奧數(shù)幾何三角形五大模型帶解析

./三角形五大模型[專題知識點(diǎn)概述]本講復(fù)習(xí)以前所學(xué)過的有關(guān)平面幾何方面的知識,旨在提高學(xué)生對該部分知識的綜合運(yùn)用能力。重點(diǎn)模型重溫一、等積模型①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等,面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等,面積比等于它們的高之比；如右圖③夾在一組平行線之間的等積變形,如右圖；反之,如果,則可知直線平行于．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等<長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形>；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等,面積比等于它們的高之比．二、等分點(diǎn)結(jié)論〔"鳥頭定理"如圖,三角形AED占三角形ABC面積的×=三、任意四邊形中的比例關(guān)系〔"蝴蝶定理"S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②AO︰OC=〔S1+S2︰〔S4+S3梯形中比例關(guān)系〔"梯形蝴蝶定理"S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;③S的對應(yīng)份數(shù)為〔a+b2模型四：相似三角形性質(zhì)如何判斷相似<1>相似的基本概念：兩個三角形對應(yīng)邊城比例,對應(yīng)角相等。<2>判斷相似的方法：①兩個三角形若有兩個角對應(yīng)相等則這兩個三角形相似；②兩個三角形若有兩條邊對應(yīng)成比例,且這兩組對應(yīng)邊所夾的角相等則兩個三角形相似。①;S1︰S2=a2︰A2模型五：燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；[重點(diǎn)難點(diǎn)解析]模型一與其他知識混雜的各種復(fù)雜變形在紛繁復(fù)雜的圖形中如何辨識"鳥頭"[競賽考點(diǎn)挖掘]三角形面積等高成比"鳥頭定理""蝴蝶定理"[習(xí)題精講][例1]〔難度等級※如圖,長方形ABCD的面積是56平方厘米,點(diǎn)E、F、G分別是長方形ABCD邊上的中點(diǎn),H為AD邊上的任意一點(diǎn),求陰影部分的面積.[例2]〔難度等級※如右圖,ABFE和CDEF都是矩形,AB的長是4厘米,BC的長是3厘米,那么圖中陰影部分的面積是____平方厘米．[例3]〔難度等級※如圖,在三角形ABC中,BC=8厘米,AD=6厘米,E、F分別為AB和AC的中點(diǎn),那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？[例4]〔難度等級※※※如圖,在面積為1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中點(diǎn),延長CF交AB邊于E,求三角形AEF和三角形CDF的面積之和。[例5]〔難度等級※※如右圖BE=BC,CD=AC,那么三角形AED的面積是三角形ABC面積的幾分之幾？[例6]〔難度等級※如圖所示,四邊形ABCD與AEGF都是平行四邊形,請你證明它們的面積相等．[例7]〔難度等級※如圖,在長方形ABCD中,Y是BD的中點(diǎn),Z是DY的中點(diǎn),如果AB=24厘米,BC=8厘米,求三角形ZCY的面積．[例8]〔難度等級※※如圖,正方形ABCD的邊長為4厘米,EF和BC平行,ECH的面積是7平方厘米,求EG的長。[例10]〔難度等級※※如圖已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的邊長為10厘米,那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米?[例11]〔難度等級※※如圖,一個長方形被切成8塊,其中三塊的面積分別為12,23,32,則圖中陰影部分的面積為?[例12]〔難度等級※※※如圖,平行四邊形ABCD周長為75厘米,以BC為底時(shí)高是14厘米；以CD為底時(shí)高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積。[例13]〔難度等級※※※如右圖,正方形ABCD的邊長為6厘米,△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等,求三角形AEF的面積.[例14]〔難度等級※※※如圖,三角形ABC被分成了甲〔陰影部分、乙兩部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾？[例15]〔難度等級※某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對角線AC、BD分成四個部分,△AOB面積為1平方千米,△BOC面積為2平方千米,△COD的面積為3平方千米,公園陸地的面積是6.92平方千米,求人工湖的面積是多少平方千米？[例16]〔難度等級※※圖中是一個正方形,其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米．問：陰影部分的面積是多少平方厘米?[作業(yè)]1.如圖,三角形中,,,三角形ADE的面積是20平方厘米,三角形的面積是多少？2.如右圖所示,在長方形內(nèi)畫出一些直線,已知邊上有三塊面積分別是13,35,49．那么圖中陰影部分的面積是多少？3.右圖是由大、小兩個正方形組成的,小正方形的邊長是4厘米,求三角形ABC的面積。4.如圖,平行四邊形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四邊形ABCD的面積是2,求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比.