2023數(shù)學(xué)春季高考各章主要公式匯總

各章主要公式匯總第一章集合與數(shù)理邏輯用語1．如果，同時，那么A=B.2．如果3．AA；φA；A∩A＝A∪A＝A；A∩φ＝φ；A∪φ＝A；4．A∩B＝AA∪B＝BAB；5．A∩UA＝φ；A∪UA＝U；U(UA)＝A；U(A∪B)＝UA∩UB6.常用數(shù)集：自然數(shù)集N、正整數(shù)集N或N＋、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實數(shù)集R、空集φ7．充分條件與必要條件：對命題p和q，若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件。當(dāng)pq時，即p即是q的充分條件，p又是q的必要條件，稱p是q的充要條件。8.復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題。三種形式：p或q、p且q、非p真假判斷：p或q，都假才假，否則為真；p且q，都真才為真；非p，真假相反第二章方程與不等式一、一元二次方程1．一元二次方程的的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)2．解一元二次方程的基本方法有求根公式法，直接開平方法，配方法和因式分解法。4．a(chǎn)x2+bx+c=0(a≠0)求根公式:x1,2=(b2-4ac≥0)4．一元二次方程的判別式：△=b2-4ac(1)△>0一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)△=0一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；(3)△<0一元二次方程的沒有實數(shù)根。5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）設(shè)方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1,x2,則兩根與系數(shù)a、b、c關(guān)系為:x1＋x2=；x1.x2=6．配方法：ax2+bx+c=a[x2+x+-]=a(x+)2+（提出系數(shù)a后，加上一次項系數(shù)一半的平方，再減去一次項系數(shù)一半的平方）二.一元二次不等式的解法ax2+bx+c>0(a>0)和ax2+bx+c<0(a>0)為例列表如下:=b2-4ac類型>0=0<0二次函數(shù)y=ax2+bx+cax2+bx+c=0{x1，x2}(x1<x2){-}ax2+bx+c>0{x|x>x2或x<x1}{x|x-}Rax2+bx+c<0{x|x1<x<x2}三.絕對值不等式|x|>a(a>0)解集為{x|x>a或x<-a}|x|<a(a>0)解集為{x|-a<x<a}第三章函數(shù)1.函數(shù)單調(diào)性的定義：若函數(shù)y＝f(x)的定義域是D，對于任意的x1，x2D，且x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，則稱f(x)是區(qū)間D上的增函數(shù)；當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，則稱f(x)是區(qū)間D上的減函數(shù)。區(qū)間D稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。若記△x=x2-x1，△y=f(x2)-f(x1)，當(dāng)>0，則y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)<0，則y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)2.奇函數(shù)當(dāng)f(-x)=-f(x)圖象關(guān)于原點對稱，如：y=x3偶函數(shù)當(dāng)f(-x)=f(x)圖象關(guān)于y軸對稱，如：y=x2a-aa-ab(a，b)(-a，b)a-a-b(a，b)(-a，-b)by=x33、二次函數(shù)的定義及表達式（1）形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函數(shù)叫二次函數(shù)．