同濟第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第11章-無窮級數(shù)

無窮級數(shù)無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)教案內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室第十一章無窮級數(shù)教學(xué)目的：掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。（會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些常數(shù)項級數(shù)的和。了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。掌握ex,sinx,cosx，ln(1x)和(1a)的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。了解傅里葉級數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在[-l，l][0，l]里葉級數(shù)的和的表達式。教學(xué)重點：1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2、正項級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；3、交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法；4、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；5、ex,sinx,cosxln(1x)和(1a)的麥克勞林展開式；6、傅里葉級數(shù)。教學(xué)難點：1、比較判別法的極限形式；2、萊布尼茨判別法；3、任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂；4、函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)；5、泰勒級數(shù)；6、傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。一、常數(shù)項級數(shù)的概念

§111常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)給定一個數(shù)列1 2 3 uuuu1 2 3 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達式1 2 3 uuuu1 2 3 n記為u即nunn1

uu1

uu3

n1其中第n項un叫做級數(shù)的一般項n作級數(shù)n

的前n項和nisnunii1

uu1

n1u3

unn稱為級數(shù)nn

的部分和n1如果級數(shù)u的部分和數(shù)列s}有極限即lim

sn n n則稱無窮級數(shù)

nn收斂這時極限s叫做這級數(shù)的和nn1并寫成sunn1

uuu1 2 uuu

un

如果{s

}則稱無窮級數(shù)un

發(fā)散n當級數(shù)un

n1s收斂時其部分和sn

是級數(shù)un

的和s的近似值它們之間的差值n n n1 rssu u n n n1 叫做級數(shù)un

的余項n1例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))aqnaaqaq2aqnn0的斂散性其中a0q叫做級數(shù)的公比例1討論等比級數(shù)aqn(a0)的斂散性n0解如果q1則部分和saaqaq2aqn1aaqn

a aqnn 1q 1q 1qa a當|q|1時因為lims

所以此時級數(shù)aqn收其和為 q nq

1 n0當|q|>1時因為lims

所以此時級數(shù)aqn發(fā)散nn

n0如果|q|1則當q1時s

naaqn發(fā)散nn0nq1aqn成為n0aaaan時時因為s 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或nsaqnsnn0 a 綜上所如果則級數(shù)aqn收其和為如果|q|1則級數(shù)aqn發(fā)散qn0 n0q aq僅時幾何級數(shù)aqna0)收其和為qn0例2證明級數(shù)123n是發(fā)散的證此級數(shù)的部分和為s123nn

n(n1)2顯 lim

因此所給級數(shù)是發(fā)散的nn例3判別無窮級數(shù)111 1 12 23 34 的收斂性解由于u 1 1 1 n n n1因此s111 1 n 12 23 34 1)(11)(1 1)1 12 2 3

n n1 n1從而lims

lim(1

1)1nn

n

n1所以這級數(shù)收斂它的和是1nn例3判別無窮級數(shù) 1 的收斂nn( n1解因為s 111 1n 12 23 34 1)(11)(1 1)1 2 2 3從而

n n1 n1lims

1)1nn

n

n1所以這級數(shù)收斂它的和是1提

1 1 1nn n1n二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)n性質(zhì)1如果級數(shù)n

收斂于和則它的各項同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)

ku也收斂nksn

n性質(zhì)1如果級數(shù)n

收斂于和則級數(shù)

ku也收斂且其和為ksnnn性質(zhì)1如果us則n

kuksnn1nn設(shè)n

與

nnkunn

與n則lim lim(kun

)klim(uu

)klim

ksn n 1 2

n 1 n

n nnn這表明級數(shù)n

ku ksn1n性質(zhì)2如果級數(shù)n

n、n

分別收斂于和則級數(shù)u

nnvnnn1n性質(zhì)2如果n

s、

則

n

v)sn1 n1nn如果nn

、

、

v

、、則n n n

n n nn1lim

lim[(uv)(uv)(uv)]nn

n 1 1 2 2 n nlim[(uu

u

)(v

v)]nlim(s

1 2 n 1 2 n)sn nn性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限不會改變級數(shù)的收斂比如級數(shù)

111 1 是收斂的12 23 34 是收斂的級數(shù)10000

111 1 也是收斂的23 34 也是收斂的 nn級數(shù)11 1 nn34 45 ( n性質(zhì)4如果級數(shù)n

n1應(yīng)注意的問題如果加括號后所成的級數(shù)收斂則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂例如級數(shù)11)+11)+收斂于零但級數(shù)1111卻是發(fā)散的推論n性質(zhì)5如果n

即limnn0n

0n1n性質(zhì)5如果n

則limn0

0n1證設(shè)級數(shù)

slim

s則nn1

n nnlimu lim(s n

)lim

lim

ss0nn0 n

nn

n

n1應(yīng)注意的問級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條例4 證明調(diào)和級數(shù)1 1 1 1n12n1