如圖,在△ABC中,延長BD=AB,CE=BC,F是AC的中點(diǎn),若△ABC的面積是2,則△DEF的面積是多少？[例1]〔難度等級※如圖,長方形ABCD的面積是56平方厘米,點(diǎn)E、F、G分別是長方形ABCD邊上的中點(diǎn),H為AD邊上的任意一點(diǎn),求陰影部分的面積.[分析與解]如右圖,連接BH、HC,由E、F、G分別為AB、BC、CD三邊的中點(diǎn)有AE=EB、BF=FC、CG=CD.因此S1=S2,S3=S4,S5=S6,而陰影部分面積=S2+S3+S6,空白部分面積=S1+S4+S5.所以陰影部分面積與空白部分面積相等,均為長方形的一半,即陰影部分面積為28.[例2]〔難度等級※如右圖,ABFE和CDEF都是矩形,AB的長是4厘米,BC的長是3厘米,那么圖中陰影部分的面積是____平方厘米．[分析與解]上排4個陰影三角形的高都等于BF,底邊之和恰好為AB,他們的面積之和為；下排4個三角形的高都等于CF,底邊之和恰好為CD,他們的面積之和為.所以陰影部分面積為:<平方厘米>.[例3]〔難度等級※如圖,在三角形ABC中,BC=8厘米,AD=6厘米,E、F分別為AB和AC的中點(diǎn),那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？[分析與解]首先,平方厘米,而F是AC中點(diǎn),所以.又E是AB中點(diǎn),所以平方厘米.[例4]〔難度等級※※※如圖,在面積為1的三角形ABC中,DC=3BD,F是AD的中點(diǎn),延長CF交AB邊于E,求三角形AEF和三角形CDF的面積之和。[分析與解]連接DE,于是三角形AEF的面積=三角形EFD的面積,所求被轉(zhuǎn)化為三角形EDC的面積。因?yàn)镕是AD中點(diǎn),所以三角形AEC的面積和三角形EDC的面積相等,設(shè)SBDE為1份,則SAEC=SEDC為3份因此SABC一共7份,每份面積為所以SEDC占3份為。[例5]〔難度等級※※如右圖BE=BC,CD=AC,那么三角形AED的面積是三角形ABC面積的幾分之幾？[分析與解]上圖中,三角形AEC與三角形ABC的高相等,而BE=BC,于是EC=BC,又由于三角形AED與三角形AEC的高相等,而CD=AC,于是AD=AC,所以,三角形AED的面積=×三角形AEC的面積=××三角形ABC的面積=×三角形ABC的面積[例6]〔難度等級※如圖所示,四邊形ABCD與AEGF都是平行四邊形,請你證明它們的面積相等．[分析與解]連接BE顯然有,所以[例7]〔難度等級※如圖,在長方形ABCD中,Y是BD的中點(diǎn),Z是DY的中點(diǎn),如果AB=24厘米,BC=8厘米,求三角形ZCY的面積．[分析與解]平方厘米因?yàn)閅是BD中點(diǎn),Z是DY中點(diǎn),所以[例8]〔難度等級※※如圖,正方形ABCD的邊長為4厘米,EF和BC平行,ECH的面積是7平方厘米,求EG的長。[分析與解]×EG×AE+×EG×EB=7平方厘米即×EG×AB=7平方厘米；EG=3.5厘米[例10]〔難度等級※※如圖已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形,且正方形ABCD的邊長為10厘米,那么圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米?[分析與解]連接CF由ABCD和CEFG都是正方形有所以.由平行線間距離相等知三角形BDF和三角形BDC同底等高所以[例11]〔難度等級※※如圖,一個長方形被切成8塊,其中三塊的面積分別為12,23,32,則圖中陰影部分的面積為?[分析與解]如右圖,已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.[例12]〔難度等級※※※如圖,平行四邊形ABCD周長為75厘米,以BC為底時(shí)高是14厘米；以CD為底時(shí)高是16厘米。求平行四邊形ABCD的面積。[分析與解]BC×14=CD×16,BC：CD=16：14,BC+CD=,BC=×=20ABCD面積=14×20=280〔平方厘米[例13]〔難度等級※※※如右圖,正方形ABCD的邊長為6厘米,△ABE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等,求三角形AEF的面積.[分析與解]因?yàn)椤鰽BE、△ADF與四邊形AECF的面積彼此相等,所以四邊形AECF的面積與△ABE、△ADF的面積都等于正方形面積的三分之一,也就是：在△ABE中,因?yàn)锳B＝6.所以BE＝4,同理DF＝4,因此CE＝CF＝2,∴△ECF的面積為2×2÷2＝2．所以〔平方厘米．[例14]〔難度等級※※※如圖,三角形ABC被分成了甲〔陰影部分、乙兩部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾？[分析與解]由BD=DC有；由,,有.由鳥頭定理有,,故.[例15]〔難度等級※某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對角線AC、BD分成四個部分,△AOB面積為1平方千米,△BOC面積為2平方千米,△COD的面積為3平方千米,公園陸地的面積是6.92平方千米,求人工湖的面積是多少平方千米？[分析與解]由任意四邊形的蝴蝶定理有所以平方千米,故公園總面積為平方千米,人工湖面積為平方千米[例16]〔難度等級※※圖中是一個正方形,其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米．問：陰影部分的面積是多少平方厘米?[分析與解]如下圖所示,為了方便所敘,將某些點(diǎn)標(biāo)上字母,并連接BG．設(shè)△AEG的面積為x,顯然△EBG、△BFG、△FCG的面積均為x,則△ABF的面積為3x,即,那么正方形內(nèi)空白部分的面積為.所以原題中陰影部分面積為<平方厘米>．[作業(yè)]1.如圖,三角形中,,,三角形ADE的面積是20平方厘米,三角形的面積是多少？[答案]1202.如右圖所示,在長方形內(nèi)畫出一些直線,已知邊上有三塊面積分別是13