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文檔簡介
振動力學(xué)梁的橫向振動演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有48頁\編輯于星期三(優(yōu)選)振動力學(xué)梁的橫向振動.現(xiàn)在是2頁\一共有48頁\編輯于星期三梁的橫向振動
僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動。這種振動只有當(dāng)梁存在主平面的情形才能發(fā)生,并符合材料力學(xué)中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)?,F(xiàn)在是3頁\一共有48頁\編輯于星期三1、運動微分方程
在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz,原點位于梁的左端截面的形心,x軸與梁平衡時的軸線重合。假設(shè)梁在振動過程中,軸線上任一點的位移u(x,t)均沿z軸方向?,F(xiàn)在是4頁\一共有48頁\編輯于星期三
取微段梁dx,截面上的彎矩與剪力為M和Q,其正負(fù)號的規(guī)定和材料力學(xué)一樣。
則微段梁dx沿z方向的運動方程為:現(xiàn)在是5頁\一共有48頁\編輯于星期三即利用材料力學(xué)中的關(guān)系得到梁的彎曲振動方程現(xiàn)在是6頁\一共有48頁\編輯于星期三邊界條件
和一維波動方程一樣,要使彎曲振動微分方程成為定解問題,必需給出邊界條件和初始條件。
梁的每一端必須給出兩個邊界條件(以左端為例)。(1)固定端:撓度和轉(zhuǎn)角為0,即現(xiàn)在是7頁\一共有48頁\編輯于星期三(2)簡支端:撓度和彎矩為0,即(3)自由端:彎矩和剪力為0,即其它邊界條件用類似的方法給出?,F(xiàn)在是8頁\一共有48頁\編輯于星期三2、梁彎曲自由振動的解令振動方程中的干擾力為0,得到對于均勻梁,振動方程為其中現(xiàn)在是9頁\一共有48頁\編輯于星期三假定有分離變量形式的解存在,令代入方程得到寫為現(xiàn)在是10頁\一共有48頁\編輯于星期三則有其中(稱為特征方程)現(xiàn)在是11頁\一共有48頁\編輯于星期三方程的通解為
由特征方程,利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程,進(jìn)一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用四個邊界條件只能確定四個積分常數(shù)之間的比值?,F(xiàn)在是12頁\一共有48頁\編輯于星期三【例1】求簡支梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解以及解:邊界條件為撓度和彎矩為0。現(xiàn)在是13頁\一共有48頁\編輯于星期三得到以及則則以及頻率方程由此解得現(xiàn)在是14頁\一共有48頁\編輯于星期三所以固有頻率振型為
第i階振型有i-1個節(jié)點。節(jié)點坐標(biāo)即現(xiàn)在是15頁\一共有48頁\編輯于星期三【例2】求兩端固定梁彎曲振動的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解得到以及解:邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0,即現(xiàn)在是16頁\一共有48頁\編輯于星期三化簡后得到頻率方程求得求出b后得到固有頻率現(xiàn)在是17頁\一共有48頁\編輯于星期三振型為現(xiàn)在是18頁\一共有48頁\編輯于星期三【例3】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的
均勻梁彎曲振動的頻率方程。解:左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0現(xiàn)在是19頁\一共有48頁\編輯于星期三解:左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0現(xiàn)在是20頁\一共有48頁\編輯于星期三右端的邊界條件:彎矩為0,剪力等于彈性力現(xiàn)在是21頁\一共有48頁\編輯于星期三代入特征方程的解以及現(xiàn)在是22頁\一共有48頁\編輯于星期三進(jìn)一步化簡后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為現(xiàn)在是23頁\一共有48頁\編輯于星期三將邊界條件代入得到求得現(xiàn)在是24頁\一共有48頁\編輯于星期三討論:(1)k=0時,頻率方程變?yōu)榧礊閼冶哿旱那闆r。(2)k趨于無窮大時,頻率方程變?yōu)榛蚣礊樽蠖斯潭?,右端簡支的情況。現(xiàn)在是25頁\一共有48頁\編輯于星期三【思考題】證明圖示懸臂梁在x=l處的邊界條件為:現(xiàn)在是26頁\一共有48頁\編輯于星期三關(guān)于振型函數(shù)的正交性