3

nn例4證明調(diào)和級數(shù)n

1是發(fā)散的n證假若級數(shù)n

snlimn

slims

s于是lim(s s)0nn

n2n

n 2n n但另一方面s s2n

1 1 11111n1 n2 2故lim(s

s)0矛盾這矛盾說明級數(shù)

1必定發(fā)散n 2n n

nn12一、正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù)n 定理1正項級數(shù)u 收斂的充分必要條件它的部分和數(shù){s有界n n1定理2設(shè)

和

u

n2)若級數(shù)

收斂n n n n nnnn1 nnn則級數(shù)n

收斂若級數(shù)

則級數(shù)

發(fā)散n1 n1 定理2(比較審斂法)設(shè)

和

v(k0nN)nn1

n n nn1n若n

則

收斂若

則

發(fā)散n1 n1 nnn設(shè)unnn

vukv(k0nN)vu

收斂反之n n n n n nn n若級數(shù)u則級數(shù)vn nn證設(shè)級數(shù)n

收斂于和則級數(shù)

的部分和n1n 1 2 n 1 2 suuuvvv(n1,2,n 1 2 n 1 2 n 即部分和數(shù)s有由定理1知級數(shù)u 收斂n n1n設(shè)級數(shù)n

則級數(shù)

必發(fā)散因為若級數(shù)nvnn

n1 n將有級數(shù)nn1

也收斂與假設(shè)矛盾n n n 證僅就uv(n12)設(shè)級數(shù)v其和為則級數(shù)un n n n 1 2 n 1 2 suuuvvv(n1,2,n 1 2 n 1 2 n {s}因此級數(shù)u收斂n n 設(shè)級數(shù)u則級數(shù)vn n v級數(shù)un 推論設(shè)un

和vn

如果級數(shù)vn

收斂且存在自然數(shù)N使當nN時有n1 ukv0成則級數(shù)u 收如果級數(shù)v發(fā)且當N時有u

(k0)則級n n n n n nn1 數(shù)un

發(fā)散n1例1討論p級數(shù) 1 1 1 1 1n1

np

2p 3p

4p

np例1討論p級數(shù)

1pn1npp1

11

而調(diào)和級數(shù)1發(fā)由比較審斂法當p1時級數(shù) 1 發(fā)散p1此時有

np n

n1n

n1np1n 1dxn 1dx 1 [ 1 1 ](n2,3,)np n1np n1xp pp1 np1 1 對于級數(shù) ] 1 n2

np1s1 ][ 1 1 ][ 1 1 ]1 1 n 2p1

2p1

3p1

np1

p1lim

1 ]1nn

n

p1所以級數(shù)[ 1

1 ]收斂從而根據(jù)比較審斂法的推論1級數(shù)

1當p1時收斂

n2

p1 np1

n1npp級數(shù)

1p1p1npp1

11np n

而調(diào)和級數(shù)1nn1當p1時級數(shù)n1當p1時

1發(fā)散np1n 1dxn 1dx 1 [ 1 1 ](n2,3,)np n1np n1xp pp1 np1而級數(shù)n2

1(n

1np1

]是收斂的根據(jù)比較審斂法的推論可知級數(shù)n1提示

1當p1時收斂np級數(shù)n2

1

1np1

]的部分和為s1 ][ 1 1 ][ 1 1 ]1 1 n 2p1

2p1

3p1

np1

p1lim

1 ]1nn

n1

p11n2

np1

]收斂p級數(shù)的收斂 p級數(shù)n1

1p1p1np11n1

是發(fā)散的證因為

11n(n1)1(1n(n1)1(n1)2而級數(shù)

1 1n

1 1

n1

1 2 3 n1根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的定理3(比較審斂法的極限形式) uv設(shè)uvn

和vn

limn

nl(0l)n1則級數(shù)un

n1和級數(shù)vn

n同時收斂或同時發(fā)散n1 定理3(比較審斂法的極限形式)設(shè)un

和vn

都是正項級數(shù)n1 vnu vnlimn

nl(0l)且級數(shù)v

收斂則級數(shù)un

收斂n n1u u limn

nl或limvnv

n 且級數(shù)vvnv

發(fā)散則級數(shù)un

發(fā)散n n n1un和vn如果lim(un/vn)l(0l)且vn則un收斂n n n 如果lim(u/v)l(0l)且v則u發(fā)散n n n 對1lNnN有不等式2l1lunl1l 即1lvu

3lv22 v 2 2n

n 2 n再根據(jù)比較審斂法的推論1即得所要證的結(jié)論113判別級數(shù)sinnn1sin1n解因為limn

n1而級數(shù)

1發(fā)散n 1 n1nn級數(shù)sin1nn1例4判別級數(shù)ln(1n1

1)的收斂性n2n

1n2

1而級數(shù)

1收斂n 1n2

n2n1級數(shù)