二次函數(shù)的解析式根據(jù)不同的條件，有三種形式：=1\*GB3①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）；=2\*GB3②頂點式：y＝a(x－h(huán))2＋k（a≠0）其中拋物線的頂點為(h，k)；=3\*GB3③交點式：y＝a(x－x1)(x－x2)（a≠0）其中拋物線與x軸的交點為(x1，0)，(x2，0)．（2）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)性質(zhì)頂點坐標(-，)②對稱軸方程x=-③a>0時，開口向上，ymin=在對稱軸左側(cè)，減函數(shù)；在對稱軸右側(cè)，增函數(shù)。④a<0時，開口向下，ymax=在對稱軸左側(cè)，增函數(shù)；在對稱軸右側(cè)，減函數(shù)。（3）幾種特例1．c=0是y=ax2+bx+c圖象過原點的充要條件。2．y=ax2+bx+c為偶函數(shù)的充條件為b=0，解析式變?yōu)閥=ax2+c，此時圖象關(guān)于y軸對稱，頂點在y軸上為(0，c)。3．y=ax2圖象頂點在原點，關(guān)于y軸對稱。（4）二次函數(shù)的△與圖象與x軸交點個數(shù)的關(guān)系1．當(dāng)△>0，二次函數(shù)有兩個根，圖象與x軸有兩個交點2．當(dāng)△=0，二次函數(shù)有兩個等根，圖象與x軸有一個交點，即頂點(在x軸上)；3.當(dāng)△<0，二次函數(shù)無實根，圖象與x軸無交點。當(dāng)a>0時，圖象恒在x軸上方，當(dāng)a<0時，圖象恒在x軸下方。（5）二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的對稱性設(shè)二次函數(shù)的對稱軸方程為x=h，則對任意實數(shù)x，二次函數(shù)滿足f(h+x)=f(h-x)，即自變量到對稱軸距離相等，函數(shù)值就相等。當(dāng)a>0時，自變量到對稱軸距離越大，函數(shù)值變越大；當(dāng)a<0時，自變量到對稱軸距離越大，函數(shù)值變越??；設(shè)二次函數(shù)兩根為x1、x2，則有x1+x2=2h．第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)1．指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念，性質(zhì)和圖象如下表:指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義y=ax(a>0，且a1)y=logax(a>0且a1)定義域xRx>0值域y>0yR奇偶性非奇非偶非奇非偶圖象a>11110<a<111a>1110<a<11單調(diào)性a>1時，在定義域內(nèi)為增函數(shù)0<a<1時，在定義域內(nèi)為減函數(shù)a>1時，在定義域內(nèi)為增函數(shù)0<a<1時，在定義域內(nèi)為減函數(shù)2.對數(shù)函數(shù)重要結(jié)論：底越大，對數(shù)值越小第五章數(shù)列等差數(shù)列與等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列定義an+1-an=d(常數(shù)，n∈N*)=q(q≠0，常數(shù)，n∈N*)通項公式an=a1+(n-1)dan=a1qn-1前n項和的公式Sn=Sn=na1+dSn=na1(q=1時)Sn=Sn=(q≠1)中項A=G=±性質(zhì)am，an，ap，aq中，若m+n=p+q則am+an=ap+aqam，an，ap，aq中，若m+n=p+q則am·an=ap·aq第六章平面向量1、向量加法+=2、向量減法-=3、∥=λ(λR，≠)4、=(a1，a2)=(b1，b2)λR①+=(a1+b1，a2+b2)②-=(a1-b1，a2-b2)③λ=(λa1，λa2)5、∥=6、設(shè)=(a1，a2)，則||=7、設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1)8、兩點間距離公式：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則dAB=||=9、中點公式A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點為M(x，y)，則x＝y(tǒng)＝10、向量內(nèi)積·＝||||cos<，>11、⊥·=012.cos<，=13、內(nèi)量內(nèi)積坐標運算=(a1，a2),=(b1，b2),則·=a1b1+a2b2，14、⊥a1b1+a2b2=015、||2=·(||=)第六章空間幾何體(一)多面體、旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積：1.