中值定理的應(yīng)用方法與技巧-2023修改整理

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦中值定理的應(yīng)用方法與技巧中值定理的應(yīng)用辦法與技巧

中值定理包括微分中值定理和積分中值定理兩部分。微分中值定理即羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，普通高等數(shù)學(xué)教科書上均有介紹，這里不再累述。積分中值定理有積分第一中值定理和積分其次中值定理。積分第一中值定理為大家熟知，即若)(xf在[a,b]上延續(xù)，則在[a,b]上至少存在一點ξ，使得))(()(abfdxxfb

a-=?ξ。積分其次中值定理為前者的推廣，即若)(),(xgxf在[a,b]上延續(xù)，且)(xg在[a,b]上不變號，則在[a,b]上至少存在一點ξ，使得??=b

ab

adxxgfdxxgxf)()()()(ξ。一、微分中值定理的應(yīng)用辦法與技巧

三大微分中值定理可應(yīng)用于含有中值的等式證實，也可應(yīng)用于恒等式及不等式證實。因為三大中值定理的條件和結(jié)論各不相同，又存在著互相關(guān)聯(lián)，因此應(yīng)用中值定理的基本辦法是針對所要證實的等式、不等式，分析其結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合所給的條件選定合適的閉區(qū)間上的延續(xù)函數(shù)，套用相應(yīng)的中值定理舉行證實。這一過程要求我們十分認(rèn)識三大中值定理的條件和結(jié)論，并且把握一定的函數(shù)構(gòu)造技巧。

例一．設(shè))(x?在[0,1]上延續(xù)可導(dǎo)，且1)1(,0)0(==??。證實：隨意給定正整數(shù)ba,，必存在(0,1)內(nèi)的兩個數(shù)ηξ,，使得baba+='+')

()(η?ξ?成立。證法1：隨意給定正整數(shù)a，令)()(,)(21xxfaxxf?==，則在[0,1]上對)(),(21xfxf應(yīng)用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得aaa=--=')0()1(0)(??ξ?。隨意給定正整數(shù)b，再令)()(,)(21xxgbxxg?==，則在[0,1]上對)(),(21xgxg應(yīng)用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得bbb=--=')

0()1(0)(??η?。兩式相加得：隨意給定正整數(shù)ba,，必存在(0,1)內(nèi)的兩個數(shù)ηξ,，使得

baba+='+')

()(η?ξ?成立。

證法2：隨意給定正整數(shù)ba,，令)()(,)(21xxfaxxf?==，則在[0,1]上對

)(),(21xfxf應(yīng)用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得aa=')

(ξ?。再令)()(,)()()(21xxgbxxbaxg??=-+=，則在[0,1]上對)(),(21xgxg應(yīng)用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得abbabba=--+='-'+)

0()1()()()()(??η?η?。因此有)()()()()(η?η?η?ξ?'-+='-'+='bbabbaa，移項得：baba+='+')

()(η?ξ?。分析：解1和解2都是應(yīng)用了柯西中值定理。鑒于所要證實的等式中含有兩個中值，并且中值處的導(dǎo)數(shù)位于分式中，因此考慮須用兩次柯西中值定理。證法1和解2的不同之處是解1分離從

,)(ξ?'a)(η?'b動身構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。而證法2是先將baba+='+')()(η?ξ?移項得：)

()()()()(η?η?η?ξ?'-'+='-+='bbabbaa，然后從兩邊動身構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)。

例二．設(shè))(xf在[a,b]上延續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且)()(bfaf≠，試證實：存在),(,ba∈ηξ，使得a

bff+'=')(2)(ηξξ。證法1：按照條件，由拉格朗日中值定理，存在),(ba∈η，使得

))(()()(abfafbf-'=-η

令2)(xxg=，在[a,b]上對)(),(xgxf應(yīng)用柯西中值定理，得存在),(ba∈ξ，使得a

bfabafbff+'=--=')()()(2)(22ηξξ。證法2：令2)(xxg=，在[a,b]上對)(),(xgxf應(yīng)用柯西中值定理，得存在),(ba∈ξ，使得22)()(2)(a

bafbff--='ξξ。再令xabxg)()(+=，在[a,b]上對)(),(xgxf應(yīng)用柯西中值定理，得存在),(ba∈η，使得2

2)()()()()()()(abafbfaabbabafbfabf--=+-+-=+'η。綜合兩式得到存在),(,ba∈ηξ，使得

abff+'=')(2)(ηξξ。分析：鑒于所要證實的等式中含有兩個中值，并且中值處的導(dǎo)數(shù)位于分式中中，因此可考慮用兩次柯西中值定理，即證法2。也可用一次柯西中值定理后，