1)收斂n2nn1定理4(比值審斂法達朗貝爾判別法)n若正項級數(shù)u 的后項與前項之比值的極限等于nn1lim

un1nun則當當

un1)當1nun定理4(比值審斂法達朗貝爾判別法) u若正項級數(shù)u

n1則當1時級數(shù)收斂nn1

nun

un1)當1nunn定理4比值審斂達朗貝爾判別設(shè)u 為正項級如果nn1lim

un1nun則當當

un1)當1nun例5證明級數(shù)11

1 1 1 是收斂的

1 limun1lim123lim101nun n 123n nn根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂6112123n!10 102 10nlimun1lim(nlimn1nun n10n1根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散

n! n1011例7判別級數(shù) 的收斂nu解lim n1

1nun n這時1比值審斂法失效必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性因為 1

而級數(shù) 1收因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收

n2n1解因為

1

而級數(shù) 1收因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收

n2n1u提 lim n1

1nun n因為 1

而級數(shù)

1

n2n1定理5(根值審斂法柯西判別法)n 設(shè)u 是正項級如果它的一般項u的n次根的極限等于n n1nununnunnun

則當當limnnunnun

)當n若正項級數(shù)n

limn

則當1時級數(shù)收斂limn

n1nun)當nun定理5(根值審斂法柯西判別法)設(shè)un如果n1nununn

nun則當當nunn

)當例8證明級數(shù)1

11122 nn1nnnns1nnnnnun解因為lim nun

lim10n n

nn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂n以這級數(shù)的部分和s 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為n|r| 1 1 1 n (n1)n1 (n2)n2 (n3)n3 1

1 (n1)n1 (n1)n2 (n1)n3 1 n(n1)n2(1)n例6判定級數(shù) 的收斂2nn1limn

limnunnun

11n21n2(1)n2所以根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂定理6(極限審斂法)設(shè)u設(shè)n

為正項級數(shù)lim

l或lim

)則級數(shù)

發(fā)散n

n n

nn1limnpu

l0l)則級數(shù)

收斂n例7判定級數(shù)n1

n1)的收斂性n2

nn1解因為ln(1

1)~1)故n2 n2limn2ulimn2

1)limn2

1n n

n2 n n2根據(jù)極限審斂法知所給級數(shù)收斂例8判定級數(shù)n1

n1(1cosn

)的收斂性解因為n1n2 limn3ulimn3 n1(1cos)limn1n2

1()212n

n n

n

2n 2根據(jù)極限審斂法知所給級數(shù)收斂二、交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)交錯級數(shù)是這樣的級數(shù)它的各項是正負交錯的交錯級數(shù)的一般形式為(1)n1unn1

其中un

0例如

1n1 n

但n1

1cosnn

不是交錯級數(shù)定理6（萊布尼茨定理）如果交錯級數(shù)(1)n1unn1

滿足條件u

(n123) (2)lim

0n n1

n nsu1rn|rn|un1定理6（萊布尼茨定理）如果交錯級數(shù)(1)n1u

滿足(1)uu

(2)lim

0nn1

n

nn1 n n 則級數(shù)收且其和su其余項r的絕對1 n n nnsn2n 1 2 3 4 2n1 由s (uu)(uu)(2n 1 2 3 4 2n1 2n 1 2 3 4 5 2n2 2n1 s u(uu)(uu)2n 1 2 3 4 5 2n2 2n1 2n 2n 看出數(shù){s }單調(diào)增加且有(s u)2n 2n 2n 2n1 2n 2n1 設(shè)s s(n)則也有s s u s(n)所以ss2n 2n1 2n 2n1 n 1n n1 n2 n 因為u 也是收斂的交錯級n n1 n2 n 例9證明級數(shù)

(1)n11n

收斂并估計和及余項n1證這是一個交錯級數(shù)因為此級數(shù)滿足(1)u1 1 u (n1,2,) (2)limulim10n n n1 n1 n

nn

1余項|r|u

1 三、絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂

1 n

n1n n 若級數(shù)|u|收則稱級數(shù)u 絕對收若級數(shù)n n n1 n1 n1n 收而級數(shù)|u|發(fā)則稱級u 條件收n nn1 n1n例10 級數(shù)

1是絕對收斂的而級數(shù)n2

(1)n11是條件收斂的n1 n1n 定理7如果級數(shù)u 絕對收則級數(shù)u 必定收n n1 n1值得注意的問題n 如果級數(shù)|u|發(fā)我們不能斷定級數(shù)u 也發(fā)n n1 n1n如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)|u|nn1n則我們可以斷定級數(shù)u 必定發(fā)nn1n n 這是因此u不趨向于從而u也不趨向于因此級數(shù)u 也是發(fā)散n n n1例11判別級數(shù)n1

sinnan的收斂性n2解因為|sinna|1

而級數(shù) 1是收斂n2

n2n1n所以級數(shù)|sinna|從而級數(shù)n2

sinnan絕對收斂n2n1例12判別級數(shù)

n11(11)n2的收斂性n1

2n n由|u11)n2limn|u|11)n1e1n 2n

n

n 2n n 2lim

0因此級數(shù)

