虛功原理和結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算

虛功原理和結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算第1頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二§9-1

結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述一、結(jié)構(gòu)位移的概念

結(jié)構(gòu)變形時，結(jié)構(gòu)上某個點(diǎn)的移動或某個截面產(chǎn)生的移動或轉(zhuǎn)動，稱為結(jié)構(gòu)的位移。

結(jié)構(gòu)的位移有兩大類。一類是線位移，指結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)沿直線方向移動的距離。另一類是角位移，指結(jié)構(gòu)上某截面轉(zhuǎn)動的角度。絕對位移：線位移和角位移——桿件結(jié)構(gòu)中某一截面位置或方向的改變。相對位移：相對線位移和相對角位移——兩個截面位移的差值或和。廣義位移：絕對位移和相對位移的統(tǒng)稱。第2頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二FPC’DD’ABC⊿CH⊿CVφCφCD⊿DV⊿CD第3頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二二、產(chǎn)生位移的原因

（2）溫度變化、材料脹縮（3）支座沉降、制造誤差以上都是絕對位移以上都是相對位移廣義位移位移計(jì)算雖是幾何問題，但是用虛功原理解決最方便（1）荷載第4頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二三、計(jì)算位移的目的（1）剛度驗(yàn)算；（2）超靜定結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)；（3）施工措施、建筑起拱、預(yù)應(yīng)力等。四、體系（結(jié)構(gòu)）的物理特性

本章只討論線性變形體系的位移計(jì)算，計(jì)算的理論基礎(chǔ)是虛功原理，計(jì)算的方法是單位荷載法。線性變形體系是指位移與荷載成線性關(guān)系的體系，當(dāng)荷載全部撤除后，位移將完全消失。第5頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二非線性體系：（1）物理非線性；（2）幾何非線性（大變形）。此體系的應(yīng)用條件是：（1）應(yīng)力、應(yīng)變滿足虎克定律；（2）變形微?。鹤冃吻昂蠼Y(jié)構(gòu)尺寸、諸力作用位置不變，位移計(jì)算可用疊加原理；（3）體系幾何不變，約束為理想約束。第6頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二§9-2

虛功和虛功原理一、虛功一個不變的力所做的功是以該力的大小與其作用點(diǎn)沿力方向相應(yīng)位移的乘積來衡量。W=PΔW

—功，單位是N·mP—力Δ

—與力相應(yīng)的位移把此式的定義擴(kuò)大：

實(shí)功是力在自身引起的位移上所作的功。

虛功是力在虛位移上作的功。如力與位移同向，虛功為正，反向時，虛功為負(fù)。（9-1）第7頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二1、廣義力與廣義位移作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)的因素，稱為廣義力S。與位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移Δ。廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：W=PΔ1）廣義力是單個力，則廣義位移是沿此力作用線方向的線位移。2）廣義力是一個力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角β，即角位移。第8頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二3）若廣義力是等值、反向的一對力P這里Δ是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩點(diǎn)間距的改變，即AB兩點(diǎn)的相對位移。4）若廣義力是一對等值、反向的力偶m這里Δ是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角。PPABABmmΔAB第9頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二2、虛功為了與實(shí)功相區(qū)別，虛功的虛是指力作功的位移不是由該力本身引起的，則：作功的力與相應(yīng)于力的位移彼此獨(dú)立無關(guān)。虛功=力×相應(yīng)于力的位移獨(dú)立無關(guān)第10頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二二、剛體體系虛功原理的兩種應(yīng)用

對于具有理想約束的剛體體系，其虛功原理為：設(shè)體系上作用任意的平衡力系，又設(shè)體系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體體系位移，則主動力在位移上所作的虛功總和恒等于零。即：

We

=0

理想約束——約束力在可能位移上所作的功恒等于零的約束，如：光滑鉸鏈、剛性鏈桿等。剛體

——具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系。剛體內(nèi)力在剛體的可能位移上所作的功恒為零。（9-2）第11頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