分式中函數(shù)值差的部分改用拉格朗日中值定理舉行進(jìn)一步化簡，即為證法1的基本思想辦法。

例三．設(shè))(),(xgxf在[a,b]上二階可導(dǎo)，并且0)(≠''xg，0)()(==bfaf，0)()(==bgag，試證：

（1）在(a,b)內(nèi)，0)(≠xg，

（2）在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使)

()()()(ξξξξgfgf''''=。證實：（1）用反證法。假設(shè)存在點),(bac∈，使0)(=cg。分離在],[],,[bcca上對)(xg運用羅爾定理，可得存在),(),,(21bcca∈∈ξξ，使得0)()(21='='ξξgg再在],[21ξξ上應(yīng)用羅爾定理，又可得存在],[213ξξξ∈，使得0)(3=''ξg，這與題設(shè)沖突。故在(a,b)內(nèi)，0)(≠xg。

（2）即證0)()()()(=''-''ξξξξfggf。為此作輔助函數(shù)：

)()()()()(xfxgxgxfxH'-'=

因為0)()()()(====bgagbfaf，故0)()(==bHaH。在[a,b]上對)(xH應(yīng)用羅爾定理得：在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ，使0)()()()()(=''-''='ξξξξξfggfH，從而有)

()()()(ξξξξgfgf''''=。分析：該題的證實主要運用了羅爾定理。因為題設(shè)中浮現(xiàn)了0)()(==bfaf，0)()(==bgag，因此在（1）的證實中可考慮用反證法，通過反復(fù)運用羅爾定理導(dǎo)出0)(3=''ξg，從而推出沖突，證得結(jié)論。而（2）的證實關(guān)鍵在于首先要將欲證的等式變形成某一函數(shù)在中值處的導(dǎo)數(shù)為零。從中選定一函數(shù)對其應(yīng)用羅爾定理導(dǎo)出結(jié)論。

例四.設(shè))(xf在[-a,a]上延續(xù)，在0=x處可導(dǎo)，且0)0(≠'f。

（1）求證：)1,0(),,0(∈∈?θax，)]()([)()(00xfxfxdttfdttfxxθθ--=+??-

（2）求θ+→0

limx證實：（1）令??-+=xxdttfdttfxF00)()()(，則)()()(xfxfxF--='。

按照拉格朗日中值定理，),0(ax∈?，)1,0(∈?θ，使得

)]()([)0)(()0()()(xfxfxxxFFxFxFθθθ--=-'=-=

即)]()([)()(00xfxfxdttfdttfxxθθ--=+??-

（2）因為θθθ

θθ+++→→-→'=--=+??002

00

0lim)0(2)()(lim2)()(limxxxxxfxxfxfxdttfdttf而運用洛必達(dá)法則，)0(2

122)()(lim2)()(lim0200

0fxxfxfxdttfdttfxxxx'=?--=+++→-→??。因此2

1lim0=+→θx。分析：此題運用的學(xué)問點和辦法較為綜合。既用到了積分上限的函數(shù)特性，又用到了拉格朗日中值定理另一種表達(dá)方式，以及洛必達(dá)法則、函數(shù)極限運算法則、導(dǎo)數(shù)概念等等。因此要求解題者需具備較扎實的微積分學(xué)問基礎(chǔ)和一定的函數(shù)構(gòu)造技巧。