11)n2發(fā)散nn

n1

2n n§3 冪級數(shù)一、函數(shù)項級數(shù)的概念函數(shù)項級數(shù)給定一個定義在區(qū)間I上的函數(shù)列{un(x)}由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式1 2 3 u(x)u(x)u(x)u(x)1 2 3 n稱為定義在區(qū)間I上函數(shù)級 記為n

(x)n1收斂點與發(fā)散點對于區(qū)間I內(nèi)的一定點x若常數(shù)項級數(shù)u(x)則稱0 n 0n1n點x是級數(shù)n0n點x是級數(shù)n0n1

()的收斂 若常數(shù)項級數(shù)nn1n(x)的發(fā)散點

(x)發(fā)散則稱0n函數(shù)項級數(shù)un

(x所n1有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域和函數(shù)n函數(shù)項級數(shù)n

(x)的和是x的函數(shù)s(x)x稱為函數(shù)項級數(shù)

n1nn()并寫成()unn

(x)u是

n1 n1(xn nn1n(x)xs(x)nn s(x)s(x)∑u(x)n n這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域部分和nn函數(shù)項級數(shù)n

(xn

(x)n1nsn(x)即sn(x)u1(x)u2(x)u3(x)un(x)在收斂域上有l(wèi)ims

(x)s(x)(n)nn n余項n函數(shù)項級數(shù)n

(x

(x)的差n1rs叫做函數(shù)項級數(shù)u

n(x)的余項nn n nn1n n n n (x)r(x)s(x)s(x)r(x)s(x)s(x)n n n n lim

(x)0nn二、冪級數(shù)及其收斂性冪級數(shù)函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù)這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù)它的形式是0 1 2 aaxax2axn0 1 2 0 1 2 aaaa0 1 2 冪級數(shù)的例子1xx2x3xnx1x21xn注冪級數(shù)的一般形式是0 1 0 2 0 n aa(xx)a(xx)2a(xx)n0 1 0 2 0 n 0 0 1 2 txxaat2tn0 0 1 2 冪級數(shù)1xx2x3xn可以看成是公比為x的幾何級數(shù)當|x|1時它是收斂的當|x|1時它是發(fā)散的因此它的收斂域為(11)在收斂域內(nèi)有1 xx2x3xn1x定理1)如果級數(shù)axn當xx0則適合不等式n 0 0n0|x||x

的一切x如果級數(shù)

axn當n當n00 xx時發(fā)散則適合不等式|x||x|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散0 n 0 定理1(阿貝爾定理)如果級數(shù)∑axn當xx(x0)時收斂n 0 00 0 |x||x的一切x使這冪級數(shù)絕對收 反如果級數(shù)xnxx時發(fā)則適合不等|x||x的一切x使這冪級數(shù)發(fā)00 0 nnan是nn

axn的簡記形式n0證先設(shè)x是冪級數(shù)axn即級數(shù)

xn收斂根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件有0 n nn0 n0lim

xn0使n n0n0|axn|M(n0,1,2,)n0n這樣級數(shù)axn的的一般項的絕對值nn0xn|axnxn xn

xn||x|nM|x|nn n0 xn0

n0 x x0 0因為當|x||x

|時等比級數(shù)

M|x

n收斂所以級數(shù)|

xn|收斂也就是級數(shù)

axn絕對0nn收斂0nn

n0 0

n0 n0n0n 0 n0 n簡要證明設(shè)∑axn在點x則有axn0(n{axn}即存在一個常使|axn|M(nn0n 0 n0 nxn因為|axn||axn ||xn

xn||x|nM|x|nn n0 xn0xn 0xn

n0 x x0 0而當|

|等比級數(shù)M|

xn|收斂xnn0 0定理的第二部分可用反證法證明倘若冪級數(shù)當xx0時發(fā)散而有一點x1適合|x1|>|x0|使級數(shù)收斂則根據(jù)本定理的第一部分級數(shù)當xx0時應(yīng)收斂這與所設(shè)矛盾定理得證n推論如果級數(shù)axn不是僅在點0則必有一nn0個完全確定的正數(shù)R存在使得當|x|R時冪級數(shù)絕對收斂當|x|R時冪級數(shù)發(fā)散當xR與xR時冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散n正數(shù)R通常叫做冪級數(shù)axn的收斂半徑R叫做冪級nn0n數(shù)axn再由冪級數(shù)在R冪級數(shù)n

axnnn0的收斂域是(R,R)(或[R,R)、(R,R]、[R,R]之一

n0nn若冪級數(shù)axn只在0則規(guī)定收斂半徑R0若冪級數(shù)axn對一切x都nnn0 n0R(,)2lim

an1a、

是冪級數(shù)

xn的相鄰兩項的系數(shù)則這冪級數(shù)的收斂nn an

n

nn0半徑 0R1 0 0 定理2 aa

xnlim

n1則這冪級數(shù)的收斂半徑nnnn0

n a 0R1 0 2

0 a lim

n1

xnR為nn an

nn0當R

1當0時R當時R0a xn1 a簡要證 lim

n1 lim| n1||x||x|nnn

axnn

n a(1)則只當R1如果R如果則只當x0時冪級數(shù)收故R0例1 求冪級數(shù)n)n1xnn1的收斂半徑與收斂域

xxn

x22

x3(1)n1xn3 n

1求冪級數(shù)(1)n1n1a

的收斂半徑與收斂域1n1解因為lim| n1lim

1nn anR11

nnn當1冪級數(shù)成為)n11n當1冪級數(shù)成為

(1)是發(fā)散的因此收斂域為(1,1]n1n例2 求冪級數(shù)1xnnn0n!x1x21x31xn的收斂域例2求冪級數(shù)1n0n!