虛功原理（又稱虛位移原理、虛力原理）用于討論靜力學(xué)問題非常方便，是分析力學(xué)的基礎(chǔ)。因?yàn)樘摴υ碇衅胶饬ο蹬c可能位移無關(guān)，所以既可把位移視為虛設(shè)的，也可把力系視為虛設(shè)的。根據(jù)虛設(shè)的對象不同，虛功原理有兩種應(yīng)用形式，解決兩類不同的問題。虛功原理的兩種不同應(yīng)用，不但適用于剛體體系，也適用于變形體體系。第12頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二1、求靜定結(jié)構(gòu)的未知約束力

應(yīng)用虛功原理計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)某一約束力X（包括支座反力或任一截面的內(nèi)力）步驟如下：

（1）撤除與X相應(yīng)的約束，代以相應(yīng)的約束力X，使原來的靜定結(jié)構(gòu)變?yōu)榫哂幸粋€自由度的機(jī)構(gòu)，約束力X變成主動力X，X與原來的力系維持平衡。

（2）令機(jī)構(gòu)發(fā)生一剛體體系的可能位移，沿X正方向相應(yīng)的位移為單位位移，即δx=1，這時，與荷載P相應(yīng)的位移為δp，得到一個虛位移狀態(tài)。第13頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二（3）在平衡力系和虛位移之間建立虛功方程X·1+ΣP

δp=0（4）求出單位位移δx=1與δp之間的集合關(guān)系，代入虛功方程，得到X=-ΣP

δp這種求約束力和內(nèi)力的方法，稱單位位移法。見教材P137例9.1第14頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二2、求靜定結(jié)構(gòu)的未知位移例1：圖示簡支梁，支座A向上移動一已知距離c1,現(xiàn)在擬求B點(diǎn)的豎向線位移ΔB。解：已給位移狀態(tài);虛設(shè)力狀態(tài)，在擬求位移ΔB方向上加一單位荷載FP=1，形成平衡力系。c1△BFP=1FR1=-b/a第15頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二虛功方程：△B·1+c1·FR1=0由平衡方程求出：FR1=-b/a△B=FP·c1=b/a·c1注：

a、虛設(shè)力系，應(yīng)用虛功原理，稱為虛力原理。若設(shè)FP=1，稱為虛單位荷載法。

b、虛功方程在此實(shí)質(zhì)上是幾何方程。即利用靜力平衡求解幾何問題。

c、方程求解的關(guān)鍵，在于擬求⊿方向虛設(shè)單位荷載，利用力系平衡求出與c1相應(yīng)的R1,即利用平衡方程求解幾何問題。

上述方法也可稱為“單位荷載法”

c1△BFP=1FR1=-b/a第16頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

d、通過上例可推出靜定結(jié)構(gòu)支座移動時，位移計(jì)算的一般公式。

注：因?yàn)殪o定結(jié)構(gòu)在支座移動作用下，不產(chǎn)生反力、內(nèi)力，也不引起應(yīng)變；所以屬于剛體體系的位移問題，可用剛體虛功原理求解。第17頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二3、支座移動時靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算（屬剛體體系的位移計(jì)算問題）

當(dāng)支座有給定位移ck時（可能不止一個），

（a）沿擬求位移⊿方向虛設(shè)相應(yīng)單位荷載，并求出單位荷載作用下的支座反力FRK。

（b）令虛擬力系在實(shí)際位移上作虛功，寫虛功方程：（c）由虛功方程，解出所求位移：（9-3）（9-4）第18頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

例1:

圖示三鉸剛架，支座B下沉c1，向右移動c2。求鉸C的豎向位移⊿CV和鉸左右截面的相對角位移φC。l/2l/2lc1

c2

⊿CV

φC第19頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二l/2l/2lc1

c2

⊿CV

φC實(shí)際狀態(tài)FP=11/21/21/41/4虛擬狀態(tài)

⊿CV

=-∑FRKcK=-[-1/2×c1–1/4×c2

]=c1/2+c2/4(↓)第20頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二l/2l/2lc1

c2

⊿CV

φC實(shí)際狀態(tài)φC=-∑FRKcK=-[-1/l×c2]=c2/l()MP=11

/l1

/l第21頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二BABA1AB虛功方程：

例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角d，試求A點(diǎn)在i－i方向的位移。

解：①在B處加鉸（將實(shí)際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)）。②A點(diǎn)加單位荷載FP=1，在鉸B處虛設(shè)一對彎矩M（為保持平衡）第22頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二BABA1A