和一維波動方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階特征值滿足現(xiàn)在是27頁\一共有48頁\編輯于星期三
考慮邊界條件為簡支、自由、固定的情況,梁端點的位移、彎矩或剪力為0,則對第j階振型進(jìn)行上面類似的運算得:現(xiàn)在是28頁\一共有48頁\編輯于星期三用Fj左乘上式兩端,并積分現(xiàn)在是29頁\一共有48頁\編輯于星期三上兩式相減得則i=j(luò)時現(xiàn)在是30頁\一共有48頁\編輯于星期三梁在激勵力作用下的響應(yīng)
和一維波動方程一樣,用振型疊加法求響應(yīng)1.標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)(正則坐標(biāo))
對振型函數(shù)按下式條件正則化現(xiàn)在是31頁\一共有48頁\編輯于星期三2.對初始激勵的響應(yīng)
設(shè)初始條件為將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開現(xiàn)在是32頁\一共有48頁\編輯于星期三用rAFj左乘上兩式,并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵響應(yīng)現(xiàn)在是33頁\一共有48頁\編輯于星期三物理坐標(biāo)下的響應(yīng)現(xiàn)在是34頁\一共有48頁\編輯于星期三響應(yīng)求解步驟:(1)根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;(2)利用標(biāo)準(zhǔn)化條件確定振型中的常數(shù)因子;(3)將初始條件變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo);(4)求標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng);(5)求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。現(xiàn)在是35頁\一共有48頁\編輯于星期三【例4】長為l的均勻簡支梁初始靜止,設(shè)在x=x1處的微段d上有初始速度v,求系統(tǒng)對此初始條件的響應(yīng)。
解:(1)固有頻率與相應(yīng)的固有振型為(2)由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci現(xiàn)在是36頁\一共有48頁\編輯于星期三求得所以(3)初始條件。按題意現(xiàn)在是37頁\一共有48頁\編輯于星期三變換到主坐標(biāo)下現(xiàn)在是38頁\一共有48頁\編輯于星期三3.對外激勵的響應(yīng)(1)分布干擾力
設(shè)干擾力密度為f(x,t),和前面桿的外激勵受迫振動響應(yīng)推動方法一樣。利用標(biāo)準(zhǔn)化振型函數(shù)Fi,得到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的解耦方程利用杜哈美積分得現(xiàn)在是39頁\一共有48頁\編輯于星期三(4)響應(yīng)總響應(yīng)為現(xiàn)在是40頁\一共有48頁\編輯于星期三(2)集中力
設(shè)在x=x1處受集中力F(t),這時可以用函數(shù)表示為分布形式:F(x,t)dx(x-x1),方程變?yōu)榭傢憫?yīng)為現(xiàn)在是41頁\一共有48頁\編輯于星期三(3)集中力偶(不推導(dǎo),只給出結(jié)果)
設(shè)在x=x1處受集中力M(t),這時有總響應(yīng)為現(xiàn)在是42頁\一共有48頁\編輯于星期三強(qiáng)迫振動的響應(yīng)求解步驟:(1)根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;(2)利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子;(3)求主坐標(biāo)下的響應(yīng);(4)求廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)?,F(xiàn)在是43頁\一共有48頁\編輯于星期三
解:(1)固有頻率與相應(yīng)的固有振型為(2)由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci【例5】設(shè)長為l的簡支梁在x=a處受集中力Fsint作用,求響應(yīng)。求得現(xiàn)在是44頁\一共有48頁\編輯于星期三(3)響應(yīng)現(xiàn)在是45頁\一共有48頁\編輯于星期三【例6】火車在很長的橋梁上通過,可以簡化為一均勻筒支梁受到以等速率v向右運動的荷重P的作用。假設(shè)在初
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