xn的收斂域1a 解因為lim|n1|lim 1 lim

0nn an

n nn!R(,)例3求冪級數(shù)

n!xn的收斂半徑解因為

n0

a (n1)!lim| n1|lim nn a n n所以收斂半徑為R0即級數(shù)僅在x0處收斂例4求冪級數(shù)

(2n)!

x2n的收斂半徑n0(n!)2解級數(shù)缺少奇次冪的項定理2不能應(yīng)用可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑(2n)!n冪級數(shù)的一般項記為u(x)n

x2n因為lim

u n1

|4|x|2n

u(x)n4|x|21即|14|x|21即|1R12 2 2xn[2(nxn un(x) (2n提示

1 u

(2n)!

x2n( (n!)2

例5求冪級數(shù)

(x

的收斂域n1 2nn解令上述級數(shù)變?yōu)?tn 因為lim|

an1|

n12nn2nn 1nn an

2n1(n1) 2所以收斂半徑R2n 當2級數(shù)成為n

1當2級數(shù)成為)因此級數(shù)

n1tn2t22x12即1x3[1,3)n12nnn三、冪級數(shù)的運算nn設(shè)冪級數(shù)n

axn及

xn(R,R)及(R,R)(R,與(R,R)中n0較小的區(qū)間內(nèi)有

n0加法

axn

xna

b)xnnnnn0

n0

n0nn減法nn

axnbxna

b)xnnn0 n0 n0nn nnxn及∑bxn(R,及(R,R)(R,與(R,R)nn nnn n n ∑axn∑bxn∑(ab)xnn n n n n n ∑axn∑bxn∑(ab)xnn n n 乘 (

xn)(

xn)a

bab

b

bab

)x2n n0 n0

00 01 1

02 11 200n 1n1 n(abab ab0n 1n1 nn性質(zhì)1冪級數(shù)axn的和函數(shù)在其收斂域Inn0xR(xR)在(R,R](或[RR))性質(zhì)2冪級數(shù)ann0

xns(x)I并且有逐項積分公式x x x as(x)dx(axn)dxaxndxnn

xn1(xI)0 0n0

n00

n0 逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑性質(zhì)3冪級數(shù)annnn0nn

xns(x)R)并且有逐項求導(dǎo)公式n()(n

axn

xn

naxn1(|x|R)n0 n0 n1逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑n1xns(x)Inn2xns(x)I并且有逐項積分公式nx x

x as(x)dx(a

xn)dxaxndxn

xn1(xI)0 0n0

n00 n n0 逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑nnn性質(zhì)3冪級數(shù)∑axn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(RR)內(nèi)可導(dǎo)并且有逐項求導(dǎo)公式nnnn()(n

axn

xn

naxn1(|x|R)n0 n0 n0逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑例6求冪級數(shù) 1 xn的和函n0n1解求得冪級數(shù)的收斂域為[11)設(shè)和函數(shù)為即() 1 xn1顯然(01n0n1在x() 1 xn1的兩邊求導(dǎo)得n0n1[x((1 xn

xn 1 n0n1 n0對上式從0到x積分得

1xxs(x)x 1dx01xs(x)1

()1ln) 0|x1于當x0有 x

從而

x 因為x() 1 xn1x[

xn1]dx

1 x0n0n1 0n0n1x0n0

xndxx 101

dxln(1x)xx0s(x)1x x 從而()1ln) 0|x x 從而 1 x0例6求冪級數(shù) 1 xn的和函n0n1解求得冪級數(shù)的收斂域為[11)設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)為即()

1 xnx[11)顯然S(0)1因為

n0n1x() 1 xn1x[ 1 xndxn0n1 0n0n1x0n0

xndxx10

dxln(1x)(1x1)x當0x時s(x)1x()1ln) 0|x1從而 x 1 x0由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)

S(x)ln2綜合起來得

x1 x ()1ln) x,), x 1 x0應(yīng)用公式xF(x)dxF(x)F(0F(xF(0)xF(x)dx0 01 xx2x3xn1x例7 求級

n0

n1

的和解考慮冪級數(shù) 1 xn此級數(shù)1,1上收設(shè)其和n0n1函數(shù)為則)n0

(1)nn1在例6中已得到xln(于1ln )ln1即)nln12 n0

n1 2一、泰勒級數(shù)

4 函數(shù)展開成冪級數(shù)f(x)是f(x)如果能找到這f(x)能展開成冪級而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù)f(x)x0f(x)近似等于f(x)f(x0

)f0

)(xx)0f(n)(x)

f02!