例3、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對剪位移d，試求A點(diǎn)在i－i方向的位移。

解：①、在B截面處加機(jī)構(gòu)如圖（將實(shí)際位移狀態(tài)明確地表示為剛體體系的位移狀態(tài)）。②、A點(diǎn)加單位荷載FP=1，在鉸B處虛設(shè)一對剪力Q（為保持平衡）第23頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

例4、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d試求A點(diǎn)在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡條件：虛功方程：

當(dāng)截面B同時產(chǎn)生三種相對位移時，在i－i方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：第24頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二§9-3結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式——變形體的位移計(jì)算

結(jié)構(gòu)屬于變形體，在一般情況下，結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)變。結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算問題，屬于變形體體系的位移計(jì)算問題。采用方法仍以虛功法最為普遍。推導(dǎo)位移計(jì)算一般公式有幾種途徑：

1、根據(jù)變形體體系的虛功方程，導(dǎo)出位移計(jì)算的一般公式。

2、應(yīng)用剛體體系的虛功原理，導(dǎo)出局部變形的位移公式；然后應(yīng)用疊加原理，導(dǎo)出變形體體系的位移計(jì)算公式。第25頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二一、局部變形時的位移計(jì)算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三種應(yīng)變：設(shè)靜定結(jié)構(gòu)中的某個微段ds出現(xiàn)局部變形，微段兩端相鄰截面出現(xiàn)相對位移。而結(jié)構(gòu)的其他部分沒有變形，仍然是剛體，分析局部變形所引起的位移。軸線曲率R為桿件軸向變形后的曲率半徑B彎曲應(yīng)變A第26頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二dsRdsdsRds1（2）微段兩端相對位移：軸向伸長應(yīng)變平均剪切應(yīng)變BA第27頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二續(xù)基本思路：

設(shè) 三種相對位移還存在，相當(dāng)于整個結(jié)構(gòu)除B截面發(fā)生集中變形外，其他部分都是剛體未變形，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求局部變形位移。（3）應(yīng)用剛體虛功原理求出點(diǎn)A的位移d－即前例的結(jié)論?；颍?-5）第28頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二二、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式如果結(jié)構(gòu)由多個桿件組成，則整個結(jié)構(gòu)變形引起某點(diǎn)的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有給定位移，則總的位移為：由疊加原理：

總位移⊿=疊加每個微段變形在該點(diǎn)(A)處引起的微小位移d⊿（9-6）第29頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二單位荷載虛功=所求位移其中包含：彎曲變形對位移的影響（9-7）軸向變形對位移的影響（9-8）剪切變形對位移的影響（9-9）支座移動對位移的影響（9-10）第30頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

變形體虛功原理各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和Wi，等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We。即：（9-11）（9-12）第31頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二適用范圍與特點(diǎn)：2）形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程?！窘o出已知變形（內(nèi)部變形κ、ε、γ0

和支座位移ck），與擬求位移⊿之間的關(guān)系?！筷P(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）產(chǎn)生變形的因素：荷載、溫度改變、支座移動等。（3）結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、拱、桁架等靜定、超靜定。（4）材料種類：彈性與非彈性，各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理。第32頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二位移計(jì)算公式也是變形體虛功原理的一種表達(dá)式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虛功：內(nèi)虛功：第33頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二三、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般步驟

已知結(jié)構(gòu)桿件各微段的應(yīng)變κ、ε、γ0（根據(jù)引起變形的原因而定），支座移動ck，求結(jié)構(gòu)某點(diǎn)沿某方向的位移⊿。1、沿欲求⊿方向設(shè)FP=1。2、根據(jù)平衡條件求出FP=1作用下的M、FN、FQ、FR。3、根據(jù)公式可求出⊿。注意正負(fù)號：②位移計(jì)算公式中各乘積表示，力與變形方向一致，乘積為正，反之為負(fù)。①求得⊿為正，表明位移⊿的實(shí)際方向與所設(shè)單位荷載方向一致。第34頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二§9-4荷載作用下的位移計(jì)算一、荷載作用下的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式

