上海交通大學(xué)計(jì)算方法課件(宋寶瑞)CH.1-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦上海交通大學(xué)計(jì)算方法課件(宋寶瑞)CH.1第一章緒論

數(shù)值分析－討論各種數(shù)知識(shí)題求解的數(shù)值計(jì)算辦法及其理論也稱計(jì)算辦法。數(shù)值計(jì)算——對(duì)已知數(shù)據(jù)舉行有限次四則運(yùn)算得到所需的數(shù)值結(jié)果。

普通算法設(shè)計(jì)：對(duì)已知數(shù)據(jù)舉行有限次四則運(yùn)算和初等函數(shù)運(yùn)算得到所需的數(shù)值結(jié)果。數(shù)值—用有限位小數(shù)表示的數(shù)。特點(diǎn)

以數(shù)知識(shí)題為討論對(duì)象，具有高度抽象性與嚴(yán)密的科學(xué)性，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性。

用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程大致是：

數(shù)值計(jì)算古已有之，例如

1。初等函數(shù)函數(shù)值的計(jì)算，e.g.

357

sin3!5!7!

xxxxx=-+-

2。數(shù)學(xué)模型通常表現(xiàn)為函數(shù)，這個(gè)函數(shù)本身需要用數(shù)值分析的辦法來(lái)確定e.g.彈性力知識(shí)題

在垂直方向分布載荷為(,)qxy作用下，周邊固定的彈性平板彎曲問(wèn)題可以表示為

4444224(2)(,)(,)0,0(,)uuu

DqxyxyGxxyy

uuxyGn

???++=∈?????==∈?的邊界

可以證實(shí)，存在唯一的函數(shù)(,)uxy滿足上述方程，(,)zuxy=就是彈性平板曲面的方程。但是

(,)?uxy=

辦法：

劃分網(wǎng)格計(jì)算(,)ijijuuxy≈二、誤差誤差的來(lái)源：

模型誤差（“抱負(fù)化”產(chǎn)生的誤差）

觀測(cè)誤差（對(duì)模型中某些觀測(cè)得來(lái)的物理量）舍入誤差

以上通稱初值誤差

辦法誤差—數(shù)學(xué)模型精確解與數(shù)值近似解之間的差

在本課程中，我們要討論如何控制和減小辦法誤差，對(duì)于其他的幾類誤差，普通不能控制，但要考慮它們的影響。誤差的類型：

設(shè)x為精確值，*

x為x的一個(gè)近似值，則稱

**exx=-為近似值的肯定誤差

**r

eex=為近似值的相對(duì)誤差，通常也可認(rèn)為**

*reex

=

*e的一個(gè)上界*ε稱為肯定誤差限，*re的一個(gè)上界*rε稱為相對(duì)誤差限。

*x的誤差限為某一位的半個(gè)單位，該位到*x的第一位非0數(shù)字共有n位，則稱*x有n位有效

數(shù)字。

數(shù)值辦法的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：

收斂性：一個(gè)辦法當(dāng)計(jì)算步驟充分多時(shí)，近似解是否能夠隨意臨近精確解？能：收斂；不能：發(fā)散。惟獨(dú)收斂的辦法才故意義。e.g.Taylor展式的收斂半徑

穩(wěn)定性：舍入誤差是否會(huì)堆積？等價(jià)地，初始值有小的誤差，當(dāng)計(jì)算步驟充分多時(shí)，全部的計(jì)算結(jié)果是否也惟獨(dú)小的誤差？不穩(wěn)定的例

1.11

10

012560125100.011,0.010.0001,10110,0.010.000099,1.0001

nnnyyyyyyyyyyy+=-==→===+=→==-

2.計(jì)算積分),2,1,0(,10

1==

?

-ndxexIxnn

解：（1）用分步積分公式

11

11011=-

=?nxnxnnnIdxenxexI，

只要知道0I，就可逐步求出,2,1,=nIn。從傳統(tǒng)的角度看，這是一個(gè)美麗的遞推式。因此可

想到用下列遞推公式計(jì)算：

10111,1,2,nnIeInIn--?=-?=-=?

詳細(xì)計(jì)算時(shí)，0I包含無(wú)理數(shù)e，只能取有限位，引進(jìn)了舍入誤差

取,632120559.0~0=I其舍入誤差為9000105.0|~

||)(|-?≤-=IIIe，那么有

1

1,1,2,nnInIn-=-=計(jì)算結(jié)果為

0110130.632120559,0.367879441,,

0.0844992,,

1.0006272,IIII====-

，

因?yàn)楸环e函數(shù)恒正，故它在[0，1]上的積分恒正，但是結(jié)果顯示，00006272.1~

13<-=I，這樣的計(jì)算結(jié)果無(wú)法信任，計(jì)算失敗。是什么緣由？舍入誤差的堆積和傳揚(yáng)！記nnnIIe~-=為計(jì)算近似值nI~

的誤差，

nnnIIe~-=111

(1)(1)nnnnInIne==-，,2,1=n，（*）所以，00201!)1(,,2,eneeeeenn?-==-=，看！這樣計(jì)算nI~

時(shí)，產(chǎn)生的誤差竟然是0e的!

n倍。計(jì)算結(jié)果必然不行靠。稱這樣的算法為數(shù)值不穩(wěn)定的，數(shù)值不穩(wěn)定的算法必然不能采納。

誤差估量的理論分析、概率估量、后驗(yàn)估量、數(shù)值試驗(yàn)。

算法設(shè)計(jì)的幾條原則：

計(jì)算中誤差，尤其是舍入誤差是難以避開的，精確的誤差估量幾乎不行能，所以，誤差定性分析除了分清問(wèn)題的病態(tài)性，挑選數(shù)值穩(wěn)定的辦法外，還要盡可能避開誤差的危害，防止有效數(shù)字的損失。

1．避開兩相近數(shù)做減法

兩相近數(shù)做減法，有效數(shù)字會(huì)嚴(yán)峻損失，當(dāng)浮現(xiàn)這種狀況時(shí)，最好是轉(zhuǎn)變計(jì)算辦法。例

1.設(shè)12,xx兩數(shù)很臨近，那么112

2lnlnlnxxxx??

-=???

，右邊算式有效數(shù)字就不損失。在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上

ln(2.001)ln20.693650.693150.54

2.0001

ln()0.499884

2

EE-=-=-=-

2.()()1/(2)0.35355fxfxf''=

==

現(xiàn)用公式計(jì)算(2)f'的近似值（5位小數(shù)），得如下結(jié)果：

h(2)f'的近似值

0.10.353660.010.353550.00010.35

假如用公式

(2)f'的近似值

則當(dāng)h=0.0001時(shí)，(2)0.35355339f'≈

2．避開除數(shù)過(guò)小

用肯定值過(guò)小的數(shù)作除數(shù)，舍入誤差會(huì)增大。3.防止大數(shù)“吃”小數(shù)

在數(shù)值運(yùn)算時(shí)，常碰到參與運(yùn)算的數(shù)的數(shù)量級(jí)相差很大，計(jì)算機(jī)上的數(shù)普通按浮點(diǎn)制設(shè)定，如不注重運(yùn)算次序，簡(jiǎn)單產(chǎn)生大數(shù)吃小數(shù)的問(wèn)題，影響計(jì)算結(jié)果。

例在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上，求∑=+=1000

1

9.052492iM

在計(jì)算機(jī)上，設(shè)置成浮點(diǎn)數(shù)形式舉行計(jì)算：

55510000009.010000009.01052492.0?++?+?=M

但是在計(jì)算機(jī)上，510000009