例五.證實下列不等式：

（1）baba-≤-arctanarctan

（2）當(dāng)1>x時，exex>

證實：（1）令],[,arctan)(baxxxf∈=，)(xf在],[ba上延續(xù)，在),(ba內(nèi)可導(dǎo)，

因此按照拉格朗日中值定理，有))(()()(abfafbf-'=-ξ，ba--xeeξ，從而當(dāng)1>x時，exex>。

分析：本例是運用拉格朗日中值定理證實不等式的典型實例。利用拉格朗日中值定理證實不等式的普通步驟為：（1）從所欲證的不等式中找到含函數(shù)值差的表達(dá)式，從中選定)(xf及一閉區(qū)間（2）運用拉格朗日中值定理得到一等式（3）利用此等式及ba-λλ。所以0)()(01

0≥-??λλdxxfdxxf，從而??≥λλ01

0)()(dxxfdxxf。分析：定積分的比較若積分區(qū)間相同，可考慮借助于定積分關(guān)于被積函數(shù)滿足單調(diào)性來證實。若積分區(qū)間不相同，則可借助于積分第一中值定理將定積分化成函數(shù)值與區(qū)間長度乘積，再作比較。

例十二.設(shè))(xf''在],[ba上延續(xù)，證實存在一點],[ba∈η，滿足

)(12

)()]()([2)(3ηfabbfafabdxxfb

a''--=+--?證實：記點))(,()),(,(

bfbBafaA，簡單發(fā)覺

)]()([2bfafab+-即為線段AB，直線bxax==,及x軸圍成的梯形面積。因為線段AB的代數(shù)方程為：)()()()(axa

bafbfafy=-，所以dxaxa

bafbfafbfafabba)()()()()]()([2+=+-?從而dxaxa

bafbfafxfbfafabdxxfbab

a)()()()()()]()([2)(=+--??。令)()()()()()(axa

bafbfafxfxR=因為0)()(==bRaR，故可設(shè))())(()(xKbxaxxR--=。作輔助函數(shù)：)())(()()(xKbtattRtH=，則)(tH有三個零點xba,,。因此應(yīng)用羅爾定理得)(tH'有兩個零點，再一次應(yīng)用羅爾定理，)(tH''在],[ba內(nèi)有一個零點，記為ξ，ξ與x有關(guān)。即0)(!2)()(!2)()(=-''=-''=''xKfxKRHξξξ，所以!

2)()(ξfxK''=，從而))((!2)()(bxaxfxR--''=ξ。于是有

dxbxaxfdxxRbfafabdxxfbabab

a))((!

2)()()]()([2)(--''==+--???ξ因為))((bxax--在],[ba上不變號，而已知)(xf''在],[ba上延續(xù)，按照積分其次中值定理，存在一點],[ba∈η，使得

)(12

)())((2)())((!2)(3ηηξfabdxbxaxfdxbxaxfbab

a''--=--''=--''??，從而結(jié)論得證。

分析：該題首先將欲證等式右端化為一個定積分，并導(dǎo)出被積函數(shù)的簡明表達(dá)式，再利用積分其次中值定理得到左端表達(dá)式。證實技巧要求較高之處為被積函數(shù)的簡明表達(dá)式的推導(dǎo)，這一過程亦有常規(guī)可尋，可先找出函數(shù)的零點，從而導(dǎo)出函數(shù)表達(dá)式中的一次因式。其余部分可通過構(gòu)造輔助函數(shù)推得，參見例六。

三、微分、積分中值定理的綜合應(yīng)用辦法與技巧

例十三.設(shè))(xf在[0,1]上可導(dǎo)，且?=-2

/100)(2)1(dxxxff，試證實：存在

)1,0(∈ξ，使得ξξξ)

()(ff-='。

證實：令)()(xxfxF=，則有

)()(2)()(2)1()1(2/102

/10ηηηηηFfdxfdxxxffF==?===??，)2

1,0(∈η（積分第一中值定理）。在]1,[η上應(yīng)用羅爾定理，存在)1,0()1,(?∈ηξ，使得0)(='ξF。即0)()(=+'ξξξff，從而有ξξξ)

()(ff-='。

分析：以上證法是從結(jié)論動身，將結(jié)論化成,0)()