根據(jù)公式

本節(jié)討論中，設(shè)材料是線彈性的。在此，微段應(yīng)變

κ、

ε、

γ0

是由荷載引起的（實(shí)際位移狀態(tài)），由荷載—內(nèi)力—應(yīng)力—應(yīng)變順序求出。（9-6）第35頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二由材料力學(xué)公式可知：荷載作用下相應(yīng)的彎曲、拉伸、剪切應(yīng)變可表示為：彎曲應(yīng)變：κ=MP/EI

軸向應(yīng)變：

ε=NP/EA(9-13)

平均剪切應(yīng)變：

γ0=kQP/GA第36頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二式中：①

NP，QP

，

MP是荷載作用下，結(jié)構(gòu)各截面上的軸力，剪力，彎矩。注意這是在實(shí)際狀態(tài)下的內(nèi)力。②E，G材料的彈性模量和剪切彈性模量。③A，I桿件截面的面積和慣性矩。④EA，GA，EI桿件截面的抗拉，抗剪，抗彎剛度。⑤k是與截面形狀有關(guān)的系數(shù)（剪應(yīng)力分布不均勻系數(shù)）計(jì)算公式

（9-14）第37頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

將（9-14）代入（9-6）可得荷載作用下平面桿件結(jié)構(gòu)彈性位移計(jì)算的一般公式：（9-15）將位移計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為兩種狀態(tài)下的內(nèi)力計(jì)算問題。正負(fù)號規(guī)定：N、NP

拉力為正；Q、QP

同材料力學(xué)M、MP使桿件同側(cè)纖維受拉時，乘積為正。第38頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二二、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式（1）梁和剛架：位移主要由彎曲變形引起。

（2）桁架：各桿只有軸力，且各桿截面和各桿軸力沿桿長一般為常數(shù)。（9-16）（9-17）第39頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二（3）組合結(jié)構(gòu)：一些桿件主要受彎，一些桿件只有軸力。（4）拱：

①扁平拱及拱的合理軸線與拱軸相近時：②通常情況：

（9-18）（9-19）（9-20）第40頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二例:簡支梁的位移計(jì)算。求圖示簡支梁中點(diǎn)C的豎向位移⊿CV和截面B的轉(zhuǎn)角φB。解：求C點(diǎn)的豎向位移。

虛擬狀態(tài)如圖；FP=11/2

實(shí)際狀態(tài)

虛擬狀態(tài)MP=q(lx-x2)/2M=x/2QP=q(l-2x)/2Q=1/2

因?qū)ΨQ性，只計(jì)算一半。三、荷載作用下的位移計(jì)算舉例第41頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

討論剪切變形和彎曲變形對位移的影響：

設(shè)簡支梁為矩形截面，k=1.2,I/A=h2/12,

橫向變形系數(shù)μ=1/3,E/G=2(1+μ)=8/3。

⊿Q/⊿M=(kql2/8GA)/(5ql4/384EI)

=9.6/l2·k·E/G·I/A=2.56(h/l)2l/20第42頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二當(dāng)h/l=1/10時,則：⊿Q/⊿M=2.56﹪

對一般梁來說，可略去剪切變形對位移的影響。

但當(dāng)梁h/l＞1/5時,則：⊿Q/⊿M=10.2﹪則對于深梁，剪切變形對位移的影響不可忽略。第43頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二求截面B的轉(zhuǎn)角φB

。

虛擬狀態(tài)如圖所示。M=11/l實(shí)際狀態(tài)

虛擬狀態(tài)MP=q(lx-x2)/2M=-x/l

計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說明實(shí)際位移與虛擬力方向相反。1/l第44頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二例:

圖示一屋架，屋架的上弦桿和其他壓桿采用鋼筋混凝土桿，下弦桿和其他拉桿采用鋼桿。試求頂點(diǎn)C的豎向位移。解：

（1）求NP先將均布荷載q化為結(jié)點(diǎn)荷載FP=ql/4

。求結(jié)點(diǎn)荷載作用下的FNP

。第45頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二0.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l1111/21/2FNP3.002.02.0-4.74-4.42-0.951.504.500.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l10.50.5FN（2）求-1.58-1.58001.51.5第46頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二第47頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二§9-5圖乘法一、圖乘法的適用條件

計(jì)算彎曲變形引起的位移時，要求下列積分：符合下列條件時，積分運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為圖乘運(yùn)算，比較簡便。適用條件為：（1）桿軸為直線；（2）桿段

EI=常數(shù)；（3）M和MP中至少有一個是直線圖形。第48頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二二、圖乘公式

圖示為AB桿的兩個彎矩圖。

M為直線圖形，MP

為任意圖形。

該桿截面抗彎剛度EI=常數(shù)。OO’MP圖α

M圖由M圖可知：M=y=xtanαdxdA=MPdxyxCxCyCAB第49頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二⊿=xCtana=yC⊿=∫(MMP/EI)ds=

由此可見，當(dāng)滿足上述三個條件時，積分式的值⊿就等于MP圖的面積A乘其形心所對應(yīng)M圖上的豎標(biāo)yC，再除以EI。

正負(fù)號規(guī)定：

A與yC在基線的同一側(cè)時為正，反之為負(fù)。A

xCtana1EI·A·yC1EI（9-21）第50頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二三、應(yīng)用圖乘法計(jì)算位移時的幾點(diǎn)注意1、應(yīng)用條件：桿段必須是分段等截面（直桿）；EI不能是x的函數(shù)；兩圖形中必有一個是直線圖形，yC取自直線圖形中。2、正負(fù)號規(guī)定：

A與yC同側(cè)，乘積A

yC取正；A與yC不同側(cè)，則乘積A

yC取負(fù)。3、幾種常用圖形的面積和形心位置：見書P.146,圖9.13，注意正面積和斜面積是相同的。曲線圖形要注意圖形頂點(diǎn)位置。第51頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

4、如果兩個圖形均為直線圖形，則標(biāo)距yC可取自任何一個圖形。

5、當(dāng)yC所屬圖形是由幾段直線組成的折線圖形，則圖乘應(yīng)分段進(jìn)行。在折點(diǎn)處分段圖乘，然后疊加。（為什么？）A1y1A2y2A3y3

當(dāng)桿件為階段變化桿件時（各段EI=常數(shù)），應(yīng)在突變處分段圖乘，然后疊加。（為什么？）第52頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二6、把復(fù)雜圖形分為簡單圖形

（使其易于計(jì)算面積和判斷形心位置）

取作面積的圖形有時是不規(guī)則圖形，面積的大小或形心的位置不好確定?？煽紤]把圖形分解為簡單圖形（規(guī)則圖形）分別圖乘后再疊加。第53頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

（1）、如兩圖形均為梯形，不必求梯形形心，可將其分解為兩個標(biāo)準(zhǔn)三角形進(jìn)行計(jì)算。ABCDabMPlcdMC1yC1C2yC2ACDMP’C1aADBbMP’’C2MP=MP’+MP’’⊿=(1/EI)∫MMPds=(1/EI)∫M(MP’+MP’’)ds⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2)yC2]⊿=l6EI(2ac+2bd+ab+bc)yC1=c+1/3(d-c)=1/3d+2/3cyC2=c+2/3(d-c)=2/3d+1/3c第54頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

(2)、左圖也可分為兩個標(biāo)準(zhǔn)三角形，進(jìn)行圖乘運(yùn)算。ABCDabMPcdMlC1yC1yC2C2C1abC2MP’MP’’⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2)yC2]其中:yC1=2c/3-d/3yC2=(2d/3-c/3)⊿=l6EI(2ac+2bd-ab-bc)O第55頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二（3）、一般情況

右圖所示為某一段桿(AB)的MP圖?？蓪⒋藞D分解為三個圖形，均為標(biāo)準(zhǔn)圖形，然后與M圖圖乘，圖乘后疊加。第56頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二四、示例例1、求懸臂梁中點(diǎn)C的撓度⊿CV，EI=常數(shù)。解：