(xx0

)2f

(xx0

)nRn

(x)0其中R0n

(x)

(xx0

)n1(x

之間)f(x)x0f(x)f(x)f(n)(x)則當n時f(x)在點x0的泰勒多項式f) f(n)(x)pn成為冪級數(shù)

(x)f(x0

)f0

)(xx)0

0(xx

)2

0(xx)n0f) f

f(n)(x)f(x0

)f0

)(xx)0

0(xx

)2

0(xx

)3

0(xx

)n這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級 顯當xx0f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0)xx0f(x)?f(x)?f(x)x0U(x0)f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當n0時的極限為零即limR(x)0(xU(x

))n n 0證明先證必要性設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù)即f) f(n)(x)f(x)f(x0

)f0

)(xx)0

0(xx

)2

0(xx

)n又設(shè)sn1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n1項的和則在U(x0)內(nèi)sn1(x)f(x)(n)而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)sn1(x)Rn(x)于是Rn(x)f(x)sn1(x)0(n)再證充分性設(shè)Rn(x)0(n)對一切xU(x0)成立因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)sn1(x)Rn(x)于是sn1(x)f(x)Rn(x)f(x)f(x)U(x0)f(x)x00得ff

f

x2

f(n)(0)n!

xn此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù)展開式的唯一如果f(x)能展開成x的冪級那么這種展式是唯一它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一 這是因如果f(x)在點x00的某鄰R)內(nèi)能展開成x的冪級即f(x)a0a1xa2x2anxn那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)有f(x)a12a2x3a3x2nanxn1f(x)2!a232a3xn(n1)anxn2f(x)3!a3n(n1)(n2)anxn3 f(n)(x)n!an(n1)n(n1)2an1x于是得af(0)af(0) af

f(n)(0)0 1 2

n 如果能展開成x那么這個冪級數(shù)就是f(x)反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點x00它卻不一定收斂于f(x)如果f(x)x00f(x)但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂以及是否收斂于f(x)卻需要進一步考察二、函數(shù)展開成冪級數(shù)展開步驟第一步求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)f(n)(x)第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x0處的值f(0)f(0)f(0)f(n)(0)第三步寫出冪級數(shù)ff并求出收斂半徑R

f

x2

f(n)(0)n!

xn第四步考察在區(qū)間(RR)內(nèi)時是否Rn(x)0(n)f(n1)()limR

(x)

xn1n n

n (n是否為零如果Rn(x)0(n)則f(x)在(RR)內(nèi)有展開式f(x)ff

f

x2

f(n)(0)n!

xn(RxR)例1將函數(shù)f(x)ex展開成x的冪級數(shù)解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(n)(x)ex(n12)因此f(n)(0)1(n12)于是得級數(shù)1x1x21xn它的收斂半徑R對于任何有限的數(shù)x、(介于0與x之間)有|R(x)|

|x|n1| xn| n (n(nlim|x|n10lim|

(x)|0從而有展開式nn nexx1x21xn(x例2將函數(shù)f(x)sinx展開成x的冪級數(shù)解因為f(n)(x)sin(xn)(n1)2所以f(n)(0)順序循環(huán)地取0101((n0123)于是得級數(shù)xx3x5(1)n1 x2n1它的收斂半徑為R

對于任何有限的數(shù)x、(介于0與x之間)有]|R(x)||

2 xn1|

|

0(n)n因此得展開式

sinxxx3x5(1)n1 x2n1

(x)exx1x21xn(x3f(x)(1xmf(x)的各階導(dǎo)數(shù)為f(x)m(1x)m1f(x)m(m1)(1x)m2f(n)(x)m(m1)(m2)(mn1)(1x)mn所以 f(0)1f(0)mf(0)m(m1)f(n)(0)m(m1)(m2)(mn1)于是得冪級數(shù)1mx可以證明

x2

n

xnx)m1mx

x2

n

xnx間接展開法例4將函數(shù)f(x)cosx展開成x的冪級數(shù)解已知sinxxx3x5(1)n1 x2n1 (x)對上式兩邊求導(dǎo)得cosx1x2x4(1)n x2n

(x)5f(x

1 x1x2解因為

1 xx2xnx1x把x換成x2得1 x2x4x2n(1x1)1x2注收斂半徑的確定由1x21得1x1例6將函數(shù)f(x)ln(1x)展開成x的冪級數(shù)f(x)

1 1x而1

是收斂的等比級數(shù)

(1)nxn(1x1)的和函數(shù)n01 xx2x3xn1x所以將上式從0到x逐項積分得xx2x3x4(1)nxn1x2 3 4 n1 f(x)ln(1x)x[ln(1x 1 dx0 01 xx[0

