振動(dòng)力學(xué)梁的橫向振動(dòng)演示文稿

振動(dòng)力學(xué)梁的橫向振動(dòng)演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三（優(yōu)選）振動(dòng)力學(xué)梁的橫向振動(dòng).現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三梁的橫向振動(dòng)

僅討論梁在主平面內(nèi)的平面彎曲振動(dòng)。這種振動(dòng)只有當(dāng)梁存在主平面的情形才能發(fā)生，并符合材料力學(xué)中梁彎曲的小變形假設(shè)和平面假設(shè)?，F(xiàn)在是3頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三1、運(yùn)動(dòng)微分方程

在梁的主平面上取坐標(biāo)xoz，原點(diǎn)位于梁的左端截面的形心，x軸與梁平衡時(shí)的軸線重合。假設(shè)梁在振動(dòng)過(guò)程中，軸線上任一點(diǎn)的位移u(x,t)均沿z軸方向?，F(xiàn)在是4頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三

取微段梁dx，截面上的彎矩與剪力為M和Q，其正負(fù)號(hào)的規(guī)定和材料力學(xué)一樣。

則微段梁dx沿z方向的運(yùn)動(dòng)方程為：現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三即利用材料力學(xué)中的關(guān)系得到梁的彎曲振動(dòng)方程現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三邊界條件

和一維波動(dòng)方程一樣，要使彎曲振動(dòng)微分方程成為定解問(wèn)題，必需給出邊界條件和初始條件。

梁的每一端必須給出兩個(gè)邊界條件(以左端為例)。（1）固定端：撓度和轉(zhuǎn)角為0，即現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三（2）簡(jiǎn)支端：撓度和彎矩為0，即（3）自由端：彎矩和剪力為0，即其它邊界條件用類似的方法給出?，F(xiàn)在是8頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三2、梁彎曲自由振動(dòng)的解令振動(dòng)方程中的干擾力為0，得到對(duì)于均勻梁，振動(dòng)方程為其中現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三假定有分離變量形式的解存在，令代入方程得到寫為現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三則有其中（稱為特征方程）現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三方程的通解為

由特征方程，利用邊界條件即可求出振型函數(shù)F(x)和頻率方程，進(jìn)一步確定系統(tǒng)的固有頻率wi。用四個(gè)邊界條件只能確定四個(gè)積分常數(shù)之間的比值。現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三【例1】求簡(jiǎn)支梁彎曲振動(dòng)的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解以及解：邊界條件為撓度和彎矩為0?，F(xiàn)在是13頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三得到以及則則以及頻率方程由此解得現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三所以固有頻率振型為

第i階振型有i－1個(gè)節(jié)點(diǎn)。節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)即現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三【例2】求兩端固定梁彎曲振動(dòng)的固有頻率與固有振型。代入特征方程的解得到以及解：邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0，即現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三化簡(jiǎn)后得到頻率方程求得求出b后得到固有頻率現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三振型為現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三【例3】求左端固定、右端用剛度為k的彈簧支承的

均勻梁彎曲振動(dòng)的頻率方程。解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三解：左端的邊界條件為撓度和轉(zhuǎn)角為0現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三右端的邊界條件：彎矩為0，剪力等于彈性力現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三代入特征方程的解以及現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三進(jìn)一步化簡(jiǎn)后得到頻率方程求出b后得到固有頻率振型為現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三將邊界條件代入得到求得現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三討論：（1）k＝0時(shí)，頻率方程變?yōu)榧礊閼冶哿旱那闆r。（2）k趨于無(wú)窮大時(shí)，頻率方程變?yōu)榛蚣礊樽蠖斯潭?，右端?jiǎn)支的情況?，F(xiàn)在是25頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三【思考題】證明圖示懸臂梁在x＝l處的邊界條件為：現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三關(guān)于振型函數(shù)的正交性

和一維波動(dòng)方程振型函數(shù)的正交性類似。第i階特征值滿足現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三

考慮邊界條件為簡(jiǎn)支、自由、固定的情況，梁端點(diǎn)的位移、彎矩或剪力為0，則對(duì)第j階振型進(jìn)行上面類似的運(yùn)算得：現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三用Fj左乘上式兩端，并積分現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三上兩式相減得則i＝j(luò)時(shí)現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三梁在激勵(lì)力作用下的響應(yīng)

和一維波動(dòng)方程一樣，用振型疊加法求響應(yīng)1.標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)（正則坐標(biāo)）

對(duì)振型函數(shù)按下式條件正則化現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三2.對(duì)初始激勵(lì)的響應(yīng)

設(shè)初始條件為將其按標(biāo)準(zhǔn)振型展開(kāi)現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三用rAFj左乘上兩式，并積分得標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的初始激勵(lì)響應(yīng)現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三物理坐標(biāo)下的響應(yīng)現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用標(biāo)準(zhǔn)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）將初始條件變換到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo);（4）求標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的響應(yīng);（5）求物理坐標(biāo)下的響應(yīng)?，F(xiàn)在是35頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三【例4】長(zhǎng)為l的均勻簡(jiǎn)支梁初始靜止，設(shè)在x＝x1處的微段d上有初始速度v，求系統(tǒng)對(duì)此初始條件的響應(yīng)。

解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三求得所以（3）初始條件。按題意現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三變換到主坐標(biāo)下現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三3.對(duì)外激勵(lì)的響應(yīng)（1）分布干擾力

設(shè)干擾力密度為f(x,t),和前面桿的外激勵(lì)受迫振動(dòng)響應(yīng)推動(dòng)方法一樣。利用標(biāo)準(zhǔn)化振型函數(shù)Fi，得到標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)下的解耦方程利用杜哈美積分得現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三（4）響應(yīng)總響應(yīng)為現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三（2）集中力

設(shè)在x＝x1處受集中力F(t),這時(shí)可以用函數(shù)表示為分布形式：F(x,t)dx(x-x1),方程變?yōu)榭傢憫?yīng)為現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三（3）集中力偶（不推導(dǎo)，只給出結(jié)果）

設(shè)在x＝x1處受集中力M(t),這時(shí)有總響應(yīng)為現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三強(qiáng)迫振動(dòng)的響應(yīng)求解步驟：（1）根據(jù)邊界條件求解固有頻率和固有振型;（2）利用正規(guī)化條件確定振型中的常數(shù)因子;（3）求主坐標(biāo)下的響應(yīng);（4）求廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)。現(xiàn)在是43頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三

解：（1）固有頻率與相應(yīng)的固有振型為（2）由正規(guī)化條件確定系數(shù)Ci【例5】設(shè)長(zhǎng)為l的簡(jiǎn)支梁在x＝a處受集中力Fsint作用,求響應(yīng)。求得現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三（3）響應(yīng)現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有48頁(yè)\編輯于星期三【例6】火車在很長(zhǎng)的橋梁上通過(guò)，可以簡(jiǎn)化為一均勻筒支梁受到以等速率v向右運(yùn)動(dòng)的荷重P的作用。假設(shè)在初