直棱柱側(cè)面積：；2.正棱錐側(cè)面積：，3.圓柱側(cè)面積：，4.圓錐側(cè)面積：，5.球的表面積：(二)多面體、旋轉(zhuǎn)體體積公式：1.柱體：;圓柱體：2.錐體：;圓錐體：。3.球體：(三)幾個基本公式：1.弧長公式：（是圓心角的弧度數(shù)，>0）；2.扇形面積公式：；第七章三角1、所有與角α始邊與終邊分別相同的角構(gòu)成的集合為{x|x=α+k·360°kZ}2、2π=360°πrad=180°1rad=()°=57°18′=57.30°1°=rad3、三角函數(shù)在各象限的符號(掌握)++—+—+———++—sinxcosxtanx4、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系①sin2α+cos2α=1②tanα=5、誘導(dǎo)公式：⑴sin(α+)=sinαcos(α+)=cosαtan(α+)=tanα⑵sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα⑶sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanα⑷sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanα⑸sin(α+)=cosacos(α+)=-sinα(6)sin(-α)=cosαcos(-α)=sinα6、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)正弦函數(shù)圖象y=sinxxRxyOπ2π1-1五點法(0，0),(πxyOπ2π1-1正弦函數(shù)性質(zhì)①定義域R②域值[-1，1];當(dāng)x=+2kπ(kZ)時，ymax=1;當(dāng)x=-+2kπ(kZ)時，ymin=-1③周期性T=2π④奇偶性sin(-x)=-sinx奇函數(shù)⑤單調(diào)性[-+2kπ，+2kπ]單調(diào)增;[+2kπ，+2kπ]單調(diào)減kZ7、求y=asinα+bcosx=sin(x+θ)的最大值、最小值和周期最大值為最小值為-周期為2π)，其中tanθ=tanθ=，θ=；tanθ=，θ=；tanθ=1，θ=；8、和角公式:①sin(+)=sincos+cossin;sin(-)=sincos-cossin②cos(+)=coscos-sinsin;cos(-)=coscos+sinsin③tan(+)=;tan(-)=9、倍角公式:①sin2α=2sinαcosα;②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α③tan2α=10、余弦定理①a2=b2+c2-2bccosA②b2=a2+c2-2accosB③c2=a2+b2-2abcosC由三邊求三角:cosA=;cosB=;cosC=11、正弦定理==12、三角形的面積公式:S=bcsinA=acsinB=absinC13、常用三角函值表a°456012°13°15°18°36°a弧度0ππππ2πsina010-10cosa10---101tana01無--10無0第九章平面解析幾何1、直線的點向式方程已知點P(x0，y0)和非零向量=(v1，v2)，則過點P0與平行的直線L方程為：=其中=(v1，v2)叫直線L的方向向量。2、直線的斜率①k=tana(a≠)(其中a為直線L的傾斜角)②設(shè)L方向向量為=(v1，v2)，則k=tana=③若直線L上兩點A(x1，y1)、B(x2，y2)，則L斜率k=(x2-x1≠0)3、直線的點斜式方程：已知直線L過點P(x0，y0)，斜率為k，則L方程為：y-y0=k(x-x0)4、直線的點法式方程：已知=(A，B)，點P0(x0，y0)，則過點P0(x0，y0)與垂直的直線方程L為：A(x-x0)+B(y-y0)=0叫直線L的點法式方程，叫L的法向量。