)nxndx

xn1(1x1)n 1n0 n0x1x1而ln(1x)x1處有7f(x)sinx展開成(x4

)的冪級數(shù)解因為sinxsin[

(x)]

2[cos(x)sin(x)]并且有

4 4 2 4 4無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)教案內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 1 1 cos(x4)4)24)4(x 1 1 sin(x4)(x4)4)34)5(x)2 1 1 所以 sinx

2(x4)4)24)3(x8f(x解因為

1x24x3

展開成(x1)的冪級數(shù)f(x) 1 1

1 1 1 1x24x3 (x3) x) xx2 41 (x1 (x 4n0

(1)n24n 8 n24n0

(1)n(

1 1 )(xx3)n0

2n2 22n3提 1x2(xx3x4(xx2 41 (x

xx

2n

1)1 1

n0 (x

xx

4n 4

1)1 4 n0由x11和x11得x32 4展開式小結(jié)1 xx2xnx1x無窮級數(shù)無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)教案內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室exx1x21xn(xx3 x5 x2n1sinxx

(1)n1(x)x2 x4 x2ncosx

(1)n(2n)!(xx23

4

xn1xn1x)mmx

x2

n

xnx5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用一、近似計算524015240

的近似值要求誤差不超過000015240例5240

的近似值(誤差不超過104)解因為524052433

1)1/534所以在二項展開式中取m1 x

即得5 524011

1411491

)5

522!38

5240這個級數(shù)收斂很取前兩項的和作為 的近似其誤差也叫做截斷誤)5240|r2

1411491149141)52543

141[1

1(1)2]522!38

81 8161 1 1 1 25

11 252740 2000081于是取近似式為5240115與截斷誤差之和不超過104因此最后得52402.99265240例2計算ln2的近似值要求誤差不超過00001例2計算ln2的近似值(誤差不超過104)解在上節(jié)例5中令x1可得ln21111.2 3 n如果取這級數(shù)前n項和作為ln2的近似值其誤差為|nr||n

1 .n1為了保證誤差不超過10410000..把展開式x中的x換成x得

x22

x33

x44

xn1xn1xx2x3x4x2 3 4兩式相減得到不含有偶次冪的展開式ln1x2(x1x31x5)x1x 3 5令1x2x1x1得1x 3 3ln22(1111111)3 357如果取前四項作為ln2的近似值則誤差為|r|2(111111)4 9111321(1)2]9 9無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)教案內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室2 1 1 1 .11 439 7000009于是取ln22(11

11111)3 357同樣地考慮到舍入誤差計算時應(yīng)取五位小數(shù)10.33333 110.01235 110.00082 110.000073 357因此得ln2069313利用sinxx1x3sin93!解首先把角度化成弧度9 9(弧度) (弧度180 20從而 sin

1320 20 20其估計這個近似值的精確在sinx的冪級數(shù)展開式中令x 得20sin13151720 20 20 20 20等式右端是一個收斂的交錯級數(shù)取它的前兩項之和作為起誤差為

的近20|r1 5 10.)5 1 2 20 120 300000因此取

157080 30.00387620 20于是得sin90156431054計算定積分無窮級數(shù)無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)教案內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室122ex2dx1000001（取10.56419）例4求積分

21ex202

的近似值(誤差不超過104)解將ex的冪級數(shù)展開式中的x換成x2得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式ex2(x2)(x2)2(x2)3n0

x2nn!

(x).于是根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項可積得2e 21 xdx2e 0

2[ 11

x2n

2n0

)n1 n22x 11 1 1 ).223 2426前四項的和作為近似值其誤差為|r|4所以

1 1 1 1 1 1122ex2dx 1 1 1 )0.5295110 223 24265計算積分1sinxdx0 x的近似值要求誤差不超過00001例5計算1sinxdx的近似值(誤差不超過104)0 x解由于limsinx1因此所給積分不是反常積分如果定義被積函數(shù)在x0處的值為1則x0 x它在積分區(qū)間[01]上連續(xù).展開被積函數(shù)有sinx1x2x4x6xx 在區(qū)間[01]上逐項積分得1sinxdx11 1 1 0因為第四項

x 77!1 1 30000所以取前三項的和作為積分的近似值1sinxdx111 0.94610 x 二、歐拉公式復(fù)數(shù)項級數(shù)設(shè)有復(fù)數(shù)項級數(shù)1 1 2 2 n (uiv)(uiv)(uiv)1 1 2 2 n n uv2)n 1 2 uuu1 2 u1 2 vvv1 2 vuiv絕對收斂如果級un

ivn

)的各項的模所構(gòu)成的級數(shù)

u2u2v2n nn1 n1則稱級數(shù)unn1

ivn

)絕對收斂復(fù)變量指數(shù)函數(shù)考察復(fù)數(shù)項級數(shù)1z1z21znxexez即ezz1z21zn歐拉公式當x0時ziy于是eiy1iy111iy1y2i1y31y4i1y51y21y4)i(y1y31y5)cosyisiny把y定成x得eixcosxisinx這就是歐拉公式復(fù)數(shù)的指數(shù)形式復(fù)數(shù)z可以表示為zr(cos其中r|z|是z的模argz是z的輻角三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系因為eixcosxisinxeixcosxisinx所以eix+eix2cosx exeix2isinxcosx1eix) sinx212這兩個式子也叫做歐拉公式復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)12eix)ezze1

