1049jEj2109(81)E2109j(4.5j4)E(4j4.5)E36對于銅，傳導電流的幅度為E，位移電流的幅度。故位移電流與傳導電流的幅度之比為E1365.71072f1092f9.751013fr0可見，即使在微波頻率下，銅中的位移電流也是可以忽略不計的。故對于銅，H的微分方程為HE5.7107E6.15計算題6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解瞬時能流密度矢量為SEHeE(eHeH)eEHeEHyyxxzzxyzzyxsin(x)cos(x)sin(kzt)cos(kzt)aaaeH2x0eH2k()2sin2(x)sin2(kzt)aaz0sin(x)cos(x)sin2(kzt)aa1aeH22x0eH2k()2sin2(x)[1cos2(kzt)]1a2az0為求平均能流密度矢量，先將電磁場各個分量寫成復數(shù)形式EH(a)sin(x)ejkzj2ay0HHk(a)sin(x)ejkzj2ax0HHcos(x)ejkzaz0故平均能流密度矢量為S1Re[EH*]1Re[eEH*eEH*]2122avxyzzyxasin(x)cos(x)ej2]Re[eH20aaxeH2k()2sin2(x)eH2k()2sin2(x)a1aa2az0z06.16寫出存在電荷J的無損耗媒質(zhì)和電流密度中E和H的波動方程。解存在外加源和J時，麥克斯韋方程組為EHJt（1）HEt（2）H0（3）E（4）對式（1）兩邊取旋度，得HJt(E)而H(H)2H故t(E)（5）(HHJ2將式（2）和式（3）代入式（5），得2HJ2Ht2這就是H的波動方程，是二階非齊次方程。同樣，對式（2）兩邊取旋度，得Et(H即(E2Et(H（6）將式（1）和式（4）代入式（6），得2EJ12Ett2此即E滿足的波動方程。對于正弦時變場，可采用復數(shù)形式的麥克斯韋方程表示HJjE（7）EjH（8）H0（9）E（10）對式（7）兩邊取旋度，得HJjE利用矢量恒等式得H(H2H(H2HJjE（11）將式（8）和式（9）代入式（11），得H+HJ22此即H滿足的微分方程，稱為非齊次亥姆霍茲方程。同樣，對式（8）兩邊取旋度，得EjH即(E2HjH（12）將式（7）和式（10）代入式（12），得12E+2EjJ此即E滿足的微分方程，亦稱非齊次亥姆霍茲方程。6.17在應用電磁位時，如果不采用洛倫茲條件，而采用所謂的庫侖規(guī)范，令A，試導出A和所滿足的微分方程。解將電磁矢量位A的關系式BA和電磁標量位的關系式AEt代入麥克斯韋第一方程HJDt得1EtH(A)JAJtt利用矢量恒等式A(A)2A得(A2A=JAt（1）()t又由D得AtE()即t2(A)（2）按庫侖規(guī)范，令A0，將其代入式（1）和式（2）得2At2J()2At（3）2（4）式（3）和式（4）就是采用庫侖規(guī)范時，電磁場A和所滿足的微分方程。6.18設電場強度和磁場強度分別為EEcos(t)0eHHcos(t)證明其坡印廷矢量的平均值為0mS1EHcos()2av00em解坡印廷矢量的瞬時值為SEHEcost)Hcos(t)0e0m1EH[cos(tt)]cos[tt]200emem1EH[cos(2t)cos()]200emem故平均坡印廷矢量為S1TSdtTav01T1EH)cos()]dt[cos(2tT2000emem1EHcos(