如果=(A，B)，則方向向量=(B，-A)5、直線的一般式方程Ax+By+C=0(A，B不全為零)①法向量=(A，B)②方向向量=(B，-A)或(-B，A)6、兩條直線的位置關(guān)系：兩條直線L1：A1x+B1y+C1=0；L2：A2x+B2y+C2=0(1)L1∥L2=≠(2)L1和L2重合==（3）L1和L2相交（4）兩條直線垂直的條件：L1⊥L2A1A2+B1B2=07、若L1：Ax+By+C=0，L1∥L2，則L2可設(shè)為：Ax+By+D=0;若L1⊥L2，則L2可設(shè)為：Bx-Ay+D=08、點p(x0，y0)到直線Ax+By+C=0的距離公式d=9、兩平行直線距離L1：Ax+By+C1=0，L2：Ax+By+C2=0，距離d=10、圓的方程(1)以C(a，b)為圓心，r為半徑的圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2，以(0，0)為圓心，r為半徑的圓的方程x2+y2＝r2(2)圓的一般方程:x2+Y2+Dx+Ey+F=0，當(dāng)D2+E2－4F＞0時表示圓圓心(-，-)r=(3)直線與圓的位置關(guān)系，通常轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系解決問題。ｄ>r相離d=r相切d<r相交11、橢圓(1)橢圓定義:橢圓上動點M滿足|MF1|+|MF2|=2a，焦距|F1F2|=2c(2)焦點在x軸上橢圓標準方程(a＞b＞0)其中b2=a2-c2F1(-c1，0)、F2(c，0)焦點在y軸上橢圓標準方程(a＞b＞0)F1F1(-c，0)F2(c，0)F1(0，-c)F2(0，-c)(3)橢圓的幾何性質(zhì)+＝1(a>b>0)①范圍：|x|≤a，|y|≤b②對稱性：關(guān)于x軸，y軸對稱③頂點：A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b)，A1A2叫長軸，長為2a；B1B2叫短軸，長軸2b，a叫長半軸長;b叫短半軸長④離心率e=(0<e<1),e→1越扁；e→0越圓12、雙曲線(1)定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2距離差的絕對值等于常數(shù)(2a，2a<2c2c=|F1F2|且不等于0)的點的軌跡叫雙曲線，兩定點叫焦點|F1F2|＝2C|MF1|-|MF2||=±2a(2)焦點在x軸上雙曲線標準方程－＝1(a>0，b>0)其中b2＝c2－a2焦點在y軸上雙曲線標準方程:－＝1(a>0，b>0)(3)雙曲線的幾何意義:－＝1(a>0，b>0)①范圍|x|≥ax≥a或x≤-a②對稱性關(guān)于x軸y軸對稱③頂點A1(-a，0)、A2(a，0)，A1A2叫實軸，長為2a，B1B2叫虛軸，長為2b，a叫實半軸長，b叫虛半軸長④漸近線y＝±x⑤離心率e＝∵c>a∴e>1e越大，開口越闊13.拋物線(1)定義:到定點距離等于到定直線距離的點的軌跡.定點叫焦點，定直線叫準線(2)標準方程:有四種形式如下y2＝2px(p>0)；y2＝-2px(p>0)；x2＝2py(p>0)；x2＝-2py(p>0)方程焦點準線方程圖象y2＝2px(p>0)F(，0)x＝-y2＝-2px(p>0)F(-，0)x＝x2＝2py(p>0)F(0，)y＝-x2＝-2py(p>0)F(0，-)y＝(3)幾何意義y2＝2px(p>0)①范圍x≥0②對稱性：關(guān)于x軸對稱③頂點：(0，0)④離心率：e＝114．橢圓、雙曲線、拋物線的比較橢圓雙曲線拋物線標準方程(a>b>0)(a>0，b>0)y2=2px(p>0)頂點(±a，0)(0，±b)(±a，0)(0，0)焦點(±c，0)其中c2=a2-b2(±c，0)其中c2=a2+b2(，0)準線X=±x=中心(0，0)有界性|x|≤a|y|≤b|x|≥ax≥0第十章立體幾何1.基本元素：直線與平面之間位置關(guān)系的小結(jié)。如下圖：條件結(jié)論線線平行線面平行面面平行垂直關(guān)系線線平行如果a∥b，b∥c，那么a∥c如果a∥α，aβ，β∩α=b，那么a∥b如果α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，那么a∥b如果a⊥α，b⊥α，那么a∥b線面平行如果a∥b，aα，bα，那么a∥α——如果α∥β，aα，那么a∥β——面面平行如果aα，bα，cβ，dβ，a∥c，b∥d，a∩b=P，那么α∥β如果aα，bα，a∩b=P，a∥β，b∥β，那么α∥β如果α∥β，β∥γ，那么α∥γ如果a⊥α，a⊥β，那么α∥β條件結(jié)論線線垂直線面垂直面面垂直平行關(guān)系線線垂直二垂線定理及逆定理如果a⊥α，bα，那么a⊥b如果三個平面兩兩垂直，那么它們交線兩兩垂直如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c線面垂直如果a⊥b，a⊥c，bα，cα，b∩c=P，那么a⊥α——如果α⊥β，α∩β=b，aα，a⊥b，那么a⊥β如果a⊥α，b∥a，那么b⊥α面面垂直定義(二面角等于900