ez

ez特殊地有exiyexeiyex(cosyisiny)§11.7 傅里葉級數(shù)一、三角級數(shù)三角函數(shù)系的正交性三角級數(shù)級數(shù)aacosnx

sinnx)0 n n1稱為三角級數(shù)其中a0anbn(n12)都是常數(shù)三角函數(shù)系1cosxsinxcos2xsin2xcosnxsinnx三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系中任何兩個不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[]上的積分等于零即cosnxdx0 nsinnxdx0nsinkxcosnxdx0nsinkxsinnxdx0 nncoskxcosnxdx0nn三角函數(shù)系中任何兩個相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[]上的積分不等于零即2dxcos2nxdx nsin2nxdx n二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)問題設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)且能展開成三角級數(shù)f(x)

0aaak1

coskxbk

sinkx)a0a1b1f(x)?則

f(x)cosnxdx 0cosnxdx

[acoskxcosnxdxbsinkxcosnxdx]

k1

k

k類似地

f(x)sinnxdxbn傅里葉系數(shù)a10

f(x)dxa1 f()cosnxdxnn b1

f(x)sinnxdx(n2)n 系數(shù)a0a1b1叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)傅里葉級數(shù)三角級數(shù)a 0 (acosnxb

sinnx)2 n nn1稱為傅里葉級數(shù)其中a0a1b1是傅里葉系數(shù)()2f(x)則一定可以f(x)f(x)?它是否一定收f(x)?()f(x)2在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂并且當x是f(x)的連續(xù)點時級數(shù)收斂于f(x)x1f(x0)f(x02例1設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達式為f(x)x01 0x將f(x)展開成傅里葉級數(shù)xkk02在其它點處連xk時收斂于1[f(x0)f(x0)]102 2xka1 f()cosnxdx1

)cosnxdx1cosnxdx0 nn 0b1 f()sinnxdx10)sinnxdx1sinnxdxn 01[cosnx]0 1cosnx]1[1cosncosn n n 0 n2

4 nn[1(1)n]

n0

n2,4,6,于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為f(x)4[sinx1sin3x 1 ] 3 (xx02)例2設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)它在[)上的表達式為0 0 xf(x)x 0 0 x將f(x)展開成傅里葉級數(shù).解所給函數(shù)滿足收斂定理的條件它在點x(2k1)(k012)處不連續(xù)因此f(x)的傅里葉級數(shù)在x(2k1)處收斂于1[f(x0)f(x0)]1(0)2 2 2在連續(xù)點x(x(2k1))處級數(shù)收斂于f(x)傅里葉系數(shù)計算如下a1 f(dx10xdx0 2無窮級數(shù)高等數(shù)學(xué)教案內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室a1 f()cosnxdx10xcosnxdx1[xsinnxcosnx0 1 cos)n 2

n n2 n

n2n201

n2,4,6,1 0

xcosnx

sin

cosnb

f(x)sinnxdx

xsinnxdx

n

n

n2 nn

(n12)f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為f(x)(2cosxsin1sin2x(2 cos3x1sin4 2 31sin4x(

2 cos5x1sin5x)(xx)4 5設(shè)f(x)只在或外補充函數(shù)f(x)使2F(x)在F(x)f(x).3將函數(shù)f(x)x x0x 0x展開成傅里葉級數(shù)解所給函數(shù)在區(qū)間它在每一點x處f(x)傅里葉系數(shù)為a1 f(dx10dx1xdx0 0a1 f()cosnxdx10)cosnxdx1xcosnxdxn 0 2

n(cosn n

n2,4,6,b1 f()sinnxdx10)sinnxdx1xsinnxdx0nn 0于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為f(x)

4(cosx1cos3x1cos5x)(x)2 52三、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)當f(x)為奇函數(shù)時f(x)cosnx是奇函數(shù)f(x)sinnx是偶函數(shù)故傅里葉系數(shù)為an0(n012)b2f(x)sinnxdx(n123)n 0因此奇數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有正弦項的正弦級數(shù)bnn1

sinnx當f(x)為偶函數(shù)時f(x)cosnx是偶函數(shù)f(x)sinnx是奇函數(shù)故傅里葉系數(shù)為a2f(x)cosnxdx(n0123)n 0bn0(n12)因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有余弦項的余弦級數(shù)a 0 acosnxnn1例4設(shè)f(x)是周期為2上的表達式為f(x)x將展開成傅里葉級數(shù)解首先)f(x)的傅里葉級數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點x(2k1)收斂于f(x)在點x(2k1)(k012)收斂于1[f0)f0)]1()]02 2其次若不計x(2k1)(k012)則f(x)是周期為2的奇函數(shù)于是an0(n01