行列式的性質(zhì)與依行列展開

行列式的性質(zhì)與依行列展開4/18/2023第1頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二二階行列式的計(jì)算主對(duì)角線副對(duì)角線即：主對(duì)角線上兩元素之積－副對(duì)角線上兩元素之積——對(duì)角線法則第2頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二三階行列式的計(jì)算——對(duì)角線法則注意：對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式.實(shí)線上的三個(gè)元素的乘積冠正號(hào)，虛線上的三個(gè)元素的乘積冠負(fù)號(hào).第3頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二三階行列式可用二階行列式表示第4頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二n階行列式：由個(gè)數(shù)

組成數(shù)表稱為數(shù)表所確定的n階行列式4/18/2023第5頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．是一個(gè)算式.當(dāng)n=1時(shí)定義D=|(a11)|=a11;當(dāng)n≥2時(shí)定義

Da11A11a12A12

a1nA1nn階行列式的“遞推”定義第6頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二全排列：把n個(gè)不同的元素排成一列即n個(gè)不同的元素一共有n!種不同的排法.對(duì)于n個(gè)不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.逆序：當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序.逆序數(shù)：排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列.偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列.排列的逆序數(shù)通常記為.第7頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二三階行列式規(guī)律：三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)．每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積．每一項(xiàng)可以寫成（正負(fù)號(hào)除外），其中是1、2、3的某個(gè)排列.當(dāng)是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào).第8頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二n階行列式的定義

n

階行列式共有

n!項(xiàng)．每一項(xiàng)都是位于不同行不同列的

n

個(gè)元素的乘積．每一項(xiàng)可以寫成（正負(fù)號(hào)除外），其中是1,2,…,n的某個(gè)排列.當(dāng)是偶排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取正號(hào)；當(dāng)是奇排列時(shí)，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)取負(fù)號(hào).簡記作，其中為行列式D的(i,j)元第9頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例：計(jì)算行列式

對(duì)角行列式

第10頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

上三角形行列式（主對(duì)角線下側(cè)元素都為0）

下三角形行列式（主對(duì)角線上側(cè)元素都為0）第11頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二思考題已知

，求的系數(shù).12第12頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二故的系數(shù)為－1.解含的項(xiàng)有兩項(xiàng)，即對(duì)應(yīng)于第13頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二§1.2行列式的性質(zhì)與依行列展開第14頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二一、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.

記第15頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二=例如，設(shè)則說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.第16頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).如：交換i,j

兩行記為

交換i,j

兩列記為

第17頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二推論1如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明：互換相同的兩行，有例如4/18/2023第18頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.

第i

行(或列)乘以k,

記作rik(或cik)××第19頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二我們以三階行列式為例.記根據(jù)三階行列式的對(duì)角線法則，有第20頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二推論2

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．備注：第行（列）提出公因子，記作.推論3

行列式某行（列）元素全為零，則行列式為零。推論4

如果行列式有兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值為零。第21頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)4若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個(gè)行列式之和：例如第22頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例如：則第23頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：注：如果n階行列式的某一行（列）的每個(gè)元素均可表為兩個(gè)數(shù)的和，則該行列式等于2n個(gè)行列式的和。4/18/2023第24頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二性質(zhì)5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．備注：以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作.例如：則第25頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例１二、應(yīng)用舉例計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．第26頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二解第27頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第28頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第29頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第30頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第31頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：第32頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二解第33頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第34頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或二.行列式的依行列展開第35頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例2計(jì)算行列式解按第一行展開，得或按第二行展開，得注：行列式按行（列）展開時(shí)，盡量選擇零元素比較多的行（列）。第36頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例3計(jì)算行列式解第37頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第38頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)第39頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二三.特殊行列式的值1.上三角行列式：第40頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二2.下三角行列式：第41頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二3.對(duì)角行列式：第42頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二4.5.第43頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二6.注：數(shù)字元素行列式的計(jì)算常?；癁橹鲗?duì)角線上三角形行列式來計(jì)算，第44頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例4計(jì)算對(duì)角行列式四、應(yīng)用舉例第45頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例5

計(jì)算第46頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二將第列都加到第一行，得第47頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例6

計(jì)算階行列式解將第都加到第一列得第48頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第49頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二例7

（箭形行列式）計(jì)算行列式第50頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二第51頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)計(jì)算階行列式4/18/2023第52頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二解4/18/2023第53頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二注：對(duì)于形如...的所謂箭形（或爪形）行列式，可直接利用行列式性質(zhì)將其一條邊化為0，從而可根據(jù)三角形或次三角形行列式的結(jié)果求值。4/18/2023第54頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二

證用數(shù)學(xué)歸納法例7證明范德蒙德(Vandermonde)行列式第55頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二假設(shè)(1)對(duì)于n－1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行減去前行的倍：按照第1列展開，并提出每列的公因子，就有第56頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二n-1階范德蒙德行列式第57頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二練習(xí)：計(jì)算行列式計(jì)算解計(jì)算4/18/2023第58頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二定理2行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證第59頁，共63頁，2023年，2月20日，星期二上式兩邊行列式都按第i行展開，得移項(xiàng)化簡得同理可證列的情形。第60頁，共63頁，2023年，2月20日