（1）、設(shè)虛擬力狀態(tài)如圖，作M和MP。由于均為直線圖形，故AP可任取。FPl/2l/2⊿CVFPMPFPl1l/2MA5FPl/6M:A=1/2×l/2×l/2=l2/8MP:yC=5/6×FPl⊿CV=A·yC/EI=(l2/8×5/6×FPl)/EI

=5FPl3/48EI(↓)

第57頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二(2)、討論若：

AP=1/2×FPl×l=Pl2/2

yC=1/3×l/2=l/6⊿CV=AP·yC/EI

=(FPl2/2×l/6)/EI

=FPl3/12EI(↓)對否？錯在哪里？FPl/2l/2⊿CVFPMPFPlAP1l/2Ml/6第58頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二FPl/2l/2⊿CVFPAP1l/23、正確的作法AP1=1/2×FPl×l/2=FPl2/4

y1=l/3AP2=1/2×FPl/2×l/2=FPl2/8

y2=l/6AP3=1/2×FPl/2×l/2=FPl2/8y3=0FPl⊿CV=∑AP·yC/EI=(FPl2/4×l/3+FPl2/8×l/6+FPl2/8×0)/EI=5FPl3/48EI(↓)第59頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二60kN12kN例:

圖示剛架，用圖乘法求B端轉(zhuǎn)角θB;CB桿中點(diǎn)D的豎向線位移⊿DV。各桿EI=常數(shù)。EI=常數(shù)

解:1、作荷載作用下結(jié)構(gòu)的彎矩圖。72kN72kN12kN第60頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二25245=1/8×10×6290MP圖(kN?m)2、作虛擬力狀態(tài)下的圖M。M=11M3、求θB。圖乘時注意圖形分塊。C1C2y1y2C3C4y3y412*6+1/2*10*62=25212*6+60*3=2521/4*60*6=901/2*90*1/2*6*2/3+1/2*90*1/2*6*1/3=1/2*90*6*(1/2)第61頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二2524590MP圖(kN?m)14、作虛擬力狀態(tài)下的圖M。5、求⊿CV，圖乘時注意圖形分塊。3M(m)81C1C2C3C4C5y1y2y3y4y545/4=1/32ql2第62頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二例：q=16kN/m64kN?m64kN?m16kN?m16kN?m

求鉸C左右截面相對轉(zhuǎn)角θC。各桿EI=5×104kN·m2

。解：作荷載作用下的彎矩圖；虛擬力作用下的彎矩圖。（注意：①斜桿彎矩圖的做法；②各彎矩圖的單位。）第63頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二32=1/8×16×4232θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1)-(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI

kN·m

m

kN/m2=0.005867（弧度）

方向與虛擬力方向一致。第64頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二§9-6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時的位移計(jì)算

平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式在此：ε，γ，

κ由溫度作用引起。注意靜定結(jié)構(gòu)特征：

①組成：無多余約束的幾何不變體系；②靜力：溫度作用下靜定結(jié)構(gòu)無反力、內(nèi)力；桿件有變形，結(jié)構(gòu)有位移。

溫度作用時由于材料熱脹冷縮，使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形和位移。第65頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二1、溫度變化時靜定結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)：（1）有變形（熱脹冷縮）均勻溫度改變（軸向變形）；不均勻溫度改變（彎曲、軸向變形）；無剪切變形。（2）無反力、內(nèi)力。第66頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二2、微段由于溫度改變產(chǎn)生的變形計(jì)算設(shè)溫度沿截面厚度h直線變化。（1）軸向伸長（縮短）變形：設(shè)桿件上邊緣溫度升高t10，下邊緣升高t20。形心處軸線溫度：

t0=(h1t2+h2t1)/h

（截面不對稱于形心軸時）

t0=(t2+t1)/2

（截面對稱于形心軸時）

du=εds=α·t0ds

α——材料線膨脹系數(shù)。ds形心軸+t1

+t2

t0

h

h1

h2αt1dsαt2dsdudφ第67頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

(2)由上下邊緣溫差產(chǎn)生的彎曲變形：

上下邊緣溫差

⊿t=t2–t1dθ=κds=α(t2-t1)/hds=α⊿t/hds（3）溫度作用不產(chǎn)生剪切變形

γds=03、溫度作用時位移計(jì)算公式（9-22）第68頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二如t0，⊿t和h沿每桿桿長為常數(shù)，則：（9-23）①正負(fù)號：軸力FN以拉力為正，t0以溫度升高為正。彎矩M和溫差Δt用其乘積定正負(fù)號，比較虛擬狀態(tài)的變形與實(shí)際狀態(tài)中由于溫度變化引起的變形，若使桿同側(cè)產(chǎn)生拉伸變形時，則取正號，反之，則取負(fù)號。②剛架（梁）中由溫度變化引起的軸向變形不可忽略。第69頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二例：圖示剛架，施工時溫度為200C，試求冬季當(dāng)外側(cè)溫度為-100C，內(nèi)側(cè)溫度為00C時，點(diǎn)A的豎向位移⊿AV，已知α=10-5，h=40cm（矩形截面）。l=4ml=4mA00C-100C外側(cè)溫度改變：t1=-10–20=-300內(nèi)側(cè)溫度改變：t2=0–20=-200-300C-200C第70頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二l=4ml=4mA-300C-200CFP=1FNFN=0FN=-1FP=1lMt0=(t1+t2)/2=（-30–20）/2=-250⊿t=t2-t1=-20-（-30）=100⊿AV=α×(-25)×(-1)×l+(-)α×10/h×(1/2×l×l+l×l)=-0.5cm(↑)第71頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二提問：（1）、若當(dāng)結(jié)構(gòu)某些桿件發(fā)生尺寸制造誤差，要求結(jié)構(gòu)的位移，應(yīng)如何處理？

應(yīng)根據(jù)位移計(jì)算的一般公式進(jìn)行討論。特點(diǎn)：除有初應(yīng)變（制造誤差）的桿件外，其余桿件不產(chǎn)生任何應(yīng)變。在有初應(yīng)變的桿件中找κ、ε、γ即可。第72頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二（2）、靜定結(jié)構(gòu)由荷載、溫度改變、支座移動、尺寸誤差、材料漲縮等因素共同作用下，產(chǎn)生的位移應(yīng)如何計(jì)算？

可先分開計(jì)算，在進(jìn)行疊加第73頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二§9-7線性變形體系的互等定理狀態(tài)Ⅰ狀態(tài)Ⅱ一、功的互等定理

貝蒂（E.Betti意1823—1892）定理FP1FP1FR1FP2⊿21⊿12⊿12dsds

令狀態(tài)Ⅰ上的力系在狀態(tài)Ⅱ的位移上作虛功第74頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

令狀態(tài)Ⅱ上的力系在狀態(tài)Ⅰ的位移上作虛功

比較（a）、（b）兩式，知：W12=W21

（9-24）∑FP1⊿12=∑FP2⊿21或?qū)憺椋?/p>

虛功W有兩個下標(biāo)，第一個下標(biāo)表示做功的力系狀態(tài)，第二個下標(biāo)表示相應(yīng)的變形狀態(tài)。第75頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二功的互等定理：

在任一線性變形體系中，第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上作的虛功W12，等于第二狀態(tài)上的外力在第一狀態(tài)上作的虛功W21。功的互等定理應(yīng)用條件：（1）材料彈性，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。

（2）小變形，不影響力的作用。即為線性彈性體系。第76頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二應(yīng)用時注意：

廣義力廣義位移對應(yīng)

由：W12=FP1·⊿12，W21=FP2·⊿21

有：W12=W21，F(xiàn)P1·⊿12=FP2·⊿12FP1122M2M21⊿21⊿12第77頁，共87頁，2023年，2月20日，星期二

二、位移互等定理

（位移影響系數(shù)互等）位移互等定理是功的互等定理的一個特殊情況。位移互等定理：在任一線性彈性體系中，由單位荷載FP2=1所引起的與荷載FP1相應(yīng)的位移δ12，等于由荷載FP1=1所引起的與FP2相應(yīng)的位移δ